---
title: "الأعداد العشرية"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 38
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers
---

# الفصل 38 — الأعداد العشرية

بين $2$ و $3$ أعداد كثيرة: $2.5$ و $2.71$ و $2.999$ … [الأعداد العشرية](#def-g6-decimals-places) تمدّ نظام المراتب إلى يمين الآحاد، وتتبع قواعد الأعداد الصحيحة نفسها — مع فخاخ قليلة سيعلّمك هذا الفصل كيف تتجنبها.

## 38.1 الكتابة العشرية

**تعريف 38.1 (المراتب العشرية).**

*العدد العشري* له جزء صحيح وجزء عشري، تفصل بينهما [النقطة العشرية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point). وكل مرتبة على يمين النقطة تساوي عُشر ما قبلها: أعشار، وأجزاء من مئة، وأجزاء من ألف. فمثلًا

$$
13.407 = 13 + \frac{4}{10} + \frac{0}{100} + \frac{7}{1000}
= 1 \times 10 + 3 + 4 \times \frac{1}{10} + 7 \times \frac{1}{1000}.
$$

![جدول المراتب للعدد 13.407: النقطة العشرية تقع بين الآحاد والأعشار.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-decimals/fig-6cc03a759b10.svg)

*جدول المراتب للعدد $13.407$: [النقطة العشرية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) تقع بين الآحاد والأعشار.*

**ملاحظة 38.2 (أصفار مهمّة وأصفار غير مهمّة).**

إضافة الأصفار في *آخر* الجزء العشري لا تغيّر شيئًا: $2.5 = 2.50 = 2.500$. أما الأصفار *بين* الأرقام فضرورية: $13.407 \neq 13.47$. والعدد $0.5$ مختلف جدًّا عن $0.05$!

**طريقة 38.3 (مقارنة الأعداد العشرية).**

1. قارن الأجزاء الصحيحة أولًا: $7.2 > 5.99$ لأن $7 > 5$ .
2. وإن تساوت الأجزاء الصحيحة، فقارن الأجزاء العشرية رقمًا رقمًا من اليسار — والحشو بأصفار نهائية يساعد: لمقارنة $3.4$ و $3.15$ ، اُكتب $3.40$ و $3.15$ ؛ وبما أن $40 > 15$ جزءًا من مئة، فإن $3.4 > 3.15$ .

واِنتبه: *الأطول لا يعني الأكبر*. فالعدد $3.15$ أرقامه أكثر من $3.4$ لكنه أصغر منه.

![تكبير مستقيم الأعداد بين 3 و 4: كل تدريجة عُشر واحد. والنقطة 3.15 تقع في منتصف ما بين 3.1 و 3.2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-decimals/fig-d3c0370768d1.svg)

*تكبير مستقيم الأعداد بين $3$ و $4$: كل تدريجة عُشر واحد. والنقطة $3.15$ تقع في منتصف ما بين $3.1$ و $3.2$.*

## 38.2 الجمع والطرح والضرب

**طريقة 38.4 (الحساب بالأعمدة مع الأعداد العشرية).**

لجمع [الأعداد العشرية](#def-g6-decimals-places) أو طرحها، حاذِ *النقاط العشرية* (فتقع الآحاد تحت الآحاد، والأعشار تحت الأعشار)، مع الحشو بأصفار نهائية عند اللزوم؛ ثم احسب كما في الأعداد الصحيحة، وضع نقطة النتيجة تحت النقطتين الأخريين.

**مثال 38.5.**

احسب $13.7 + 2.85$، بمحاذاة النقاط ($13.7 = 13.70$):

$$
\begin{array}{r}
1\,3.7\,0 \\
+\ \ \,2.8\,5 \\
\hline
1\,6.5\,5
\end{array}
$$

واحسب $6 - 2.35$ (اُكتب $6 = 6.00$): $6.00 - 2.35 = 3.65$. والتحقّق: $3.65 + 2.35 = 6$.

**مثال 38.6 (ضرب الأعداد العشرية).**

لحساب $2.3 \times 1.4$: اِضرب كما في الأعداد الصحيحة، $23 \times 14 = 322$؛ ثم عُدّ الأرقام العشرية في العاملين ($1 + 1 = 2$)، وضع النقطة بحيث يكون في النتيجة هذا العدد منها: $2.3 \times 1.4 = 3.22$. وتحقّق من رتبة المقدار: [فالجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $2.3 \times 1.4$ يجب أن يزيد قليلًا على $2.3 \times 1 = 2.3$ — والعدد $3.22$ كذلك.

## 38.3 الضرب والقسمة على 10 و100 و1000

**قضية 38.7 (انتقال النقطة).**

ضرب [عدد عشري](#def-g6-decimals-places) في $10$ أو $100$ أو $1000$ ينقل نقطته العشرية $1$ أو $2$ أو $3$ مراتب إلى *اليمين*؛ والقسمة تنقلها إلى *اليسار* (مع الحشو بالأصفار عند اللزوم):

$$
3.75 \times 100 = 375, \qquad
42.1 \div 1000 = 0.0421 .
$$

**برهان.** الضرب في $10$ يجعل كل رقم يساوي عشرة أمثال ما كان: فتصير الأعشار آحادًا، والآحاد عشرات، وهكذا — فينتقل كل رقم عمودًا واحدًا إلى اليسار في جدول المراتب، وذلك هو نفسه انتقال النقطة مرتبة واحدة إلى اليمين. والقسمة تعكس ذلك. ∎

**مثال 38.8 (وحدات القياس).**

تحويل الوحدات هو هذه اللعبة بعينها: فبما أن $1$ م $= 100$ سم،

$$
3.75 \text{ م} = 3.75 \times 100 \text{ سم} = 375 \text{ سم},
\qquad
42 \text{ مم} = 42 \div 10 \text{ سم} = 4.2 \text{ سم}.
$$

## 38.4 التقريب

**تعريف 38.9 (التقريب).**

*تقريب* عدد إلى الوحدة (أو العُشر أو الجزء من مئة، …) هو أقرب عدد بتلك الدقة. اُنظر إلى الرقم التالي: فإن كان $0,1,2,3,4$ قرِّب إلى الأسفل (أبقِ)؛ وإن كان $5,6,7,8,9$ قرِّب إلى الأعلى.

**مثال 38.10.**

[تقريب](#def-g6-decimals-rounding) $7.38$ إلى الوحدة هو $7$ (فالرقم التالي $3$: أبقِ)؛ وتقريبه إلى العُشر هو $7.4$ (فالرقم التالي $8$: قرِّب إلى الأعلى). والثمن $4.996$ مقرَّبًا إلى الجزء من مئة هو $5.00$ — [فالتقريب](#def-g6-decimals-rounding) قد يغيّر كل الأرقام!

## 38.5 تمارين

**تمرين 38.1 ★.**

اُكتب على صورة [عدد عشري](#def-g6-decimals-places): $5 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{100}$؛ $\dfrac{9}{10}$؛ $12 + \dfrac{4}{1000}$؛ «ثماني وحدات وخمسة أجزاء من مئة».

**حل التمرين 38.1.**

$5.37$؛ $0.9$؛ $12.004$؛ $8.05$.

**تمرين 38.2 ★.**

في $86.354$: ما رقم الأعشار؟ وما رقم الأجزاء من مئة؟ وماذا يعدّ الرقم $8$؟ واُكتب هذا العدد كما في [التعريف 38.1](#def-g6-decimals-places).

**حل التمرين 38.2.**

رقم الأعشار: $3$؛ ورقم الأجزاء من مئة: $5$؛ والرقم $8$ يعدّ العشرات.

$$
86.354 = 8 \times 10 + 6 + 3 \times \frac{1}{10} + 5 \times
\frac{1}{100} + 4 \times \frac{1}{1000}.
$$

**تمرين 38.3 ★.**

اُنقل وأكمل بالإشارة $<$ أو $>$ أو $=$:

$$
5.3 \;?\; 5.29, \qquad
0.7 \;?\; 0.70, \qquad
2.09 \;?\; 2.9, \qquad
14.5 \;?\; 14.49 .
$$

**حل التمرين 38.3.**

$5.3 > 5.29$ (قارن $5.30$ مع $5.29$)؛ $0.7 = 0.70$ (فالأصفار النهائية لا تغيّر شيئًا)؛ $2.09 < 2.9$ (الأعشار: $0 < 9$)؛ $14.5 > 14.49$.

**تمرين 38.4 ★.**

رتّب من الأصغر إلى الأكبر: $4.2$؛ $4.05$؛ $4.51$؛ $4.15$؛ $4.5$.

**حل التمرين 38.4.**

اِحشُ إلى رقمين عشريين: $4.20$؛ $4.05$؛ $4.51$؛ $4.15$؛ $4.50$. والترتيب:

$$
4.05 < 4.15 < 4.2 < 4.5 < 4.51 .
$$

**تمرين 38.5 ★.**

ما [الأعداد العشرية](#def-g6-decimals-places) الموافقة للنقاط $A$ و $B$ و $C$ على مستقيم مدرَّج بالأعشار، إذا كانت $A$ على بُعد $3$ تدريجات بعد $6$، و $B$ على بُعد $7$ تدريجات بعد $6$، و $C$ على بُعد $2$ من التدريجات بعد $7$؟

**حل التمرين 38.5.**

كل تدريجة عُشر واحد. $A$: $6.3$؛ $B$: $6.7$؛ $C$: $7.2$.

**تمرين 38.6 ★.**

احسب بالأعمدة: $45.8 + 7.65$؛ $23.4 - 8.72$؛ $5.6 \times 2.4$ (وعُدّ الأرقام العشرية!).

**حل التمرين 38.6.**

$45.80 + 7.65 = 53.45$.

$23.40 - 8.72 = 14.68$ (التحقّق: $14.68 + 8.72 = 23.4$).

$56 \times 24 = 1344$، ورقمان عشريان في العاملين: $5.6 \times 2.4 = 13.44$.

**تمرين 38.7 ★.**

احسب دون أي عمل مكتوب:

$$
6.42 \times 10, \qquad
0.35 \times 1000, \qquad
78.1 \div 100, \qquad
5 \div 1000 .
$$

**حل التمرين 38.7.**

$6.42 \times 10 = 64.2$؛ $0.35 \times 1000 = 350$؛ $78.1 \div 100 = 0.781$؛ $5 \div 1000 = 0.005$.

**تمرين 38.8 ★.**

حوِّل: $2.4$ م إلى سم؛ $370$ غ إلى كغ؛ $0.85$ كم إلى م؛ $56$ مم إلى م.

**حل التمرين 38.8.**

$2.4$ م $= 240$ سم؛ $370$ غ $= 0.37$ كغ (بالقسمة على $1000$)؛ $0.85$ كم $= 850$ م؛ $56$ مم $= 0.056$ م.

**تمرين 38.9 ★.**

قرِّب $23.867$: إلى الوحدة؛ وإلى العُشر؛ وإلى الجزء من مئة. وقرِّب $9.97$ إلى العُشر.

**حل التمرين 38.9.**

إلى الوحدة: $24$ (فالرقم التالي $8$: قرِّب إلى الأعلى). وإلى العُشر: $23.9$. وإلى الجزء من مئة: $23.87$. وأما $9.97$ إلى العُشر: فالرقم التالي $7$، فنقرّب الأعشار $9$ إلى الأعلى — $10.0$.

**تمرين 38.10 ★★.**

ثمن الرغيف $1.15$. تشتري هناء ثلاثة أرغفة وتدفع بورقة $5$. اُكتب الحسابين اللازمين، وأعطِ [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) لها.

**حل التمرين 38.10.**

ثمن الأرغفة: $3 \times 1.15 = 3.45$. [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder): $5 - 3.45 = 1.55$.

**تمرين 38.11 ★★.**

جِد عددًا عشريًّا يقع تمامًا بين $7.4$ و $7.5$؛ ثم بين $3.99$ و $4$. وكم عدد هذه الأعداد في كل حالة؟

**حل التمرين 38.11.**

بين $7.4$ و $7.5$: مثلًا $7.45$ (أو $7.41$ أو $7.499$، …). وبين $3.99$ و $4$: مثلًا $3.995$. وفي الحالتين هناك *ما لا نهاية* من هذه الأعداد: إذ يمكن دائمًا إضافة مراتب عشرية أخرى.

**تمرين 38.12 ★★★.**

مستعملًا كلًّا من الأرقام $2$ و $5$ و $8$ مرة واحدة بالضبط [ونقطة عشرية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) واحدة، اُكتب أكبر عدد ممكن، ثم أصغر عدد ممكن. (والأعداد مثل $.58$ غير مسموحة: فالجزء الصحيح يجب أن يحتوي رقمًا واحدًا على الأقل.)

**حل التمرين 38.12.**

الأكبر: ضع الأرقام الكبرى أولًا والنقطة في أبعد موضع ممكن: $85.2$. والأصغر: الأرقام الصغرى أولًا والنقطة في أبكر موضع ممكن: $2.58$.

## 38.6 مسألة: العدد الذي يلي 3 مباشرة لا وجود له

**مسألة 38.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — بين أي عددين عشريين يوجد دائمًا عدد آخر: التكبير على مستقيم الأعداد

على سلّم الأعداد الصحيحة، لكل عدد جار ملاصق: فبعد $7$ مباشرة يأتي $8$، ولا يسكن بينهما شيء. أما [الأعداد العشرية](#def-g6-decimals-places) فعالم مختلف تمامًا. فما العدد الذي يلي $3$ مباشرة؟ أهو $3.1$؟ أم $3.01$؟ أم $3.001$؟ تطوّر هذه المسألة تقنية *التكبير* على مستقيم الأعداد (مواصلةً لما في [التمرين 38.11](#exo-g6-decimals-11)) وتبلغ نتيجة مشهورة: العدد الذي يلي $3$ مباشرة *لا وجود له* — فبين أي عددين عشريين، مهما تقاربا، يبقى دائمًا متسع لغيرهما.

**الجزء الأول — التكبير.**

1. أيّهما أكبر، $2.999$ أم $3$ ؟ احسب [الفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) بينهما.
2. اُرسم مستقيم أعداد من $7.4$ إلى $7.5$ ، مدرَّجًا بالأجزاء من مئة، وضع عليه $7.42$ و $7.45$ و $7.48$ . واُذكر *كل* الأعداد ذات الرقمين العشريين التي تقع تمامًا بين $7.4$ و $7.5$ . فكم عددها؟
3. وكبِّر من جديد: بين $7.44$ و $7.45$ ، اُذكر كل الأعداد ذات الأرقام العشرية الثلاثة. فكم عددها هذه المرة؟
4. وبالفكرة نفسها، اِشرح كيف تعدّ الأعداد ذات الأرقام العشرية الثلاثة بالضبط الواقعة تمامًا بين $7.4$ و $7.5$ ، وأعطِ ذلك العدد.
5. صِف الوصفة الكامنة وراء الأسئلة 2–4 (أي *التكبير* ): إذا أُعطي عددان يبدوان متجاورين، مثل $5.67$ و $5.68$ ، فكيف تكشف كتابة رقم عشري واحد إضافي دائمًا عن عدد يقع تمامًا بينهما؟ وطبّق وصفتك على $5.67$ و $5.68$ ، ثم على $0.1999$ و $0.2$ .

**الجزء الثاني — الجار المفقود.**

6. يدّعي عمر: «العدد الذي يلي $3$ مباشرة هو $3.1$ ». فأثبت خطأه بتسمية عدد يقع تمامًا بين $3$ و $3.1$ . ثم يتراجع عمر إلى $3.01$ ، ثم إلى $3.001$ . فاغلب كل مرشّح من مرشّحيه.
7. واِشرح لماذا لا يستطيع *أحد* أن يغلبك في هذه اللعبة: فمهما اقترح عمر من عدد أكبر تمامًا من $3$ ، تنتج وصفة التكبير في السؤال 5 عددًا يقع تمامًا بين $3$ واقتراحه. فماذا يثبت ذلك عن «العدد الذي يلي $3$ مباشرة»؟
8. والآن الجهة الأخرى: يبحث عمر عن العدد الذي *يسبق* $3$ مباشرة فيجرّب $2.9$ ، ثم $2.99$ ، ثم $2.999$ . فاغلب مرشّحيه الثلاثة. ثم احسب $3 - 2.999$ ، وصِف (دون حساب بالأعمدة) [الفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) بين $3$ والعدد المكتوب برقم $2$ ونقطة وعشرين رقمًا من $9$ .
9. ولماذا لا ينجح شيء من هذا في الأعداد *الصحيحة* ؟ اِشرح في جملة أو جملتين لماذا لا يوجد عدد صحيح يقع تمامًا بين $7$ و $8$ ، مع أن هناك أعدادًا عشرية كثيرة هناك.
10. وأُعلن طول بأنه « $3.7$ سم، مقرَّبًا إلى العُشر» ( [التعريف 38.9](#def-g6-decimals-rounding) ). أعطِ أصغر طول يقرَّب إلى $3.7$ سم، واِشرح لماذا لا يقرَّب طول قدره $3.75$ سم إلى $3.7$ — فالطول الحقيقي إذن $3.65$ سم على الأقل وأصغر تمامًا من $3.75$ سم.

**الجزء الثالث — ألعاب بالأرقام والنقط.**

11. رتّب من الأصغر إلى الأكبر: $0.6$ ؛ $0.58$ ؛ $0.123$ ؛ $0.0999$ . ثم اِشرح لزميل، في جملة واحدة، لماذا $0.0999 < 0.6$ مع أنه مكتوب بأرقام أكثر ( [الطريقة 38.3](#met-g6-decimals-compare) ).
12. والأثمان في متجر لها دائمًا رقمان عشريان بالضبط. فهل يوجد *ثمن* يقع تمامًا بين $4.99$ و $5$ ؟ قارن بالسؤال 9: فما المشترك بين الأثمان والأعداد الصحيحة؟
13. ومستعملًا كلًّا من الأرقام $2$ و $5$ و $8$ مرة واحدة بالضبط [ونقطة عشرية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) واحدة (والجزء الصحيح ليس فارغًا، كما في [التمرين 38.12](#exo-g6-decimals-12) )، جِد العدد الأقرب إلى $6$ . وبرّر بحساب مسافة أفضل مرشّحيك إلى $6$ .
14. وأشهر أعداد الرياضيات، $\pi$ ، يحقق $3.141 < \pi < 3.142$ . فسمِّ عددًا عشريًّا يقع تمامًا بين $3.141$ و $3.142$ ؛ ثم عددًا يقع تمامًا بين $3.1415$ و $3.1416$ . (والرياضيون يحصرون $\pi$ بهذه الطريقة بالضبط — فكل رقم عشري جديد تكبير إضافي. وستلقى $\pi$ في العمل في [الفصل 43](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#ch-g6-measure) .)
15. والخاتمة: اِشرح لماذا يوجد *من [الأعداد العشرية](#def-g6-decimals-places) بين $0$ و $1$ أكثر من أي عدد تستطيع أن تسمّيه* . (فكم عددًا ينتج التكبير الواحد؟ وهل يمكن للتكبير أن يتوقف؟)

**حل المسألة 38.1.**

**1.** العدد $3$ أكبر: فبالحشو، $3.000 > 2.999$. [والفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) هو $3.000 - 2.999 = 0.001$، أي جزء واحد من ألف.

**2.** تقع تمامًا بين $7.4 = 7.40$ و $7.5 = 7.50$ الأعداد

$$
7.41,\ 7.42,\ 7.43,\ 7.44,\ 7.45,\ 7.46,\ 7.47,\ 7.48,\ 7.49 :
$$

أي تسعة أعداد، واحد لكل تدريجة جديدة.

**3.** الصورة نفسها، أصغر عشر مرات: فبين $7.440$ و $7.450$ تقع $7.441, 7.442, \dots, 7.449$ — أي تسعة أعداد من جديد.

**4.** بين $7.400$ و $7.500$، الأعداد ذات الأرقام العشرية الثلاثة هي $7.401, 7.402, \dots, 7.499$: أي كل الأجزاء من ألف من $401$ إلى $499$، وذلك $99$ عددًا.

**5.** وصفة التكبير: اُكتب العددين بالعدد نفسه من المراتب العشرية، ثم *أضف مرتبة عشرية واحدة* — فالعدد الأصغر متبوعًا برقم من $1$ إلى $9$ يقع تمامًا بينهما. وفعلًا $5.67 = 5.670$ و $5.68 = 5.680$، و

$$
5.670 < 5.675 < 5.680 ;
$$

وكذلك $0.1999 = 0.19990 < 0.19995 < 0.20000 = 0.2$. فبين تدريجتين متجاورتين يوجد دائمًا مستوى كامل جديد من تسع تدريجات أدقّ.

**6.** $3 < 3.05 < 3.1$؛ ثم $3 < 3.005 < 3.01$؛ ثم $3 < 3.0005 < 3.001$. فكل مرشّح يغلبه تكبير إضافي.

**7.** مهما اقترح عمر من عدد — سمِّه مرشّحه، وهو أكبر تمامًا من $3$ — ينتج السؤال 5 عددًا يقع تمامًا بين $3$ والمرشّح. فالمرشّح إذن *ليس* أقرب الأعداد إلى $3$: فهناك ما هو أقرب منه. وبما أن هذا يحدث لكل مرشّح بلا استثناء، فلا يمكن لعدد أن يكون «العدد الذي يلي $3$ مباشرة»: فهو ببساطة لا وجود له.

**8.** $2.9 < 2.95 < 3$، $2.99 < 2.995 < 3$، $2.999 < 2.9995 < 3$. و $3 - 2.999 = 0.001$. ومع عشرين تسعة، يكون [الفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) [نقطة عشرية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) متبوعة بتسعة عشر صفرًا ثم $1$ — أي وحدة واحدة في المرتبة العشرية العشرين: ضئيلة، لكنها ليست صفرًا. ومهما كتب عمر من تسعات، فلن يبلغ $3$ أبدًا.

**9.** الأعداد الصحيحة تصعد بخطوات من $1$: فأن يكون العدد أكبر من $7$ وأصغر من $8$ يعني عددًا صحيحًا من الوحدات يقع تمامًا بين $7$ و $8$ وحدات، ولا وجود له. والتكبير لا يفلت من ذلك إلا بكتابة أرقام *بعد النقطة* — وهو بالضبط ما لا تملكه الأعداد الصحيحة.

**10.** أصغر طول يقرَّب إلى $3.7$ هو $3.65$ سم: فرقمه التالي $5$، وهو يقرِّب إلى *الأعلى* ([التعريف 38.9](#def-g6-decimals-rounding)). والعدد $3.75$ يقرَّب إلى $3.8$ للسبب نفسه. إذن «$3.7$ سم إلى أقرب عُشر» تعني: $3.65$ سم على الأقل، وأصغر تمامًا من $3.75$ سم — فقطعة كاملة مكبَّرة من الأطوال الممكنة تختبئ وراء قيمة مقرَّبة واحدة.

**11.** $0.0999 < 0.123 < 0.58 < 0.6$. وفي جملة واحدة: بالمقارنة رقمًا رقمًا من اليسار، في $0.0999$ يوجد $0$ من الأعشار وفي $0.6$ يوجد $6$، وعند ذلك ينتهي الأمر — فعدد الأرقام المكتوبة لا يقول شيئًا عن [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-volume) ([الطريقة 38.3](#met-g6-decimals-compare)).

**12.** لا: فبالقروش، $4.99$ من العملة هي $499$ قرشًا و $5$ من العملة هي $500$ قرش — وهما عددان صحيحان متتاليان، ولا شيء بينهما. فالأثمان، إذ لها رقمان عشريان بالضبط، هي في الحقيقة أعداد صحيحة من القروش متنكرة: فهي كالأعداد الصحيحة في السؤال 9 لها جيران ملاصقون. أما التكبير اللانهائي فيحتاج إلى حق كتابة مراتب عشرية بلا حدّ.

**13.** المرشّحان القريبان من $6$ هما $5.82$ و $8.25$ (فالعدد الذي يبدأ بالرقم $2$، أو بالعدد $58$ أو $25$ أو $82$ أو $85$، بعيد عن $6$). والمسافتان: $6 - 5.82 = 0.18$ و $8.25 - 6 = 2.25$. فالأقرب هو $5.82$.

**14.** مثلًا $3.1415$، لأن $3.1410 < 3.1415 < 3.1420$؛ ثم $3.14159$، لأن $3.14150 < 3.14159 < 3.14160$. (وكلاهما خطوتان حقيقيتان في الصيد الفعلي للعدد $\pi = 3.14159\dots$)

**15.** اِفترض أن أحدًا سمّى عددًا، مهما كان كبيرًا. فتكبير واحد يحوّل كل زوج من التدريجات المتجاورة بين $0$ و $1$ إلى تسعة أعداد جديدة، ويمكن تكرار التكبير إلى الأبد — ولم تكن الأسئلة 2 و 3 و 4 إلا أول مستويين. وتكراره مرات كافية ينتج من [الأعداد العشرية](#def-g6-decimals-places) بين $0$ و $1$ أكثر من العدد المسمّى. فلا عدد يكفي لعدّها: فهي غير منتهية.