---
title: "أولويات العمليات"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 45
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/45-priorities-of-operations
---

# الفصل 45 — أولويات العمليات

ما قيمة $3 + 4 \times 5$؟ إن حسبت من اليسار إلى اليمين وجدت $35$؛ وإن ضربت أولًا وجدت $23$. والرياضيات تحتاج جوابًا واحدًا لا غير، فكانت للحسابات قواعد سير — هي الأولويات. ويذكر هذا الفصل هذه القواعد ويقدّم أول متطابقة جبرية، وهي التوزيعية.

## 45.1 قواعد الأولوية

**مبرهنة 45.1 (قواعد الأولوية).**

في حساب بلا أقواس:

1. تُنجَز الضروب والقسمات *قبل* الجموع والطروح؛
2. وتُنجَز عمليات المستوى نفسه من اليسار إلى اليمين.

والأقواس تعلو على كل شيء: فما بداخلها يُحسَب أولًا، اِبتداءً من الأعمق.

**مثال 45.2.**

عملية واحدة في كل سطر، مع تسطير (ذهني) لما يُحسَب:

$$
\begin{align*}
3 + 4 \times 5 &= 3 + 20 = 23
&&\text{(الضرب أولًا)}\\
20 - 8 + 2 &= 12 + 2 = 14
&&\text{(المستوى نفسه: من اليسار إلى اليمين)}\\
18 \div 3 \times 2 &= 6 \times 2 = 12
&&\text{(المستوى نفسه: من اليسار إلى اليمين)}\\
(3 + 4) \times 5 &= 7 \times 5 = 35
&&\text{(الأقواس أولًا).}
\end{align*}
$$

واِنتبه للفخّين: $20 - 8 + 2$ *ليس* $20 - 10$، كما أن $18 \div 3 \times 2$ *ليس* $18 \div 6$.

**مثال 45.3 (أقواس متداخلة).**

$$
\begin{align*}
50 - 2 \times \bigl(3 + (10 - 4)\bigr)
&= 50 - 2 \times (3 + 6) && \text{(القوس الأعمق)}\\
&= 50 - 2 \times 9 && \text{(القوس الباقي)}\\
&= 50 - 18 && \text{(الضرب)}\\
&= 32 .
\end{align*}
$$

**ملاحظة 45.4 (شريط الكسر يخفي أقواسًا).**

شريط [الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) يجمع بسطه ومقامه، كأن لكل منهما أقواسًا غير مرئية:

$$
\frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5,
\qquad\text{لا}\quad 12 + \frac{8}{4} = 14 .
$$

**طريقة 45.5 (الحساب بأمان).**

1. حدّد العملية التي تُنجَز أولًا (الأقواس الأعمق، ثم $\times$ و $\div$ ، ثم $+$ و $-$ )؛
2. واحسب *تلك وحدها* ، وأعد كتابة العبارة كلها مع وضع النتيجة مكانها؛
3. وكرّر حتى يبقى عدد واحد — عملية واحدة في كل سطر، دون اِختصارات.

## 45.2 التوزيعية

**مبرهنة 45.6 (التوزيعية).**

من أجل كل الأعداد $k$ و $a$ و $b$:

$$
k \times (a + b) = k \times a + k \times b,
\qquad
k \times (a - b) = k \times a - k \times b .
$$

**برهان بالصورة.** اِحسب [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) مستطيل عرضه $k$ مقسوم إلى مستطيلين أصغر طولاهما $a$ و $b$: فهو ككلّ $k \times (a+b)$؛ وهو في جزأين $k \times a + k \times b$. المستطيل نفسه، [والمساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) نفسها. ∎

![التوزيعية بالمساحات: المستطيل الكبير k × (a + b) هو مجموع المستطيلين الأصغرين.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-priorities/fig-20d5069e21cc.svg)

*التوزيعية بالمساحات: المستطيل الكبير $k \times (a + b)$ هو [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) المستطيلين الأصغرين.*

**مثال 45.7 (الاتجاهان معًا).**

*النشر* (من اليسار إلى اليمين) يسهّل الحساب الذهني:

$$
7 \times 103 = 7 \times (100 + 3) = 700 + 21 = 721,
\qquad
6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 600 - 12 = 588 .
$$

*التعميل* (من اليمين إلى اليسار) يجمع عاملًا مشتركًا:

$$
23 \times 12 + 23 \times 8 = 23 \times (12 + 8) = 23 \times 20 = 460 .
$$

**مثال 45.8 (ترجمة الكلمات إلى حساب).**

عبارة «[مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $8$ [وجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $5$ في $3$» هي $8 + 5 \times 3 =
23$. وعبارة «[جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $5$ في [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $8$ و $3$» هي $5 \times (8 + 3) = 55$: فكلمات «[جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) … في [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) …» تضع أقواسًا حول [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def).

## 45.3 تمارين

**تمرين 45.1 ★.**

اِحسب، عملية واحدة في كل سطر:

$$
5 + 3 \times 6, \qquad
(5 + 3) \times 6, \qquad
30 - 12 \div 4, \qquad
(30 - 12) \div 4 .
$$

**حل التمرين 45.1.**

$5 + 3 \times 6 = 5 + 18 = 23$.

$(5 + 3) \times 6 = 8 \times 6 = 48$.

$30 - 12 \div 4 = 30 - 3 = 27$.

$(30 - 12) \div 4 = 18 \div 4 = 4.5$.

**تمرين 45.2 ★.**

اِحسب:

$$
24 - 6 + 2, \qquad
24 \div 6 \times 2, \qquad
24 - 6 \times 2, \qquad
24 \div (6 \times 2).
$$

**حل التمرين 45.2.**

$24 - 6 + 2 = 18 + 2 = 20$ (من اليسار إلى اليمين).

$24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (من اليسار إلى اليمين).

$24 - 6 \times 2 = 24 - 12 = 12$ (الضرب أولًا).

$24 \div (6 \times 2) = 24 \div 12 = 2$.

**تمرين 45.3 ★.**

اِحسب خطوة خطوة:

$$
7 + 3 \times (10 - 6), \qquad
40 - (2 + 3) \times 4, \qquad
60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr).
$$

**حل التمرين 45.3.**

$7 + 3 \times (10 - 6) = 7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19$.

$40 - (2 + 3) \times 4 = 40 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20$.

$60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr) = 60 \div (2 \times 3)
= 60 \div 6 = 10$.

**تمرين 45.4 ★.**

اِحسب الكسور (أقواس غير مرئية!):

$$
\frac{18 + 6}{8}, \qquad
\frac{30}{7 - 2}, \qquad
\frac{5 \times 8}{4 + 6} .
$$

**حل التمرين 45.4.**

$\dfrac{18 + 6}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$; $\dfrac{30}{7 - 2} = \dfrac{30}{5} = 6$; $\dfrac{5 \times 8}{4 + 6} = \dfrac{40}{10} = 4$.

**تمرين 45.5 ★.**

اِستعمل التوزيعية للحساب الذهني:

$$
8 \times 102, \qquad
25 \times 99, \qquad
14 \times 12 + 14 \times 8, \qquad
37 \times 45 - 37 \times 35 .
$$

**حل التمرين 45.5.**

$8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816$.

$25 \times 99 = 25 \times (100 - 1) = 2500 - 25 = 2475$.

$14 \times 12 + 14 \times 8 = 14 \times (12 + 8) = 14 \times 20 = 280$.

$37 \times 45 - 37 \times 35 = 37 \times (45 - 35) = 37 \times 10 =
370$.

**تمرين 45.6 ★.**

اُكتب الحساب في سطر واحد، مع الأقواس عند اللزوم، ثم اِحسب: «[فرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) $50$ [وجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $6$ في $7$»؛ و«[جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $4$ و $5$ في [فرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) $10$ و $8$».

**حل التمرين 45.6.**

«[فرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) $50$ [وجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $6$ في $7$»: $50 - 6 \times 7 = 50 - 42 = 8$ (لا حاجة إلى أقواس، فالأولوية تقوم بالعمل).

«[جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $4$ و $5$ في [فرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) $10$ و $8$»: $(4 + 5) \times (10 - 8) = 9 \times 2 = 18$.

**تمرين 45.7 ★.**

اِشترى أمير $3$ دفاتر ثمن الواحد $2.50$ و $2$ قلمين ثمن الواحد $1.20$. اُكتب [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) ما دفع في عبارة واحدة، ثم اِحسبه.

**حل التمرين 45.7.**

$3 \times 2.50 + 2 \times 1.20 = 7.50 + 2.40 = 9.90$ يورو.

**تمرين 45.8 ★★.**

ضع أقواسًا في $4 + 2 \times 5 - 1$ لتجعل النتيجة: (أ) $13$؛ (ب) $29$؛ (ج) $24$. (وواحدة من الثلاث لا تحتاج أقواسًا البتة — فأيّها؟)

**حل التمرين 45.8.**

(أ) دون أقواس: $4 + 2 \times 5 - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$.

(b) $(4 + 2) \times 5 - 1 = 30 - 1 = 29$.

(c) $(4 + 2) \times (5 - 1) = 6 \times 4 = 24$.

**تمرين 45.9 ★★.**

هل $12 + 4 \times k$ و $16 \times k$ متساويان من أجل كل عدد $k$؟ اِختبر بالقيمتين $k = 1$ و $k = 2$، واِستنتج. وأيّ خطأ في الأولوية يقود من إحداهما إلى الأخرى؟

**حل التمرين 45.9.**

$k = 1$: $12 + 4 \times 1 = 16$ و $16 \times 1 = 16$ — فهما يتوافقان (ولهذا كانت $k = 1$ اِختبارًا سيّئًا!). ومن أجل $k = 2$: $12 + 4 \times 2 = 20$ لكن $16 \times 2 = 32$: مختلفان. إذن العبارتان *غير* متساويتين عمومًا. والخطأ $12 + 4 \times k = 16 \times k$ يأتي من جمع $12 + 4$ أولًا، وإهمال أولوية $\times$.

**تمرين 45.10 ★★.**

تذكرة السينما ثمنها $9$ يورو، لكن مجموعة من $n$ شخصًا تدفع مبلغًا ثابتًا $12$ يورو زائد $6$ يورو لكل شخص.

1. اُكتب عبارة لثمن المجموعة، واحسبها من أجل $n = 5$ .
2. واِبتداءً من كم شخصًا يصير سعر المجموعة أرخص من $n$ تذكرة فردية؟ (جرّب بضع قيم للعدد $n$ .)

**حل التمرين 45.10.**

*1.* ثمن المجموعة: $12 + 6 \times n$. ومن أجل $n = 5$: $12 + 30 = 42$ يورو.

*2.* الثمن الفردي: $9n$. والمقارنة: $n = 3$: $30$ مقابل $27$ (فالفردي أرخص)؛ و $n = 4$: $36$ مقابل $36$ (متساويان)؛ و $n = 5$: $42$ مقابل $45$ (فالمجموعة أرخص). واِبتداءً من $5$ أشخاص يفوز سعر المجموعة (فكل شخص إضافي يكلّف $6$ بدل $9$، فلا تزداد الفجوة إلا اِتساعًا).

**تمرين 45.11 ★★★.**

باستعمال كل رقم من الأرقام $1$ و $2$ و $3$ و $4$ مرة واحدة بالضبط، مع العمليات الأربع والأقواس كما تشاء، اُكتب عبارات تساوي $24$ و $10$ و $1$.

**حل التمرين 45.11.**

أجوبة ممكنة (وهي كثيرة):

$$
24 = 1 \times 2 \times 3 \times 4, \qquad
10 = 1 + 2 + 3 + 4, \qquad
1 = (4 - 3) \times (2 - 1).
$$

## 45.4 مسألة: الضرب على طريقة الكاتب المصري

**مسألة 45.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — حيل الحساب الذهني من التوزيعية، وضرب المضاعفة والتنصيف المستعمل منذ أربعة آلاف سنة

قبل الحاسبات بزمن طويل — وقبل أن تُحفَّظ جداول الضرب في المدرسة — كان كتبة مصر وفلاحو روسيا يضربون أيّ عددين مستعملين *المضاعفة والتنصيف والجمع* وحدها. وتبدو طريقتهم سحرًا؛ وهي في الحقيقة التوزيعية ([المبرهنة 45.6](#thm-g7-priorities-distributivity)) تعمل بكل طاقتها. وتشحذ هذه المسألة حسابك الذهني، ثم تعلّمك الطريقة القديمة، ثم ترفع الغطاء لترى بالضبط لماذا تعمل.

**الجزء الأول — فنّ عدم الحساب.**

1. اِحسب ذهنيًّا، بالنشر كما في [المثال 45.7](#ex-g7-priorities-distributivity) : $7 \times 102$ و $9 \times 98$ .
2. اِحسب ذهنيًّا، بالتعميل: $17 \times 13 + 17 \times 7$ و $45 \times 101 - 45$ .
3. حيلة «الضرب في $5$ »: للضرب في $5$ ، اِضرب في $10$ ثم نصّف. اِحسب $5 \times 87$ بهذه الطريقة، واِشرح لماذا تكون الحيلة مشروعة.
4. وحيلتان أخريان للتبرير والاستعمال: اِضرب في $25$ بالضرب في $100$ والقسمة على $4$ (اِحسب $25 \times 32$ )؛ واِضرب في $99$ بالضرب في $100$ والطرح مرة واحدة (اِحسب $99 \times 47$ ).
5. وطلقة تحذير: التوزيعية تنشر عاملًا على *[مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def)* ، لا على [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) . قارن $8 \times (5 + 3)$ بالمقدار $8 \times 5 + 8 \times 3$ ، ثم $8 \times (5 \times 3)$ بالمقدار $(8 \times 5) \times (8 \times 3)$ : فأيّ زوج يتطابق، وأيّهما لا؟

**الجزء الثاني — طريقة المضاعفة والتنصيف.** وإليك وصفة $13 \times 24$. اُكتب عمودين. العمود الأيسر: اِبدأ من $13$ و*نصّف*، مهملًا أيّ باقٍ، نزولًا إلى $1$: $13,\ 6,\ 3,\ 1$. والعمود الأيمن: اِبدأ من $24$ و*ضاعِف* العدد نفسه من المرات: $24,\ 48,\ 96,\ 192$. ثم اِشطب كل سطر عدده *الأيسر* زوجي، واجمع الأعداد اليمنى الباقية.

6. نفّذ الوصفة من أجل $13 \times 24$ : فأيّ سطر يُشطب، وأيّ [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) يبقى، وهل يساوي $13 \times 24$ ؟
7. اِضرب $21 \times 17$ بالطريقة (نصّف $21$ ، وضاعِف $17$ )، وتحقّق من الجواب بالضرب العادي.
8. اِضرب $16 \times 25$ بالطريقة. فكم سطرًا ينجو، وما الخاصّ في عمود أيسر يبدأ من $1$ و $2$ و $4$ و $8$ و $16, \dots$ ؟
9. والآن *لماذا* تعمل، خطوة خطوة. بَرِّر كل تساوٍ بالتوزيعية: $$13 \times 24 = (12 + 1) \times 24  = 12 \times 24 + 24 = 6 \times 48 + 24 .$$ والدرس: التنصيف على اليسار والمضاعفة على اليمين يحفظان [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) — لكن حين يكون العدد الأيسر *فرديًّا*، تنفصل نسخة واحدة من العدد الأيمن ويجب إيداعها. فأيّ عدد يودعه السطر الأول من الجدول؟
10. تابع المحاسبة نزولًا في الجدول: $6 \times 48 = 3 \times 96$ ، ثم $3 \times 96 = 1 \times 192 + 96$ ، ثم $1 \times 192 = 192$ . واجمع كل ما أُودع في الطريق، واِشرح لماذا تكون الأعداد المودَعة بالضبط أعداد العمود الأيمن للسطور ذات اليسار الفردي — وهي السطور التي تحتفظ بها الوصفة.

**الجزء الثالث — تحت الغطاء: مجاميع [المضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple).**

11. في السؤال 6، كانت السطور الناجية تساوي $1$ و $4$ و $8$ [مضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) للعدد $24$ : فقد كتبت الطريقة ضمنًا $13 \times 24 = (1 + 4 + 8) \times 24$ . تحقّق من أن $1 + 4 + 8 = 13$ ، وجِد أيّ [المضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) ( $1$ و $2$ و $4$ و $8$ و $16$ ) اِحتفظت بها الطريقة من أجل $21$ في السؤال 7.
12. اُكتب $25$ و $42$ مجموعَي أعداد من قائمة المضاعفة $1, 2, 4, 8, 16, 32$ ، مستعملًا كل واحد مرة واحدة على الأكثر.
13. اِشرح لماذا يمكن كتابة *كل* عدد صحيح بهذه الطريقة: خذ أكبر عدد مضاعفة يدخل فيه، واطرح، وكرّر — ولماذا يجب أن يتوقف هذا؟ واُكتب $100$ مجموعًا كهذا.
14. فعل كتبة مصر هذا بالضبط، قبل أربعة آلاف سنة: فلضرب $19 \times 35$ ، صنعوا جدول مضاعفة للعدد $35$ ( $1 \to 35$ ، و $2 \to 70$ ، و $4 \to 140$ ، و $8 \to 280$ ، و $16 \to 560$ )، واِختاروا السطور التي مجموعها $19$ ، وجمعوها. أنجز الحساب على طريقتهم.
15. الخاتمة: الحاسوب الحديث، الذي يعدّ بالرمزين $0$ و $1$ ، يضرب أساسًا كما يضرب الكتبة — [بالمضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) والجمع. فأيّ ثلاث عمليات جمع يجريها الحاسوب من أجل $13 \times 24$ ؟ (وأما لماذا ينقسم كل عدد إلى [مضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) ، وما علاقة الرمزين $0$ و $1$ بذلك، فمسألة نهاية الأسبوع في فصل القوى: [المسألة 56.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#pb-g8-powers-1) .)

**حل المسألة 45.1.**

**1.** $7 \times 102 = 7 \times (100 + 2) = 700 + 14 =
714$؛ و $9 \times 98 = 9 \times (100 - 2) = 900 - 18 = 882$.

**2.** $17 \times 13 + 17 \times 7 = 17 \times (13 + 7) =
17 \times 20 = 340$؛ و $45 \times 101 - 45 = 45 \times (101
- 1) = 45 \times 100 = 4\,500$.

**3.** $5 \times 87 = 870 \div 2 = 435$. والمشروعية: $5 = 10 \div 2$، إذن الضرب في $5$ هو الضرب في $10$ ثم القسمة على $2$ (وترتيب $\times$ و $\div$ في المستوى نفسه، من اليسار إلى اليمين، يقوم [بالباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder)).

**4.** $25 \times 32 = 3\,200 \div 4 = 800$، لأن $25 = 100 \div 4$. وكذلك $99 \times 47 = (100 - 1) \times 47 = 4\,700 - 47 = 4\,653$: وهي التوزيعية على [الفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) ([المبرهنة 45.6](#thm-g7-priorities-distributivity)).

**5.** $8 \times (5 + 3) = 64$ و $8 \times 5 + 8 \times 3
= 40 + 24 = 64$: فهما يتطابقان — وتلك هي التوزيعية. لكن $8 \times (5 \times 3) = 8 \times 15 = 120$، بينما $(8 \times 5) \times (8 \times 3) = 40 \times 24 = 960$: فلا تطابق. فالعامل ينتشر على *حدود [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def)*، لا على عوامل [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def).

**6.**

| $13$ | $24$ | يُحتفظ به ($13$ فردي) |
| --- | --- | --- |
| $6$ | $48$ | يُشطب ($6$ زوجي) |
| $3$ | $96$ | يُحتفظ به |
| $1$ | $192$ | يُحتفظ به |

[مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الأعداد اليمنى الناجية: $24 + 96 + 192 = 312$، وفعلًا $13 \times 24 = 312$.

**7.** تنصيف $21$: $21, 10, 5, 2, 1$؛ ومضاعفة $17$: $17, 34, 68, 136, 272$. والعددان الأيسران الزوجيان $10$ و $2$ يُشطبان؛ والناجون $17 + 68 + 272 = 357$. والتحقّق: $21 \times 17 = 357$.

**8.** تنصيف $16$: $16, 8, 4, 2, 1$؛ ومضاعفة $25$: $25, 50, 100, 200, 400$. وكل عدد أيسر عدا الأخير $1$ زوجي: فينجو سطر واحد، والجواب $400$. والعمود الأيسر المصنوع من [مضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) صرفة لا يحتفظ إلا بسطره الأخير — فتنحصر الطريقة في المضاعفة وحدها.

**9.** $13 = 12 + 1$، إذن بالتوزيعية $13 \times 24 = 12 \times 24 + 1 \times 24$؛ و $12 \times 24 = 6 \times 48$ لأن تنصيف عامل مع مضاعفة الآخر يترك [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) دون تغيير ($12 \times 24 = 6 \times 2 \times 24 = 6 \times 48$). والعدد الأيسر الفردي $13$ فصل نسخة واحدة من العدد الأيمن: فالسطر الأول يودع $24$.

**10.** $6 \times 48 = 3 \times 96$ (تنصيف ومضاعفة، دون إيداع: فالعدد $6$ زوجي). و $3 \times 96 = 2 \times 96 + 96 =
1 \times 192 + 96$: فالفردي $3$ يودع $96$. وأخيرًا $1 \times 192 = 192$: فالفردي $1$ يودع $192$ وينتهي الجدول. [ومجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) المودَع: $24 + 96 + 192 = 312$. والسطر يودع عدده الأيمن بالضبط حين يكون عدده الأيسر فرديًّا — إذن وصفة «اِحتفظ بالسطور ذات اليسار الفردي واجمع» هي بالضبط محاسبة التوزيعية.

**11.** $1 + 4 + 8 = 13$. ومن أجل $21$، كانت السطور الناجية سطور $17$ و $68 = 4 \times 17$ و $272 = 16 \times 17$: أي [المضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) $1 + 4 + 16 = 21$.

**12.** $25 = 16 + 8 + 1$ و $42 = 32 + 8 + 2$.

**13.** خذ أكبر عدد مضاعفة لا يتجاوز الهدف واطرحه؛ فما يبقى أصغر، وأصغر من عدد المضاعفة المستعمل للتوّ (وإلا لدخل أكبر منه). وبالتكرار، يتقلّص [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) تمامًا ويجب أن يبلغ $0$: فتتوقف العملية، وأعداد المضاعفة المستعملة كلها مختلفة. ومن أجل $100$: يدخل $64$ (فيبقى $36$)، ويدخل $32$ (فيبقى $4$)، ويدخل $4$ (فيبقى $0$): أي $100 = 64 + 32 + 4$.

**14.** جدول مضاعفة العدد $35$: $1 \to 35$، و $2 \to 70$، و $4 \to 140$، و $8 \to 280$، و $16 \to 560$. وبما أن $19 = 16 + 2 + 1$، تُختار تلك السطور: $560 + 70 + 35 = 665$. والتحقّق: $19 \times 35 = 665$.

**15.** الثلاث نفسها التي عند الكاتب والفلاح: $24 + 96 + 192$ — وهي [مضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) العدد $24$ التي اِختارها $13 = 1 + 4 + 8$. وكتابة الأعداد مجاميعَ [مضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) هي بالضبط كتابتها بالرمزين $0$ و $1$؛ والقصة الكاملة تُروى في [المسألة 56.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#pb-g8-powers-1).