---
title: "الأعداد السالبة"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 46
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/46-negative-numbers
---

# الفصل 46 — الأعداد السالبة

درجات الحرارة تحت [الصفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero)، والطوابق تحت الأرض، والمال المستدان: مقادير كثيرة تنزل تحت $0$. والأعداد السالبة تمدّ [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الأعداد إلى يسار [الصفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero). ويعلّم هذا الفصل كيف تُقارَن وكيف تُجمع وتُطرح — أما ضربها فينتظر [الفصل 54](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/54-multiplying-negative-numbers#ch-g8-negprod).

## 46.1 الأعداد النسبية

**تعريف 46.1 (الأعداد النسبية).**

*العدد النسبي* مكوّن من إشارة ($+$ أو $-$) و*مسافة إلى [الصفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero)*: فالعددان $+3$ و $-3$ كلاهما على مسافة $3$ من $0$، في جهتين متقابلتين. والأعداد الموجبة تُكتب عادةً دون إشارتها: $+3 = 3$. والعددان $+3$ و $-3$ *متعاكسان*.

![مستقيم الأعداد ممدودًا إلى اليسار: فالعددان -3 و +3 متعاكسان، على المسافة نفسها من 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-d11f9c05fe48.svg)

*[مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الأعداد ممدودًا إلى اليسار: فالعددان $-3$ و $+3$ [متعاكسان](#def-g7-negatives-def)، على المسافة نفسها من $0$.*

**طريقة 46.2 (مقارنة الأعداد النسبية).**

على [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الأعداد، الأصغر هو الأبعد نحو اليسار. وعمليًّا:

1. العدد السالب أصغر دائمًا من العدد الموجب: $-7 < 2$ ؛
2. وبين موجبين، الترتيب المعتاد؛
3. وبين سالبين، الذي مسافته إلى [الصفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) *أكبر* هو *الأصغر* : $-7 < -2$ .

**مثال 46.3.**

رتّب من الأصغر إلى الأكبر: $3$؛ و $-5$؛ و $0$؛ و $-1.5$؛ و $2.8$. السوالب أولًا، وأشدّها سلبًا في المقدمة:

$$
-5 < -1.5 < 0 < 2.8 < 3 .
$$

## 46.2 جمع الأعداد النسبية

تصوّر [العدد النسبي](#def-g7-negatives-def) حركةً على [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects): فالعدد $+5$ يعني «اِمشِ $5$ خطوات يمينًا»، و $-3$ يعني «اِمشِ $3$ خطوات يسارًا». وجمع الأعداد يعني ربط المشيات.

**طريقة 46.4 (جمع عددين نسبيين).**

1. *الإشارة نفسها* : اِجمع المسافتين، واِحتفظ بالإشارة المشتركة: $(-3) + (-4) = -7$ .
2. *إشارتان متعاكستان* : اِطرح المسافة الأصغر من الأكبر، وخذ إشارة الأكبر: $(-7) + (+2) = -5$ و $(+7) + (-2) = +5$ .
3. [والمتعاكسان](#def-g7-negatives-def) يتلاشيان: $(+4) + (-4) = 0$ .

![الجمع مشيًا: اِنطلاقًا من 0، المشية -3.5 ثم المشية +2 تنتهيان عند (-3.5) + 2 = -1.5.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-c6e3d0f5b921.svg)

*الجمع مشيًا: اِنطلاقًا من $0$، المشية $-3.5$ ثم المشية $+2$ تنتهيان عند $(-3.5) + 2 = -1.5$.*

**مثال 46.5.**

خطوة خطوة، بالتجميع كما يناسب:

$$
\begin{align*}
(-8) + (+3) &= -5 && \text{(إشارتان متعاكستان: } 8 - 3 = 5,
\text{ وإشارة } 8)\\
(-2.5) + (-1.5) &= -4 && \text{(الإشارة نفسها: اِجمع المسافتين)}\\
(+6) + (-9) + (+3) &= (-3) + (+3) = 0 .
\end{align*}
$$

## 46.3 طرح الأعداد النسبية

**مبرهنة 46.6 (قاعدة الطرح).**

طرح [عدد نسبي](#def-g7-negatives-def) هو نفسه *جمع معاكسه*:

$$
a - b = a + (-b) .
$$

**لماذا تعمل.** $a - b$ هو العدد الذي إذا جُمع إلى $b$ أعطى $a$. وتحقّق من أن $a + (-b)$ يقوم بالمهمة: $\bigl(a + (-b)\bigr) + b = a + \bigl((-b) + b\bigr) = a + 0 = a$. ∎

**مثال 46.7.**

كل طرح يصير جمعًا، ثم تنطبق [الطريقة 46.4](#met-g7-negatives-add):

$$
\begin{align*}
5 - 9 &= 5 + (-9) = -4, \\
(-3) - (+4) &= (-3) + (-4) = -7, \\
(-2) - (-6) &= (-2) + (+6) = +4 .
\end{align*}
$$

والسطر الأخير هو المشهور: *فطرح عدد سالب يعني الجمع*. فإسقاط دَين يجعلك أغنى!

**مثال 46.8 (فروق درجات الحرارة).**

في يوم واحد اِنتقلت درجة الحرارة من $-6$ درجة إلى $+9$ درجة. والارتفاع هو [الفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference)

$$
9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \text{ درجة}.
$$

وعلى [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الأعداد: من $-6$ صعودًا إلى $0$ هو $6$ درجات، ومن $0$ إلى $9$ هو $9$ درجات أخرى.

## 46.4 الإحداثيات في المستوي كله

**تعريف 46.9 (إحداثيات بإشارات).**

بمحورين مدرّجين [متعامدين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) يتقاطعان في المبدأ $O$، تأخذ كل نقطة من المستوي إحداثيين نسبيين $(x, y)$: فالإحداثي $x$ السالب يعني يسار المحور العمودي، والإحداثي $y$ السالب يعني تحت المحور الأفقي.

![نقطة في كل رُبع من المستوي. واِقرأ دائمًا الإحداثي الأفقي أولًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-e9a527c0178e.svg)

*نقطة في كل رُبع من المستوي. واِقرأ دائمًا الإحداثي الأفقي أولًا.*

## 46.5 تمارين

**تمرين 46.1 ★.**

أعطِ [معاكس](#def-g7-negatives-def) كل من: $7$؛ و $-3.5$؛ و $0$؛ و $+12$. ثم أكمل: «يكون عددان متعاكسين حين يكون مجموعهما ؟».

**حل التمرين 46.1.**

المعاكسات: $-7$؛ و $+3.5$؛ و $0$ (وهو [معاكس](#def-g7-negatives-def) نفسه)؛ و $-12$. ويكون عددان متعاكسين حين يكون مجموعهما $0$.

**تمرين 46.2 ★.**

اِنسخ وأكمل بالرمز $<$ أو $>$:

$$
-4 \;?\; 1, \qquad
-4 \;?\; -7, \qquad
-2.5 \;?\; -2.4, \qquad
0 \;?\; -0.1 .
$$

**حل التمرين 46.2.**

$-4 < 1$; $-4 > -7$; $-2.5 < -2.4$; $0 > -0.1$.

**تمرين 46.3 ★.**

رتّب من الأصغر إلى الأكبر: $-3$؛ و $2.5$؛ و $-0.5$؛ و $-3.1$؛ و $0$؛ و $1$.

**حل التمرين 46.3.**

$-3.1 < -3 < -0.5 < 0 < 1 < 2.5$.

**تمرين 46.4 ★.**

اِحسب:

$$
(-5) + (-9), \qquad
(-12) + (+7), \qquad
(+3.5) + (-1.5), \qquad
(-6) + (+6).
$$

**حل التمرين 46.4.**

$(-5) + (-9) = -14$; $(-12) + (+7) = -5$; $(+3.5) + (-1.5) = +2$; $(-6) + (+6) = 0$.

**تمرين 46.5 ★.**

حوّل إلى جموع، ثم اِحسب:

$$
4 - 11, \qquad
(-5) - (+3), \qquad
(-7) - (-10), \qquad
0 - (-8).
$$

**حل التمرين 46.5.**

$4 - 11 = 4 + (-11) = -7$.

$(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8$.

$(-7) - (-10) = (-7) + (+10) = +3$.

$0 - (-8) = 0 + (+8) = +8$.

**تمرين 46.6 ★.**

اِحسب بتجميع ذكيّ ([المتعاكسان](#def-g7-negatives-def) أولًا):

$$
(+7) + (-12) + (+3) + (-8), \qquad
(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1).
$$

**حل التمرين 46.6.**

$(+7) + (-12) + (+3) + (-8) = (+10) + (-20) = -10$ (الموجبات معًا، والسوالب معًا).

$(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1) = (-10) + (+10) = 0$.

**تمرين 46.7 ★.**

كانت درجة الحرارة $-3$ درجة هذا الصباح؛ ثم اِرتفعت $8$ درجات خلال النهار، ثم اِنخفضت $12$ درجة في الليل. اُكتب حسابًا واحدًا يعطي درجة الحرارة النهائية، واحسبه.

**حل التمرين 46.7.**

$(-3) + 8 - 12 = 5 - 12 = -7$: فهي $-7$ درجة في الليل.

**تمرين 46.8 ★.**

ضع في نظام إحداثيات: $A(2, 3)$؛ و $B(-3, 1)$؛ و $C(-2, -2)$؛ و $D(3, -1)$؛ و $E(0, -3)$. فأيّ نقطة تقع على محور؟

**حل التمرين 46.8.**

وضع حرّ؛ والنقطة $E(0, -3)$ تقع على المحور العمودي (فإحداثيها الأول هو $0$).

**تمرين 46.9 ★★.**

اِحسب [الفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) بين أعلى درجة حرارة وأدناها: موسكو في يناير، العليا $-4$ درجة، والدنيا $-13$ درجة؛ وهلسنكي، العليا $2$، والدنيا $-9$.

**حل التمرين 46.9.**

موسكو: $(-4) - (-13) = -4 + 13 = 9$ درجات فرقًا. وهلسنكي: $2 - (-9) = 11$ درجة.

**تمرين 46.10 ★★.**

غوّاصة على اِرتفاع $-12$ م (أي اِثني عشر مترًا تحت السطح). فترتفع $7$ م، ثم تنزل $4$ م. فعلى أيّ اِرتفاع تصير؟ وكم يلزمها أن ترتفع بعدُ لتبلغ السطح؟

**حل التمرين 46.10.**

$(-12) + 7 - 4 = -5 - 4 = -9$: فهي عند $-9$ م. ولتبلغ السطح (الارتفاع $0$) عليها أن ترتفع $0 - (-9) = 9$ م.

**تمرين 46.11 ★★.**

ضع النقط $A(-2, 1)$ و $B(2, 1)$ و $C(2, -2)$. وجِد إحداثيَي النقطة $D$ بحيث يكون $ABCD$ مستطيلًا، واِحسب محيطه (عُدّ مربعات الشبكة لأطوال الأضلاع).

**حل التمرين 46.11.**

$D(-2, -2)$: فإحداثيها الأول كإحداثي $A$، وإحداثيها الثاني كإحداثي $C$. والأضلاع: $AB = 4$ (من $-2$ إلى $2$) و $BC = 3$ (من $1$ نزولًا إلى $-2$)، إذن [المحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) $2 \times (4 + 3) = 14$.

**تمرين 46.12 ★★★.**

في المربع السحري أدناه، يجب أن يكون لكل سطر وعمود [وقطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) نفسه. اِنسخه وأكمله:

| $?$ | $-7$ | $0$ |
| --- | --- | --- |
| $-3$ | $-2$ | $?$ |
| $-4$ | $?$ | $?$ |

(اِبدأ بإيجاد [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) السحري مستعملًا [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) الذي يكاد يكتمل.)

**حل التمرين 46.12.**

[القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) الكامل $0, -2, -4$ يعطي [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) السحري $0 + (-2) + (-4) = -6$. ثم، خلية خلية: أعلى اليسار $= -6 - (-7) - 0 = 1$؛ ووسط اليمين $= -6 - (-3) - (-2) =
-1$؛ وأسفل اليمين $= -6 - 0 - (-1) = -5$؛ وأسفل الوسط $= -6 - (-7) - (-2) = 3$.

| $1$ | $-7$ | $0$ |
| --- | --- | --- |
| $-3$ | $-2$ | $-1$ |
| $-4$ | $3$ | $-5$ |

وكل سطر وعمود [وقطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) مجموعه $-6$.

## 46.6 مسألة: سنة الصفر التي لم توجد قطّ

**مسألة 46.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — الأعداد النسبية على خطّ زمن التاريخ: المدد عبر حدّ الحقبتين، وحيلة الفلكيين، ومبدأ التغيّر الصافي

[لمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الأعداد في هذا الفصل توأم مشهور في الواقع: وهو خطّ زمن التاريخ، حيث تمتدّ سنوات ما قبل الميلاد يسارًا وسنوات ما بعده يمينًا. لكن خطّ المؤرّخين يخفي فخًّا أفسد حسابات كثيرة: *فليست هناك سنة [صفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero)* — إذ تلي سنةَ 1 قبل الميلاد مباشرةً سنةُ 1 بعد الميلاد. وتحسب هذه المسألة بدرجات الحرارة والمصاعد والحسابات المصرفية، ثم تصلح [صفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) التاريخ المكسور كما يفعل الفلكيون: بالأعداد النسبية.

**الجزء الأول — تمارين إحماء، وفخّ أول.**

1. قمّة مون بلان على اِرتفاع $+4\,808$ م؛ وشاطئ البحر الميت على $-430$ م. اِحسب [الفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) في الارتفاع بينهما.
2. حساب مصرفي فيه $-45$ يورو (أي كشف). فيودع صاحبه $120$ يورو، ويدفع فاتورة $60$ يورو، ثم يودع $15$ يورو. اُكتب الرصيد سلسلة جموع واحدة واحسبه. وأيّ إيداع واحد كان يعيد المبلغ الأصلي $-45$ إلى $0$ بالضبط؟
3. وُلد يوليوس قيصر سنة $100$ قبل الميلاد ومات سنة $44$ قبل الميلاد. وبعدّ سنوات ما قبل الميلاد أعدادًا سالبة (فسنة $100$ قبل الميلاد هي $-100$ ، وسنة $44$ قبل الميلاد هي $-44$ )، اِحسب $(-44) - (-100)$ : فكم سنة عاش قيصر؟
4. وُلد الإمبراطور أغسطس سنة $63$ قبل الميلاد ومات سنة $14$ بعد الميلاد. والوصفة نفسها تعطي $14 - (-63) = 77$ سنة — لكن المؤرّخين يصرّون على أنه مات عن $76$ . واِعتراضهم: أن العدّ $77$ يمرّ بسنة لم توجد قطّ. فأيّ سنة هي؟
5. يصلح الفلكيون خطّ الزمن بإعادة التسمية: فسنوات ما بعد الميلاد تحتفظ بعددها ( $+14$ تبقى $+14$ )، لكن سنة $1$ قبل الميلاد تصير $0$ ، وسنة $2$ قبل الميلاد تصير $-1$ ، وعمومًا السنة $n$ قبل الميلاد تصير $-(n - 1)$ . حوّل سنة $63$ قبل الميلاد، وأعِد حساب السؤال 4 بأعداد الفلكيين. فهل يرضي الجوابُ المؤرّخين الآن؟

**الجزء الثاني — الحساب عبر الحقبتين.** من الآن فصاعدًا، اِستعمل إعادة تسمية الفلكيين في كل حساب، مع التحويل إلى ما قبل الميلاد وما بعده في النهاية (فالسنة التي تحمل الاسم $0$ أو السالب $-m$ هي سنة المؤرّخين $m + 1$ قبل الميلاد).

6. حوّل إلى أعداد الفلكيين: $1$ قبل الميلاد؛ و $10$ قبل الميلاد؛ و $476$ بعد الميلاد؛ و $753$ قبل الميلاد، وهي السنة الأسطورية لتأسيس روما.
7. كم سنة مرّت من تأسيس روما (سنة $753$ قبل الميلاد) إلى سقوط الإمبراطورية الغربية (سنة $476$ بعد الميلاد)؟
8. مذنّب يعود كل $76$ سنة وظهر سنة $12$ قبل الميلاد. أعطِ سنوات المؤرّخين لظهوراته الثلاثة التالية، وللظهور الذي سبق سنة $12$ قبل الميلاد مباشرةً.
9. كم سنة مرّت من سنة $5$ قبل الميلاد إلى سنة $5$ بعد الميلاد؟ (والجواب المغري هو $10$ ؛ لكن خطّ الزمن يقول غير ذلك.)
10. طفل وُلد سنة $3$ قبل الميلاد بلغ عشر سنوات في أيّ سنة (قبل الميلاد أم بعده)؟

**الجزء الثالث — مبدأ التغيّر الصافي.**

11. *المسافة* بين عددين على [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) هي الأكبر ناقص الأصغر — وهي موجبة دائمًا. اِحسب المسافة بين $-7$ و $-2$ ، ثم بين $-3.5$ و $4.5$ .
12. مصعد ينطلق من الطابق $0$ ويقوم بالحركات $+3$ و $-5$ و $+2$ و $-1$ و $+4$ . اِحسب الطابق النهائي بتجميع ذكيّ ( [الطريقة 46.4](#met-g7-negatives-add) ، والمتعاكسات أولًا حيث أمكن). وهل يغيّر إنجاز الحركات بترتيب مختلف الوجهةَ؟ ولماذا؟
13. يومًا بعد يوم، تتغيّر درجة الحرارة بمقدار $+2$ و $-4$ و $+1$ و $0$ و $-3$ و $+5$ و $-2$ درجة على مدى أسبوع. اِحسب *التغيّر الصافي* . وإذا بدأ الأسبوع عند $-2$ درجة، فأين اِنتهى؟ واُذكر المبدأ: القيمة النهائية $=$ القيمة الابتدائية $+$ ( [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) كل التغيّرات).
14. مشية متجوّلة تعيدها بالضبط إلى اِرتفاع اِنطلاقها. فما الذي يجب أن يكون عليه [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) كل تغيّرات اِرتفاعها، ولماذا؟ ومن تغيّراتها الستة المسجّلة، خمسة هي $+4$ و $-7$ و $+2$ و $+3$ و $-5$ (بمئات الأمتار): فجِد السادس.
15. الخاتمة، عودًا إلى روما. يحسب مؤرّخ: «اِمتدّت الجمهورية من سنة $509$ قبل الميلاد إلى سنة $27$ قبل الميلاد، ثم الإمبراطورية إلى سنة $476$ بعد الميلاد؛ فمن سنة $509$ قبل الميلاد إلى سنة $476$ بعد الميلاد، أي $509 + 476 = 985$ سنة من الدولة الرومانية». أعِد الحساب بأعداد الفلكيين. فما [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الصحيح — وأيّ سنة، مرة أخرى، سبّبت الخطأ؟

**حل المسألة 46.1.**

**1.** $4\,808 - (-430) = 4\,808 + 430 = 5\,238$ م ([المبرهنة 46.6](#thm-g7-negatives-sub): فطرح عدد سالب يعني الجمع).

**2.** الرصيد:

$$
(-45) + 120 + (-60) + 15 = 75 + (-60) + 15 = 15 + 15 = 30
\text{ يورو}.
$$

ولإعادة المبلغ الابتدائي $-45$ إلى $0$، أودِع معاكسه: $45$ يورو.

**3.** $(-44) - (-100) = (-44) + 100 = 56$: فقد عاش قيصر $56$ سنة. (ولا فخّ هنا: فالسنتان في الجهة نفسها من حدّ الحقبتين.)

**4.** إنها السنة $0$: فالعدّ من $-63$ صعودًا إلى $+14$ يمرّ بالسنة $0$، لكن تقويم المؤرّخين يقفز مباشرةً من سنة $1$ قبل الميلاد إلى سنة $1$ بعد الميلاد — فالسنة $0$ لم توجد قطّ، ومنه فالعدّ الساذج أطول بسنة واحدة.

**5.** سنة $63$ قبل الميلاد تصير $-(63 - 1) = -62$. ثم $14 - (-62) = 14 + 62 = 76$ سنة: أي بالضبط رقم المؤرّخين. وعلى خطّ الفلكيين المعاد تسميته لا فجوات، فيعطي الطرح العادي المددَ الحقيقية.

**6.** $1$ قبل الميلاد $\to 0$؛ و $10$ قبل الميلاد $\to -9$؛ وبعد الميلاد $476 \to +476$؛ و $753$ قبل الميلاد $\to -752$.

**7.** $476 - (-752) = 476 + 752 = 1\,228$ سنة.

**8.** سنة $12$ قبل الميلاد هي $-11$. والظهورات التالية: $-11 + 76 = 65$، ثم $141$، ثم $217$: أي السنوات $65$ و $141$ و $217$ بعد الميلاد. وقبلها: $-11 - 76 = -87$، وهي سنة المؤرّخين $87 + 1 = 88$ قبل الميلاد.

**9.** سنة $5$ قبل الميلاد هي $-4$، إذن $5 - (-4) = 9$ سنوات — لا $10$. فسنة [الصفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) المفقودة تضرب كلما عبرت مدّة حدّ الحقبتين.

**10.** سنة $3$ قبل الميلاد هي $-2$؛ وبعد عشر سنوات $-2 + 10 = +8$: فقد بلغ الطفل العاشرة سنة $8$ بعد الميلاد.

**11.** بين $-7$ و $-2$: $(-2) - (-7) = 5$. وبين $-3.5$ و $4.5$: $4.5 - (-3.5) = 8$.

**12.** بتجميع المتعاكسات والأصدقاء:

$$
3 + (-5) + 2 + (-1) + 4
= \bigl(3 + 2\bigr) + (-5) + (-1) + 4
= 0 + (-1) + 4 = +3 :
$$

فينتهي المصعد عند الطابق $3$. والترتيب لا يهمّ: [فمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الأعداد النسبية يمكن إعادة تنظيمه بحرّية (فكل حركة تُمشى على [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) نفسه، والمشية الكلية هي نفسها).

**13.** التغيّر الصافي: $2 + (-4) + 1 + 0 + (-3) + 5 + (-2) = -1$ درجة. واِنطلاقًا من $-2$: تكون درجة الحرارة النهائية $-2 + (-1) = -3$ درجة. وعمومًا، القيمة النهائية هي القيمة الابتدائية زائد [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) كل التغيّرات — ولا حاجة إلى تتبّع الصعود والنزول واحدًا واحدًا.

**14.** العودة إلى البداية تعني تغيّرًا صافيًا $0$: فالصعود والنزول يجب أن يتلاشيا بالضبط. [ومجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) التغيّرات الخمسة المعلومة $4 + (-7) + 2 + 3 + (-5) = -3$، إذن التغيّر السادس هو [المعاكس](#def-g7-negatives-def): $+3$ (أي ثلاثمئة متر صعودًا).

**15.** عند الفلكيين: سنة $509$ قبل الميلاد $\to -508$، و $476 - (-508) = 984$ سنة. وحساب المؤرّخ $509 + 476 = 985$ يعدّ سنة زائدة — ومرة أخرى إنها سنة [الصفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) الشبح، المدرجة صامتةً في الجمع والغائبة عن التاريخ. (وللتحقّق، الحقبتان: الجمهورية من $-508$ إلى $-26$، أي $482$ سنة؛ والإمبراطورية من $-26$ إلى $+476$، أي $502$ سنة؛ و $482 + 502 = 984$.)