---
title: "الكسور: المقارنة والجمع"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 47
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/47-fractions-comparing-and-adding
---

# الفصل 47 — الكسور: المقارنة والجمع

قدّمت السنة السادسة الكسور حصصًا وخوارجَ قسمة مضبوطة ([الفصل 39](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#ch-g6-fractions)). ويتعلّم هذا الفصل *الحساب* بها: التعرّف على الكسور المتساوية، والمقارنة، والجمع والطرح — بمقامات ودّية في الوقت الحاضر؛ وأما الحالة العامّة فتأتي في [الفصل 63](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#ch-g9-fractions).

## 47.1 الكسور المتساوية

**مبرهنة 47.1 (الكسور المتساوية).**

لا يتغيّر [الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) حين يُضرب بسطه ومقامه، أو يُقسمان، على العدد نفسه غير المعدوم:

$$
\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .
$$

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**مثال 47.2.**

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20}$، وفي الاتجاه الآخر $\dfrac{42}{30} = \dfrac{42 \div 6}{30 \div 6}
= \dfrac{7}{5}$ (مختزلًا على $6$).

ولاختبار تساوي $\dfrac{8}{12}$ و $\dfrac{10}{15}$، اِختزلهما معًا: $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ و $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ — نعم، متساويان.

## 47.2 مقارنة الكسور

**طريقة 47.3 (مقارنة كسرين).**

1. *[المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) نفسه* : قارن البسطين: $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ .
2. *أحد المقامين [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) للآخر* : أعِد كتابة [الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) الأخشن، ثم قارن: $\frac{5}{6}$ مقابل $\frac{7}{12}$ : $\frac56 = \frac{10}{12} >  \frac{7}{12}$ .
3. *المقارنة بالعدد $1$ أو $\frac12$* حين يمكن: فالمتراجحة $\frac{9}{8} > 1 > \frac{7}{9}$ تحسم $\frac98$ مقابل $\frac79$ في الحال.

![مقارنة 5/6 و 7/12 على لوحين توأمين: فتقطيع الأسداس إلى نصفين يبيّن أن 5/6 = 10/12، وهو أكثر من 7/12.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-fractions/fig-342a23a205ce.svg)

*مقارنة $\frac56$ و $\frac{7}{12}$ على لوحين توأمين: فتقطيع الأسداس إلى نصفين يبيّن أن $\frac56 = \frac{10}{12}$، وهو أكثر من $\frac{7}{12}$.*

## 47.3 الجمع والطرح

**مبرهنة 47.4 (المقام نفسه).**

الكسور ذات [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) نفسه تُجمع (أو تُطرح) بجمع (أو طرح) البسوط:

$$
\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d},
\qquad
\frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d} .
$$

**لماذا.** $a$ جزءًا [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) كل منها $\frac1d$ زائد $b$ جزءًا من [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) نفسه تعطي $a + b$ جزءًا من ذلك [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume). ∎

**طريقة 47.5 (مقامان مختلفان).**

حين يكون أحد المقامين مضاعفًا للآخر:

1. أعِد كتابة [الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) ذي [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) الأصغر بحيث يصير للاثنين [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) الأكبر ( [المبرهنة 47.1](#thm-g7-fractions-equal) )؛
2. واجمع البسطين أو اِطرحهما؛
3. واِختزل النتيجة إن أمكن.

**مثال 47.6.**

اِحسب $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}$، خطوة خطوة:

1. العدد $8$ [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) للعدد $4$ : فأعِد الكتابة $\dfrac34 = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$ ؛
2. ثم اِجمع: $\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{11}{8}$ ؛
3. ولا شيء يُختزل: فالنتيجة $\dfrac{11}{8}$ ، أي $1 + \dfrac38$ .

ومثال آخر: $2 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{4}{5} =
\dfrac{6}{5}$ (اُكتب العدد الصحيح على [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $5$ أولًا).

**مثال 47.7 (فخّ كلاسيكي).**

$\dfrac12 + \dfrac13$ *ليس* $\dfrac{2}{5}$! فجمع البسوط والمقامات كلًّا على حدة خطأ — إذ إن الجواب $\frac25$ سيكون أصغر من $\frac12$، وهو عبث حين *نجمع* شيئًا موجبًا إلى $\frac12$. ([والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الصحيح، $\frac56$، يحتاج مقامًا مشتركًا هو $6$؛ والطريقة العامّة في [الفصل 63](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#ch-g9-fractions).)

## 47.4 ضرب كسر في عدد

**قضية 47.8 (كسر مضروب في عدد).**

من أجل عدد $k$:

$$
k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b} .
$$

وأخذ $\frac ab$ *من* مقدار يعني الضرب في $\frac ab$.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**مثال 47.9.**

$6 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$: فستّ مرات ثلثين تساوي أربع وحدات. وعبارة «$\frac34$ من $60$ يورو» هي $\frac34 \times 60 = \frac{180}{4} = 45$ يورو — وهو الجواب نفسه الذي تعطيه القسمة على $4$ ثم الضرب في $3$ ([الطريقة 39.8](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#met-g6-fractions-ofquantity)).

## 47.5 تمارين

**تمرين 47.1 ★.**

أكمل: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{?}{20}$؛ $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{?}$؛ $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{?}$؛ $\dfrac{?}{9} = \dfrac{20}{36}$.

**حل التمرين 47.1.**

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{12}$; $\dfrac{5}{9} = \dfrac{20}{36}$.

**تمرين 47.2 ★.**

اِختزل إلى أبسط صورة ممكنة: $\dfrac{12}{16}$؛ $\dfrac{30}{45}$؛ $\dfrac{27}{36}$؛ $\dfrac{48}{12}$.

**حل التمرين 47.2.**

$\dfrac{12}{16} = \dfrac34$; $\dfrac{30}{45} = \dfrac23$; $\dfrac{27}{36} = \dfrac34$; $\dfrac{48}{12} = 4$.

**تمرين 47.3 ★.**

هل $\dfrac{15}{35}$ و $\dfrac{21}{49}$ متساويان؟ وماذا عن $\dfrac{16}{28}$ و $\dfrac{20}{36}$؟ بَرِّر بالاختزال.

**حل التمرين 47.3.**

$\dfrac{15}{35} = \dfrac37$ و $\dfrac{21}{49} = \dfrac37$: متساويان.

$\dfrac{16}{28} = \dfrac47$ و $\dfrac{20}{36} = \dfrac59$: وللمقارنة، $\frac47 = \frac{36}{63}$ و $\frac59 = \frac{35}{63}$ — غير متساويين.

**تمرين 47.4 ★.**

قارن (اُكتب الاستدلال، لا الجواب وحده):

$$
\frac{7}{11} \text{ و } \frac{9}{11}; \qquad
\frac{5}{6} \text{ و } \frac{11}{18}; \qquad
\frac{13}{12} \text{ و } \frac{19}{20}.
$$

**حل التمرين 47.4.**

$\dfrac{7}{11} < \dfrac{9}{11}$ ([المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) نفسه).

$\dfrac56 = \dfrac{15}{18} > \dfrac{11}{18}$.

$\dfrac{13}{12} > 1$ بينما $\dfrac{19}{20} < 1$، إذن $\dfrac{13}{12} > \dfrac{19}{20}$.

**تمرين 47.5 ★.**

اِحسب واِختزل إن أمكن:

$$
\frac{5}{9} + \frac{2}{9}, \qquad
\frac{11}{7} - \frac{4}{7}, \qquad
\frac{5}{8} + \frac{7}{8} .
$$

**حل التمرين 47.5.**

$\dfrac59 + \dfrac29 = \dfrac79$; $\dfrac{11}{7} - \dfrac47 = \dfrac77 = 1$; $\dfrac58 + \dfrac78 = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$.

**تمرين 47.6 ★.**

اِحسب مستعملًا [الطريقة 47.5](#met-g7-fractions-add):

$$
\frac{2}{3} + \frac{5}{6}, \qquad
\frac{7}{10} - \frac{2}{5}, \qquad
\frac{3}{4} + \frac{5}{12} .
$$

**حل التمرين 47.6.**

$\dfrac23 + \dfrac56 = \dfrac46 + \dfrac56 = \dfrac96 = \dfrac32$.

$\dfrac{7}{10} - \dfrac25 = \dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{10} =
\dfrac{3}{10}$.

$\dfrac34 + \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{5}{12} =
\dfrac{14}{12} = \dfrac76$.

**تمرين 47.7 ★.**

اِحسب:

$$
3 - \frac{5}{4}, \qquad
1 + \frac{3}{8}, \qquad
2 - \frac{7}{6} .
$$

**حل التمرين 47.7.**

$3 - \dfrac54 = \dfrac{12}{4} - \dfrac54 = \dfrac74$; $1 + \dfrac38 = \dfrac{11}{8}$; $2 - \dfrac76 = \dfrac{12}{6} - \dfrac76 = \dfrac56$.

**تمرين 47.8 ★.**

اِحسب:

$$
5 \times \frac{3}{10}, \qquad
\frac{7}{8} \times 4, \qquad
\frac{2}{3} \text{ من } 45 .
$$

**حل التمرين 47.8.**

$5 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{10} = \dfrac32$; $\dfrac78 \times 4 = \dfrac{28}{8} = \dfrac72$; $\dfrac23$ من $45$ هو $\dfrac{2 \times 45}{3} = \dfrac{90}{3} = 30$.

**تمرين 47.9 ★★.**

أكل مالك $\frac14$ من بيتزا وأكلت مريم $\frac38$ من البيتزا نفسها. فأيّ [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) من البيتزا أكلا معًا؟ وأيّ [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) بقي؟

**حل التمرين 47.9.**

معًا: $\dfrac14 + \dfrac38 = \dfrac28 + \dfrac38 = \dfrac58$ من البيتزا. [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder): $1 - \dfrac58 = \dfrac38$.

**تمرين 47.10 ★★.**

قارورة فيها $\frac34$ لتر من العصير. تسكب لينا منها $\frac16$ لتر مرتين. فكم عصيرًا يبقى؟ ([المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) المشترك: $12$.)

**حل التمرين 47.10.**

المسكوب: $2 \times \dfrac16 = \dfrac26 = \dfrac13$ لتر. [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder):

$$
\frac34 - \frac13 = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}
\text{ لتر}.
$$

**تمرين 47.11 ★★.**

اِشرح، بحجّة [المثال 47.7](#ex-g7-fractions-trap)، لماذا لا يمكن أن يكون $\frac35 + \frac12$ مساويًا $\frac{4}{7}$، دون حساب [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الصحيح.

**حل التمرين 47.11.**

جمع المقدار الموجب $\frac12$ إلى $\frac35$ يجب أن يعطي نتيجة *أكبر* من $\frac35$. لكن $\frac47 < \frac35$ (فعلًا $\frac47 = \frac{20}{35}$ و $\frac35 = \frac{21}{35}$): [فالمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) المدّعى أصغر من أحد حدّيه — وهذا مستحيل.

**تمرين 47.12 ★★★.**

اِحسب [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def)

$$
\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}
$$

خطوة خطوة (من اليسار إلى اليمين). ولاحِظ نمط المجاميع الجزئية: فأيّ عدد تقترب منه كلما أُضيفت حدود أكثر $\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots$؟

**حل التمرين 47.12.**

خطوة خطوة:

$$
\frac12 + \frac14 = \frac34, \qquad
\frac34 + \frac18 = \frac68 + \frac18 = \frac78, \qquad
\frac78 + \frac1{16} = \frac{14}{16} + \frac1{16} = \frac{15}{16}.
$$

والمجاميع الجزئية $\frac12, \frac34, \frac78, \frac{15}{16}, \dots$ تقترب في كل مرة نصف المسافة الباقية إلى $1$: ففي كل خطوة يُقطع الجزء الناقص إلى نصفين. وتقترب المجاميع من $1$ دون أن تبلغه أبدًا.

## 47.6 مسألة: الكسور المختبئة في ميزان موسيقي

**مسألة 47.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — قيم العلامات كسور يجب أن تتجمّع بالضبط، وعدّ الإيقاع يخفي متتالية مشهورة، والزوجية تحكم إيقاع البلقان

تُكتب الموسيقى بالكسور. فالعلامة الكاملة تدوم $1$ ميزانًا (في الميزان الشائع «أربعة أرباع»)؛ وعلامة النصف تدوم $\frac12$؛ ثم تأتي علامة الربع $\frac14$، وعلامة الثمن $\frac18$ وعلامة الجزء من ستة عشر $\frac{1}{16}$. وقانون واحد لا يُخرق: *[مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) المدد داخل الميزان يجب أن يساوي بالضبط [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الميزان* — أي $1$ في ميزان أربعة أرباع. وكل سؤال أدناه هو حساب هذا الفصل ([المبرهنة 47.4](#thm-g7-fractions-add)، [الطريقة 47.5](#met-g7-fractions-add)) موضوعًا على الموسيقى؛ وستلتقي في الطريق متتالية عدّ اِكتشفها علماء الهند قبل ألف سنة.

**الجزء الأول — علامات يجب أن تتجمّع.**

1. تحقّق من أن كلًّا من هذه الموازين مشروع في ميزان أربعة أرباع: (أ) نصف $+$ ربع $+$ ربع؛ (ب) ربع $+$ ثمن $+$ ثمن $+$ نصف.
2. كتب ناسخ: نصف $+$ ربع $+$ ثمن. فأيّ [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) من الميزان كُتب، وأيّ علامة واحدة تكمله؟
3. كم علامة جزء من ستة عشر تملأ ميزانًا كاملًا؟ وكم جزءًا من ستة عشر يصنع علامة ثمن واحدة؟
4. *النقطة* بعد العلامة تضيف نصف قيمتها: فالنصف المنقوط هو $\frac12 + \frac14$ ، والربع المنقوط هو $\frac14 + \frac18$ . اِحسب القيمتين.
5. تُكتب الفالس في ميزان ثلاثة أرباع: فيجب أن يبلغ كل ميزان $\frac34$ . تحقّق من أن نصفًا منقوطًا واحدًا يملأ ميزان فالس، واُكتب ميزانَي فالس مشروعين آخرين لا تستعمل فيهما إلا الأرباع والأثمان.

**الجزء الثاني — ورشة الناسخ.**

6. ميزان أربعة أرباع يحوي: ربعًا منقوطًا $+$ ثمنًا $+$ ربعًا. فما الناقص؟
7. أيّهما أطول، الثمن المنقوط أم علامة الربع؟ قارن بالأجزاء من ستة عشر.
8. *الرباط* يلصق المدد معًا في صوت واحد طويل: فكم تدوم علامة نصف مربوطة بثمن؟ وكم جزءًا من ستة عشر يساوي ذلك؟
9. [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) علامات ميزان هو $\frac{11}{16}$ ؛ [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) صمت (أي *سكتة* ). فكم تدوم السكتة؟
10. يملأ قارع الطبل علامة ربع واحدة ( $\frac{4}{16}$ من الميزان) مستعملًا الأثمان ( $\frac{2}{16}$ ) والأجزاء من ستة عشر ( $\frac{1}{16}$ ) فقط، مع أهمية الترتيب: فمثلًا ثمن–جزء–جزء، أو جزء–ثمن–جزء. تحقّق من أن المثالين مشروعان، ثم اُذكر *كل* الإيقاعات الممكنة. فكم عددها؟

**الجزء الثالث — متتالية عمرها ألف سنة، وميزان فردي.**

11. لنعُدّ إيقاعات قارع الطبل من أجل علامات أطول. فكل إيقاع ينتهي إما بجزء من ستة عشر وإما بثمن؛ اِشرح لماذا يعطي هذا القاعدة: (الإيقاعات التي تملأ $n$ جزءًا) $=$ (الإيقاعات التي تملأ $n - 1$ ) $+$ (الإيقاعات التي تملأ $n - 2$ ). واِنطلاقًا من إيقاع $1$ لجزء واحد و $2$ لجزأين، اِبنِ الجدول إلى $n = 8$ : فكم إيقاعًا يملأ علامة نصف؟
12. والأعداد التي وجدتها — $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$ — نشرها العالِم الهندي هيماشندرا نحو سنة 1150، عادًّا هذه الإيقاعات بالضبط، قبل جيلين من تدوين فيبوناتشي لها في إيطاليا. اُذكر نمطها المميِّز في جملة واحدة، وتحقّق منه على المداخل الثلاثة الأخيرة من جدولك.
13. يستبدل أسلوب التأرجح بثمنين متساويين زوجًا طويلًا–قصيرًا: $\frac16$ ثم $\frac{1}{12}$ . تحقّق من أن التبديل مشروع (المدّة الكلية نفسها)، مستعملًا [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) المشترك $12$ .
14. *الثلاثية* تحشر ثلاث علامات متساوية في علامة ربع واحدة. فكم تدوم كل علامة (تحقّق من جوابك بضربه في $3$ ، [القضية 47.8](#prop-g7-fractions-mult) )؟ والسؤال نفسه من أجل ثلاث علامات متساوية تملأ علامة نصف.
15. تستعمل موسيقى رقص البلقان ميزان سبعة أثمان: فيبلغ كل ميزان $\frac78$ . تحقّق من أن ربعًا منقوطًا $+$ ربعًا $+$ ربعًا يملؤه. ثم اِشرح لماذا *لا* يمكن لأيّ تركيب من علامات النصف وعلامات الربع وحدها، مهما كثُر، أن يملأ ميزان سبعة أثمان. (عُدّ بالأثمان وفكّر في الزوجي والفردي.)

**حل المسألة 47.1.**

**1.** (أ) $\frac12 + \frac14 + \frac14 = \frac24 + \frac14
+ \frac14 = \frac44 = 1$: مشروع. (ب) $\frac14 + \frac18 +
\frac18 + \frac12 = \frac28 + \frac18 + \frac18 + \frac48 =
\frac88 = 1$: مشروع.

**2.** $\frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac48 + \frac28 +
\frac18 = \frac78$: فتنقص علامة ثمن واحدة.

**3.** الميزان هو $1 = \frac{16}{16}$: أي ست عشرة علامة جزء. والثمن هو $\frac18 = \frac{2}{16}$: أي جزأين.

**4.** النصف المنقوط: $\frac12 + \frac14 = \frac34$. والربع المنقوط: $\frac14 + \frac18 = \frac28 + \frac18 = \frac38$.

**5.** النصف المنقوط يساوي $\frac34$ (السؤال 4): أي ميزان فالس واحد بالضبط. وملء آخر، مثلًا: ربع $+$ ربع $+$ ربع ($\frac14 + \frac14 + \frac14 =
\frac34$)، أو ربع $+$ ثمن $+$ ثمن $+$ ربع ($\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac14 = \frac{2 + 1 + 1 +
2}{8} = \frac68 = \frac34$).

**6.** $\frac38 + \frac18 + \frac14 = \frac38 + \frac18 +
\frac28 = \frac68 = \frac34$: فتنقص علامة ربع واحدة ($\frac14$).

**7.** الثمن المنقوط: $\frac18 + \frac{1}{16} =
\frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$. والربع: $\frac{4}{16}$. فالربع أطول.

**8.** $\frac12 + \frac18 = \frac48 + \frac18 = \frac58$، أي $\frac{10}{16}$: أي عشرة أجزاء من ستة عشر.

**9.** $1 - \frac{11}{16} = \frac{16}{16} - \frac{11}{16}
= \frac{5}{16}$ من الميزان صمت.

**10.** المثالان كلاهما مجموعه $\frac{2 + 1 + 1}{16} =
\frac{4}{16}$: مشروع. وكل الإيقاعات التي تملأ أربعة أجزاء بقطع من $2$ و $1$:

$$
2{+}2, \quad 2{+}1{+}1, \quad 1{+}2{+}1, \quad 1{+}1{+}2, \quad
1{+}1{+}1{+}1 :
$$

أي خمسة إيقاعات.

**11.** الإيقاع الذي يملأ $n$ جزءًا ينتهي إما بجزء واحد — وما يسبقه يملأ $n - 1$ — وإما بثمن — وما يسبقه يملأ $n - 2$. وكل إيقاع يُعدّ مرة واحدة بالضبط بهذه الطريقة، إذن $\text{عدد الطرق}(n) = \text{عدد الطرق}(n-1) + \text{عدد الطرق}(n-2)$. والجدول:

| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| عدد الطرق | $1$ | $2$ | $3$ | $5$ | $8$ | $13$ | $21$ | $34$ |

ويمكن قرع علامة النصف ($8$ أجزاء) في $34$ طريقة. (والحالة $n = 4$ تستعيد الإيقاعات الخمسة في السؤال 10.)

**12.** كل عدد هو [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) العددين اللذين قبله: $3 + 5 = 8$، و $5 + 8 = 13$، و $8 + 13 = 21$، و $13 + 21 = 34$ — وهي القاعدة التي برهن عليها السؤال 11، عمرها ألف سنة وتُعرف الآن بقاعدة فيبوناتشي.

**13.** $\frac16 + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} +
\frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$: أي المدّة نفسها التي لثمنين [مستقيمين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) ($\frac18 + \frac18 = \frac14$). فتبديل التأرجح مشروع.

**14.** كل علامة ثلاثية تدوم $\frac{1}{12}$: والتحقّق، $3 \times \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ ([القضية 47.8](#prop-g7-fractions-mult)). ومن أجل علامة نصف: تدوم كل واحدة $\frac16$، لأن $3 \times \frac16 = \frac36 = \frac12$.

**15.** ربع منقوط $+$ ربع $+$ ربع: بالأثمان، $3 + 2 + 2 = 7$ أثمان $= \frac78$: مشروع. والأنصاف والأرباع تساوي $4$ و $2$ من الأثمان — وكلاهما عدد *زوجي*. [ومجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) [الأعداد الزوجية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) زوجي، لكن ميزان سبعة أثمان يحتاج $7$ أثمان، وهو [عدد فردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd): فهذا مستحيل. ولملء ميزان فردي، لا بدّ أن يظهر شيء فردي — ثمن أو علامة منقوطة.