---
title: "العبارات الحرفية"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 48
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/48-literal-expressions
---

# الفصل 48 — العبارات الحرفية

الحرف في حساب يمثّل عددًا لا نعرفه بعدُ، أو *كل* الأعداد دفعة واحدة: فكتابة $P = 4c$ تعطي [محيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) كل مربع في صيغة واحدة. ويعلّم هذا الفصل اِصطلاحات الكتابة، وكيف تُعوَّض القيم، وكيف تُختزل العبارات البسيطة — وهي بداية الجبر، وتُتابَع في [الفصل 57](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#ch-g8-equations).

## 48.1 الكتابة بالحروف

**تعريف 48.1 (العبارة الحرفية).**

*العبارة الحرفية* حساب يحوي حرفًا أو أكثر، كل منها يمثّل عددًا. واِصطلاحات الكتابة:

- تُحذف إشارة $\times$ قبل حرف أو قوس: $3 \times a = 3a$ ، و $a \times b = ab$ ، و $2 \times (x + 5) = 2(x + 5)$ ؛
- لكنها تبقى بين عددين: [فالجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $3 \times 5$ لا يمكن أن يُكتب $35$ !
- [والجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $a \times a$ يُكتب $a^2$ («مربع $a$ »)، و $a \times a \times a = a^3$ ؛
- و $1a$ يُكتب $a$ ، و $0a$ هو $0$ .

**مثال 48.2.**

بسّط الكتابة:

$$
5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y,
\qquad
a \times 7 = 7a \ \text{(العدد أولًا)},
\qquad
x \times x \times 4 = 4x^2 .
$$

**مثال 48.3 (الصيغ عبارات حرفية).**

من أجل مستطيل طوله $L$ وعرضه $w$: [المحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) $P = 2(L + w)$، [والمساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $A = Lw$. فصيغة واحدة تلخّص المستطيلات التي لا نهاية لعددها دفعة واحدة — وذلك هو مغزى الحروف كله.

![صيغتان صالحتان لكل مستطيل: عوّض قيمتَي L و w لتحصل على أعداد.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-literal/fig-6b29894197b6.svg)

*صيغتان صالحتان لكل مستطيل: عوّض قيمتَي $L$ و $w$ لتحصل على أعداد.*

## 48.2 التعويض

**طريقة 48.4 (حساب قيمة عبارة).**

لحساب قيمة عبارة من أجل قيم معطاة لحروفها:

1. أعِد كتابة العبارة بإرجاع إشارات $\times$ المخفية: فالعبارة $3a + a^2$ هي $3 \times a + a \times a$ ؛
2. وعوّض كل حرف بقيمته، مع الإبقاء على الأقواس حوله عند اللزوم؛
3. ثم اِحسب، محترمًا أولويات [الفصل 45](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/45-priorities-of-operations#ch-g7-priorities) .

**مثال 48.5.**

اِحسب قيمة $E = 3x + x^2$ من أجل $x = 5$:

$$
E = 3 \times 5 + 5 \times 5 = 15 + 25 = 40 .
$$

واِحسب قيمة $F = 2(a + 3b)$ من أجل $a = 4$ و $b = 0.5$:

$$
F = 2 \times (4 + 3 \times 0.5) = 2 \times (4 + 1.5) = 2 \times 5.5
= 11 .
$$

## 48.3 اِختزال العبارات

**قضية 48.6 (تجميع الحدود المتشابهة).**

الحدود التي لها الجزء الحرفي نفسه يمكن تجميعها بجمع أجزائها العددية (وهذه هي التوزيعية، [المبرهنة 45.6](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/45-priorities-of-operations#thm-g7-priorities-distributivity)، مقروءةً بالمقلوب):

$$
5x + 3x = (5 + 3)x = 8x,
\qquad
7a - 2a = 5a .
$$

أما الحدود ذات الأجزاء الحرفية المختلفة (مثل $3x$ و $5y$، أو $x$ و $x^2$) فلا يمكن تجميعها.

**مثال 48.7.**

اِختزل $E = 4x + 7 + 3x + 2$، بترتيب الحدود:

$$
E = (4x + 3x) + (7 + 2) = 7x + 9 .
$$

واِنتبه: $7x + 9$ *ليس* $16x$! اِختبر بالقيمة $x = 1$: $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ و $7 \times 1 + 9 = 16$ متوافقان، لكن $16x$ سيكون أيضًا $16$ — فاختبر بالقيمة $x = 2$: تعطي العبارة الأصلية $8 + 7 + 6 + 2 = 23$، و $7 \times 2 + 9 = 23$، بينما $16 \times 2 = 32$. فالاختزال $7x + 9$ صحيح، و $16x$ خطأ.

**طريقة 48.8 (اِختبار تساوٍ).**

للتحقّق مما إذا كانت عبارتان قد تتساويان من أجل كل قيمة:

1. عوّض القيمة نفسها في كلتيهما، مرتين على الأقلّ (مثلًا $x = 2$ و $x = 10$ ؛ وتجنّب $0$ و $1$ ، فهما يخفيان فروقًا كثيرة جدًّا)؛
2. وإن اِختلفت النتيجتان ولو مرة واحدة، فالعبارتان *غير* متساويتين — فمثال مضادّ واحد يقتل اِدّعاءً عامًّا؛
3. وإن توافقت النتائج، فالتساوي *محتمل* لا غير: إذ يحتاج البرهان إلى الجبر (نشر واِختزال).

**مثال 48.9.**

هل $2(x + 3)$ يساوي $2x + 6$ من أجل كل $x$؟ النشر يبرهن على ذلك: $2(x+3) = 2x + 2 \times 3 = 2x + 6$. وهل $(x + 1)^2$ يساوي $x^2 + 1$؟ اِختبر بالقيمة $x = 2$: $(2+1)^2 = 9$ لكن $2^2 + 1 = 5$. لا — ومثال مضادّ واحد برهان كامل على «لا».

## 48.4 إنتاج العبارات

**مثال 48.10 (من الوضعية إلى العبارة).**

سيارة أجرة تأخذ $4$ يورو زائد $2$ يورو لكل كيلومتر. ومن أجل رحلة من $k$ كيلومترًا يكون الثمن

$$
p = 4 + 2k \quad\text{يورو}.
$$

ومن أجل $k = 7$: $p = 4 + 14 = 18$ يورو. فالعبارة *هي* الجواب العامّ؛ والتعويض ينتج كل جواب خاصّ.

**مثال 48.11 (حيل الأعداد).**

«فكّر في عدد، وضاعِفه، وأضِف $10$، واقسم على $2$، واطرح عددك.» سمِّ العدد $n$ واِتّبع الخطوات:

$$
n \ \to\ 2n \ \to\ 2n + 10 \ \to\ \frac{2n + 10}{2} = n + 5 \ \to\
n + 5 - n = 5 .
$$

فيحصل الجميع على $5$، مهما كان $n$ — فالحروف تشرح السحر.

## 48.5 تمارين

**تمرين 48.1 ★.**

بسّط الكتابة:

$$
7 \times x, \qquad
y \times 3, \qquad
a \times b \times 5, \qquad
x \times x, \qquad
2 \times (a + 4).
$$

**حل التمرين 48.1.**

$7x$; $3y$; $5ab$; $x^2$; $2(a + 4)$.

**تمرين 48.2 ★.**

أعِد إشارات $\times$:

$$
5ab, \qquad
3(x + 2), \qquad
x^2 + 4x, \qquad
2a^3 .
$$

**حل التمرين 48.2.**

$5ab = 5 \times a \times b$; $3(x+2) = 3 \times (x + 2)$; $x^2 + 4x = x \times x + 4 \times x$; $2a^3 = 2 \times a \times a \times a$.

**تمرين 48.3 ★.**

اِحسب القيمة من أجل $x = 3$: $5x + 1$؛ و $x^2$؛ و $2x^2 - x$؛ و $10 - 2x$.

**حل التمرين 48.3.**

من أجل $x = 3$: $5 \times 3 + 1 = 16$؛ و $3 \times 3 = 9$؛ و $2 \times 9 - 3 = 15$؛ و $10 - 6 = 4$.

**تمرين 48.4 ★.**

اِحسب قيمة $3a + 2b$ و $a b + 5$ من أجل $a = 4$ و $b = 1.5$.

**حل التمرين 48.4.**

$3a + 2b = 12 + 3 = 15$; $ab + 5 = 4 \times 1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$.

**تمرين 48.5 ★.**

اِختزل:

$$
8x + 5x, \qquad
9a - 4a + a, \qquad
6y + 2 + 3y + 7, \qquad
5t + 3 - 2t - 3 .
$$

**حل التمرين 48.5.**

$8x + 5x = 13x$; $9a - 4a + a = 6a$; $6y + 2 + 3y + 7 = 9y + 9$; $5t + 3 - 2t - 3 = 3t$.

**تمرين 48.6 ★.**

أعطِ صيغة لكل من: [محيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) مربع طول ضلعه $c$؛ [ومحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) [مثلث متساوي الساقين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) قاعدته $b$ وساقاه $s$؛ وثمن $n$ رغيفًا ثمن الواحد $1.20$ يورو.

**حل التمرين 48.6.**

المربع: $P = 4c$. [والمثلث المتساوي الساقين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles): $P = b + 2s$. والأرغفة: $p = 1.20\,n$ يورو.

**تمرين 48.7 ★.**

اِربط كل عبارة بوصفها: $2n$؛ و $n + 2$؛ و $n^2$؛ و $\frac n2$. والأوصاف: «نصف $n$»؛ و«ضعف $n$»؛ و«مربع $n$»؛ و«أكثر من $n$ باثنين».

**حل التمرين 48.7.**

$2n$: الضعف؛ و $n + 2$: أكثر من $n$ باثنين؛ و $n^2$: المربع؛ و $\frac n2$: النصف.

**تمرين 48.8 ★★.**

مستعملًا [الطريقة 48.8](#met-g7-literal-test)، اِحكم (ببرهان أو مثال مضادّ) هل تصحّ هذه التساويات من أجل كل $x$:

$$
3(x + 4) = 3x + 12; \qquad
2x + 5 = 7x; \qquad
x + x = x^2 .
$$

**حل التمرين 48.8.**

$3(x+4) = 3x + 12$: *صواب* من أجل كل $x$ (بالتوزيعية — وهذا برهان، لا حاجة إلى اِختبار).

$2x + 5 = 7x$: اِختبر $x = 2$: اليسار $9$، واليمين $14$ — *خطأ* عمومًا (فهو لا يصحّ إلا من أجل $x = 1$).

$x + x = x^2$: اِختبر $x = 3$: اليسار $6$، واليمين $9$ — *خطأ* عمومًا (إذ $x + x = 2x$).

**تمرين 48.9 ★★.**

مستطيل عرضه $w$ وطوله يزيد على عرضه $3$ سم.

1. عبّر عن الطول، ثم عن [المحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) ، بدلالة $w$ ، ثم اِختزل.
2. واِحسب [المحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) من أجل $w = 5$ سم، مباشرةً وبصيغتك المختزلة. أهو الجواب نفسه؟

**حل التمرين 48.9.**

*1.* الطول: $w + 3$. [والمحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter):

$$
P = 2\bigl(w + (w + 3)\bigr) = 2(2w + 3) = 4w + 6 .
$$

*2.* من أجل $w = 5$: مباشرةً، الضلعان $5$ و $8$، إذن $P = 2 \times 13 = 26$ سم؛ وبالصيغة، $4 \times 5 + 6 = 26$ سم. وهما متوافقان.

**تمرين 48.10 ★★.**

اِتّبع حيلة [المثال 48.11](#ex-g7-literal-trick) بالحروف: «فكّر في عدد، وأضِف $6$، واِضرب في $3$، واطرح $18$، واقسم على عددك الابتدائي» (بافتراض أنه ليس صفرًا). فماذا يحصل عليه الجميع؟

**حل التمرين 48.10.**

باتّباع الخطوات بالحرف $n$:

$$
n \ \to\ n + 6 \ \to\ 3(n + 6) = 3n + 18 \ \to\ 3n + 18 - 18 = 3n
\ \to\ \frac{3n}{n} = 3 .
$$

فيحصل الجميع على $3$.

**تمرين 48.11 ★★★.**

الشكل أدناه مربع طول ضلعه $a$ حُذف منه ركن مربع طول ضلعه $b$ (والعدد $b$ أصغر من $a$). اُكتب عبارتين مختلفتين لمساحته (واحدة على صورة [فرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference)، وأخرى بقطع الشكل إلى مستطيلين)، وتحقّق من توافقهما من أجل $a = 5$ و $b = 2$.

**حل التمرين 48.11.**

على صورة [فرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference): $A = a^2 - b^2$. وبقطع حرف L إلى مستطيلين: شريط بعرض كامل اِرتفاعه $a - b$، وفوقه مستطيل أضيق:

$$
A = a(a - b) + b(a - b)
$$

(المستطيل السفلي عرضه $a$ واِرتفاعه $a - b$، والمستطيل العلوي عرضه $a - b$ واِرتفاعه $b$ يعطي الصورة $a(a-b) + (a-b)b$ — وهي نفسها). ومن أجل $a = 5$ و $b = 2$: $a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$، و $5 \times 3 + 2 \times 3 = 15 + 6 = 21$. فالعبارتان متوافقتان — وهما كذلك دائمًا: فهذه هي المتطابقة $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ في [الفصل 66](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/66-algebra-and-equations#ch-g9-algebra) متنكّرةً.

## 48.6 مسألة: عرّاف أعواد الثقاب

**مسألة 48.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — الأنماط المتنامية وحدّها ذو الرتبة $n$: ثلاث صيغ لنمط واحد، والنمط المشهور الذي ينكسر عند الخطوة السادسة

ضع أعواد ثقاب في صفّ مربعات: مربع واحد، ثم اِثنان، ثم ثلاثة … فكم عودًا يحتاج الشكل المئة؟ عدّها واحدًا واحدًا يستغرق نهاية الأسبوع كلها؛ وأما *الصيغة بدلالة $n$* فتجيب في الحال عن كل شكل دفعة واحدة — وذلك بالضبط ما وُجدت الحروف من أجله ([المثال 48.3](#ex-g7-literal-formulas)). لكن اِحذر: فهذه المسألة تنتهي بنمط شهير يلعب بنزاهة خمس خطوات ثم يخون كل من وثق به.

**الجزء الأول — صفّ مربعات.** الشكل $1$ مربع من أعواد الثقاب ($4$ أعواد)؛ وكل شكل تالٍ يضيف مربعًا آخر يشترك في ضلع مع سابقه.

1. اُرسم الأشكال من $1$ إلى $4$ وعُدّ أعوادها.
2. اِشرح لماذا يكلّف كل مربع جديد $3$ أعواد إضافية بالضبط، واِستعمل ذلك لتوقّع عدد أعواد الشكل $10$ دون أيّ صيغة.
3. بَرِّر الصيغة: الشكل $n$ يحتاج $3n + 1$ عودًا. (فمن أين تأتي « $+1$ » الوحيدة؟) وتحقّق منها بمقارنتها بالسؤال 1.
4. ويستدلّ أمير بطريقة أخرى: « $4$ أعواد للمربع الأول، ثم $3$ لكل واحد من المربعات $n - 1$ الباقية»، فيعطي $4 + 3(n - 1)$ . اُنشر عبارته واِختزلها ( [القضية 48.6](#prop-g7-literal-reduce) ): فهل يوافق السؤال 3؟
5. وتعدّ لينا بطريقة ثالثة: « $2n$ عودًا أفقيًّا، و $n + 1$ عودًا عموديًّا.» اُكتب صيغتها، واِختزلها، واِستنتج. ثم أجب عن السؤال الافتتاحي: كم عودًا يحتاج الشكل $100$ ؟

**الجزء الثاني — المثلثات والطاولات والسير إلى الوراء.**

6. صفّ مثلثات من أعواد الثقاب (كل مثلث جديد يتّكئ على السابق): عُدّ الأعواد من أجل $1$ و $2$ و $3$ مثلثات، ثم بَرِّر الصيغة $2n + 1$ من أجل $n$ مثلثًا.
7. والسير إلى الوراء: بعدد $49$ عودًا بالضبط، كم مثلثًا يمكن أن يضمّ الصفّ؟ (اِعكس الصيغة خطوة خطوة.)
8. طاولات ولائم مربعة تُجلس ضيفًا واحدًا على كل ضلع حرّ. وحين تُضمّ $n$ طاولة في صفّ واحد طويل، اِشرح لماذا تكون صيغة المقاعد $2n + 2$ ، وتحقّق منها من أجل $1$ و $2$ و $3$ طاولات.
9. حفلة تتوقّع $30$ ضيفًا. فكم طاولة يحتاج صفّ واحد؟ ثم يقسم المُطعِم الطاولات نفسها إلى صفّين من سبع: فكم ضيفًا يتّسع الآن؟ اِشرح الكسب بالصيغة.
10. نمط النقط: الشكل $n$ هو حرف L من النقط، اِرتفاعه $n$ نقطة وعرضه $n$ نقطة (والركن يُعدّ مرة واحدة). عُدّ نقط الأشكال $1$ و $2$ و $3$ ، وجِد الصيغة، وسمِّ الأعداد التي تنتجها. (وبتكديسها معًا، تبلّط هذه الحروف مربعًا — وهي قصة تُتابَع في [المسألة 57.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#pb-g8-equations-1) .)

**الجزء الثالث — ثِق، واِختبر، وبَرهِن.**

11. يدّعي زميل أن الشكل $n$ من الجزء الأول يحتاج $3(n + 2) - 5$ عودًا. اِحسم الادّعاء بالنشر والاختزال — دون حاجة إلى اِختبار.
12. «التربيع يكبّر الأعداد، إذن $n^2 \geq n$ من أجل كل عدد $n$ .» اِختبر الادّعاء من أجل $n = 2$ و $3$ و $10$ ؛ ثم جِد عددًا يفشل فيه. فماذا برهنت الاختبارات الثلاثة الناجحة، وماذا يبرهن الفشل الواحد ( [الطريقة 48.8](#met-g7-literal-test) )؟
13. علّم نقطًا على دائرة واُرسم *كل* [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) بينها، ثم عُدّ المناطق داخل الدائرة. اِفعل ذلك من أجل $2$ و $3$ و $4$ و $5$ نقط (وضع النقط بتباعد غير منتظم، بحيث لا تتقاطع ثلاث قطع في نقطة داخلية واحدة). سجّل الأعداد. فأيّ صيغة يهمس بها النمط؟
14. والآن $6$ نقط، مرسومة كبيرة وبتباعد غير منتظم، مع العدّ بعناية شديدة (فالمناطق الصغيرة كثيرة). فكم منطقة تجد — وماذا حلّ بالتخمين؟
15. والدرس، في جملتين: ما الذي كان يلزم *للبرهنة* على تخمين المضاعفة، ولماذا لم تكن صيغ أعواد الثقاب في الجزأين الأول والثاني في مثل هذا الخطر قطّ؟ واِحتفل بتوقّع مبرهن عليه: كم عودًا يحتاج صفّ $2\,026$ مربعًا؟

**حل المسألة 48.1.**

**1.** الأشكال من $1$ إلى $4$ تحتاج $4$ و $7$ و $10$ و $13$ عودًا.

**2.** المربع الجديد يشترك في ضلع واحد مع الشكل السابق، فلا يكون جديدًا إلا $3$ من أضلاعه $4$. واِنطلاقًا من الشكل $4$ ($13$ عودًا)، تكلّف ستة مربعات أخرى $6 \times 3 = 18$: فالشكل $10$ يحتاج $13 + 18 = 31$ عودًا.

**3.** بقراءة الصفّ من اليسار: يبدأ بعود عمودي واحد، ثم يسهم كل واحد من المربعات $n$ بضلع أعلى وضلع أسفل وضلع أيمن — أي $3$ أعواد لكل مربع. [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def): $3n + 1$؛ و«$+1$» هي أول عود عمودي. والتحقّق: $n = 1, 2, 3, 4$ تعطي $4, 7, 10, 13$.

**4.** $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$: فصيغة أمير تنتشر إلى العبارة المختزلة نفسها بالضبط. فالتوافق تامّ.

**5.** لينا: $2n + (n + 1) = 3n + 1$ — وهي نفسها من جديد. ثلاث طرق للرؤية، وصورة مختزلة واحدة. والشكل $100$: $3 \times 100 + 1 = 301$ عودًا.

**6.** الأعداد: $3$ و $5$ و $7$ أعواد. وكل مثلث جديد يتّكئ على ضلع موجود ولا يضيف إلا $2$ عودين، اِنطلاقًا من $3$: فالشكل $n$ يحتاج $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$ عودًا.

**7.** اِعكس $2n + 1 = 49$: فنزع العود الأول يترك $48$، ثم يقابل كل مثلث $2$: $48 \div 2 = 24$ مثلثًا.

**8.** في صفّ من $n$ طاولة، تقدّم كل طاولة ضلعها الأعلى والأسفل ($2n$ مقعدًا)، وتقدّم الطاولتان الطرفيتان ضلعًا إضافيًّا لكل منهما ($+2$): أي $2n + 2$ مقعدًا. والتحقّق: $4$ و $6$ و $8$ من أجل $n = 1, 2, 3$.

**9.** صفّ واحد: $2n + 2 \geq 30$ يحتاج $2n \geq 28$، إذن $14$ طاولة. وبقسمة الطاولات $14$ نفسها إلى صفّين من $7$: يجلس في كل صفّ $2 \times 7 + 2 = 16$، ومعًا $32$ — أي اِثنان أكثر من الصفّ الواحد، لأن كل صفّ جديد يجلب طرفين جديدين. (وكل قسمة تكسب $2$ مقعدين؛ والمُطعِمون يعرفون ذلك.)

**10.** حرف L ذو [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $n$ فيه $n$ نقطة صاعدة و $n$ نقطة عرضية، مع اِشتراك نقطة الركن: أي $n + n - 1 = 2n - 1$ نقطة. والأشكال $1$ و $2$ و $3$: $1$ و $3$ و $5$ نقط — وهي *[الأعداد الفردية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. وبتعشيش كل واحد حول الذي يليه، تملأ الحروف مربع نقط $n \times n$: وهي قصة [المسألة 57.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#pb-g8-equations-1).

**11.** $3(n + 2) - 5 = 3n + 6 - 5 = 3n + 1$: فالادّعاء يُختزل إلى الصيغة المبرهن عليها، إذن هو صحيح من أجل كل $n$ — ثبت بالجبر، لا بالأمثلة.

**12.** الاختبارات: $4 \geq 2$ و $9 \geq 3$ و $100 \geq 10$: وكلها تنجح. لكن $n = 0.5$ تعطي $n^2 = 0.25 < 0.5$: فيفشل الادّعاء. ولم تبرهن الاختبارات الثلاثة على شيء بخصوص *كل* الأعداد (فهي لم تفشل إلا في إيجاد مشكلة)؛ أما المثال المضادّ الواحد *فيبرهن* على أن الادّعاء العامّ خطأ ([الطريقة 48.8](#met-g7-literal-test)). فالحرف يمثّل كل عدد — [والأعداد العشرية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places) منها.

**13.** المناطق: $2$ نقطتان $\to 2$؛ و $3$ نقط $\to 4$؛ و $4$ نقط $\to 8$؛ و $5$ نقط $\to 16$. ويهمس النمط بأن «كل نقطة تضاعف العدد»: فتُتوقَّع $32$ منطقة من أجل $6$ نقط.

**14.** العدّ الدقيق يعطي $31$ منطقة — لا $32$. فتخمين المضاعفة ميّت: نجا من أربعة فحوص وفشل في الخامس. (وهذا المثال المضادّ مشهور بما يكفي ليكون له اِسم، «فخّ مناطق الدائرة»؛ ولا اِختصارات بتباعد منتظم — فتلاقي ثلاثة أوتار في نقطة واحدة يدمج المناطق ويفسد العدّ.)

**15.** كان البرهان يحتاج سببًا *بنيويًّا* لكون إضافة نقطة تضاعف المناطق — ولا سبب كهذا: فالمضاعفة كانت مصادفة في الحالات الصغيرة. وأما صيغ أعواد الثقاب فكانت آمنة لأن كل واحدة قُرئت من البناء نفسه (فكل مربع يكلّف ظاهرًا $3$ أعواد، وكل طاولة تقدّم ظاهرًا $2$ مقعدين): بنية لا اِختبارًا. والتوقّع المبرهن عليه: $3 \times 2\,026 + 1 = 6\,079$ عودًا.