---
title: "التناسب"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 49
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/49-proportionality
---

# الفصل 49 — التناسب

اِلتقت السنة السادسة جداول [التناسب](#def-g7-prop-table) ([الفصل 44](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/44-proportionality-and-data#ch-g6-propdata))؛ ويحوّل هذا الفصل [التناسب](#def-g7-prop-table) أداةً كاملة النموّ: قاعدة الضرب المتقاطع لإيجاد قيمة رابعة، والنسب المئوية، وسلالم الخرائط [والمجسّمات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) المصغّرة. وأما السرعة، وهي أشهر التناسبات جميعًا، فتُدرس في [الفصل 61](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/61-proportionality-speed-and-averages#ch-g8-speed).

## 49.1 التعرّف على الجداول وإكمالها

**تعريف 49.1 (جدول التناسب).**

جدول من سطرين هو *جدول تناسب* حين تكون أعداد السطر الثاني هي أعداد الأول مضروبةً في عدد ثابت واحد، وهو *المعامل*. وبعبارة مكافئة: كل خوارج قسمة الأعمدة $\frac{\text{الأسفل}}{\text{الأعلى}}$ متساوية.

**مثال 49.2.**

| الأعلى | $4$ | $10$ | $14$ |
| --- | --- | --- | --- |
| الأسفل | $6$ | $15$ | $21$ |

[خوارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder): $\frac64 = 1.5$، و $\frac{15}{10} = 1.5$، و $\frac{21}{14} = 1.5$: إذن متناسب، ومعامله $1.5$.

**مبرهنة 49.3 (قاعدة الضرب المتقاطع).**

في [جدول تناسب](#def-g7-prop-table) عموداه $\begin{pmatrix} a \\ b
\end{pmatrix}$ و $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$، يتساوى الجداءان المتقاطعان:

$$
a \times d = b \times c .
$$

ومنه يمكن حساب القيمة الرابعة من الثلاث الأخرى: $d = \dfrac{b \times c}{a}$.

**برهان.** ليكن $k$ المعامل: $b = ka$ و $d = kc$. إذن

$$
a \times d = a \times kc = k \times ac,
\qquad
b \times c = ka \times c = k \times ac :
$$

فكلا الجداءين المتقاطعين يساوي $k \times ac$. وبقسمة $ad = bc$ على $a$ نحصل على صيغة $d$. ∎

**مثال 49.4 (الرابع المتناسب).**

إذا كانت $7$ كتب متطابقة كتلتها $2.8$ كغ، فكم تبلغ [كتلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) $12$ كتابًا مثلها؟ الجدول وقاعدة الضرب المتقاطع:

| الكتب | $7$ | $12$ |
| --- | --- | --- |
| كغ | $2.8$ | $m$ |

$$
7 \times m = 2.8 \times 12
\quad\Longrightarrow\quad
m = \frac{2.8 \times 12}{7} = \frac{33.6}{7} = 4.8 \text{ كغ}.
$$

والتحقّق بالوحدة: كتاب واحد كتلته $0.4$ كغ، واثنا عشر كتلتها $4.8$ كغ.

## 49.2 النسب المئوية

**طريقة 49.5 (تطبيق النسب المئوية وإيجادها).**

1. *تطبيق* $t\,\%$ : اِضرب في $\frac{t}{100}$ (و $12\,\%$ من $350$ هي $0.12 \times 350 = 42$ )؛
2. *وإيجاد* النسبة المئوية التي يمثّلها جزء: اِحسب $\frac{\text{الجزء}}{\text{الكلّ}}$ وأعِد كتابتها على [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $100$ (فالعدد $21$ من $60$ : $\frac{21}{60} = \frac{35}{100} = 35\,\%$ )؛
3. واِسأل دائمًا: *نسبة مئوية من ماذا؟* فالكلّ المرجعي مهمّ.

**مثال 49.6.**

في مدرسة، $180$ من التلاميذ $400$ بنات. والنسبة المئوية:

$$
\frac{180}{400} = \frac{180 \div 4}{400 \div 4} = \frac{45}{100}
= 45\,\% .
$$

وفي الاتجاه الآخر: كم يبلغ الأولاد $55\,\%$؟ $0.55 \times 400 = 220$. والتحقّق: $180 + 220 = 400$.

## 49.3 السلالم

**تعريف 49.7 (السلّم).**

على خريطة أو [مجسّم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) مصغّر ذي *سلّم* $\frac{1}{n}$ (يُكتب $1 : n$)، تكون المسافات على الخريطة متناسبة مع المسافات الحقيقية، بمعامل $\frac1n$:

$$
\text{المسافة على الخريطة} = \frac{1}{n} \times \text{المسافة الحقيقية},
$$

وكلتاهما مقيستان *بالوحدة نفسها*.

**مثال 49.8.**

على خريطة $1 : 50\,000$، تبعد مدينتان $7$ سم إحداهما عن الأخرى. والمسافة الحقيقية:

$$
7 \times 50\,000 = 350\,000 \text{ سم} = 3\,500 \text{ م} = 3.5
\text{ كم}.
$$

وبالعكس، مسار مشي طوله $12$ كم يقيس على الخريطة $12$ كم $= 1\,200\,000$ سم، إذن $1\,200\,000 \div 50\,000 = 24$ سم.

![السلّم تناسب: فمسافات الخريطة مقابل المسافات الحقيقية تصطفّ على مستقيم يمرّ بالمبدأ (وهنا 1 سم 4 كم؛ والخطوط المتقطّعة تقرأ 7 سم 28 كم).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-prop/fig-f81b19090fec.svg)

*[السلّم](#def-g7-prop-scale) [تناسب](#def-g7-prop-table): فمسافات الخريطة مقابل المسافات الحقيقية تصطفّ على [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) يمرّ بالمبدأ (وهنا $1$ سم $\leftrightarrow$ $4$ كم؛ والخطوط المتقطّعة تقرأ $7$ سم $\leftrightarrow$ $28$ كم).*

**ملاحظة 49.9.**

المنحنيات أسرع اِختبار [للتناسب](#def-g7-prop-table) ([الفصل 44](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/44-proportionality-and-data#ch-g6-propdata)): فالنقط الواقعة على [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) *يمرّ بالمبدأ* تعني مقادير متناسبة؛ [والمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الذي لا يمرّ بالمبدأ (مثل أجرة سيارة أجرة فيها مبلغ ثابت) يعني *عدم* [التناسب](#def-g7-prop-table)، وإن كان مستقيمًا. والدوال التآلفية، في [الفصل 67](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/67-linear-and-affine-functions#ch-g9-linfunc)، ستدقّق هذا.

## 49.4 تمارين

**تمرين 49.1 ★.**

أيّ الجداول جداول [تناسب](#def-g7-prop-table)؟ أعطِ المعامل حين يوجد.

|  | $3$ | $7$ | $11$ |
| --- | --- | --- | --- |
|  | $7.5$ | $17.5$ | $27.5$ |

|  | $2$ | $5$ | $9$ |
| --- | --- | --- | --- |
|  | $6$ | $15$ | $28$ |

**حل التمرين 49.1.**

الجدول الأول: [خوارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $\frac{7.5}{3} = 2.5$، و $\frac{17.5}{7} = 2.5$، و $\frac{27.5}{11} = 2.5$: إذن متناسب، ومعامله $2.5$.

الجدول الثاني: $\frac62 = 3$ و $\frac{15}{5} = 3$، لكن $\frac{28}{9} \approx 3.1$: إذن غير متناسب.

**تمرين 49.2 ★.**

أكمل مستعملًا قاعدة الضرب المتقاطع، مع كتابة الحساب: $5$ كغ من البطاطا ثمنها $6$ يورو؛ فكم ثمن $8$ كغ؟

**حل التمرين 49.2.**

بقاعدة الضرب المتقاطع: $5 \times p = 6 \times 8$، إذن $p = \frac{48}{5} = 9.60$ يورو.

**تمرين 49.3 ★.**

طابعة تطبع $36$ صفحة في $3$ دقائق. وبالوتيرة نفسها، كم صفحة في $5$ دقائق؟ وكم من الوقت من أجل $96$ صفحة؟

**حل التمرين 49.3.**

الوتيرة: $36 \div 3 = 12$ صفحة في الدقيقة. وفي $5$ دقائق: $60$ صفحة. ومن أجل $96$ صفحة: $96 \div 12 = 8$ دقائق.

**تمرين 49.4 ★.**

اِحسب: $30\,\%$ من $250$؛ و $15\,\%$ من $60$؛ و $t\,\%$ بحيث تكون $t\,\%$ من $80$ هي $20$.

**حل التمرين 49.4.**

$30\,\%$ من $250$: $0.3 \times 250 = 75$. و $15\,\%$ من $60$: $0.15 \times 60 = 9$. و $t\,\%$ من $80$ هي $20$: $\frac{20}{80} = \frac{25}{100}$، إذن $t = 25$.

**تمرين 49.5 ★.**

من بين $25$ تسديدة، سجّلت لاعبة كرة سلة $18$. فما نسبة نجاحها المئوية؟ (أعِد كتابة [الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) على [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $100$.)

**حل التمرين 49.5.**

$\frac{18}{25} = \frac{18 \times 4}{25 \times 4} = \frac{72}{100} =
72\,\%$.

**تمرين 49.6 ★.**

على خريطة $1 : 25\,000$، يقيس مسار $9$ سم. فما طوله الحقيقي بالكيلومتر؟ وبحيرة طولها $2$ كم: فكم يبلغ طولها على الخريطة؟

**حل التمرين 49.6.**

المسار: $9 \times 25\,000 = 225\,000$ سم $= 2.25$ كم. والبحيرة: $2$ كم $= 200\,000$ سم على الأرض، إذن $200\,000 \div 25\,000 = 8$ سم على الخريطة.

**تمرين 49.7 ★.**

سيارة مصغّرة مبنية [بسلّم](#def-g7-prop-scale) $1 : 43$. والسيارة الحقيقية طولها $4.3$ م. فكم يبلغ طول المصغّرة، بالسنتيمتر؟

**حل التمرين 49.7.**

$4.3$ م $= 430$ سم، و $430 \div 43 = 10$ سم.

**تمرين 49.8 ★★.**

وصفة تستعمل $240$ غ من الشوكولاتة من أجل $8$ حصص. وعند أمينة $300$ غ من الشوكولاتة. فلكم حصة تكفي (عدد صحيح من الحصص)؟

**حل التمرين 49.8.**

الشوكولاتة لكل حصة: $240 \div 8 = 30$ غ. ومع $300$ غ: $300 \div 30 = 10$ حصص بالضبط.

**تمرين 49.9 ★★.**

ينخفض ثمن سترة من $80$ إلى $60$ يورو.

1. فما التخفيض باليورو؟ وبالنسبة المئوية من الثمن الأصلي؟
2. ثم يعود الثمن فيرتفع من $60$ إلى $80$ يورو. اِشرح لماذا لا يكون هذا الارتفاع $25\,\%$ — واِحسب النسبة المئوية الصحيحة للزيادة.

**حل التمرين 49.9.**

*1.* التخفيض: $20$ يورو، أي $\frac{20}{80} = 25\,\%$ من الثمن الأصلي.

*2.* الارتفاع البالغ $20$ يورو يُقارن الآن بالمرجع *الجديد* $60$: $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$. فالنسبة المئوية تُنسب دائمًا إلى كلّ؛ وقد تغيّر الكلّ، فتغيّرت النسبة أيضًا.

**تمرين 49.10 ★★.**

سطرا جدول متناسبان:

|  | $4$ | $x$ | $10$ |
| --- | --- | --- | --- |
|  | $y$ | $10.5$ | $17.5$ |

جِد المعامل، ثم $x$ و $y$.

**حل التمرين 49.10.**

المعامل من العمود الكامل: $\frac{17.5}{10} = 1.75$. ثم $y = 4 \times 1.75 = 7$ و $x = \frac{10.5}{1.75} = 6$.

**تمرين 49.11 ★★★.**

آلة نسخ تصغّر الوثائق إلى $80\,\%$ من حجمها. وتُنسخ [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) طولها $10$ سم، ثم تُنسخ *النسخة* من جديد بالضبط نفسه.

1. فكم يبلغ طول [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) بعد نسخة واحدة؟ وبعد نسختين؟
2. ولماذا لا يكون الجواب بعد نسختين $60\,\%$ من الأصل؟ وأيّ نسبة مئوية واحدة توافق نسختين؟

**حل التمرين 49.11.**

*1.* بعد نسخة واحدة: $10 \times 0.8 = 8$ سم. وبعد نسختين: $8 \times 0.8 = 6.4$ سم.

*2.* التصغير الثاني ينطبق على النسخة المصغَّرة أصلًا، لا على الأصل: فالمعاملان يتضاربان، $0.8 \times 0.8 = 0.64$، إذن نسختان تصغّران إلى $64\,\%$ من الأصل — لا $60\,\%$.

## 49.5 مسألة: قياس الأرض بعصا

**مسألة 49.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — الظلال تناسب، وكيف حسب إراتوستينس محيط الأرض سنة 240 قبل الميلاد

قبل اِثنين وعشرين قرنًا، دون منظار ولا قمر اِصطناعي ولا آلة حاسبة، قاس أمين مكتبة الإسكندرية الأرض — بعصا وبئر وقافلة جِمال ورياضيات هذا الفصل. وتعيد هذه المسألة تتبّع خطواته: أولًا [تناسب](#def-g7-prop-table) الظلال، ثم الحساب المشهور نفسه، وأخيرًا كيف يبدو جوابه على [السلّم](#def-g7-prop-scale) البشري.

**الجزء الأول — ظلّ عصا.** الشمس بعيدة جدًّا حتى إن أشعتها تبلغنا متوازية بعضها مع بعض. وفي لحظة معطاة، تكون كل الأشياء العمودية وظلالها متناسبة إذن.

1. عند الظهر، تلقي عصا عمودية طولها $1$ م ظلًّا طوله $0.4$ م، ويقيس ظلّ شجرة $3.2$ م. فكم يبلغ طول الشجرة ( [المبرهنة 49.3](#thm-g7-prop-cross) )؟
2. وفي اللحظة نفسها، يلقي برج ظلًّا طوله $26$ م: فكم يبلغ اِرتفاع البرج؟ وكم يبلغ طول ظلّ طفل طوله $1.5$ م؟
3. اِشرح في جملة واحدة لماذا لا تصحّ هذه الحسابات كلها إلا في *اللحظة نفسها* من النهار.
4. تقول الأسطورة إن طاليس قاس [الهرم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الأكبر باِنتظار اللحظة التي يكون فيها *ظلّه هو نفسه بطول قامته بالضبط* . فما معامل [التناسب](#def-g7-prop-table) في تلك اللحظة، وكم يبلغ اِرتفاع [الهرم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) إذا كان طرف ظلّه يبعد $147$ م عن نقطة الأرض الواقعة تحت قمّته مباشرةً؟
5. لخّص الجزء الأول: في لحظة معطاة، أيّ مقدار يكون هو نفسه للعصا والشجرة والبرج [والهرم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ( [التعريف 49.1](#def-g7-prop-table) )؟

**الجزء الثاني — حساب إراتوستينس.** عرف إراتوستينس واقعتين. ففي مدينة أسوان، عند الظهر في اِنقلاب الصيف، كانت الشمس *فوق [الرؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) تمامًا*: فيبلغ ضوءها قاع أعمق الآبار، ولا تلقي العصيّ العمودية ظلًّا. وفي الإسكندرية، على بُعد $800$ كم شمالًا تمامًا، في اللحظة نفسها، كانت عصا عمودية *تلقي* ظلًّا، وتصنع أشعة الشمس زاوية $7.2^\circ$ مع العمودي.

6. اِشرح لماذا يبرهن هذان الرصدان معًا على أن أرض أسوان وأرض الإسكندرية ليستا متوازيتين — أي إن سطح الأرض منحنٍ. (فماذا كانت الأشعة المتوازية تفعل بعصوين على أرض مسطّحة؟)
7. على رسم للأرض المدوّرة بأشعة شمس متوازية، تظهر الزاوية $7.2^\circ$ التي في الإسكندرية من جديد في مركز الأرض، زاويةً بين اِتجاهَي المدينتين. اُرسم الرسم واِقتنع بذلك (والتبرير النظيف يستعمل أزواج الزوايا المتساوية في [الفصل 51](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/51-triangles-and-angles#ch-g7-triangles) ).
8. وأيّ [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) من الدورة الكاملة هي $7.2^\circ$ ؟
9. القوس من أسوان إلى الإسكندرية ( $800$ كم) يوافق $7.2^\circ$ ؛ [والمحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) كله يوافق $360^\circ$ . أقِم [التناسب](#def-g7-prop-table) واِحسب [محيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) الأرض.
10. اِستنتج [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) الأرض، مستعملًا $\pi \approx  3.14$ ( [القضية 43.3](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#prop-g6-measure-circle) ) [والتقريب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-rounding) إلى أقرب مئة كيلومتر. (والقيمة الحديثة هي $12\,742$ كم — فكم كان قريبًا رجل بعصا سنة 240 قبل الميلاد؟)

**الجزء الثالث — الأرض على [السلّم](#def-g7-prop-scale) البشري.**

11. كرة أرضية مبنية [بسلّم](#def-g7-prop-scale) $1 : 40\,000\,000$ . وباستعمال [المحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) الموجود في السؤال 9، بيّن أن [محيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) الكرة هو $1$ م بالضبط. فما قطرها، إلى أقرب سنتيمتر؟
12. يرتفع مون بلان نحو $4.8$ كم. حوّل $4.8$ كم إلى سنتيمترات، واقسم على $40\,000\,000$ ، وعبّر عن اِرتفاع الجبل على الكرة بالميليمتر. فماذا يقول الجواب عن مقدار «تضرّس» الأرض حقًّا؟
13. يقطع ماشٍ $40$ كم في اليوم. فبهذه الوتيرة، كم يومًا يلزم [لمحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) إراتوستينس كله — وكم سنة يساوي ذلك تقريبًا؟
14. الجوّ الصالح للتنفّس مركّز تقريبًا في أول $10$ كم فوق الأرض. فأيّ نسبة مئوية من [نصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) الأرض (نحو $6\,370$ كم) هي تلك ( [الطريقة 49.5](#met-g7-prop-percent) )؟ قرّب إلى أقرب عُشر من النسبة.
15. يقدّر المؤرّخون أن القيمة التي أعلنها إراتوستينس، محوّلةً إلى الوحدات الحديثة، ربما كانت نحو $42\,000$ كم. وبأخذ $40\,000$ كم قيمةً حقيقية، اِحسب نسبة خطئه المئوية. واختم بجملة واحدة عن العصيّ والآبار [والتناسب](#def-g7-prop-table) .

**حل المسألة 49.1.**

**1.** الارتفاعات والظلال متناسبة، إذن بقاعدة الضرب المتقاطع ([المبرهنة 49.3](#thm-g7-prop-cross))، مع عمود العصا $(1,\ 0.4)$ وعمود الشجرة $(h,\ 3.2)$: $0.4 \times h = 1 \times 3.2$، ومنه $h = \frac{3.2}{0.4} = 8$ م.

**2.** البرج: $\frac{26}{0.4} = 65$ م. وظلّ الطفل: $1.5 \times 0.4 = 0.6$ م (فالظلّ $=$ الارتفاع $\times$ معامل اللحظة $0.4$).

**3.** كلما تحرّكت الشمس في السماء تغيّر المعامل الذي يربط الارتفاعات بالظلال؛ ولا تشترك في المعامل نفسه إلا القياسات المأخوذة في اللحظة نفسها.

**4.** في تلك اللحظة يكون المعامل $1$: فكل اِرتفاع يساوي ظلّه. ومنه يكون اِرتفاع قمّة [الهرم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $147$ م — وهو اِرتفاع [الهرم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الأكبر (ويكفي طرف ظلّه مقيسًا من النقطة الواقعة تحت القمّة).

**5.** [خارج قسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) العمود $\frac{\text{الظلّ}}{\text{الارتفاع}}$ — وهو معامل [تناسب](#def-g7-prop-table) اللحظة — مشترك بين كل شيء عمودي: وذلك بالضبط ما يجعل جدول الارتفاعات والظلال [جدول تناسب](#def-g7-prop-table) ([التعريف 49.1](#def-g7-prop-table)).

**6.** تصل أشعة الشمس متوازية. وعلى أرض *مسطّحة*، كان شعاعان متوازيان يصطدمان بعصوين عموديتين بالزاوية نفسها: فتلقيان ظلّين [متناسبين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/44-proportionality-and-data#def-g6-propdata-def) — إما لا ظلّ لكلتيهما، وإما ظلّ لكلتيهما. أما عصا بلا ظلّ (أسوان) وعصا بظلّ (الإسكندرية)، في اللحظة نفسها، فأمر مستحيل على أرض مسطّحة: فلا بدّ أن يشير العموديان في اِتجاهين مختلفين — أي إن السطح ينحني.

**7.** على الرسم، يشير عمودي أسوان مباشرةً إلى الشمس؛ وعمودي الإسكندرية مائل بالزاوية بين اِتجاهَي المدينتين، مرئيةً من المركز. وبما أن الأشعة متوازية، يكون ذلك الميل بالضبط $7.2^\circ$ المقيسة بين الشعاع والعصا في الإسكندرية.

**8.** $\frac{7.2}{360} = \frac{72}{3600} = \frac{1}{50}$: أي جزء من خمسين من الدورة الكاملة.

**9.** أطوال الأقواس متناسبة مع الزوايا: فإذا كانت $7.2^\circ$ — وهي جزء من خمسين من الدورة — توافق $800$ كم، فالدورة كلها توافق

$$
50 \times 800 = 40\,000 \text{ كم}.
$$

**10.** [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) $= \frac{\text{المحيط}}{\pi}
\approx \frac{40\,000}{3.14} \approx 12\,700$ كم — مقابل $12\,742$ كم الحديثة: أي صحيح إلى ما دون واحد بالمئة بكثير، بعصا.

**11.** $40\,000$ كم $= 4\,000\,000\,000$ سم، و $4\,000\,000\,000 \div 40\,000\,000 = 100$ سم $= 1$ م من [المحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter). [والقطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle): $100 \div 3.14 \approx 32$ سم — أي كرة مكتب أنيقة.

**12.** $4.8$ كم $= 480\,000$ سم، و $480\,000 \div 40\,000\,000 = 0.012$ سم $= 0.12$ مم. فأعلى جبال الألب عُشر ميليمتر على كرة محيطها متر: أي ذرّة غبار. وعلى هذا [السلّم](#def-g7-prop-scale) تكون الأرض أملس من معظم الكرات المصقولة.

**13.** $40\,000 \div 40 = 1\,000$ يوم، و $1\,000 \div 365 \approx 2.7$: أي نحو ثلاث سنوات من المشي.

**14.** $\frac{10}{6\,370} \approx 0.0016$، أي نحو $0.2\,\%$ (وبدقّة أكبر $0.16\,\%$): فالجوّ قشرة رقيقة كالهمس على الكوكب.

**15.** الخطأ: $42\,000 - 40\,000 = 2\,000$ كم، و $\frac{2\,000}{40\,000} = \frac{5}{100} = 5\,\%$. وفي جملة واحدة: بعصا وبئر وطريق مقيسة [وتناسب](#def-g7-prop-table) واحد، قاس إراتوستينس كوكبًا بدقّة في حدود بضعة بالمئة — فالرياضيات تسافر بعيدًا بقليل جدًّا.