---
title: "تنظيم المعطيات"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 50
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/50-organizing-data
---

# الفصل 50 — تنظيم المعطيات

قبل حساب أيّ شيء، يجب جمع المعطيات وعدّها وعرضها. ويدور هذا الفصل حول تحويل قائمة ملاحظات فوضوية إلى جدول أو صورة واضحة: التعدادات والتواترات والمعطيات المجمّعة ومخططات الأعمدة ومخططات القطاعات. وأما تلخيص المعطيات بعدد واحد (المتوسط والوسيط) فموضوع [الفصل 71](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/71-statistics-and-probability#ch-g9-statproba).

## 50.1 التعدادات والتواترات

**تعريف 50.1 (التعداد والتواتر).**

من أجل كل قيمة ممكنة في اِستطلاع، *تعدادها* هو عدد المرات التي تظهر فيها؛ و*تواترها* هو التعداد مقسومًا على العدد الكلي للملاحظات:

$$
\text{التواتر} = \frac{\text{التعداد}}{\text{المجموع}} .
$$

ويمكن كتابة التواترات كسورًا أو أعدادًا عشرية أو نسبًا مئوية، وهي تتجمّع دائمًا إلى $1$ (أي $100\,\%$).

**مثال 50.2.**

الرياضة المفضّلة عند تلاميذ قسم عددهم $25$، من القائمة الخام إلى الجدول:

| الرياضة | كرة القدم | السباحة | التنس | الجودو | [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [التعداد](#def-g7-stats-frequency) | $10$ | $6$ | $5$ | $4$ | $25$ |
| [التواتر](#def-g7-stats-frequency) | $0.40$ | $0.24$ | $0.20$ | $0.16$ | $1$ |

من أجل كرة القدم: $\frac{10}{25} = \frac{40}{100} = 0.40 = 40\,\%$. ويجب أن يكون [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) سطر [التواتر](#def-g7-stats-frequency) $1$ — وهو تحقّق دائم مجّاني.

**ملاحظة 50.3 (لماذا التواترات؟).**

لا يمكن مقارنة التعدادات بين مجموعات مختلفة [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume): فالعدد $10$ من محبّي كرة القدم في قسم من $25$ (أي $40\,\%$) يدلّ على حماسة أكبر من $12$ في مستوى دراسي من $120$ ($10\,\%$). والتواترات تضع كل شيء على [السلّم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-scale) نفسه.

## 50.2 تجميع المعطيات في فئات

**مثال 50.4 (الفئات).**

اِرتفاعات (بالسنتيمتر) $20$ تلميذًا تتراوح بين $148$ و $172$. وسرد كل اِرتفاع على حدة يعطي جدولًا فيه من الأعمدة ما يقارب عدد التلاميذ؛ وبدلًا من ذلك، جمّعها في *فئات*:

| الارتفاع (سم) | $\intco{145}{155}$ | $\intco{155}{165}$ | $\intco{165}{175}$ | [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| [التعداد](#def-g7-stats-frequency) | $5$ | $9$ | $6$ | $20$ |
| [التواتر](#def-g7-stats-frequency) | $0.25$ | $0.45$ | $0.30$ | $1$ |

ويُعدّ كل اِرتفاع في فئة واحدة بالضبط (فالعدد $155$ يدخل في $\intco{155}{165}$، لا في الاثنتين — ولهذا كانت الفترات نصف مفتوحة). والتجميع يفقد التفصيل ويكسب الوضوح.

## 50.3 المخططات

**طريقة 50.5 (اِختيار مخطط ورسمه).**

1. *مخطط الأعمدة* : عمود واحد لكل قيمة أو فئة، واِرتفاعه متناسب مع [التعداد](#def-g7-stats-frequency) (أو [التواتر](#def-g7-stats-frequency) ). وهو جيد لمقارنة القيم.
2. *مخطط القطاعات*: قطاع واحد لكل قيمة، وزاويته متناسبة مع [التواتر](#def-g7-stats-frequency) — فالدائرة الكاملة ($360^\circ$) تمثّل [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def)، ومنه $$\text{الزاوية} = \text{التواتر} \times 360^\circ .$$ وهو جيد لبيان الحصص من كلّ.
3. وفي الحالتين: عنوان، ووسوم، وتدريج أو النسب المئوية مكتوبة على المخطط.

**مثال 50.6.**

زوايا رياضات [المثال 50.2](#ex-g7-stats-frequency): كرة القدم $0.40 \times 360 = 144^\circ$؛ والسباحة $0.24 \times 360 =
86.4^\circ$؛ والتنس $72^\circ$؛ والجودو $57.6^\circ$. والتحقّق: $144 + 86.4 + 72 + 57.6 = 360$.

![المعطيات نفسها مخطط أعمدة (قارن الارتفاعات) ومخطط قطاعات (قارن الحصص من القسم). وتأخذ كرة القدم 144، أي 40\,\% من الدائرة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-stats/fig-dd99b290dc62.svg)

![المعطيات نفسها مخطط أعمدة (قارن الارتفاعات) ومخطط قطاعات (قارن الحصص من القسم). وتأخذ كرة القدم 144، أي 40\,\% من الدائرة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-stats/fig-30b260467032.svg)

*المعطيات نفسها مخطط أعمدة (قارن الارتفاعات) ومخطط قطاعات (قارن الحصص من القسم). وتأخذ كرة القدم $144^\circ$، أي $40\,\%$ من الدائرة.*

**مثال 50.7 (القراءة النقدية).**

المخطط الذي يبدأ محوره العمودي من $9$ بدل $0$ يجعل عمود $10$ يبدو أطول عشر مرات من عمود $9.1$ — وهو تضليل بصري، وإن كانت الأعداد أمينة. وأول ردّ فعل أمام أيّ مخطط: تحقّق من أين يبدأ المحور وكم تساوي التدريجة الواحدة ([الطريقة 44.8](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/44-proportionality-and-data#met-g6-propdata-read)).

## 50.4 تمارين

**تمرين 50.1 ★.**

هذه علامات $20$ تلميذًا: $12$ و $15$ و $9$ و $12$ و $14$ و $9$ و $12$ و $15$ و $11$ و $12$ و $9$ و $14$ و $12$ و $11$ و $15$ و $9$ و $12$ و $14$ و $11$ و $12$. اِبنِ جدول التعدادات (عمود واحد لكل علامة).

**حل التمرين 50.1.**

بعدّ كل علامة:

| العلامة | $9$ | $11$ | $12$ | $14$ | $15$ | [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [التعداد](#def-g7-stats-frequency) | $4$ | $3$ | $7$ | $3$ | $3$ | $20$ |

**تمرين 50.2 ★.**

أكمل جدول [التمرين 50.1](#exo-g7-stats-1) بسطر [تواتر](#def-g7-stats-frequency) (كسورًا من $20$، ثم نسبًا مئوية). وتحقّق من [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def).

**حل التمرين 50.2.**

التواترات: $\frac{4}{20} = 20\,\%$، و $\frac{3}{20} = 15\,\%$، و $\frac{7}{20} = 35\,\%$، و $15\,\%$، و $15\,\%$. [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def): $20 + 15 + 35 + 15 + 15 = 100\,\%$. ✓

**تمرين 50.3 ★.**

في اِستطلاع شمل $50$ أسرة، عند $30$ منها سيارة واحدة. فما [تواتر](#def-g7-stats-frequency) «سيارة واحدة»، عددًا عشريًّا ونسبةً مئوية؟ وفي اِستطلاع آخر، عند $45$ أسرة من $90$ سيارة واحدة: فأيّ اِستطلاع يبيّن النسبة الأعلى؟

**حل التمرين 50.3.**

الاستطلاع الأول: $\frac{30}{50} = 0.6 = 60\,\%$. والثاني: $\frac{45}{90} = 0.5 = 50\,\%$. فالاستطلاع الأول يبيّن النسبة الأعلى، وإن كان فيه أسر أقلّ عندها سيارة واحدة [بالتعداد](#def-g7-stats-frequency) المطلق.

**تمرين 50.4 ★.**

كتل (بالكيلوغرام) $15$ كلبًا: $8$ و $23$ و $31$ و $12$ و $9$ و $27$ و $35$ و $14$ و $22$ و $18$ و $29$ و $11$ و $25$ و $33$ و $16$. جمّعها في الفئات $\intco{5}{15}$ و $\intco{15}{25}$ و $\intco{25}{35}$ و $\intco{35}{45}$ وأعطِ التعدادات.

**حل التمرين 50.4.**

$\intco{5}{15}$: $8, 12, 9, 14, 11$ — [التعداد](#def-g7-stats-frequency) $5$. $\intco{15}{25}$: $23, 22, 18, 16$ — [التعداد](#def-g7-stats-frequency) $4$. $\intco{25}{35}$: $31, 27, 29, 25, 33$ — [التعداد](#def-g7-stats-frequency) $5$. $\intco{35}{45}$: $35$ — [التعداد](#def-g7-stats-frequency) $1$. [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $15$. ✓

**تمرين 50.5 ★.**

اُرسم مخطط الأعمدة للجدول:

| الحيوانات الأليفة | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| الأسر | $8$ | $12$ | $6$ | $4$ |

**حل التمرين 50.5.**

أربعة أعمدة اِرتفاعاتها $8$ و $12$ و $6$ و $4$ فوق القيم $0$ و $1$ و $2$ و $3$ (والتدريج كل $2$ يعمل جيدًا).

**تمرين 50.6 ★.**

من أجل جدول [التمرين 50.5](#exo-g7-stats-5)، اِحسب التواترات وزوايا مخطط القطاعات لكل قيمة (والتحقّق: [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $360^\circ$).

**حل التمرين 50.6.**

[المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $30$ أسرة. والتواترات: $\frac{8}{30}$، و $\frac{12}{30}$، و $\frac{6}{30}$، و $\frac{4}{30}$. والزوايا ($\times 360^\circ$): $96^\circ$، و $144^\circ$، و $72^\circ$، و $48^\circ$؛ [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $96 + 144 + 72 + 48 = 360^\circ$. ✓

**تمرين 50.7 ★.**

مخطط قطاعات عن الفصول المفضّلة يبيّن: الصيف $162^\circ$، والربيع $90^\circ$، والخريف $54^\circ$، والشتاء $54^\circ$. فأيّ نسبة مئوية اِختارت كل فصل؟ وإذا أجاب $60$ شخصًا، فكم اِختاروا الصيف؟

**حل التمرين 50.7.**

النسب المئوية: الصيف $\frac{162}{360} = 45\,\%$؛ والربيع $\frac{90}{360} = 25\,\%$؛ والخريف والشتاء $\frac{54}{360} = 15\,\%$ لكل منهما. ومن بين $60$ شخصًا، اِختار الصيف $0.45 \times 60 = 27$ منهم.

**تمرين 50.8 ★★.**

في القسم أ، يمشي $12$ تلميذًا من $30$ إلى المدرسة؛ وفي القسم ب، $14$ من $40$. فأيّ قسم فيه نسبة الماشين أعلى؟ بَرِّر بالتواترات لا بالتعدادات.

**حل التمرين 50.8.**

القسم أ: $\frac{12}{30} = 40\,\%$. والقسم ب: $\frac{14}{40} = 35\,\%$. فالقسم أ فيه نسبة الماشين أعلى، وإن كان في القسم ب ماشون أكثر [بالتعداد](#def-g7-stats-frequency).

**تمرين 50.9 ★★.**

تطبع مجلة مخطط أعمدة لمبيعات شهرية: $9\,800$، ثم $10\,000$، ثم $10\,100$، والمحور العمودي يبدأ من $9\,700$. صِف ما يراه القارئ، وما الذي يبيّنه محور أمين يبدأ من $0$ بدل ذلك.

**حل التمرين 50.9.**

بمحور يبدأ من $9\,700$، تكون للأعمدة الثلاثة اِرتفاعات مرئية $100$ و $300$ و $400$ وحدة: فيبدو الأخير أربعة أمثال الأول، موحيًا بأن المبيعات تضاعفت أربع مرات. وبمحور من $0$، تكون الأعمدة متساوية تقريبًا (فمن $9\,800$ إلى $10\,100$ اِرتفاع نحو $3\,\%$): فالصورة الأمينة تبيّن مبيعات مسطّحة تقريبًا.

**تمرين 50.10 ★★.**

جدول [تواتر](#def-g7-stats-frequency) فيه ثلاث قيم تواتراتها $0.35$ و $0.4$ و $f$. جِد $f$. وإذا كان [التعداد](#def-g7-stats-frequency) الكلي $80$، فأعطِ التعدادات الثلاثة.

**حل التمرين 50.10.**

[مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) التواترات $1$: إذن $f = 1 - 0.35 - 0.4 = 0.25$. والتعدادات ([والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $80$): $0.35 \times 80 = 28$؛ و $0.4 \times 80 = 32$؛ و $0.25 \times 80 = 20$. والتحقّق: $28 + 32 + 20 = 80$.

**تمرين 50.11 ★★★.**

في مدرسة، $55\,\%$ من التلاميذ بنات. ومن بين البنات، تأكل $40\,\%$ في المطعم؛ ومن بين الأولاد، يأكل $60\,\%$. ومن بين $400$ تلميذ، كم يأكل في المطعم؟ (اِحسب أحجام الفئات الأربع خطوة خطوة.) وأيّ نسبة مئوية إجمالية هي تلك؟

**حل التمرين 50.11.**

البنات: $55\,\%$ من $400 = 220$؛ والأولاد: $180$. والبنات الآكلات في المطعم: $0.4 \times 220 = 88$؛ والأولاد: $0.6 \times 180 = 108$. [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def): $88 + 108 = 196$ تلميذًا، أي $\frac{196}{400} = 49\,\%$ من المدرسة — بين $40\,\%$ و $60\,\%$، وأقرب إلى نسبة البنات لأن البنات أكثر عددًا.

## 50.5 مسألة: كيف تكذب المعطيات — وكيف تمسكها

**مسألة 50.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — التعدادات مقابل التواترات، والاستطلاع الذي خدع بلدًا، ومفارقة المستشفيين

الأعداد لا تكذب، لكن يمكن أن تُساق لتضلّل: [فتعداد](#def-g7-stats-frequency) ضخم قد يخفي تواترًا صغيرًا، واِستطلاع هائل قد يكون بلا قيمة، و— وهذا أغربها — قد يغلب مستشفى منافسه في *كل* فئة من المرضى ويخسر مع ذلك في الأرقام الإجمالية. وتُنصب الفخاخ الثلاثة كلها في هذه المسألة، بسلاح تعدادات هذا الفصل وتواتراته لا غير ([التعريف 50.1](#def-g7-stats-frequency)).

**الجزء الأول — التعدادات ليست تواترات.**

1. تعيد المدرسة أ تدوير $120$ من علب العصير $400$ التي عندها؛ وتعيد المدرسة ب تدوير $90$ من علبها $250$ . فأيّ مدرسة عندها *[التعداد](#def-g7-stats-frequency)* الأكبر من العلب المعاد تدويرها؟ وأيّهما عندها *[التواتر](#def-g7-stats-frequency)* الأكبر؟ وأيّ مدرسة تستحقّ جائزة التدوير؟
2. يُستطلَع رأي في جدول زمني جديد: فيعجب $18$ من المعلّمين $30$ ، ويعجب $210$ من التلاميذ $600$ . اِحسب التواترين، ثم [التواتر](#def-g7-stats-frequency) بين الأشخاص $630$ كلهم معًا. ولماذا يقع الرقم المشترك بهذا القرب من رقم التلاميذ؟
3. مخطط قطاعات منشور يبيّن قطاعات موسومة $45\,\%$ و $30\,\%$ و $20\,\%$ و $10\,\%$ . فدون أيّ معلومة أخرى، كيف تعرف أن خطأ قد وقع؟
4. جدول [تواتر](#def-g7-stats-frequency) على $40$ ملاحظة نصفه ممحوّ: التعدادات $14$ و $10$ و $?$ و $?$ والتواترات $0.35$ و $0.25$ و $0.15$ و $?$ . أعِد بناء المداخل الناقصة.
5. يُختتم اِستطلاع بالتواترات $0.40$ و $0.35$ و $0.25$ . اِحسب زوايا مخطط القطاعات الثلاث ( [الطريقة 50.5](#met-g7-stats-charts) ) وتحقّق من أنها تغلق الدائرة.

**الجزء الثاني — الاستطلاع الذي خدع بلدًا.** في سنة 1936، أرسلت مجلة أمريكية عشرة ملايين بطاقة اِقتراع إلى عناوين مأخوذة من أدلّة الهاتف وقوائم تسجيل السيارات، وتلقّت $2.4$ مليون جواب، وتوقّعت اِنتصارًا ساحقًا للمرشّح لاندون. وسأل إحصائي شابّ، هو جورج غالوب، نحو خمسين ألف شخص فقط — مختارين ليشبهوا السكان كلهم — وتوقّع العكس. وفاز روزفلت فوزًا كاسحًا.

6. وأيّ [تواتر](#def-g7-stats-frequency) من بطاقات الاقتراع المرسلة عاد؟
7. في سنة 1936 كانت الهواتف والسيارات كماليات. اِشرح في جملة أو جملتين لماذا كانت عيّنة المجلة، على ضخامتها، محكومة بالفشل — وأيّ درس من السؤال 1 تكرّره على [السلّم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-scale) الوطني.
8. نموذج مبسّط. في مدينة $1\,000$ ناخب ثريّ، يؤيّد $70\,\%$ منهم المرشّح ل، و $9\,000$ ناخب متواضع، يؤيّد $30\,\%$ منهم ل. اِحسب تأييد ل الحقيقي في المدينة. واِستطلاع «دليل الهاتف» يبلغ $500$ ثريًّا و $500$ متواضعًا: فأيّ تأييد يتوقّع؟
9. والفخّ الصامت: عند شركة $200$ زبون غير راضٍ و $800$ راضٍ. فتستطلع الجميع؛ فيجيب $40\,\%$ من غير الراضين، ولا يجيب من الراضين إلا $10\,\%$ . اِحسب عدد الأجوبة من كل نوع، [وتواتر](#def-g7-stats-frequency) عدم الرضا *بين الأجوبة* . وقارنه [بالتواتر](#def-g7-stats-frequency) الحقيقي.
10. أصلح اِستطلاع السؤال 8: اِحتفظ بعدد $1\,000$ مقابلة، لكن وزّعها على نسب المدينة الحقيقية. فماذا يتوقّع الاستطلاع المُصلَح؟

**الجزء الثالث — مفارقة المستشفيين.** ينشر مستشفيان تعدادات شفائهما، مقسومة بحسب الخطورة:

|  | الحالات الخفيفة | الحالات الخطيرة |
| --- | --- | --- |
| المستشفى أ | $90$ شُفوا من $100$ | $280$ شُفوا من $400$ |
| المستشفى ب | $340$ شُفوا من $400$ | $65$ شُفوا من $100$ |

11. اِحسب [تواتر](#def-g7-stats-frequency) الشفاء في المستشفى أ من أجل الحالات الخفيفة، ومن أجل الحالات الخطيرة، وإجمالًا (المرضى $500$ كلهم).
12. والحسابات الثلاثة نفسها من أجل المستشفى ب. فأيّ مستشفى يفوز في الحالات الخفيفة؟ وفي الحالات الخطيرة؟
13. قارن التواترين الإجماليين. واُذكر بوضوح الأمر الغريب الذي حدث.
14. اِشرح الحيلة: قارن *خلطتَي* المرضى في المستشفيين، وقل لماذا يمكن [للتواتر](#def-g7-stats-frequency) الإجمالي أن يخون تواترَي الفئتين معًا. ولو كانت عندك حالة خطيرة، فأيّ مستشفى تختار؟
15. يقول عنوان في صحيفة: «المستشفى ب أفضل في نسبة الشفاء: $81\,\%$ مقابل $74\,\%$ .» اُكتب رسالة من جملتين إلى المحرّر مما علّمتك هذه المسألة كلها — جملة عمّا يتجاهله العنوان، وجملة عن الدرس العامّ (قارن المتماثل بالمتماثل، واِنتبه للأوزان).

**حل المسألة 50.1.**

**1.** التعدادات: $120 > 90$، فتفوز المدرسة أ. والتواترات: $\frac{120}{400} = 0.30 = 30\,\%$ مقابل $\frac{90}{250} = 0.36 = 36\,\%$: فتفوز المدرسة ب. والجائزة يجب أن تتبع [التواتر](#def-g7-stats-frequency) — فالمدرسة ب تعيد تدوير حصة أكبر مما تستعمل؛ والمدرسة أ لا تشرب إلا عصيرًا أكثر.

**2.** المعلّمون: $\frac{18}{30} = 0.60 = 60\,\%$. والتلاميذ: $\frac{210}{600} = 0.35 = 35\,\%$. ومعًا: $\frac{18 + 210}{630} = \frac{228}{630} \approx 0.36 =
36\,\%$. والتلاميذ أكثر عددًا عشرين مرة، فيُجذب [التواتر](#def-g7-stats-frequency) المشترك كله تقريبًا إلى جهتهم — فالمجموعة الكبيرة تحمل الوزن الكبير.

**3.** يجب أن يبلغ [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) التواترات $100\,\%$ ([التعريف 50.1](#def-g7-stats-frequency))، لكن $45 + 30 + 20 + 10 = 105$: فقطاع واحد على الأقلّ خطأ.

**4.** [التعداد](#def-g7-stats-frequency) الموافق [للتواتر](#def-g7-stats-frequency) $0.15$: $0.15 \times 40 = 6$. والتعدادات إلى الآن: $14 + 10 + 6 = 30$، إذن [التعداد](#def-g7-stats-frequency) الأخير $40 - 30 = 10$، وتواتره $\frac{10}{40} = 0.25$. (والتحقّق: $0.35 + 0.25 + 0.15 + 0.25 =
1$.)

**5.** الزوايا: $0.40 \times 360 = 144^\circ$، و $0.35 \times 360 = 126^\circ$، و $0.25 \times 360 = 90^\circ$؛ و $144 + 126 + 90 = 360^\circ$: فتنغلق الدائرة.

**6.** $\frac{2.4}{10} = 0.24 = 24\,\%$ من بطاقات الاقتراع عادت.

**7.** كانت أدلّة الهاتف وسجلّات السيارات تُدرج أُسَرًا ثرية في معظمها، وكان تصويتها يختلف عن تصويت البلد؛ وكانت الأجوبة $2.4$ مليون تعدادًا عملاقًا مسحوبًا من السكان الخطأ. وكما في السؤال 1: فالمهمّ ليس كم تعدّ، بل من تعدّ — [فالتواتر](#def-g7-stats-frequency) المحسوب على عيّنة مشوّهة يصف العيّنة لا البلد.

**8.** التأييد الحقيقي: $0.7 \times 1\,000 + 0.3 \times 9\,000 = 700 + 2\,700 = 3\,400$ مؤيّدًا من $10\,000$: أي $34\,\%$. والاستطلاع: $0.7 \times 500 + 0.3 \times 500 = 350 + 150 = 500$ من $1\,000$: أي $50\,\%$ — أي أعلى بستّ عشرة نقطة، لأن الأثرياء نصف العيّنة وعُشر المدينة.

**9.** الأجوبة: $0.4 \times 200 = 80$ من غير الراضين و $0.1 \times 800 = 80$ من الراضين، إذن $160$ جوابًا منها $80$ من غير الراضين: فعدم الرضا المقيس $\frac{80}{160} = 50\,\%$. وعدم الرضا الحقيقي: $\frac{200}{1\,000} = 20\,\%$. ولم يكذب أحد — فغير الراضين يجيبون أكثر لا غير، والاستطلاع يسمعهم أعلى.

**10.** النسب الحقيقية: عُشر أثرياء، إذن $100$ مقابلة ثرية و $900$ متواضعة: $0.7 \times 100 + 0.3 \times 900 = 70 + 270 = 340$ من $1\,000$: فيتوقّع الاستطلاع المُصلَح $34\,\%$ — وهي حقيقة السؤال 8. فخمسون ألف مقابلة حسنة الاختيار تغلب مليونين سيّئَي الاختيار.

**11.** المستشفى أ: الخفيفة $\frac{90}{100} = 90\,\%$؛ والخطيرة $\frac{280}{400} = 70\,\%$؛ وإجمالًا $\frac{90 + 280}{500} = \frac{370}{500} = 74\,\%$.

**12.** المستشفى ب: الخفيفة $\frac{340}{400} = 85\,\%$؛ والخطيرة $\frac{65}{100} = 65\,\%$؛ وإجمالًا $\frac{340 + 65}{500} = \frac{405}{500} = 81\,\%$. فالمستشفى أ يفوز في الحالات الخفيفة ($90 > 85$) *وفي* الحالات الخطيرة ($70 > 65$).

**13.** وإجمالًا، يبيّن ب $81\,\%$ مقابل $74\,\%$ للمستشفى أ: فالمستشفى الذي يخسر في *كل* فئة يفوز في [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def). (ولهذا الانقلاب اِسم: مفارقة سيمبسون.)

**14.** الخلطتان متعاكستان: فمرضى أ خطيرون في معظمهم ($400$ من $500$)، ومرضى ب خفيفون في معظمهم ($400$ من $500$). والحالات الخطيرة تُشفى أقلّ أينما عولجت، فيُجرّ رقم أ الإجمالي إلى الأسفل بسبب الحالات الصعبة التي يقبلها — فالإجمالي مزيج موزون، والأوزان تختلف بين المستشفيين. والمريض الخطير يجب أن يختار المستشفى أ: فالنسبة $70\,\%$ تغلب $65\,\%$ في السطر الوحيد الذي يعنيه.

**15.** فمثلًا: «مقارنتك تخلط المرضى الخفيفين والخطيرين، والمستشفيان يعالجان خلطتين متعاكستين — فبالتقسيم حسب الخطورة، يشفي المستشفى أ حصة أعلى من *النوعين* معًا. والأرقام الإجمالية لا تُقارن إلا حين تكون المجموعات وراءها متشابهة؛ وإلا فالأوزان، لا الجودة، هي التي تقرّر الفائز.»