--- title: "المثلثات والزوايا" book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية" subject: math language: ar chapter: 51 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/51-triangles-and-angles --- # الفصل 51 — المثلثات والزوايا أتستطيع رسم مثلث أضلاعه $10$ و $3$ و $2$؟ أو زواياه $80^\circ$ و $70^\circ$ و $50^\circ$؟ يجيب هذا الفصل عن السؤالين بواقعتين من أنفع وقائع هندسة المستوي: المتراجحة المثلثية [ومجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الزوايا $180^\circ$ — مع مفردات الزوايا التي تأتي مع [المستقيمات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) المتقاطعة والمتوازية. ## 51.1 الزوايا حول مستقيمين متقاطعين **تعريف 51.1 (أزواج الزوايا).** - تكون زاويتان *متتامّتين* حين يبلغ [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) قياسيهما $90^\circ$ ، و *متكاملتين* حين يبلغ $180^\circ$ . - وحين يتقاطع [مستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) ، تكون الزاويتان المتقابلتان عبر نقطة التقاطع *متقابلتين بالرأس* . - وحين يقطع [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [مستقيمين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) آخرين، تكون الزوايا الواقعة في الموضع نفسه عند كل تقاطع *زوايا متناظرة* ؛ والزوايا الواقعة بين [المستقيمين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) في جهتين متقابلتين من [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) القاطع *زوايا متبادلة* . **مبرهنة 51.2 (تساويات الزوايا).** 1. [الزاويتان المتقابلتان بالرأس](#def-g7-triangles-pairs) متساويتان. 2. وإذا كان [مستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [متوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) ، فالزوايا المتناظرة متساوية، [والزوايا المتبادلة](#def-g7-triangles-pairs) متساوية. وبالعكس، تساوي الزوايا المتناظرة (أو المتبادلة) يفرض توازي [المستقيمين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) . **برهان 1.** الزاويتان $\widehat{1}$ و $\widehat{2}$ في جهة واحدة من [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) تكوّنان زاوية مستقيمة: أي $\widehat 1 + \widehat 2 = 180^\circ$. والزاوية $\widehat 3$ المتقابلة بالرأس مع $\widehat 1$ تحقّق أيضًا $\widehat 2 + \widehat 3 = 180^\circ$ (للسبب نفسه). إذن $\widehat 1 = 180^\circ - \widehat 2 = \widehat 3$. وأما النقطة 2 فمقبولة في هذا المستوى. ∎ ![على اليسار: زاويتان متقابلتان بالرأس 1 = 3 (وكل منهما مكمّلة للزاوية 2). وعلى اليمين: مستقيمان متوازيان يقطعهما مستقيم ثالث — فالزاويتان المتناظرتان a و b متساويتان.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-3b89e20a134d.svg) *على اليسار: [زاويتان متقابلتان بالرأس](#def-g7-triangles-pairs) $\widehat 1 = \widehat 3$ (وكل منهما مكمّلة للزاوية $\widehat 2$). وعلى اليمين: [مستقيمان متوازيان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) يقطعهما [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) ثالث — فالزاويتان المتناظرتان $\widehat a$ و $\widehat b$ متساويتان.* ## 51.2 مجموع زوايا المثلث **مبرهنة 51.3 (مجموع الزوايا).** في كل مثلث، يبلغ [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الزوايا الثلاث $180^\circ$. **برهان.** ليكن $ABC$ مثلثًا. اُرسم [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) المارّ بالنقطة $A$ [الموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) [للمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(BC)$. فعند الرأس $A$، تصطفّ ثلاث زوايا على هذا [الموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) وتكوّن زاوية مستقيمة، أي $180^\circ$: الوسطى منها $\widehat{A}$، والطرفيتان زاويتان متبادلتان مع $\widehat B$ و $\widehat C$ ([فالمستقيمان متوازيان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)!)، إذن تساويان $\widehat B$ و $\widehat C$. ومنه $\widehat B + \widehat A + \widehat C = 180^\circ$. ∎ ![البرهان في صورة واحدة: على الموازي للمستقيم (BC) المارّ بالنقطة A، تملأ الزوايا B و A و C (وهي زوايا متبادلة بألوان متطابقة) زاوية مستقيمة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-f3ecc75ad45a.svg) *البرهان في صورة واحدة: على [الموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) [للمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(BC)$ المارّ بالنقطة $A$، تملأ الزوايا $\widehat B$ و $\widehat A$ و $\widehat C$ (وهي [زوايا متبادلة](#def-g7-triangles-pairs) بألوان متطابقة) زاوية مستقيمة.* **مثال 51.4.** زاويتان من مثلث قياسهما $67^\circ$ و $58^\circ$. والثالثة قياسها $$ 180 - (67 + 58) = 180 - 125 = 55^\circ . $$ وحالات خاصّة تستحقّ الحفظ: كل زاوية من [المثلث المتساوي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) قياسها $180 \div 3 = 60^\circ$؛ وفي [المثلث القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) تكون الزاويتان الحادّتان متتامّتين (فمجموعهما $180 - 90 = 90^\circ$)؛ وزاويتا قاعدة [المثلث المتساوي الساقين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) متساويتان، فكل منهما $\frac{180 - \text{الرأس}}{2}$. **مثال 51.5 (لا مثلث بزاويتين قائمتين).** المثلث ذو الزاويتين $90^\circ$ يستهلك أصلًا $180^\circ$، فلا يترك للثالثة إلا $0^\circ$ — وهذا مستحيل. [فمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الزوايا يمنع مثلثات كثيرة دفعة واحدة. ## 51.3 المتراجحة المثلثية **مبرهنة 51.6 (المتراجحة المثلثية).** في كل مثلث، يكون كل ضلع أقصر من [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الضلعين الآخرين: فمن أجل مثلث أضلاعه $a$ و $b$ و $c$، $$ a < b + c . $$ وبالعكس، ثلاثة أطوال *أكبرها* أصغر من [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الآخرين يمكن دائمًا جعلها مثلثًا. وإذا كان الأكبر *يساوي* [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الآخرين، كان ذلك «المثلث» مسطّحًا: [فرؤوسه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) الثلاثة مستقيمية. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ **مثال 51.7.** أيمكن أن تكون الأضلاع $10$ و $3$ و $2$؟ اِختبر الأكبر: أهو $10 < 3 + 2 = 5$؟ لا — فلا وجود لمثلث كهذا. والفرجار يبيّن السبب: فقوسان نصفا قطريهما $3$ و $2$ مرسومان من طرفَي [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) طولها $10$ لا يتقاطعان أبدًا. والأضلاع $7$ و $5$ و $4$؟ الأكبر: $7 < 5 + 4 = 9$: نعم، فالمثلث موجود (ويكفي اِختبار الضلع الأكبر). ![محاولة بناء مثلث أضلاعه 10 و 3 و 2: فقوسا الفرجار يبقيان متباعدين بلا أمل، لأن 3 + 2 < 10.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-0c00ade80c59.svg) *محاولة بناء مثلث أضلاعه $10$ و $3$ و $2$: فقوسا الفرجار يبقيان متباعدين بلا أمل، لأن $3 + 2 < 10$.* **طريقة 51.8 (وجود مثلث وإنشاؤه).** من أجل ثلاثة أطوال معطاة: 1. قارن الأكبر [بمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الآخرين؛ فإن لم يكن أصغر تمامًا، فتوقّف: لا مثلث؛ 2. وإلا فأنشئه كما في [الطريقة 41.2](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#met-g6-shapes-construct) ( [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) القاعدة، وقوسا الفرجار)؛ 3. وبعد أيّ إنشاء من الزوايا، تحقّق ذهنيًّا من أن الزوايا المعطاة مجموعها أصغر من $180^\circ$ — مع الزاوية الثالثة التي تجعله $180^\circ$ بالضبط. ## 51.4 تمارين **تمرين 51.1 ★.** أعطِ متمّمة (إلى $90^\circ$) ومكمّلة (إلى $180^\circ$) كل من: $30^\circ$؛ و $45^\circ$؛ و $72^\circ$. **حل التمرين 51.1.** المتمّمات: $60^\circ$؛ و $45^\circ$؛ و $18^\circ$. والمكمّلات: $150^\circ$؛ و $135^\circ$؛ و $108^\circ$. **تمرين 51.2 ★.** يتقاطع [مستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects)؛ وإحدى الزوايا الأربع قياسها $35^\circ$. أعطِ قياسات الثلاث الأخرى، مع سبب لكل واحدة. **حل التمرين 51.2.** الزاوية المتقابلة بالرأس قياسها $35^\circ$ أيضًا ([المبرهنة 51.2](#thm-g7-triangles-equalities))؛ والزاويتان الباقيتان مكمّلتان لها: أي $180 - 35 = 145^\circ$ لكل منهما. **تمرين 51.3 ★.** اِحسب الزاوية الثالثة لمثلث قياسا زاويتيه الأوليين: (أ) $40^\circ$ و $60^\circ$؛ (ب) $90^\circ$ و $28^\circ$؛ (ج) $75^\circ$ و $75^\circ$. **حل التمرين 51.3.** (a) $180 - 100 = 80^\circ$. (b) $180 - 118 = 62^\circ$. (c) $180 - 150 = 30^\circ$. **تمرين 51.4 ★.** [مثلث متساوي الساقين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) زاوية رأسه $40^\circ$. اِحسب زاويتَي قاعدته. ومثلث آخر [متساوي الساقين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) إحدى زاويتَي قاعدته $70^\circ$: اِحسب زاوية رأسه. **حل التمرين 51.4.** الرأس $40^\circ$: تتقاسم زاويتا القاعدة $180 - 40 = 140^\circ$ بالتساوي: أي $70^\circ$ لكل منهما. وزاوية القاعدة $70^\circ$: زاويتا القاعدة متساويتان، إذن الرأس $180 - 2 \times 70 = 40^\circ$. **تمرين 51.5 ★.** أيّ هذه الثلاثيات يمكن أن تكون أضلاع مثلث؟ بَرِّر بالمتراجحة المثلثية (الضلع الأكبر!): $$ (6,\ 8,\ 12); \qquad (5,\ 5,\ 11); \qquad (4,\ 9,\ 13); \qquad (7,\ 7,\ 7). $$ **حل التمرين 51.5.** $(6, 8, 12)$: $12 < 6 + 8 = 14$: فالمثلث موجود. $(5, 5, 11)$: $11 > 5 + 5 = 10$: مستحيل. $(4, 9, 13)$: $13 = 4 + 9$: «مثلث» مسطّح — فالنقط مستقيمية، ولا مثلث حقيقي. $(7, 7, 7)$: $7 < 14$: [مثلث متساوي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles). **تمرين 51.6 ★.** مثلث زواياه $x$ و $2x$ و $3x$. جِد $x$ والزوايا الثلاث. وأيّ نوع من المثلثات هو؟ **حل التمرين 51.6.** $x + 2x + 3x = 6x = 180^\circ$، إذن $x = 30^\circ$: والزوايا هي $30^\circ$ و $60^\circ$ و $90^\circ$ — أي [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles). **تمرين 51.7 ★.** اِبنِ مثلثًا $ABC$ حيث $BC = 6$ سم، و $\widehat{ABC} = 50^\circ$ و $\widehat{ACB} = 60^\circ$ (بالمنقلة عند $B$ وعند $C$). وقبل الإنشاء، توقّع قياس $\widehat{BAC}$، ثم تحقّق على شكلك. **حل التمرين 51.7.** التوقّع: $\widehat{BAC} = 180 - (50 + 60) = 70^\circ$؛ والمنقلة على الشكل المنجز تؤكّده. **تمرين 51.8 ★★.** [مستقيمان متوازيان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) يقطعهما [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) ثالث، فتتكوّن زاوية $54^\circ$ عند التقاطع الأول (بين [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) القاطع وأحد الموازيين). اُرسم الوضعية وأعطِ قياسات الزوايا الثماني المتكوّنة. **حل التمرين 51.8.** عند التقاطع الأول، الزوايا الأربع هي $54^\circ$ و $126^\circ$ و $54^\circ$ و $126^\circ$ (أزواج متقابلة بالرأس ومكمّلات). [والمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [الموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) يعيد القياسات الأربعة نفسها عند التقاطع الثاني (زوايا متناظرة): أي ثماني زوايا في المجموع، أربع قياسها $54^\circ$ وأربع قياسها $126^\circ$. **تمرين 51.9 ★★.** ضلعان من مثلث قياسهما $8$ سم و $3$ سم. فبين أيّ قيمتين يجب أن يقع الضلع الثالث؟ أعطِ طولًا صحيحًا يصلح وآخر لا يصلح. **حل التمرين 51.9.** ليكن $c$ الضلع الثالث. تفرض المتراجحة المثلثية $c < 8 + 3 = 11$ وأيضًا $8 < c + 3$، أي $c > 5$. إذن $5 < c < 11$: فالطول $7$ سم يصلح؛ والطول $12$ سم (أو $4$ سم) لا يصلح. **تمرين 51.10 ★★.** في مثلث $ABC$، $\widehat A = 2\widehat B$ و $\widehat C = 90^\circ$. اِحسب $\widehat A$ و $\widehat B$. **حل التمرين 51.10.** $\widehat A + \widehat B = 180 - 90 = 90^\circ$، و $\widehat A = 2\widehat B$، إذن $3\widehat B = 90^\circ$: $\widehat B = 30^\circ$ و $\widehat A = 60^\circ$. **تمرين 51.11 ★★★.** يمكن دراسة زوايا أيّ [رباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$ بقطعه على طول [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) إلى مثلثين. اِستعمل هذا لتبرهن على أن [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) زوايا كل [رباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) $360^\circ$، واِستنتج [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) زوايا [الخماسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) (خمسة أضلاع). **حل التمرين 51.11.** [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) $[AC]$ يشقّ $ABCD$ إلى المثلثين $ABC$ و $ACD$. وزوايا [الرباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) الأربع هي بالضبط زوايا المثلثين الستّ، معادةَ التجميع (فالزاويتان عند $A$ وعند $C$ كل منهما مشقوقة إلى اِثنتين). [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def): $180 + 180 = 360^\circ$. [والخماسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) يُشقّ من رأس واحد إلى ثلاثة مثلثات: $3 \times 180 = 540^\circ$. ## 51.5 مسألة: المشي حول المربّع السكني **مسألة 51.1.** مسألة نهاية الأسبوع — زوايا أيّ مضلع: $(n-2) \times 180^\circ$ في الداخل، ودائمًا $360^\circ$ من الدوران في الخارج، ولماذا لا تبلّط الأرض إلا ثلاثة أشكال منتظمة قطع [التمرين 51.11](#exo-g7-triangles-11) رباعيًا إلى مثلثين فوجد $360^\circ$. وتدفع هذه المسألة الفكرة إلى المضلعات ذات أيّ عدد من الأضلاع، ثم تكتشف برهانًا ثانيًا مختلفًا تمامًا — عن طريق *المشي* حول الشكل وجمع الدورات — وتنتهي على أرض حمّامك: فمن بين كل المضلعات المنتظمة، ثلاثة بالضبط تبلّط المستوي دون فراغ ولا تراكب، وقد اِختار النحل مضلعه. **الجزء الأول — الزوايا في الداخل.** 1. من رأس واحد [لسداسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) (ستة أضلاع)، اُرسم كل الأقطار الخارجة من ذلك الرأس. فإلى كم مثلثًا يُقطع [السداسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) ، وما [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) *كل* زواياه الداخلية ( [المبرهنة 51.3](#thm-g7-triangles-sum) )؟ 2. عمّم: من رأس واحد [لمضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) ذي $n$ ضلعًا، كم مثلثًا تنتج مروحة الأقطار؟ اِستنتج صيغة [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الزوايا الداخلية، وتحقّق منها من أجل $n = 3$ و $4$ و $5$ و $6$ . 3. اِحسب [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الزوايا الداخلية لعشاري ( $10$ أضلاع) ولاثني عشري ( $12$ ضلعًا). 4. في [المضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) *المنتظم* تتساوى كل الزوايا الداخلية. اِحسب الزاوية الداخلية [للمثلث المتساوي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ، وللمربع، وللخماسي المنتظم، وللسداسي وللمثمّن. 5. اِشرح، دون أيّ صيغة، لماذا ينمو [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الزوايا بمقدار $180^\circ$ بالضبط كلما كسب [المضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) رأسًا واحدًا. **الجزء الثاني — المشي حول المربّع السكني.** اِمشِ على حدّ مربّع سكني مضلّع، إلى الأمام دائمًا. وعند كل ركن *تدور* بزاوية ما — وهي *الزاوية الخارجية* لذلك الركن؛ ويستمرّ الدوران حتى تعود إلى نقطة اِنطلاقك، مواجهًا اِتجاه اِنطلاقك. 6. عند ركن زاويته الداخلية $\widehat A$ ، بكم تدور؟ (فالزاويتان الداخلية والخارجية متكاملتان.) اِحسب الدورات الثلاث لمثلث زواياه $40^\circ$ و $60^\circ$ و $80^\circ$ . 7. اِجمع الدورات الثلاث في السؤال 6. فأيّ واقعة عن الدورة الكاملة تلاحظ؟ 8. اِشرح لماذا تبلغ دورات مشية كاملة حول *أيّ* [مضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) — ثلاثة أضلاع أو ثلاثين — دائمًا $360^\circ$ بالضبط. (فماذا فعل أنفك، بكل الدورات مجتمعة، حين تعود؟) 9. اِستنتج صيغة الزوايا الداخلية مرة ثانية: عند كل ركن من الأركان $n$ ، الداخلية $+$ الدورة $= 180^\circ$ ؛ فاِجمع على كل الأركان واِستعمل السؤال 8. 10. في [المضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) المنتظم، تتساوى كل الدورات، فتكون كل زاوية خارجية $\frac{360^\circ}{n}$ . اِستعمل هذا لتجيب في الحال: أيّ [مضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) منتظم زواياه الداخلية $150^\circ$ ؟ ولماذا *لا* يوجد [مضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) منتظم زواياه الداخلية $155^\circ$ ؟ **الجزء الثالث — تبليط الأرض.** حول كل نقطة من أرض مبلّطة، يجب أن يبلغ [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) أركان البلاطات الملتقية $360^\circ$ بالضبط — بلا فراغ ولا تراكب ([المسألة 40.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#pb-g6-lines-1)). 11. من أجل كل من [المثلث المتساوي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) والمربع [والسداسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) المنتظم: كم نسخة تلتقي عند نقطة ركن من التبليط؟ وتحقّق من $360^\circ$ في كل مرة. 12. بيّن أن الخماسيات المنتظمة لا تستطيع تبليط الأرض: فما [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) ثلاثة أركان، وما [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) أربعة؟ 13. بيّن أنه لا يمكن لأيّ [مضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) منتظم *بأكثر* من ستة أضلاع أن يبلّط: فلا بدّ أن تلتقي ثلاث بلاطات على الأقلّ عند كل ركن (فكل زاوية أصغر من $180^\circ$ )، وماذا يحدث لثلاثة أركان قياس كل منها $135^\circ$ أو أكثر؟ واِستنتج القائمة الكاملة للمبلِّطات المنتظمة. 14. كثيرًا ما تخلط أرضيات الحمّامات مثمّنات منتظمة بمربعات صغيرة. تحقّق من أن هذا الركن يعمل: $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ$ . وخلطة كلاسيكية أخرى تجمع مربعًا وسداسيًّا منتظمًا واِثني عشريًّا منتظمًا عند كل ركن: تحقّق منها أيضًا (وزاوية الاثني عشري الداخلية تنتج من طريقة السؤال 10). 15. اِختيار النحل: خلايا قرص العسل سداسيات منتظمة. تحقّق من أركانها ( $3$ زوايا)، واِشرح في جملة واحدة — بمساعدة اِكتشاف ديدو ( [المسألة 43.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#pb-g6-measure-1) ) — لماذا يكون [السداسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) ، من بين البلاطات المنتظمة الثلاث الممكنة، أرخصها في الشمع مقابل العسل الذي يحمله. **حل المسألة 51.1.** **1.** أقطار رأس واحد من [سداسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) تقطعه إلى $4$ مثلثات، إذن [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الزوايا الداخلية $4 \times 180 = 720^\circ$. **2.** من رأس واحد، تذهب الأقطار إلى كل [الرؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) عدا نفسه وجاريه: أي $n - 3$ قطرًا، تقطع [المضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) إلى $n - 2$ مثلثًا. وكل زاوية داخلية من [المضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) موزّعة بين المثلثات، إذن [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) هو $$ (n - 2) \times 180^\circ . $$ والتحقّق: $n = 3$: $180^\circ$؛ و $n = 4$: $360^\circ$ ([التمرين 51.11](#exo-g7-triangles-11))؛ و $n = 5$: $540^\circ$؛ و $n = 6$: $720^\circ$. **3.** العشاري: $8 \times 180 = 1\,440^\circ$. والاثنا عشري: $10 \times 180 = 1\,800^\circ$. **4.** بالقسمة على $n$: المثلث $60^\circ$؛ والمربع $90^\circ$؛ [والخماسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) $\frac{540}{5} = 108^\circ$؛ [والسداسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) $\frac{720}{6} = 120^\circ$؛ [والمثمّن](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) $\frac{1080}{8} = 135^\circ$. **5.** إضافة رأس تضيف مثلثًا آخر إلى المروحة: [فالمضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) الجديد يحتاج $n - 1$ مثلثًا حيث كان القديم يحتاج $n - 2$. مثلث إضافي واحد، و $180^\circ$ إضافية واحدة. **6.** يدور الماشي بالمكمّلة: $180^\circ - \widehat A$. ومن أجل المثلث $40$–$60$–$80$، تكون الدورات $140^\circ$ و $120^\circ$ و $100^\circ$. **7.** $140 + 120 + 100 = 360^\circ$: أي دورة كاملة واحدة. **8.** على مدى المشية كلها، يبدأ أنفك وينتهي مشيرًا إلى الجهة نفسها، وقد مسح مرة واحدة بالضبط: فكل الدوران المنجز عند الأركان يبلغ دورة كاملة واحدة، $360^\circ$ — مهما كان عدد الأركان وشكل المربّع. (والواقعة مستقلّة عن $n$ اِستقلالًا جميلًا.) **9.** عند كل ركن، الداخلية $+$ الدورة $= 180^\circ$. وبالجمع على الأركان $n$: $$ \text{(مجموع الداخليات)} + 360^\circ = 180^\circ \times n, \qquad\text{إذن}\qquad \text{مجموع الداخليات} = (n - 2) \times 180^\circ $$ — وهي صيغة السؤال 2، مبرهنًا عليها من جديد بالمشي. **10.** الزاوية الداخلية $150^\circ$ تعني أن كل دورة $30^\circ$، و $n = \frac{360}{30} = 12$: أي الاثنا عشري المنتظم. والزاوية الداخلية $155^\circ$ تعني دورات $25^\circ$، و $\frac{360}{25} = 14.4$ ليس عددًا صحيحًا من الأركان: فلا يوجد [مضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) منتظم كهذا. **11.** المثلث ($60^\circ$): تلتقي $6$، و $6 \times 60 = 360$. والمربع ($90^\circ$): تلتقي $4$. [والسداسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) ($120^\circ$): تلتقي $3$، و $3 \times 120 = 360$. والثلاثة كلها تنغلق اِنغلاقًا تامًّا. **12.** ثلاثة أركان [خماسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon): $3 \times 108 = 324^\circ$ — فيبقى فراغ $36^\circ$. وأربعة أركان: $4 \times 108 = 432^\circ > 360^\circ$ — تراكب. فلا هذا ولا ذاك يعمل: إذن الخماسيات المنتظمة لا تستطيع تبليط المستوي. **13.** عند ركن تبليط تلتقي $3$ بلاطات على الأقلّ. [والمضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) المنتظم بأكثر من ستة أضلاع زواياه الداخلية *أكبر* من $120^\circ$ (السؤال 4 ونموّ الزاوية مع $n$)، إذن ثلاثة أركان تتجاوز $3 \times 120 = 360^\circ$: تراكب، فمستحيل. وبستة أضلاع بالضبط، $3 \times 120 = 360$ يعمل؛ وتحت ستة، يفصل السؤالان 11 و12 في الحالات. والقائمة الكاملة للمبلِّطات المنتظمة: المثلث والمربع [والسداسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon). **14.** المثمّنات والمربعات: $135 + 135 + 90 = 360^\circ$: فينغلق الركن — وهو النمط الكلاسيكي في الشوارع. والمربع [والسداسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) والاثنا عشري: دورة الاثني عشري $\frac{360}{12} = 30^\circ$، إذن زاويته الداخلية $150^\circ$، و $90 + 120 + 150 = 360^\circ$: فهو يعمل أيضًا. **15.** أركان قرص العسل: $3 \times 120 = 360^\circ$، وهو تامّ. ومن بين بلاطات المثلث والمربع [والسداسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) المتساوية [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area)، [للسداسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) أقصر حدّ — فهو أقرب الثلاثة إلى دائرة ديدو ([المسألة 43.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#pb-g6-measure-1)) — إذن تحيط الخلايا السداسية بالعسل نفسه بأقلّ شمع: فالنحل يبلّط كالمهندسين.