---
title: "التماثل المركزي ومتوازيات الأضلاع"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 52
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms
---

# الفصل 52 — التماثل المركزي ومتوازيات الأضلاع

أدِر شكلًا نصف دورة حول نقطة: هذا هو *[التماثل المركزي](#def-g7-central-def)*، وهو ثاني تحويل في الكتاب بعد اِنعكاسات [الفصل 42](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/42-axial-symmetry#ch-g6-symmetry). وشكله النجم هو [متوازي الأضلاع](#def-g7-central-parallelogram) — أي [الرباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) المتماثل بالنسبة إلى نقطة تقاطع قطريه.

## 52.1 التماثل المركزي

**تعريف 52.1 (التماثل بالنسبة إلى نقطة).**

*مماثلة* النقطة $M$ بالنسبة إلى النقطة $O$ هي النقطة $M'$ التي تكون فيها $O$ *منتصف* [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[MM']$. والشكل المماثل هو ما يصير إليه الأصل بعد نصف دورة ($180^\circ$) حول $O$.

![التماثل بالنسبة إلى O: فكل نقطة وصورتها مستقيميتان مع O، على مسافتين متساويتين في الجهتين (الشُّرَط).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-central/fig-3a5d10b2de5e.svg)

*التماثل بالنسبة إلى $O$: فكل نقطة وصورتها مستقيميتان مع $O$، على مسافتين متساويتين في الجهتين (الشُّرَط).*

**طريقة 52.2 (إنشاء مماثلة نقطة).**

لإنشاء [مماثلة](#def-g7-central-def) $M'$ للنقطة $M$ بالنسبة إلى $O$:

1. اُرسم [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(MO)$ ومدّه إلى ما بعد $O$ ؛
2. وقِس $MO$ (بالمسطرة أو الفرجار)؛
3. وضع $M'$ على الامتداد حيث $OM' = OM$ .

وعلى الورق المربّعات: عُدّ الخطوات الأفقية والعمودية من $M$ إلى $O$، وكرّر الخطوات *نفسها* من $O$ لتبلغ $M'$.

**مثال 52.3 (على الشبكة).**

إذا كانت $M$ على بُعد $3$ مربعات يسارًا ومربع $1$ أعلى من $O$، فمماثلتها $M'$ على بُعد $3$ مربعات *يمينًا* ومربع $1$ *أسفل* من $O$: [فالتماثل المركزي](#def-g7-central-def) يعكس الاتجاهين معًا (أما الانعكاس فيعكس واحدًا فقط).

**قضية 52.4 (ما يحفظه نصف الدورة).**

[التماثل المركزي](#def-g7-central-def) يحفظ الأطوال والزوايا والمحيطات والمساحات؛ وصورة [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) *[موازٍ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)* له، وصورة [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) موازية بالطول نفسه، وصورة الدائرة دائرة [بنصف القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) نفسه (مركزها [مماثلة](#def-g7-central-def) المركز).

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**ملاحظة 52.5.**

قارن بالانعكاسات ([القضية 42.4](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/42-axial-symmetry#prop-g6-symmetry-preserved)): فكلاهما يحفظ الأطوال والزوايا؛ لكن الانعكاس يقلب الأشكال (فحرف «b» يصير «d»)، بينما نصف الدورة يبقيها مقروءة — مقلوبةً رأسًا على عقب (فحرف «b» يصير «q»). وخلافًا للانعكاس، يرسل نصف الدورة كل [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) إلى [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [موازٍ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) له.

**تعريف 52.6 (مركز التماثل).**

تكون النقطة $O$ *مركز تماثل* لشكل حين يرسل نصف الدورة حول $O$ الشكلَ بالضبط على نفسه. فمثلًا، للحروف S و N و Z مركز تماثل؛ وللدائرة واحد (مركزها)؛ وليس للمثلث مركز أبدًا.

## 52.2 متوازيات الأضلاع

**تعريف 52.7 (متوازي الأضلاع).**

*متوازي الأضلاع* [رباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) يتقاطع قطراه في منتصفهما المشترك. وتكون نقطة التقاطع تلك حينئذٍ [مركز تماثل](#def-g7-central-center) للشكل: فكل رأس هو صورة الرأس المقابل بنصف الدورة.

**مبرهنة 52.8 (خاصّيات متوازي الأضلاع).**

في [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram) $ABCD$ مركزه $O$:

1. الأضلاع المتقابلة متوازية: $(AB) \parallel (CD)$ و $(BC) \parallel (AD)$ ؛
2. والأضلاع المتقابلة لها الطول نفسه: $AB = CD$ و $BC = AD$ ؛
3. والزوايا المتقابلة متساوية: $\widehat A = \widehat C$ و $\widehat B = \widehat D$ .

**برهان.** نصف الدورة حول $O$ يرسل $A$ إلى $C$ و $B$ إلى $D$ (فبالتعريف $O$ منتصف القطرين معًا). إذن يرسل [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ إلى [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[CD]$؛ وحسب [القضية 52.4](#prop-g7-central-preserved) تكون الصورة موازية [للقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ وبالطول نفسه: وهما النقطتان 1 و2. ويرسل أيضًا الزاوية عند $A$ إلى الزاوية عند $C$، والزوايا محفوظة: وهي النقطة 3. ∎

![متوازي أضلاع ومركزه O: فالقطران (بالأحمر) يقطع كل منهما الآخر في منتصفه، والأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية (الشُّرَط).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-central/fig-f7a6741d6cd6.svg)

*[متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram) ومركزه $O$: فالقطران (بالأحمر) يقطع كل منهما الآخر في منتصفه، والأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية (الشُّرَط).*

**مبرهنة 52.9 (التعرّف على متوازي الأضلاع).**

يكون [الرباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) (الذي لا تتقاطع أضلاعه) [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram) بمجرد أن يتحقّق *أحد* ما يلي:

1. لقطريه المنتصف نفسه (وهو التعريف)؛
2. وأضلاعه المتقابلة متوازية مثنى مثنى؛
3. وضلعان متقابلان متوازيان *و* لهما الطول نفسه.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**مثال 52.10.**

في $ABCD$ لدينا $(AB) \parallel (CD)$ و $AB = CD = 5$ سم. فينطبق المحكّ 3: إذن $ABCD$ [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram) — ومنه نعرف أيضًا دون أيّ قياس آخر أن $AD = BC$ و $(AD) \parallel (BC)$، وأن قطريه يقطع كل منهما الآخر في منتصفه.

**ملاحظة 52.11 (متوازيات أضلاع خاصّة).**

المستطيل [والمعيّن](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-quadrilaterals) والمربع في [الفصل 41](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#ch-g6-shapes) هي بالضبط متوازيات الأضلاع ذات خاصّية زائدة: قطران متساويان (المستطيل)، وقطران متعامدان ([المعيّن](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-quadrilaterals))، والاثنان معًا (المربع). والآن تعمل حجّة الزوايا الموعودة في [المثال 41.6](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#ex-g6-shapes-recognize): ففي [متوازي الأضلاع](#def-g7-central-parallelogram) تكون الزاويتان المتتاليتان متكاملتين ([زوايا متبادلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/51-triangles-and-angles#def-g7-triangles-pairs) أو متناظرة مع [المتوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)، [المبرهنة 51.2](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/51-triangles-and-angles#thm-g7-triangles-equalities))، إذن [زاوية قائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) واحدة تفرض الأربع.

## 52.3 تمارين

**تمرين 52.1 ★.**

على الورق المربّعات، ضع $O$، ثم $M$ على بُعد أربعة مربعات يمين $O$ ومربع واحد أعلى. واِبنِ [مماثلة](#def-g7-central-def) $M'$ للنقطة $M$ بالنسبة إلى $O$، [ومماثلة](#def-g7-central-def) $M$ بالنسبة إلى *الخط العمودي من الشبكة* المارّ بالنقطة $O$. وقارن الصورتين.

**حل التمرين 52.1.**

صورة نصف الدورة: $M'$ على بُعد أربعة مربعات *يسار* $O$ ومربع واحد *أسفل* (فالاتجاهان معكوسان معًا). وصورة الانعكاس بالنسبة إلى الخط العمودي: أربعة مربعات يسارًا لكن ما زالت مربعًا واحدًا *أعلى*. والصورتان مختلفتان: فهما صورتان مرآتيتان عموديتان إحداهما للأخرى.

**تمرين 52.2 ★.**

اُرسم مثلثًا $ABC$ ونقطة $O$ خارجه. واِبنِ صورته $A'B'C'$ بنصف الدورة حول $O$. فماذا تقول عن الطولين $A'B'$ و $AB$؟ وعن [المستقيمين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(A'B')$ و $(AB)$؟

**حل التمرين 52.2.**

$A'B' = AB$ (فأنصاف الدورة تحفظ الأطوال) و $(A'B') \parallel (AB)$ (فصورة [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [موازٍ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)، [القضية 52.4](#prop-g7-central-preserved)).

**تمرين 52.3 ★.**

أيّ الأرقام، مكتوبة كما على شاشة آلة حاسبة (من $0$ إلى $9$)، له [مركز تماثل](#def-g7-central-center)؟ وأيّ الحروف الكبيرة من بين H و A و N و S و T و Z و O؟

**حل التمرين 52.3.**

أرقام آلة الحاسبة التي لها [مركز تماثل](#def-g7-central-center): $0$ و $2$ و $5$ و $8$ (و $1$ إذا رُسم عمودًا بسيطًا). والحروف: H و N و S و Z و O لها واحد؛ وأما A و T فلا (لهما محور بدل ذلك).

**تمرين 52.4 ★.**

$KLMN$ [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram) مركزه $O$ حيث $KL = 7$ سم، و $LM = 4$ سم و $\widehat K = 115^\circ$. أعطِ، مع الأسباب: $MN$ و $NK$ و $\widehat M$، ومنتصف $[LN]$.

**حل التمرين 52.4.**

الأضلاع المتقابلة متساوية: $MN = KL = 7$ سم و $NK = LM = 4$ سم. والزوايا المتقابلة متساوية: $\widehat M = \widehat K = 115^\circ$. والقطران يقطع كل منهما الآخر في منتصفهما المشترك، وتلك النقطة هي $O$: إذن منتصف $[LN]$ هو $O$.

**تمرين 52.5 ★.**

اِبنِ [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram) $ABCD$ من قطريه: $AC = 8$ سم و $BD = 5$ سم، متقاطعين في منتصفيهما بزاوية $60^\circ$ بينهما. (اُرسم القطرين أولًا!)

**حل التمرين 52.5.**

اُرسم [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[AC]$ طولها $8$ سم، وعلّم منتصفها $O$، واُرسم مارًّا بالنقطة $O$ مستقيمًا يصنع $60^\circ$ مع $(AC)$، وضع عليه $B$ و $D$ على بُعد $2.5$ سم من $O$ في الجهتين. وصِل $A$ و $B$ و $C$ و $D$: فالقطران يتقاطعان في منتصفيهما، إذن $ABCD$ [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram) بالتعريف.

**تمرين 52.6 ★.**

في [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram)، قياس إحدى الزوايا $115^\circ$. وباستعمال الملاحظة عن الزاويتين المتتاليتين المتكاملتين، أعطِ الزوايا الثلاث الأخرى.

**حل التمرين 52.6.**

الزاويتان المتتاليتان متكاملتان: فبجانب $115^\circ$ تقع $180 - 115 = 65^\circ$. والزاويتان المتقابلتان متساويتان، إذن الزوايا الأربع هي $115^\circ$ و $65^\circ$ و $115^\circ$ و $65^\circ$ ([والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $360^\circ$).

**تمرين 52.7 ★★.**

ضع النقط $A(1, 1)$ و $B(4, 2)$ والنقطة $O(2.5, 2.5)$. واِحسب إحداثيَي الصورتين $A'$ و $B'$ بنصف الدورة حول $O$ (اِستعمل عدّ الشبكة في [المثال 52.3](#ex-g7-central-grid)).

**حل التمرين 52.7.**

من $A(1,1)$ إلى $O(2.5, 2.5)$: $1.5$ يمينًا و $1.5$ أعلى؛ وبمواصلة الشيء نفسه: $A'(4, 4)$. ومن $B(4,2)$ إلى $O$: $1.5$ يسارًا و $0.5$ أعلى؛ وبالمواصلة: $B'(1, 3)$.

**تمرين 52.8 ★★.**

$ABCD$ [رباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) فيه $AB = CD$. فهل يكفي ذلك ليكون [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram)؟ وإن لم يكفِ، فاِرسم مثالًا مضادًّا (وشبه المنحرف [المتساوي الساقين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) يساعد)، واُذكر ما يجب إضافته إلى الفرض.

**حل التمرين 52.8.**

لا. فشبه المنحرف [المتساوي الساقين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ضلعاه المائلان متساويان دون أن يكون [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram) (فالضلعان المتوازيان لهما طولان مختلفان). والذي يكفي هو المحكّ 3 من [المبرهنة 52.9](#thm-g7-central-recognize): ضلعان متقابلان متساويان *ومتوازيان*.

**تمرين 52.9 ★★.**

ليكن $ABC$ مثلثًا و $O$ منتصف $[BC]$. اِبنِ [مماثلة](#def-g7-central-def) $A'$ للنقطة $A$ بالنسبة إلى $O$. وبيّن أن $ABA'C$ [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram). (فأيّ محكّ من [المبرهنة 52.9](#thm-g7-central-recognize) مجّاني هنا؟)

**حل التمرين 52.9.**

النقطة $O$ منتصف $[BC]$ بالاختيار، وهي منتصف $[AA']$ بإنشاء [المماثلة](#def-g7-central-def). [والرباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) $ABA'C$ قطراه $[AA']$ و $[BC]$ يشتركان في المنتصف $O$: فالمحكّ 1 (وهو التعريف) يجعله [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram) بلا كلفة إضافية.

**تمرين 52.10 ★★.**

صواب أم خطأ، مع سبب: «[الرباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) الذي زواياه المتقابلة متساوية مثنى مثنى [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram)»؛ و«[متوازي الأضلاع](#def-g7-central-parallelogram) ذو القطرين [المتعامدين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) [معيّن](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-quadrilaterals)»؛ و«[متوازي الأضلاع](#def-g7-central-parallelogram) ذو [الزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) مستطيل».

**حل التمرين 52.10.**

«الزوايا المتقابلة متساوية $\Rightarrow$ [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram)»: *صواب* (وهو محكّ تعرّف آخر؛ فمع [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الزوايا $360^\circ$، يفرض تساوي الزوجين المتقابلين تكامل الزاويتين المتتاليتين، ومنه توازي الأضلاع حسب [المبرهنة 51.2](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/51-triangles-and-angles#thm-g7-triangles-equalities)).

«القطران المتعامدان $\Rightarrow$ [معيّن](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-quadrilaterals)»: *صواب* من أجل [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram) (فالقطران يتقاطعان أصلًا في منتصفيهما).

«[زاوية قائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) واحدة $\Rightarrow$ مستطيل»: *صواب* — فالزاويتان المتتاليتان متكاملتان، إذن تصير الأربع قائمة.

**تمرين 52.11 ★★★.**

ليكن $ABCD$ رباعيًا كيفما كان و $I$ و $J$ و $K$ و $L$ منتصفات أضلاعه $[AB]$ و $[BC]$ و $[CD]$ و $[DA]$. اُرسم أمثلة عدّة. فماذا يبدو $IJKL$ دائمًا؟ (والبرهان، بمبرهنة المنتصفين، يأتي في [الفصل 59](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/59-midpoints-and-parallels#ch-g8-midpoints) — ومرة أخرى بالمتجهات، في مجلّد المرحلة الثانوية.)

**حل التمرين 52.11.**

مهما كان [الرباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) — حتى لو كان غير منتظم جدًّا — تكوّن المنتصفات $I$ و $J$ و $K$ و $L$ دائمًا *[متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram)*. والبرهان بمبرهنة المنتصفين في [الفصل 59](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/59-midpoints-and-parallels#ch-g8-midpoints) ([التمرين 59.9](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/59-midpoints-and-parallels#exo-g8-midpoints-9)).

## 52.4 مسألة: الكعكة، والمتوسط، والمركز الثاني المستحيل

**مسألة 52.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — نصف الدورة في العمل: قطع الكعكة العادل، وحدّ للمتوسطات، ولماذا لا يمكن لأيّ شكل أن يكون له مركزا تماثل

يبدو نصف الدورة أبسط التحويلات — ومع ذلك يقطع الكعك إلى نصفين عادلين بالبرهان، ويقيس متوسطات مثلث، ويخفي لؤلؤة صغيرة من الرياضيات الخالصة: فالشكل المحدود يمكن أن يكون له [مركز تماثل](#def-g7-central-center) واحد، لكن *لا مركزان أبدًا*. ويستعمل البرهان اِكتشافًا ستصنعه في الجزء الأول: أن نصفَي دورة، ينجزان واحدًا بعد الآخر، يبلغان اِنزلاقًا.

**الجزء الأول — رياضة نصف الدورة.**

1. على الورق المربّعات، خذ المبدأ $O(0, 0)$ مركزًا. وباستعمال عدّ الشبكة في [المثال 52.3](#ex-g7-central-grid) ، أعطِ صور $M(3, 1)$ و $N(-2, 4)$ و $P(0, -5)$ بنصف الدورة حول $O$ . فما القاعدة العامّة من أجل $(x, y)$ ؟
2. والآن المركز هو $C(2, 1)$ . اِحسب صورة $M(5, 3)$ ، وتحقّق من الوصفة العامّة: كل إحداثي للصورة هو *ضعف إحداثي المركز ناقص إحداثي النقطة* .
3. تُصمَّم ورق اللعب لتُقرأ كما هي مقلوبةً رأسًا على عقب — أي [تماثل مركزي](#def-g7-central-def) ، فلا يرى أيّ لاعب الورقة «بالمقلوب». اِشرح لماذا يجب، في ورقة عدد نقطها *فردي* ، أن تقع نقطة واحدة بالضبط في مركز الورقة.
4. نصفا دورة متتاليان: خذ المركزين $O_1(2, 0)$ و $O_2(5, 0)$ . أرسِل النقطة $A(1, 1)$ بنصف الدورة حول $O_1$ ، ثم أرسِل الصورة بنصف الدورة حول $O_2$ . وقارن البداية بالنهاية. وكرّر مع $B(0, 3)$ . فأيّ تحويل واحد بسيط بلغه نصفا الدورة؟
5. قِس اِنزلاق السؤال 4 بالنسبة إلى المسافة $O_1 O_2$ ، واُذكر الاكتشاف. (قارن مع المرآتين المتوازيتين في [المسألة 42.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/42-axial-symmetry#pb-g6-symmetry-1) : الظاهرة نفسها، وممثّلون جدد.)

**الجزء الثاني — الكعك والمتوسطات.**

6. ليكن $O$ مركز [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram) . اِشرح لماذا يلتقي أيّ [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) يمرّ بالنقطة $O$ الحدَّ في نقطتين متماثلتين بالنسبة إلى $O$ ، ولماذا يقطع [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [متوازي الأضلاع](#def-g7-central-parallelogram) إلى [قطعتين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) كل منهما نسخة مطابقة للأخرى بنصف دورة — ومنه متساويتا [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) .
7. مبرهنة الخبّاز: كعكة مستطيلة تُتقاسم بعدل تامّ بقطع [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) *أيّ* كان يمرّ بمركزها. وأفضل من ذلك: كعكة مستطيلة فيها ثقب مستطيل (بأيّ [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) وفي أيّ موضع، ومائل أيضًا). صِف [القطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الوحيد الذي يعطي جزأين فيهما من الكعكة قدر متساوٍ — وبَرِّره بالسؤال 6.
8. ثلاثة [رؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) من [متوازي أضلاع](#def-g7-central-parallelogram) $ABCD$ هي $A(0, 0)$ و $B(6, 1)$ و $C(8, 5)$ . اِحسب إحداثيَي $D$ وإحداثيَي المركز $O$ .
9. بنى [التمرين 52.9](#exo-g7-central-9)، من مثلث $ABC$ ومنتصف $O$ [للقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[BC]$، [متوازي الأضلاع](#def-g7-central-parallelogram) $ABA'C$ حيث $A'$ [مماثلة](#def-g7-central-def) $A$ بالنسبة إلى $O$. اِستعمله، مع المتراجحة المثلثية ([المبرهنة 51.6](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/51-triangles-and-angles#thm-g7-triangles-inequality)) في المثلث $ABA'$، لتبرهن على *حدّ المتوسط*: فالمتوسط $[AO]$ يحقّق $$AO < \frac{AB + AC}{2} .$$ (ولاحِظ أن $AA' = 2\,AO$ و $BA' = AC$.)
10. في مثلث فيه $AB = 5$ سم و $AC = 7$ سم، بين أيّ قيمتين يجب أن يقع طول المتوسط الصادر من $A$ ؟ (اِستعمل اِتجاهَي المتراجحة المثلثية معًا في $ABA'$ .)

**الجزء الثالث — كم مركزًا يمكن أن يكون لشكل؟**

11. من أجل كل شكل، قل هل له [مركز تماثل](#def-g7-central-center) ، وأين: [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) ؛ [ومستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) كامل؛ [ومثلث متساوي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ؛ ومربع؛ ودائرة؛ والحرفان S و Z.
12. بَرهِن على اِدّعائك في [المثلث المتساوي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) : فنصف دورة يرسل المثلث إلى نفسه يزاوج بين [الرؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الثلاثة — لكن الثلاثة [عدد فردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ، فيُرسل رأس ما إلى نفسه. فماذا يفرض ذلك على الرأس، ولماذا يستحيل؟
13. عمّم السؤال 12: اِشرح لماذا *لا* يوجد [مضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) ذو [عدد فردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) من [الرؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) له [مركز تماثل](#def-g7-central-center) .
14. اللؤلؤة: اِفترض أن لشكل مركزَي تماثل *متمايزين* $O_1$ و $O_2$ . أنجز نصفَي الدورة واحدًا بعد الآخر واِستعمل اِكتشاف السؤال 5: فأيّ حركة يجب أن ترسل الشكل بالضبط على نفسه؟ واِشرح لماذا لا يستطيع شكل يسع في ورقة أن يصمد لذلك، واِستنتج.
15. وخاتمة السؤال 14 تترك ثغرة: الأشكال *غير المحدودة* . تحقّق على إفريز لا نهائي — ليكن شريطًا لا ينتهي من آثار الأقدام، يسرى، ويمنى، ويسرى، ويمنى … — من أن له (على الأقلّ) مركزَي تماثل مختلفين، وعيّن الانسحاب الذي توقّعه السؤال 14.

**حل المسألة 52.1.**

**1.** $M(3, 1) \to (-3, -1)$؛ و $N(-2, 4) \to (2, -4)$؛ و $P(0, -5) \to (0, 5)$. والقاعدة: نصف الدورة حول المبدأ يرسل $(x, y)$ إلى $(-x, -y)$ — فتتغيّر إشارة الإحداثيين معًا.

**2.** من $M(5, 3)$: ثلاثة مربعات يمين $C$ تصير ثلاثة مربعات يسارًا، ومربعان أعلى يصيران مربعين أسفل: فالصورة $(-1, -1)$. والتحقّق من الوصفة: ضعف المركز ناقص النقطة، $(2 \times 2 - 5,\ 2 \times 1 - 3) = (-1, -1)$.

**3.** نصف الدورة حول مركز الورقة يبادل النقط مثنى مثنى. وبعدد فردي من النقط، تبقى نقطة بلا شريك: فيجب أن تكون صورة نفسها، والنقطة الوحيدة التي هي صورة نفسها هي المركز نفسه. ومنه تقع النقطة الوسطى في الورقة 3 و5 و 7 … في المركز تمامًا (اُنظر ورقة حقيقية: إنها كذلك).

**4.** حول $O_1(2,0)$: $A(1,1) \to (3,-1)$؛ وحول $O_2(5,0)$: $(3,-1) \to (7,1)$. البداية $A(1,1)$، والنهاية $(7,1)$: أي اِنزلاق $6$ إلى اليمين، لا قلب. والشيء نفسه من أجل $B(0,3) \to (4,-3) \to (6,3)$: اِنزلاق $6$ يمينًا. فنصفا الدورة يبلغان *اِنسحابًا*.

**5.** الانزلاق $6$، و $O_1 O_2 = 3$: فالانسحاب يقطع *ضعف* المسافة بين المركزين (في اِتجاه من $O_1$ إلى $O_2$) — تمامًا كما اِنسحبت المرآتان المتوازيتان بضعف الفجوة بينهما في [المسألة 42.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/42-axial-symmetry#pb-g6-symmetry-1).

**6.** نصف الدورة حول $O$ يرسل [متوازي الأضلاع](#def-g7-central-parallelogram) على نفسه (وهو ما يعنيه «[مركز التماثل](#def-g7-central-center)» له، [المبرهنة 52.8](#thm-g7-central-properties)). [والمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) المارّ بالنقطة $O$ يُرسَل أيضًا على نفسه، فتتبادل النقطتان اللتان يقطع فيهما الحدّ موضعيهما: فهما متماثلتان بالنسبة إلى $O$. وتتبادل قطعتا [متوازي الأضلاع](#def-g7-central-parallelogram) في جهتَي [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) أيضًا، فهما نسختان مطابقتان ([القضية 52.4](#prop-g7-central-preserved)) — ومتساويتا [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area).

**7.** اِقطع على [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) المارّ بالمركزين معًا: مركز مستطيل الكعكة ومركز الثقب. وحسب السؤال 6 مطبَّقًا على مستطيل الكعكة، ينصّف [القطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الكعكة؛ ومطبَّقًا على مستطيل الثقب ([فالمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) يمرّ بمركزه أيضًا)، ينصّف الثقب. فيأخذ كل جزء نصف الكعكة ناقص نصف الثقب: أي عدل تامّ.

**8.** $D = (0 + 8 - 6,\ 0 + 5 - 1) = (2, 4)$ (فالقطران يشتركان في منتصفهما، إذن $D$ صورة نصف الدورة للنقطة $B$ حول المركز). والمركز: منتصف $[AC]$، أي $O(4,\ 2.5)$.

**9.** في [متوازي الأضلاع](#def-g7-central-parallelogram) $ABA'C$، الأضلاع المتقابلة متساوية: أي $BA' = AC$. والمتراجحة المثلثية في $ABA'$ تعطي $AA' < AB + BA' = AB + AC$. وبما أن $O$ منتصف $[AA']$، فإن $AA' = 2\,AO$، إذن $2\,AO < AB + AC$، أي $AO < \frac{AB + AC}{2}$.

**10.** الحدّ الأعلى: $AO < \frac{5 + 7}{2} = 6$ سم. والحدّ الأدنى: في $ABA'$، $AA' > BA' - AB = 7 - 5 = 2$، إذن $AO > 1$ سم. فالمتوسط الصادر من $A$ يقع تمامًا بين $1$ و $6$ سم.

**11.** [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects): نعم، منتصفها. [والمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects): نعم — فكل نقطة من نقطه مركز. [والمثلث المتساوي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles): لا مركز. والمربع: نعم، تقاطع القطرين. والدائرة: نعم، مركزها. والحرفان S و Z: نعم، نقطتهما الوسطى (اِقلب الصفحة رأسًا على عقب: يُقرآن كما هما).

**12.** كان نصف الدورة يزاوج بين [الرؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الثلاثة فيما بينها؛ وبما أن الثلاثة [عدد فردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd)، يكون رأس $A$ صورة نفسه، فيُفرض أن يكون $A$ مركز نصف الدورة. ويكون الرأسان الآخران $B$ و $C$ حينئذٍ متماثلين بالنسبة إلى $A$ — فيكون $A$ منتصف $[BC]$، فتقع [الرؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الثلاثة على [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) واحد. وليس للمثلث ثلاثة [رؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) مستقيمية: فتناقض. إذن لا وجود لمركز.

**13.** حجّة الزوجية نفسها: فنصف دورة يحفظ [المضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) يزاوج بين [رؤوسه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon)؛ [والعدد الفردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) من [الرؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) يفرض رأسًا ثابتًا، ولا بدّ أن يكون المركز ومنتصف [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الواصلة بين رأسين آخرين — أي ثلاثة [رؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) مستقيمية، وهذا مستحيل في [مضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) … إذن لا [مضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) ذو [عدد فردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) من [الرؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) له [مركز تماثل](#def-g7-central-center).

**14.** إنجاز نصف الدورة حول $O_1$، ثم حول $O_2$، يرسل الشكل على نفسه في المرتين — إذن يفعل تركيبهما ذلك أيضًا. وحسب السؤال 5، ذلك التركيب اِنسحاب بضعف المسافة $O_1 O_2$، وهو ليس معدومًا لأن المركزين مختلفان. والشكل الذي يسع في ورقة لا يمكن أن يساوي نفسه منزلقًا بمقدار ثابت غير معدوم (اِزلقه مرات كافية فيغادر الورقة كلها). إذن للشكل المحدود [مركز تماثل](#def-g7-central-center) واحد على الأكثر.

**15.** على الشريط اللانهائي، نصف دورة حول النقطة الواقعة في منتصف ما بين أثر قدم يسرى وأثر القدم اليمنى التالية يرسل النمط على نفسه؛ والنقطة الأبعد بخطوة كاملة تفعل ذلك أيضًا: أي مركزان متمايزان. وتركيب نصفَي الدورة يعطي الانسحاب بضعف نصف الخطوة — وهو بالضبط اِنزلاق الخطوة الواحدة الذي يرسل الإفريز اللانهائي بوضوح على نفسه، كما يتوقّع السؤال 14. فالأنماط غير المحدودة تعيش بقواعد مختلفة: وتلك هي رياضيات ورق الجدران.