---
title: "المساحات والأحجام"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 53
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes
---

# الفصل 53 — المساحات والأحجام

قاست السنة السادسة المستطيلات والمثلثات القائمة الزاوية والصناديق ([الفصل 43](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#ch-g6-measure)). وبمقصّ — تقطع [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) هنا، وتلصقها هناك — تعطي الأفكار نفسها الآن مساحات متوازيات الأضلاع، و*كل* المثلثات والقرص، وأحجام الموشورات والأسطوانات.

## 53.1 مساحة متوازي الأضلاع

**مبرهنة 53.1 (متوازي الأضلاع).**

[متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) طول أحد أضلاعه $b$ (وهو *قاعدته*) والمسافة $h$ بين ذلك الضلع والمقابل له (وهي *اِرتفاعه*) مساحته

$$
A = b \times h .
$$

**برهان بالمقصّ.** اِقطع [المثلث القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) البارز في جهة واِلصقه في الأخرى: فيصير [متوازي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) مستطيلًا $b \times h$ [بالمساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) نفسها. ∎

![برهان المقصّ: إزلاق المثلث الأحمر من الطرف الأيسر إلى الطرف الأيمن يحوّل متوازي الأضلاع مستطيلًا — بالمساحة نفسها، b × h.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-ff97504b430f.svg)

*برهان المقصّ: إزلاق المثلث الأحمر من الطرف الأيسر إلى الطرف الأيمن يحوّل [متوازي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) مستطيلًا — [بالمساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) نفسها، $b \times h$.*

**ملاحظة 53.2.**

الارتفاع هو المسافة *العمودية* بين القاعدتين، لا طول الضلع المائل! [فمتوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) شديد الميل قد تكون له أضلاع طويلة [ومساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) صغيرة.

## 53.2 مساحة المثلث

**مبرهنة 53.3 (المثلث).**

مثلث قاعدته $b$ واِرتفاعه الموافق $h$ (وهو المسافة العمودية من الرأس المقابل إلى [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) القاعدة) مساحته

$$
A = \frac{b \times h}{2} .
$$

**برهان.** نسختان من المثلث، إحداهما مُدارة نصف دورة حول منتصف أحد الأضلاع، تتلاءمان في [متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) قاعدته $b$ واِرتفاعه $h$ (وهذا هو [التماثل المركزي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-def) في العمل، [القضية 52.4](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#prop-g7-central-preserved)). والمثلث نصفه: أي $\frac{bh}{2}$. ∎

![مثلث ونسخته المُدارة نصف دورة (بالمتقطّع) يكوّنان متوازي أضلاع: فمساحة المثلث b× h/2. وأيّ ضلع من الثلاثة يصلح قاعدة — مع اِرتفاعه هو.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-c7863134f268.svg)

*مثلث ونسخته المُدارة نصف دورة (بالمتقطّع) يكوّنان [متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram): [فمساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) المثلث $\frac{b\times h}{2}$. وأيّ ضلع من الثلاثة يصلح قاعدة — مع اِرتفاعه *هو*.*

**مثال 53.4.**

مثلث قاعدته $9$ سم واِرتفاعه الموافق يقيس $4$ سم:

$$
A = \frac{9 \times 4}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ سم}^2 .
$$

وفي المثلث *[القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)*، يكون ضلعا القائمة قاعدة واِرتفاعها: فنستعيد صيغة [القضية 43.6](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#prop-g6-measure-formulas).

## 53.3 مساحة القرص

**مبرهنة 53.5 (القرص).**

قرص نصف قطره $r$ مساحته

$$
A = \pi r^2 .
$$

**فكرة البرهان.** اِقطع القرص إلى شرائح رفيعة متساوية كثيرة وصُفَّها رأسًا لذيل: فتكاد تكوّن [متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) اِرتفاعه $r$ وقاعدته نصف [المحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter)، أي $\pi r$ ([القضية 43.3](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#prop-g6-measure-circle)). ومساحته قريبة من $\pi r \times r = \pi r^2$، ويصير [التقريب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-rounding) تامًّا كلما رقّت الشرائح. والبرهان الكامل يحتاج حساب التكامل، من مجلّد المرحلة الثانوية. ∎

![تشريح القرص وفرد الشرائح: فيكاد يكون متوازي أضلاع قاعدته π r (نصف الحدّ) واِرتفاعه r.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-a6b516b679c6.svg)

*تشريح القرص وفرد الشرائح: فيكاد يكون [متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) قاعدته $\pi r$ (نصف الحدّ) واِرتفاعه $r$.*

**مثال 53.6.**

سطح طاولة مدوّرة نصف قطره $60$ سم. ومساحته $\pi \times 60^2 = 3600\pi \approx 11\,310$ سم$^2$، أي أكثر قليلًا من $1.1$ م$^2$. واِنتبه [للفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference): [فالمحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) $2\pi r$ يستعمل $r$، [والمساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $\pi r^2$ تستعمل $r^2$.

## 53.4 الموشورات والأسطوانات

**تعريف 53.7 (الموشور والأسطوانة).**

*الموشور* [مجسّم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) له وجهان مضلّعان متوازيان متطابقان (وهما *القاعدتان*) تصلهما مستطيلات؛ و*الأسطوانة* مثله بقاعدتين قرصيتين. و*الارتفاع* هو المسافة بين القاعدتين.

**مبرهنة 53.8 (الأحجام).**

من أجل [موشور](#def-g7-areas-prism) أو [أسطوانة](#def-g7-areas-prism) [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) قاعدته $B$ واِرتفاعه $h$:

$$
V = B \times h .
$$

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**مثال 53.9.**

خيمة [موشور](#def-g7-areas-prism) مضطجع على جنبه: قاعدتاه مثلثان قاعدة كل منهما $2$ م واِرتفاعه $1.5$ م، وطول الخيمة $3$ م.

1. [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) القاعدة: $B = \frac{2 \times 1.5}{2} = 1.5$ م $^2$ .
2. [والحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) : $V = B \times h = 1.5 \times 3 = 4.5$ م $^3$ .

وعلبة معدنية نصف قطرها $4$ سم واِرتفاعها $11$ سم: $V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 553$ سم$^3$، أي نحو نصف لتر.

## 53.5 تمارين

**تمرين 53.1 ★.**

اِحسب [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) [متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) قاعدته $8$ سم واِرتفاعه $5$ سم؛ [ومساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) آخر قاعدته $6.5$ م واِرتفاعه $4$ م.

**حل التمرين 53.1.**

$8 \times 5 = 40$ سم$^2$؛ $6.5 \times 4 = 26$ م$^2$.

**تمرين 53.2 ★.**

[متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) ضلعاه $10$ سم و $6$ سم، والارتفاع الموافق للقاعدة $10$ سم يقيس $4$ سم. اِحسب مساحته. ولماذا لا يكون الجواب $60$ سم$^2$؟

**حل التمرين 53.2.**

$A = 10 \times 4 = 40$ سم$^2$. والجواب ليس $10 \times 6 = 60$ لأن الضلع $6$ سم مائل: فالصيغة تستعمل *الارتفاع* (المسافة العمودية)، وهو $4$ سم.

**تمرين 53.3 ★.**

اِحسب [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) مثلث قاعدته $12$ سم واِرتفاعه $7$ سم؛ [ومثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ضلعا قائمته $9$ و $6$؛ ومثلث قاعدته $5.5$ م واِرتفاعه $2$ م.

**حل التمرين 53.3.**

$\frac{12 \times 7}{2} = 42$ سم$^2$؛ $\frac{9 \times 6}{2} = 27$؛ $\frac{5.5 \times 2}{2} = 5.5$ م$^2$.

**تمرين 53.4 ★.**

اِحسب [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) قرص نصف قطره $5$ سم، ثم [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) نصف قرص نصف قطره $10$ سم (القيمتان المضبوطتان بالعدد $\pi$، ثم مقرّبتان إلى الوحدة).

**حل التمرين 53.4.**

القرص: $\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 79$ سم$^2$. ونصف القرص ذو [نصف القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $10$: $\frac{\pi \times 10^2}{2} = 50\pi \approx 157$ سم$^2$.

**تمرين 53.5 ★.**

اِحسب [محيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) قرص نصف قطره $3$ سم *و* مساحته. فأيّ الجوابين بالسنتيمتر وأيّهما بوحدة سم$^2$؟

**حل التمرين 53.5.**

[المحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter): $2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18.8$ سم (وهو طول، بالسنتيمتر). [والمساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area): $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.3$ سم$^2$ (وهي سطح، بوحدة سم$^2$).

**تمرين 53.6 ★.**

اِحسب [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [موشور](#def-g7-areas-prism) [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) قاعدته $24$ سم$^2$ واِرتفاعه $10$ سم؛ [وحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [أسطوانة](#def-g7-areas-prism) نصف قطرها $3$ سم واِرتفاعها $8$ سم (مضبوطًا، ثم مقرّبًا).

**حل التمرين 53.6.**

[الموشور](#def-g7-areas-prism): $24 \times 10 = 240$ سم$^3$. [والأسطوانة](#def-g7-areas-prism): $\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226$ سم$^3$.

**تمرين 53.7 ★.**

مثلث مساحته $28$ سم$^2$ وقاعدته $8$ سم. جِد الارتفاع الموافق، بكتابة المعادلة أولًا.

**حل التمرين 53.7.**

$\frac{8 \times h}{2} = 28$، إذن $4h = 28$ و $h = 7$ سم.

**تمرين 53.8 ★★.**

اُرسم مثلثًا كيفما كان وقِس بعناية أزواج القاعدة والارتفاع الثلاثة. واِحسب $\frac{b \times h}{2}$ من أجل كل زوج: فالنتائج الثلاث يجب أن تتوافق (في حدود خطأ القياس). فلماذا؟

**حل التمرين 53.8.**

تتوافق [الجداءات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) الثلاثة لأن كل واحد منها يحسب المقدار *نفسه* — وهو [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) المثلث. وهذا يعطي تحقّقًا عمليًّا من الإنشاءات، وطريقة لحساب اِرتفاع من زوج قاعدة–اِرتفاع آخر (مستعملة في [التمرين 53.12](#exo-g7-areas-12)).

**تمرين 53.9 ★★.**

حديقة على شكل شبه منحرف يمكن شقّها، [بقطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) واحد، إلى مثلثين لهما الارتفاع نفسه $h = 20$ م، وقاعدتاهما $30$ م و $18$ م. اِحسب مساحتها الكلية. وهل تستطيع تخمين صيغة عامّة لشبه المنحرف؟

**حل التمرين 53.9.**

للمثلثين مساحتان $\frac{30 \times 20}{2} = 300$ م$^2$ و $\frac{18 \times 20}{2} = 180$ م$^2$: [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $480$ م$^2$. والصيغة العامّة المقترحة: من أجل ضلعين [متوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) $a$ و $b$ على مسافة $h$،

$$
A = \frac{(a + b) \times h}{2}
$$

— وهي صيغة شبه المنحرف (وهنا $\frac{(30+18)\times 20}{2} = 480$).

**تمرين 53.10 ★★.**

مزهرية أسطوانية نصف قطرها $6$ سم فيها ماء إلى اِرتفاع $15$ سم. ويُسكب الماء كله في صندوق فارغ قاعدته $18$ سم $\times$ $12$ سم. فأيّ اِرتفاع للماء يُبلَغ في الصندوق؟ ([الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) نفسه، وقاعدة مختلفة.)

**حل التمرين 53.10.**

[حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) الماء: $\pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696$ سم$^3$. وقاعدة الصندوق: $18 \times 12 = 216$ سم$^2$. والارتفاع المبلوغ: $\frac{540\pi}{216} = 2.5\pi \approx 7.9$ سم.

**تمرين 53.11 ★★.**

بيتزا قطرها $30$ سم ثمنها $9$ يورو؛ وأخرى قطرها $40$ سم ثمنها $14$ يورو. اِحسب المساحتين والثمن لكل $100$ سم$^2$. فأيّ بيتزا صفقة أفضل؟

**حل التمرين 53.11.**

نصفا القطرين $15$ و $20$ سم. والمساحتان: $225\pi \approx 707$ سم$^2$ و $400\pi \approx 1257$ سم$^2$. والثمن لكل $100$ سم$^2$: $\frac{9}{7.07} \approx 1.27$ يورو و $\frac{14}{12.57} \approx 1.11$ يورو. فالبيتزا الكبيرة صفقة أفضل — فالمساحات تنمو مع *مربّع* [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle).

**تمرين 53.12 ★★★.**

ضلعا القائمة في [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) يقيسان $6$ سم و $8$ سم، ووتره يقيس $10$ سم. اِحسب مساحته بضلعَي القائمة، ثم اِستعمل تلك [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) لإيجاد الارتفاع الموافق *للوتر*.

**حل التمرين 53.12.**

بضلعَي القائمة: $A = \frac{6 \times 8}{2} = 24$ سم$^2$. وبالوتر قاعدةً: $24 = \frac{10 \times h}{2} = 5h$، إذن $h = 4.8$ سم.

## 53.6 مسألة: المربع المتلاشي

**مسألة 53.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — «برهان» مشهور على أن $64 = 65$، تفضحه المساحات والميول، مع بيتزا وحلقات للحلوى

يقطع ساحر مربعًا $8 \times 8$ إلى أربع قطع، ويزلقها هنا وهناك، ويعيد تركيبها مستطيلًا $5 \times 13$. فيعدّ الجمهور: $8 \times 8 = 64$، لكن $5 \times 13 = 65$ — فقد ظهرت وحدة مربعة من العدم! وصيغ [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) في هذا الفصل هي بالضبط الأدوات التي تمسك الحيلة. ثم تضع المسألة اِستدلال [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) الأمين في العمل: على أشباه المنحرف، وعلى الأكداس المائلة، وعلى اِقتصاد البيتزا — وأخيرًا تعود إلى الساحر في عرض ثانٍ أغرب بعدُ.

**الجزء الأول — الحيلة، منجزةً ومفضوحة.** [والقطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الأربع من المربع $8 \times 8$ هي: مثلثان قائما الزاوية ضلعا قائمتهما $8$ و $3$، وشبها منحرف قائمان ضلعاهما المتوازيان $5$ و $3$ واِرتفاعهما $5$.

1. اِحسب [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) المربع الأصلي [ومساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) المستطيل المدّعى. واُذكر الفضيحة في سطر واحد.
2. اِحسب [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) كل [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) من [القطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الأربع ( [المبرهنة 53.3](#thm-g7-areas-triangle) ؛ ومن أجل شبهَي المنحرف، اِقطع أو اِستعمل [التمرين 53.9](#exo-g7-areas-9) ).
3. اِجمع المساحات الأربع. فأيّ الشكلين — المربع أم المستطيل — تستطيع [القطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) ملأه حقًّا؟
4. في ترتيب المستطيل، يُفترض أن وتر مثلث (يصعد $3$ على مدى $8$ ) يواصل حرفًا مائلًا لشبه منحرف (يصعد $2$ على مدى $5$ ) في « [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) » [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) واحد. اِختبر المحاذاة: أيكون $3$ على مدى $8$ و $2$ على مدى $5$ بالميل نفسه ( [المبرهنة 49.3](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/49-proportionality#thm-g7-prop-cross) )؟
5. اِشرح أين يختبئ المربع الخامس والستون: فما شكل الفجوة على طول [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) الزائف، وما مساحتها المضبوطة، ولماذا تفوت العين؟ (فكم يبلغ، في المتوسط، عرض شظية بتلك [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) ممدودة على [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) المستطيل الذي يبلغ طوله نحو $13$ وحدة؟)

**الجزء الثاني — اِستدلال [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) الأمين.**

6. اُرسم [مستقيمين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [متوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) تفصل بينهما $4$ سم، وقاعدة $6$ سم على أحدهما، وثلاثة مثلثات مختلفة على تلك القاعدة رؤوسها في نقط شتّى من [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الآخر. اِحسب المساحات الثلاث. ولماذا تتساوى كلها، مهما اِنزلق الرأس على مستقيمه؟
7. بَرهِن على صيغة شبه المنحرف عمومًا: فشبه منحرف ضلعاه المتوازيان $B$ و $b$ واِرتفاعه $h$، مقطوعًا على طول [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle)، يعطي مثلثين لهما الارتفاع نفسه $h$. فاِستنتج: $$A = \frac{(B + b) \times h}{2} .$$
8. طبّقها على شبه منحرف فيه $B = 9$ سم و $b = 5$ سم و $h = 4$ سم.
9. ويستعمل النجّارون الصيغة نفسها متنكّرة: [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $=$ (متوسط الضلعين [المتوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) ) $\times$ الارتفاع. اِشرح لماذا تكون القاعدة نفسها، وأعِد حساب السؤال 8 بتلك الطريقة.
10. أمِل كدسًا مرتّبًا من ورق اللعب فيصير كدسًا مائلًا. اِشرح لماذا لم يتغيّر [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) ، وماذا يقول ذلك عن الارتفاع في صيغة [الموشور](#def-g7-areas-prism) $V = B \times h$ ( [المبرهنة 53.8](#thm-g7-areas-volume) ): فأيّ اِرتفاع يجب أن يُؤخذ من أجل كدس مائل — الطول المائل أم العمودي؟ (قارن [التمرين 53.2](#exo-g7-areas-2) ، ببُعد إضافي.)

**الجزء الثالث — الحلقات والبيتزا وعودة الساحر.**

11. بركة دائرية نصف قطرها $3$ م تقع في مركز مرج دائري نصف قطره $5$ م. اِحسب [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) حلقة العشب (مضبوطة بالعدد $\pi$ ، ثم مقرّبة إلى م $^2$ ).
12. جِد [نصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) القرص الوحيد الذي تساوي مساحته [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) تلك الحلقة بالضبط. ( [وأنصاف الأقطار](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) الثلاثة التي عندك الآن تكوّن ثلاثية مشهورة، تُروى قصتها في [الفصل 58](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/58-the-pythagorean-theorem#ch-g8-pythagoras) .)
13. أيّهما بيتزا أكثر: بيتزا واحدة قطرها $40$ سم، أم بيتزاتان [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) كل منهما $28$ سم؟ اِحسب وقارن.
14. *ولمضاعفة* [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) بيتزا، بأيّ معامل تقريبًا يجب أن ينمو نصف قطرها؟ اِختبر المرشّح $1.4$ (وتذكّر أن المساحات تتبع *مربّع* معامل [السلّم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-scale) ، [المسألة 44.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/44-proportionality-and-data#pb-g6-propdata-1) )، وقل أين يدخل المعامل المضبوط — وهو العدد الذي مربّعه $2$ — دخوله الرسمي ( [المثال 58.9](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/58-the-pythagorean-theorem#ex-g8-pythagoras-diagonal) ).
15. ويعود الساحر: فيقطع مربعًا $13 \times 13$ والأعداد $5$ و $8$ و $13$ تلعب الأدوار التي لعبتها $3$ و $5$ و $8$ من قبل، ويعيد تركيب مستطيل $8 \times 21$ . اِحسب المساحتين: فما الذي يتلاشى هذه المرة؟ والأعداد $3, 5, 8, 13, 21$ حدود متتالية من متتالية [المسألة 47.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/47-fractions-comparing-and-adding#pb-g7-fractions-1) — اُذكر نمط مكاسب الساحر وخسائره، والدرس: لماذا لا تكذب المساحات أبدًا؟

**حل المسألة 53.1.**

**1.** المربع: $8 \times 8 = 64$. والمستطيل: $5 \times 13 = 65$. [فالقطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الأربع نفسها تبدو وكأنها تغطّي $64$ وحدة مربعة في شكل و $65$ في الآخر: أي إن وحدة [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) خُلقت من العدم — زعمًا.

**2.** كل مثلث: $\frac{8 \times 3}{2} = 12$. وكل شبه منحرف: $\frac{(5 + 3) \times 5}{2} = 20$.

**3.** $12 + 12 + 20 + 20 = 64$: [فمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) [القطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $64$، إذن تستطيع ملء المربع بالضبط — و*لا* تستطيع ملء المستطيل ذي $65$ وحدة. فلا بدّ أن تحوي صورة المستطيل ثقبًا.

**4.** الميل نفسه يعني أن $3$ على مدى $8$ متناسب مع $2$ على مدى $5$؛ والجداءان المتقاطعان: $3 \times 5 = 15$ و $2 \times 8 = 16$. وهما غير متساويين: إذن الوتر والحرف المائل *لا* يصطفّان. و«[قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle)» المستطيل كذبة — أي ميلان مختلفان قليلًا يلتقيان بزاوية ضحلة.

**5.** على طول [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) الزائف تترك [القطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الأربع فجوة طويلة رفيعة جدًّا — شظية على شكل [متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) مسطّح جدًّا — مساحتها بالضبط الوحدة المربعة الناقصة $65 - 64 = 1$. وممدودةً على [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) طوله نحو $13$ وحدة، يكون عرضها المتوسط نحو $1 \div 13 \approx 0.08$ وحدة: أي، على رسم حقيقي، أرفع من خطّ القلم الذي يخفيها.

**6.** كل مثلث قاعدته $6$ سم واِرتفاعه $4$ سم — وهو المسافة بين [المتوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)، أينما وقع الرأس — إذن [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) كل واحد $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ سم$^2$ ([المبرهنة 53.3](#thm-g7-areas-triangle)). وإزلاق الرأس على [الموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) يغيّر الشكل، لا القاعدة ولا الارتفاع: فالمساحات متساوية إلى الأبد.

**7.** [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) يقطع شبه المنحرف إلى مثلث قاعدته $B$ ومثلث قاعدته $b$، كلاهما باِرتفاع $h$ (وهو المسافة بين الضلعين [المتوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)):

$$
A = \frac{B \times h}{2} + \frac{b \times h}{2}
= \frac{(B + b) \times h}{2} .
$$

**8.** $A = \frac{(9 + 5) \times 4}{2} = \frac{56}{2} =
28$ سم$^2$.

**9.** متوسط الضلعين [المتوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) هو $\frac{B + b}{2}$، إذن (المتوسط) $\times h =
\frac{(B+b) \times h}{2}$: أي الصيغة نفسها، معمّلة تعميلًا مختلفًا. والتحقّق: المتوسط $= \frac{9+5}{2} = 7$، و $7 \times 4 = 28$ سم$^2$.

**10.** الكدس المائل يحوي الورق نفسه بالضبط — الطبقات نفسها، وكل واحدة [بالمساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) نفسها — إذن [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) نفسه. وفي $V = B \times h$، يجب أن يُقاس الارتفاع *عموديًّا* على القاعدة (أي اِرتفاع الكدس العمودي)، لا على طول الميل: تمامًا كما تريد [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) [متوازي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) الارتفاعَ العمودي، لا الضلع المائل ([التمرين 53.2](#exo-g7-areas-2))، ببُعد إضافي.

**11.** الحلقة $= \pi \times 5^2 - \pi \times 3^2 = 25\pi -
9\pi = 16\pi \approx 50$ م$^2$ ([المبرهنة 53.5](#thm-g7-areas-disk)).

**12.** القرص ذو [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $16\pi$ نصف قطره $4$، لأن $\pi \times 4^2 = 16\pi$. [وأنصاف الأقطار](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $3$ و $4$ و $5$: أشهر ثلاثية في الرياضيات، تلعب البطولة في [الفصل 58](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/58-the-pythagorean-theorem#ch-g8-pythagoras).

**13.** البيتزا الواحدة $40$ سم: نصف قطرها $20$، ومساحتها $\pi \times 400 \approx 1\,257$ سم$^2$. والبيتزاتان $28$ سم: [نصف القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $14$، ومعًا $2 \times \pi \times 196 = 392\pi \approx 1\,232$ سم$^2$. فالبيتزا الكبيرة الواحدة بيتزا *أكثر* من المتوسطتين.

**14.** تكبير [نصف القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) بالمعامل $1.4$ يكبّر [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) بالمعامل $1.4^2 = 1.96$ — أي الضعف تقريبًا. والمعامل المضبوط هو العدد الذي مربّعه $2$، ونحوه $1.414$: وهو عدد [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) في [المثال 58.9](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/58-the-pythagorean-theorem#ex-g8-pythagoras-diagonal). (وقاعدة تقريبية: نصف زيادة في العرض يعطي ضعف البيتزا تقريبًا.)

**15.** $13 \times 13 = 169$، لكن $8 \times 21 = 168$: ففي هذه المرة *تختفي* وحدة مربعة — إذ تتراكب [القطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) في شظية رفيعة بدل أن تترك فجوة. ومع الحدود المتتالية $3, 5, 8, 13, 21$ من متتالية هيماشندرا–فيبوناتشي، تتقلّب [الجداءات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) بين واحد زائد وواحد ناقص عن المربع ($5 \times 13 = 65 =
8^2 + 1$، ثم $8 \times 21 = 168 = 13^2 - 1$): فالساحر «يكسب» و«يخسر» وحدة بالتناوب. والمساحات لا تكذب أبدًا: [فالقطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) التي مجموعها $64$ تغطّي $64$، أينما اِنزلقت — وكل وحدة ناقصة أو زائدة مختبئة في شظية، تنتظر فحص ميل يفضحها.