---
title: "ضرب الأعداد السالبة"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 54
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/54-multiplying-negative-numbers
---

# الفصل 54 — ضرب الأعداد السالبة

جمعت السنة السابعة الأعداد النسبية وطرحتها ([الفصل 46](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/46-negative-numbers#ch-g7-negatives))؛ ويبقى ضربها وقسمتها. ويهيمن سؤال واحد على الفصل: لماذا يكون «ناقص في ناقص» زائدًا؟ ونحن نعطي سببًا، لا قاعدة فحسب.

## 54.1 قواعد الإشارة

**مبرهنة 54.1 (إشارة الجداء).**

[جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) عددين نسبيين مسافته إلى [الصفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) تساوي [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) المسافتين، وإشارته معطاة بما يلي:

| $\times$ | $+$ | $-$ |
| --- | --- | --- |
| $+$ | $+$ | $-$ |
| $-$ | $-$ | $+$ |

*الإشارتان نفسهما: [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) موجب. وإشارتان متعاكستان: [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) سالب.* والجدول نفسه يحكم [خوارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder).

**لماذا $(-1) \times (-1) = +1$.** أولًا، $3 \times (-4)$ يعني $(-4) + (-4) + (-4) = -12$: فموجب في سالب سالب. والآن راقب النمط:

$$
3 \times (-4) = -12, \quad
2 \times (-4) = -8, \quad
1 \times (-4) = -4, \quad
0 \times (-4) = 0 .
$$

في كل خطوة، ينقص العامل الأول بمقدار $1$ و*ترتفع* النتيجة بمقدار $4$. وبمواصلة النمط خطوة أخرى:

$$
(-1) \times (-4) = 0 + 4 = +4 .
$$

وأيّ اِختيار آخر يكسر اِنتظام الحساب (التوزيعية). إذن ناقص في ناقص لا بدّ أن يكون زائدًا. ∎

![حجّة النمط في صورة: فالنقط (k,\ k × (-4)) تصطفّ، ومواصلة المستقيم بعد k = 0 تفرض (-1)×(-4) = +4 و (-2)×(-4) = +8.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-negprod/fig-364e71576001.svg)

*حجّة النمط في صورة: فالنقط $(k,\ k \times (-4))$ تصطفّ، ومواصلة [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) بعد $k = 0$ تفرض $(-1)\times(-4) = +4$ و $(-2)\times(-4) = +8$.*

**مثال 54.2.**

$$
\begin{align*}
(-7) \times (+6) &= -42 && \text{(إشارتان متعاكستان)} \\
(-5) \times (-8) &= +40 && \text{(الإشارتان نفسهما)} \\
(+2.5) \times (-4) &= -10 \\
(-36) \div (-9) &= +4 \\
(+15) \div (-2) &= -7.5 .
\end{align*}
$$

## 54.2 جداءات عوامل عدّة

**قضية 54.3 (إشارة جداء طويل).**

إشارة [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) عوامل عدّة غير معدومة تتوقف على عدد العوامل السالبة وحده:

- عدد *زوجي* من العوامل السالبة يعطي [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) موجبًا؛
- وعدد *فردي* يعطي [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) سالبًا.

**برهان.** تتزاوج العوامل السالبة، وكل زوج يسهم بإشارة موجبة ([المبرهنة 54.1](#thm-g8-negprod-rules))؛ [والعدد الفردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) يترك عاملًا سالبًا بلا زوج، فيجعل [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) كله سالبًا. ∎

**مثال 54.4.**

$(-2) \times (+3) \times (-5) \times (-1)$: ثلاثة عوامل سالبة ([عدد فردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd))، إذن [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) سالب؛ والمسافات: $2 \times 3 \times 5
\times 1 = 30$. والنتيجة: $-30$. فحدّد الإشارة *أولًا*، ثم اِضرب المسافات — مهمتان سهلتان بدل واحدة معرّضة للخطأ.

**مثال 54.5 (قوى الأعداد السالبة).**

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$، و $(-2)^3 = (-2)^2 \times (-2) = -8$: فالأُسُس الزوجية تعطي قيمًا موجبة، والأُسُس الفردية تحفظ الإشارة. واِنتبه للترميز: $(-3)^2 = 9$ لكن $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$.

## 54.3 الحساب بالعمليات الأربع

**طريقة 54.6 (حساب آمن بالأعداد النسبية).**

1. اِحترم أولويات [الفصل 45](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/45-priorities-of-operations#ch-g7-priorities) : الأقواس، ثم $\times$ و $\div$ ، ثم $+$ و $-$ ؛
2. وعند كل ضرب أو قسمة، جِد *الإشارة أولًا* ، ثم المسافة؛
3. وأعِد الكتابة خطوة واحدة في كل سطر.

**مثال 54.7.**

$$
\begin{align*}
5 - 3 \times (-4)
&= 5 - (-12) && \text{(الجداء أولًا: إشارتان متعاكستان)}\\
&= 5 + 12 = 17 .
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\frac{(-6) \times (-10)}{-4}
&= \frac{+60}{-4} && \text{(البسط: الإشارتان نفسهما)}\\
&= -15 && \text{(خارج القسمة: إشارتان متعاكستان).}
\end{align*}
$$

**مثال 54.8 (التعويض بقيم سالبة).**

اِحسب قيمة $E = 3x^2 - 2x$ من أجل $x = -5$، مع أقواس حول القيمة:

$$
E = 3 \times (-5)^2 - 2 \times (-5)
= 3 \times 25 - (-10)
= 75 + 10 = 85 .
$$

والأقواس في $(-5)^2$ ضرورية: فبدونها ينطبق التربيع على $5$ وحده.

## 54.4 تمارين

**تمرين 54.1 ★.**

اِحسب:

$$
(-8) \times (+7), \qquad
(-9) \times (-6), \qquad
(+12) \times (-0.5), \qquad
(-1) \times (-1) \times (-1).
$$

**حل التمرين 54.1.**

$(-8) \times (+7) = -56$؛ $(-9) \times (-6) = +54$؛ $(+12) \times (-0.5) = -6$؛ $(-1) \times (-1) \times (-1) = -1$ (ثلاثة عوامل سالبة: [عدد فردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd)).

**تمرين 54.2 ★.**

اِحسب:

$$
(-63) \div (+9), \qquad
(-8) \div (-16), \qquad
\frac{45}{-5}, \qquad
\frac{-7.2}{-8} .
$$

**حل التمرين 54.2.**

$(-63) \div (+9) = -7$؛ $(-8) \div (-16) = +0.5$؛ $\dfrac{45}{-5} = -9$؛ $\dfrac{-7.2}{-8} = +0.9$.

**تمرين 54.3 ★.**

أعطِ *إشارة* كل [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) فقط، دون حسابه:

$$
(-3) \times (-7) \times (+2) \times (-5); \qquad
(-1)^{10}; \qquad
(-2)^{7}; \qquad
(-4) \times 0 \times (-6).
$$

**حل التمرين 54.3.**

ثلاثة عوامل سالبة: *سالب*. و $(-1)^{10}$: عشرة عوامل سالبة، [عدد زوجي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd): *موجب* (فهو يساوي $1$). و $(-2)^7$: سبعة عوامل، [عدد فردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd): *سالب*. و $(-4) \times 0 \times (-6) = 0$: لا موجب ولا سالب.

**تمرين 54.4 ★.**

اِحسب:

$$
(-2)^4, \qquad
-2^4, \qquad
(-3)^3, \qquad
(-1)^{2026} .
$$

**حل التمرين 54.4.**

$(-2)^4 = +16$؛ و $-2^4 = -16$ (فالناقص غير مربّع)؛ و $(-3)^3 = -27$؛ و $(-1)^{2026} = +1$ (أُسّ زوجي).

**تمرين 54.5 ★.**

اِحسب خطوة خطوة، مع اِحترام الأولويات:

$$
7 + 2 \times (-6), \qquad
(-4) \times (5 - 9), \qquad
18 \div (-3) - (-2) .
$$

**حل التمرين 54.5.**

$7 + 2 \times (-6) = 7 + (-12) = -5$.

$(-4) \times (5 - 9) = (-4) \times (-4) = +16$.

$18 \div (-3) - (-2) = -6 + 2 = -4$.

**تمرين 54.6 ★.**

اِحسب:

$$
\frac{(-5) \times (+8)}{-4}, \qquad
\frac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} .
$$

**حل التمرين 54.6.**

$\dfrac{(-5) \times (+8)}{-4} = \dfrac{-40}{-4} = +10$.

$\dfrac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} = \dfrac{+18}{-18} = -1$.

**تمرين 54.7 ★.**

اِحسب القيمة من أجل $x = -3$:

$$
5x, \qquad x^2, \qquad -x^2, \qquad 2x^2 + 4x, \qquad (2x)^2 .
$$

**حل التمرين 54.7.**

من أجل $x = -3$: $5x = -15$؛ و $x^2 = (-3)^2 = 9$؛ و $-x^2 = -9$؛ و $2x^2 + 4x = 18 - 12 = 6$؛ و $(2x)^2 = (-6)^2 = 36$.

**تمرين 54.8 ★★.**

أكمل كل تساوٍ:

$$
(-6) \times \;?\; = 42, \qquad
\;?\; \div (-4) = -2.5, \qquad
(-5) \times \;?\; = -1 .
$$

**حل التمرين 54.8.**

$(-6) \times (-7) = 42$؛ $10 \div (-4) = -2.5$؛ $(-5) \times \frac15 = -1$، إذن العدد الناقص هو $+\frac15 = 0.2$.

**تمرين 54.9 ★★.**

صواب أم خطأ؟ بَرِّر أو أعطِ مثالًا مضادًّا.

1. [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) عددين نسبيين لا يقلّ أبدًا عن مجموعهما.
2. مربع [عدد نسبي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) ليس سالبًا أبدًا.
3. إذا كان [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) ثلاثة عوامل موجبًا، فالعوامل الثلاثة كلها موجبة.

**حل التمرين 54.9.**

*1. خطأ*: [فالجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $0.5 \times 0.5 = 0.25$ أصغر من $0.5 + 0.5 = 1$ (أو: $2 \times 3 = 6 > 5$، لكن الادّعاء يجب أن يصحّ دائمًا).

*2. صواب*: فالمربع [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) عددين لهما الإشارة نفسها، ومنه فهو موجب أو معدوم.

*3. خطأ*: [فالجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $(-2) \times (-3) \times 4 = +24$ موجب مع عاملين سالبين.

**تمرين 54.10 ★★.**

كل جواب خاطئ في اِختبار يساوي $-3$ نقاط، وكل جواب صحيح $+5$. أجابت زينة عن $20$ سؤالًا فحصلت على $36$ نقطة. فكم جوابًا كان صحيحًا؟ (جرّب قيمًا، أو أقِم الحساب $5r - 3(20 - r) = 36$.)

**حل التمرين 54.10.**

ليكن $r$ عدد الأجوبة الصحيحة؛ فتكون $20 - r$ خاطئة، ومنه

$$
5r - 3(20 - r) = 36
\ \Longrightarrow\
5r - 60 + 3r = 36
\ \Longrightarrow\
8r = 96
\ \Longrightarrow\
r = 12 .
$$

أي اِثنا عشر جوابًا صحيحًا (وثمانية خاطئة: والتحقّق، $60 - 24 = 36$).

**تمرين 54.11 ★★★.**

باستعمال التوزيعية (كما في برهان [المبرهنة 54.1](#thm-g8-negprod-rules))، اُنشر وبَرِّر كل خطوة من

$$
0 = (-1) \times 0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr)
= (-1) \times 1 + (-1) \times (-1),
$$

واِستنتج أن $(-1) \times (-1)$ لا بدّ أن يساوي $+1$.

**حل التمرين 54.11.**

[الصفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) في أيّ شيء [صفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero)، إذن $(-1) \times 0 = 0$. وبكتابة $0 = 1 + (-1)$ والتوزيع:

$$
0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr)
= (-1) \times 1 + (-1) \times (-1)
= -1 + (-1) \times (-1).
$$

العدد $(-1) \times (-1)$ مجموعًا إلى $-1$ يعطي $0$: فلا بدّ أن يكون [معاكس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) $-1$، أي $+1$. والتوزيعية لا تترك خيارًا آخر.

## 54.5 مسألة: لماذا يكون ناقص في ناقص زائدًا

**مسألة 54.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — قواعد الإشارة مستنتجة من التوزيعية، والمجموع المتناوب $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$

واصل برهان [المبرهنة 54.1](#thm-g8-negprod-rules) نمطًا واِدّعى أن «أيّ اِختيار آخر يكسر التوزيعية». وهذه المسألة تجعل الادّعاء مضبوطًا: فاِنطلاقًا من التوزيعية وحدها ([المبرهنة 45.6](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/45-priorities-of-operations#thm-g7-priorities-distributivity))، *ستبرهن* على قواعد الإشارة — بلا صورة ولا نمط، كما يفعل الجبر — ثم تشغّلها على قوى العدد $-1$ وعلى [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) مشهور ذي إشارات متناوبة. وفي كل ما يلي، $a$ و $b$ عددان نسبيان؛ ونسلّم بقواعد الجمع في [الفصل 46](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/46-negative-numbers#ch-g7-negatives)، وبأن $1 \times a = a$، وبأن [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) يمكن حسابه بأيّ ترتيب (فتنطبق التوزيعية على أيّ من طرفَي [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def)).

**الجزء الأول — قواعد الإشارة مبرهنات.**

1. بَرهِن على أن $0 \times a = 0$ من أجل كل [عدد نسبي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) $a$ . (اُكتب $0 = 0 + 0$ ، واُنشر $(0 + 0) \times a$ ، واِسأل أيّ عدد، إذا جُمع إلى $0 \times a$ ، يعيد $0 \times a$ .)
2. اُنشر $\bigl(1 + (-1)\bigr) \times a$ لتبيّن أن $(-1) \times a + a = 0$، واِستنتج أن $$(-1) \times a = -a :$$ فالضرب في $-1$ يعطي [المعاكس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def). وقارن مع [التمرين 54.11](#exo-g8-negprod-11)، وهو الحالة $a = -1$.
3. اِستنتج أن $(-a) \times b = -(a \times b)$ : فإشارة ناقص واحدة تخرج من [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) دون تغيير.
4. واِستنتج أن $(-a) \times (-b) = a \times b$ : فإشارتا ناقص تتلاشيان.
5. كل [عدد نسبي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) هو مسافته إلى [الصفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) مع إشارة أمامها: $a = +d$ أو $a = -d$ . اِشرح كيف يبرهن السؤالان 3 و 4 على حالات جدول الإشارة الأربع كلها في [المبرهنة 54.1](#thm-g8-negprod-rules) ، بما فيها المسافات.

**الجزء الثاني — قوى العدد $-1$.**

6. اِحسب $(-1)^2$ و $(-1)^3$ و $(-1)^4$ و $(-1)^5$ ، ثم أعطِ، مع التبرير من [القضية 54.3](#prop-g8-negprod-many) ، قيمة $(-1)^n$ من أجل كل عدد صحيح $n \geq 1$ .
7. أعطِ (دون حساب أيّ مسافة) إشارة $$(-1) \times (-2) \times (-3) \times \dots \times (-10),$$ واُكتب مسافة هذا [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) جداءَ أعداد صحيحة، دون إنجازه.
8. بيّن أن $(-a)^2 = a^2$ وأن $(-a)^3 = -a^3$ . فمن أجل أيّ أُسُس تصمد إشارة الناقص؟
9. اِستعمل قواعد الإشارة لتبيّن أن مربع [عدد نسبي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) ليس سالبًا أبدًا، واِستنتج أنه لا يوجد [عدد نسبي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) $x$ يحقّق $x^2 = -4$ .
10. تدّعي زينة: « $(-1)^{2026} + (-1)^{2027} = 0$ ، وعمومًا تتلاشى قوّتان متتاليتان للعدد $-1$ دائمًا.» فهل هي على صواب؟ بَرِّر.

**الجزء الثالث — [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) المتناوب.** بعد تأمين قواعد الإشارة، يمكننا حساب مجاميع تخلط الإشارتين. ومن أجل عدد صحيح $n \geq 1$، ليكن

$$
A_n = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots
$$

[مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الأعداد الصحيحة من $1$ إلى $n$ بإشارات متناوبة: فالحدّ الأخير $+n$ حين يكون $n$ فرديًّا، و $-n$ حين يكون $n$ زوجيًّا. ومنه $A_1 = 1$ و $A_2 = 1 - 2 = -1$.

11. اِحسب $A_3$ و $A_4$ و $A_5$ و $A_6$ و $A_7$ . فماذا تخمّن؟
12. اِفترض $n$ زوجيًّا. جمّع الحدود مثنى مثنى، $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots$ ، وعُدّ الأزواج، وبَرهِن على أن $A_n = -\frac{n}{2}$ .
13. واِفترض $n$ فرديًّا. اِشرح لماذا $A_n = A_{n-1} + n$ ، واِستنتج من السؤال السابق أن $A_n = \frac{n + 1}{2}$ .
14. اِحسب $A_{100}$ و $A_{101}$ و $A_{2026}$ .
15. حسبت عالية $A_{101} - A_{100} = 51 - (-50) = 101$ ففوجئت بأن الناتج $101$ بالضبط. فهل كان عليها أن تُفاجأ؟ اِشرح في جملة واحدة، واُذكر قيمة $A_{2027} - A_{2026}$ دون أيّ حساب آخر.

**حل المسألة 54.1.**

**1.** بما أن $0 = 0 + 0$، تعطي التوزيعية ([المبرهنة 45.6](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/45-priorities-of-operations#thm-g7-priorities-distributivity))

$$
0 \times a = (0 + 0) \times a = 0 \times a + 0 \times a .
$$

إذن جمع $0 \times a$ إلى نفسه لا يغيّر شيئًا — والعدد الوحيد الذي يمكن جمعه دون تغيير شيء هو $0$. (ومباشرةً: اِطرح $0 \times a$ من الطرفين.) ومنه $0 \times a = 0$.

**2.** بالنشر، ثم باستعمال $1 + (-1) = 0$ والسؤال 1:

$$
a + (-1) \times a
= 1 \times a + (-1) \times a
= \bigl(1 + (-1)\bigr) \times a
= 0 \times a = 0 .
$$

إذن $(-1) \times a$ هو العدد الذي، إذا جُمع إلى $a$، أعطى $0$: وذلك بالضبط [معاكس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) $a$، ومنه $(-1) \times a = -a$. وتمثّل [التمرين 54.11](#exo-g8-negprod-11) الحالة الخاصّة $a = -1$: فهناك $(-1) \times (-1) = -(-1) = +1$.

**3.** اُكتب $-a = (-1) \times a$ (السؤال 2) وأعِد تجميع العوامل:

$$
(-a) \times b
= \bigl((-1) \times a\bigr) \times b
= (-1) \times (a \times b)
= -(a \times b) .
$$

**4.** طبّق السؤال 3 مرتين (مرة على كل عامل):

$$
(-a) \times (-b)
= -\bigl(a \times (-b)\bigr)
= -\bigl(-(a \times b)\bigr)
= a \times b ,
$$

لأن [معاكس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) [معاكس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) عدد هو العدد نفسه.

**5.** اُكتب $a = +d$ أو $a = -d$ و $b = +e$ أو $b = -e$، حيث $d$ و $e$ المسافتان إلى [الصفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero). والحالات الأربع:

$$
(+d) \times (+e) = de, \quad
(+d) \times (-e) = -de, \quad
(-d) \times (+e) = -de, \quad
(-d) \times (-e) = +de,
$$

والاثنتان الوسطيان بالسؤال 3، والأخيرة بالسؤال 4. وفي كل حالة تكون مسافة النتيجة $d \times e$، أي [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) المسافتين، والإشارة هي المعلنة في جدول [المبرهنة 54.1](#thm-g8-negprod-rules): الإشارتان نفسهما موجب، وإشارتان متعاكستان سالب.

**6.** $(-1)^2 = +1$، و $(-1)^3 = -1$، و $(-1)^4 = +1$، و $(-1)^5 = -1$. وعمومًا $(-1)^n$ [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $n$ عاملًا سالبًا، مسافة كل منها $1$: وحسب [القضية 54.3](#prop-g8-negprod-many) يكون $+1$ حين يكون $n$ زوجيًّا و $-1$ حين يكون $n$ فرديًّا.

**7.** هناك عشرة عوامل سالبة — وهو [عدد زوجي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — إذن [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) *موجب* ([القضية 54.3](#prop-g8-negprod-many)). ومسافته $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 10$.

**8.** بالسؤال 4، $(-a)^2 = (-a) \times (-a) = a \times a =
a^2$. ثم بالسؤال 3،

$$
(-a)^3 = (-a)^2 \times (-a) = a^2 \times (-a) = -(a^2 \times a)
= -a^3 .
$$

فتختفي إشارة الناقص من أجل الأُسُس الزوجية وتصمد من أجل الفردية، بموافقة [المثال 54.5](#ex-g8-negprod-powers).

**9.** إذا كان $a = 0$ فإن $a^2 = 0$. وإلا كان للعددين $a$ و $a$ الإشارة *نفسها*، إذن $a^2 = a \times a$ موجب ([المبرهنة 54.1](#thm-g8-negprod-rules)). فالمربع إذن ليس سالبًا أبدًا؛ وبما أن $-4$ سالب، فلا يوجد [عدد نسبي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) $x$ يحقّق $x^2 = -4$.

**10.** زينة على صواب. فالأُسّان $2026$ و $2027$ لهما زوجيتان متعاكستان، إذن $(-1)^{2026} = +1$ و $(-1)^{2027} = -1$، ومجموعهما $0$. وعمومًا، من بين أُسّين متتاليين واحد زوجي وواحد فردي، إذن القوّتان $+1$ و $-1$ بترتيب ما: عددان [متعاكسان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) مجموعهما $0$ دائمًا.

**11.** $A_3 = 1 - 2 + 3 = 2$، ثم $A_4 = A_3 - 4 = -2$، و $A_5 = A_4 + 5 = 3$، و $A_6 = A_5 - 6 = -3$، و $A_7 = A_6 + 7 = 4$. والتخمين: $A_n = -\frac{n}{2}$ من أجل $n$ الزوجي، و $A_n = \frac{n+1}{2}$ من أجل $n$ الفردي.

**12.** من أجل $n$ الزوجي تتزاوج الحدود تزاوجًا كاملًا:

$$
A_n = (1 - 2) + (3 - 4) + \dots + \bigl((n-1) - n\bigr),
$$

وكل زوج يساوي $-1$. وعدد الأزواج $\frac{n}{2}$ (حدّان في كل زوج، و $n$ حدًّا في المجموع)، إذن $A_n = \frac{n}{2} \times (-1) = -\frac{n}{2}$.

**13.** من أجل $n$ الفردي، يكون [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $A_n$ هو [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $A_{n-1}$ للحدود $n - 1$ الأولى، زائد الحدّ الأخير، وهو $+n$ لأن $n$ فردي. وبما أن $n - 1$ زوجي، يعطي السؤال 12

$$
A_n = A_{n-1} + n = -\frac{n-1}{2} + n
= \frac{-(n-1) + 2n}{2} = \frac{n+1}{2} .
$$

**14.** $A_{100} = -\frac{100}{2} = -50$، و $A_{101} = \frac{102}{2} = 51$، و $A_{2026} = -\frac{2026}{2} = -1013$.

**15.** لا مفاجأة: فالانتقال من $A_{100}$ إلى $A_{101}$ يضيف حدًّا واحدًا بالضبط، هو $+101$، إذن كان [الفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) لا بدّ أن يكون $101$. وللسبب نفسه، $A_{2027} - A_{2026} = +2027$ — دون حساب $A_{2027}$ البتة.