---
title: "الكسور: العمليات الأربع"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 55
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/55-fractions-all-four-operations
---

# الفصل 55 — الكسور: العمليات الأربع

يُتمّ هذا الفصل حساب الكسور: الجمع والطرح بمقامات *أيًّا* كانت، والضرب، و— الوافدة الجديدة — القسمة، التي تتبيّن أنها ضرب متنكّر. وتأتي معها الإشارات من [الفصل 54](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/54-multiplying-negative-numbers#ch-g8-negprod).

## 55.1 الجمع بأيّ مقامات

**طريقة 55.1 (المقام المشترك).**

لجمع $\frac ab$ و $\frac cd$ أو طرحهما:

1. جِد مضاعفًا مشتركًا للعددين $b$ و $d$ ( [والجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $b \times d$ يصلح دائمًا؛ وأصغر منه يوفّر الجهد)؛
2. وأعِد كتابة الكسرين بذلك [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) ؛
3. واجمع البسطين أو اِطرحهما؛ ثم اِختزل.

**مثال 55.2.**

اِحسب $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$. [ومضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) مشترك للعددين $6$ و $4$ هو $12$:

$$
\frac{5}{6} = \frac{10}{12},
\qquad
\frac{3}{4} = \frac{9}{12},
\qquad
\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}.
$$

ومع الإشارات: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{10}{15} -
\dfrac{21}{15} = -\dfrac{11}{15}$.

## 55.2 ضرب الكسور

**مبرهنة 55.3 (جداء كسرين).**

$$
\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} .
$$

**لماذا، على صورة.** خذ $\frac34$ من $\frac25$ من مربع: اِقسم المربع إلى $5$ شرائح عمودية واِحتفظ بعدد $2$ منها؛ ثم اِقسم أفقيًّا إلى $4$ واِحتفظ بعدد $3$ أسطر مما بقي. والجزء المحتفظ به شبكة من $3 \times 2$ خلية صغيرة من $4 \times 5$: أي [الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) $\frac{6}{20}$. ∎

![3/4 × 2/5: المنطقة المظللة مرتين هي 3 × 2 = 6 خلايا من 4 × 5 = 20، أي 6/20 = 3/10 — البسطان مضروبان، والمقامان مضروبان.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-fractions/fig-f4bf8d3a92cc.svg)

*$\frac34 \times \frac25$: المنطقة المظللة مرتين هي $3 \times 2 = 6$ خلايا من $4 \times 5 = 20$، أي $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ — البسطان مضروبان، والمقامان مضروبان.*

**مثال 55.4.**

اِختزل *قبل* الضرب، بشطب العوامل المشتركة:

$$
\frac{7}{12} \times \frac{9}{14}
= \frac{7 \times 9}{12 \times 14}
= \frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times 2 \times 7}
= \frac{3}{8}
$$

(فالعامل $7$ وعامل $3$ واحد يتلاشيان بين الأعلى والأسفل). ومع الإشارات، تنطبق قواعد [المبرهنة 54.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/54-multiplying-negative-numbers#thm-g8-negprod-rules) أولًا: $\left(-\frac23\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) =
+\frac{10}{12} = \frac56$.

## 55.3 قسمة الكسور

**تعريف 55.5 (المقلوب).**

*مقلوب* عدد $x$ غير معدوم هو العدد الذي إذا ضُرب في $x$ أعطى $1$. ومقلوب $\frac ab$ هو $\frac ba$، لأن $\frac ab \times \frac ba = \frac{ab}{ab} = 1$؛ ومقلوب العدد الصحيح $n$ هو $\frac1n$.

**مبرهنة 55.6 (القسمة ضرب في المقلوب).**

من أجل $c \neq 0$:

$$
\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} .
$$

**برهان.** بالتعريف، خارجُ القسمة $q$ [للكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) $\frac ab$ على $\frac cd$ هو العدد الذي يحقّق $q \times \frac cd = \frac ab$. وتحقّق من المرشّح $q = \frac ab \times \frac dc$:

$$
\left(\frac ab \times \frac dc\right) \times \frac cd
= \frac ab \times \left(\frac dc \times \frac cd\right)
= \frac ab \times 1 = \frac ab . \qedhere
$$

∎

**مثال 55.7.**

$$
\frac{3}{5} \div \frac{7}{10}
= \frac{3}{5} \times \frac{10}{7}
= \frac{3 \times 10}{5 \times 7}
= \frac{30}{35} = \frac{6}{7}.
$$

وتحقّق سريع: القسمة على $\frac{7}{10}$، وهو عدد أصغر من $1$، يجب أن تعطي نتيجة *أكبر* من $\frac35$ — وفعلًا $\frac67 > \frac35$ ($\frac{30}{35} > \frac{21}{35}$).

**مثال 55.8 (شرائط كسر داخل شرائط كسر).**

[الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) «ذو الطابقين» ليس إلا قسمة مكتوبة عموديًّا:

$$
\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\ \frac{5}{6}\ }
= \frac{2}{3} \div \frac{5}{6}
= \frac{2}{3} \times \frac{6}{5}
= \frac{12}{15} = \frac{4}{5}.
$$

حدّد الشريط *الرئيسي* أولًا (وهو الأطول)، ثم طبّق [المبرهنة 55.6](#thm-g8-fractions-div).

**طريقة 55.9 (حسابات مختلطة).**

في عبارة تخلط الكسور والعمليات الأربع:

1. طبّق الأولويات المعتادة ( [الفصل 45](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/45-priorities-of-operations#ch-g7-priorities) )؛
2. وحوّل كل قسمة إلى ضرب في [المقلوب](#def-g8-fractions-inverse) ؛
3. وحدّد الإشارات أولًا ( [الطريقة 54.6](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/54-multiplying-negative-numbers#met-g8-negprod-compute) )، ثم اِضرب أو جِد المقامات المشتركة؛
4. واِختزل في أول فرصة.

**مثال 55.10.**

$$
\begin{align*}
\frac12 + \frac{2}{3} \times \frac{9}{4}
&= \frac12 + \frac{2 \times 9}{3 \times 4}
&& \text{(الجداء أولًا!)} \\
&= \frac12 + \frac{18}{12} = \frac12 + \frac32
= \frac{4}{2} = 2 .
\end{align*}
$$

## 55.4 تمارين

**تمرين 55.1 ★.**

اِحسب واِختزل:

$$
\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad
\frac{5}{6} - \frac{3}{8}, \qquad
\frac{7}{10} + \frac{8}{15} .
$$

**حل التمرين 55.1.**

$\dfrac34 + \dfrac25 = \dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} =
\dfrac{23}{20}$.

$\dfrac56 - \dfrac38 = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} =
\dfrac{11}{24}$.

$\dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{21}{30} + \dfrac{16}{30} =
\dfrac{37}{30}$.

**تمرين 55.2 ★.**

اِحسب (الإشارات أولًا):

$$
-\frac{2}{7} + \frac{3}{14}, \qquad
\frac{1}{6} - \frac{5}{4}, \qquad
-\frac{3}{5} - \frac{1}{2} .
$$

**حل التمرين 55.2.**

$-\dfrac27 + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{4}{14} + \dfrac{3}{14} =
-\dfrac{1}{14}$.

$\dfrac16 - \dfrac54 = \dfrac{2}{12} - \dfrac{15}{12} =
-\dfrac{13}{12}$.

$-\dfrac35 - \dfrac12 = -\dfrac{6}{10} - \dfrac{5}{10} =
-\dfrac{11}{10}$.

**تمرين 55.3 ★.**

اِحسب، مع الاختزال قبل الضرب:

$$
\frac{5}{8} \times \frac{4}{15}, \qquad
\frac{9}{14} \times \frac{7}{3}, \qquad
\left(-\frac{6}{5}\right) \times \frac{10}{9} .
$$

**حل التمرين 55.3.**

$\dfrac58 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{5 \times 4}{8 \times 15}
= \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$ (بالاختزال على $5$ وعلى $4$).

$\dfrac{9}{14} \times \dfrac73 = \dfrac{9 \times 7}{14 \times 3}
= \dfrac{3}{2}$ (بالاختزال على $7$ وعلى $3$).

$\left(-\dfrac65\right) \times \dfrac{10}{9} = -\dfrac{60}{45}
= -\dfrac43$ (إشارتان متعاكستان: سالب).

**تمرين 55.4 ★.**

أعطِ [مقلوب](#def-g8-fractions-inverse): $\dfrac{3}{7}$؛ و $5$؛ و $\dfrac{1}{4}$؛ و $-\dfrac{2}{9}$.

**حل التمرين 55.4.**

المقلوبات: $\dfrac73$؛ و $\dfrac15$؛ و $4$؛ و $-\dfrac92$ ([فالمقلوب](#def-g8-fractions-inverse) يحفظ الإشارة).

**تمرين 55.5 ★.**

اِحسب:

$$
\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}, \qquad
\frac{7}{5} \div 14, \qquad
6 \div \frac{3}{4} .
$$

**حل التمرين 55.5.**

$\dfrac49 \div \dfrac23 = \dfrac49 \times \dfrac32 = \dfrac{12}{18}
= \dfrac23$.

$\dfrac75 \div 14 = \dfrac75 \times \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{70}
= \dfrac{1}{10}$.

$6 \div \dfrac34 = 6 \times \dfrac43 = 8$.

**تمرين 55.6 ★.**

اِحسب الكسور ذات الطابقين:

$$
\frac{\ \frac{3}{4}\ }{\ \frac{9}{8}\ },
\qquad
\frac{\ \frac{5}{6}\ }{\ 10\ },
\qquad
\frac{\ 2\ }{\ \frac{4}{7}\ } .
$$

**حل التمرين 55.6.**

$\dfrac{3/4}{9/8} = \dfrac34 \times \dfrac89 = \dfrac{24}{36} =
\dfrac23$.

$\dfrac{5/6}{10} = \dfrac56 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60} =
\dfrac{1}{12}$.

$\dfrac{2}{4/7} = 2 \times \dfrac74 = \dfrac72$.

**تمرين 55.7 ★.**

اِحسب، مع اِحترام الأولويات:

$$
\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5},
\qquad
\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} .
$$

**حل التمرين 55.7.**

[الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) أولًا: $\dfrac13 + \dfrac12 \times \dfrac45 = \dfrac13 + \dfrac{4}{10}
= \dfrac{10}{30} + \dfrac{12}{30} = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}$.

والأقواس أولًا: $\left(\dfrac13 + \dfrac12\right) \times \dfrac45
= \dfrac56 \times \dfrac45 = \dfrac{20}{30} = \dfrac23$.

**تمرين 55.8 ★★.**

خزّان ممتلئ إلى $\frac{2}{5}$. ويُضاف إليه $\frac{1}{3}$ *من [سعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) الخزّان*. فأيّ [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) من الخزّان صار ممتلئًا؟ وأيّ [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) ما زال فارغًا؟

**حل التمرين 55.8.**

الممتلئ: $\dfrac25 + \dfrac13 = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} =
\dfrac{11}{15}$ من الخزّان. والفارغ: $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$.

**تمرين 55.9 ★★.**

نجح ثلاثة أرباع تلاميذ قسم في اِختبار؛ ومن بين هؤلاء، حصل الثلثان على أكثر من $14$ من $20$. فأيّ [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) من القسم حصل على أكثر من $14$؟ وإذا مثّل ذلك $12$ تلميذًا، فكم عدد تلاميذ القسم؟

**حل التمرين 55.9.**

[الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) الحاصل على أكثر من $14$: $\dfrac23 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$ من القسم. وإذا كان ذلك $12$ تلميذًا، ففي القسم $24$ تلميذًا.

**تمرين 55.10 ★★.**

حبل طوله $\frac{15}{2}$ م يجب أن يُقطع إلى قطع طول كل منها $\frac{3}{4}$ م. فكم [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) نحصل عليها؟ (قسمة كسور — وتحقّق من أن الجواب عدد صحيح.)

**حل التمرين 55.10.**

$\dfrac{15}{2} \div \dfrac34 = \dfrac{15}{2} \times \dfrac43
= \dfrac{60}{6} = 10$ قطع — عدد صحيح، فلا يضيع من الحبل شيء.

**تمرين 55.11 ★★.**

اِحسب

$$
E = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \div \frac{10}{9},
\qquad
F = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{8}{3} .
$$

**حل التمرين 55.11.**

$E$: القسمة أولًا: $\dfrac56 \div \dfrac{10}{9} = \dfrac56 \times \dfrac{9}{10}
= \dfrac{45}{60} = \dfrac34$؛ ثم $E = \dfrac23 - \dfrac34 = \dfrac{8}{12} - \dfrac{9}{12} =
-\dfrac{1}{12}$.

$F = \left(-\dfrac12\right)^2 \times \dfrac83 = \dfrac14 \times
\dfrac83 = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ (فالمربع موجب).

**تمرين 55.12 ★★★.**

بسّط العبارة

$$
1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}
$$

(اِبدأ من [الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) الأعمق واِعمل نحو الخارج، شريطًا واحدًا في كل مرة).

**حل التمرين 55.12.**

من الداخل إلى الخارج: $1 + 1 = 2$؛ ثم $1 + \dfrac12 = \dfrac32$؛ ثم

$$
1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac23 = \frac53 .
$$

## 55.5 مسألة: الكسور المصرية

**مسألة 55.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — كل كسر مجموع كسور واحدية متمايزة

*[الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) الواحدي* [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) بسطه $1$. وكان كتبة مصر القديمة — ونُسخت بردية ريند نحو سنة $1550$ قبل الميلاد — يكتبون كل [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) مجموعَ كسور واحدية *متمايزة*: فلا يكتبون $\frac27 = \frac17 + \frac17$ أبدًا، بل $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$. ويُسمّى [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) كهذا *كتابة مصرية* [للكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def). وتطوّر هذه المسألة تقنيات الجمع والمقارنة في هذا الفصل ([الطريقة 55.1](#met-g8-fractions-add)) إلى طريقة — نشرها فيبوناتشي سنة $1202$ — تنتج كتابة مصرية لأيّ [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) بين $0$ و $1$، وتنتهي بلغز ميراث مشهور.

**الجزء الأول — الكسور الواحدية ومتطابقة التشطير.**

1. اِحسب $\frac12 + \frac13$ و $\frac12 + \frac14$ ، واِستنتج كتابتين مصريتين للكسرين $\frac56$ و $\frac34$ .
2. تحقّق من مدخل الكتبة [للكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) $\frac27$ : بيّن أن $\frac14 + \frac{1}{28} = \frac27$ .
3. تحقّق من أن $\frac13 + \frac16 = \frac12$ ومن أن $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac13$. ثم بَرهِن على *متطابقة التشطير*: من أجل كل عدد صحيح $n \geq 1$، $$\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} .$$
4. اِستنتج كتابة مصرية للعدد $1$ نفسه، مجموعَ ثلاثة كسور واحدية متمايزة.
5. شطّر الحدّ الأخير من $\frac56 = \frac12 + \frac13$ لتحصل على كتابة مصرية *ثانية* [للكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) $\frac56$ ، بثلاثة كسور واحدية. واِشرح لماذا لا يكون لأيّ [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) كتابة مصرية وحيدة.

**الجزء الثاني — طريقة فيبوناتشي الجشعة.** والطريقة هي: اِطرح أكبر [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) واحدي يدخل، وكرّر مع ما يبقى.

6. باستعمال المقامات المشتركة، بيّن أن $\frac14 < \frac27 < \frac13$ . ولماذا يبرهن هذا على أن $\frac14$ أكبر [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) واحدي أصغر من $\frac27$ ؟
7. اِحسب $\frac27 - \frac14$ . فأيّ كتابة [للكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) $\frac27$ تنتجها الطريقة الجشعة؟
8. والآن خذ $\frac57$ . بيّن أن أكبر [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) واحدي أصغر من $\frac57$ هو $\frac12$ ، واِحسب $\frac57 - \frac12$ .
9. بيّن أن أكبر [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) واحدي أصغر من $\frac{3}{14}$ هو $\frac15$ (قارن $\frac{3}{14}$ مع $\frac14$ ومع $\frac15$)، واِحسب $\frac{3}{14} - \frac15$، واِستنتج: $$\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .$$ وتحقّق من هذه الكتابة مباشرةً [بالمقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) المشترك $70$.
10. شغّل الطريقة الجشعة على $\frac45$ ، متحقّقًا في كل خطوة من أن كسرك الواحدي هو الأكبر الذي يدخل، وتحقّق من الكتابة النهائية.

**الجزء الثالث — لماذا تتوقف الطريقة دائمًا، والجمل الثامن عشر.**

11. في الأسئلة 7–10 طُبّقت الطريقة على $\frac27$ و $\frac57$ و $\frac45$ . ومن أجل كل واحد، اُذكر بسوط البواقي المتعاقبة (قبل أيّ اِختزال). فماذا تلاحظ؟
12. من أجل [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) $\frac ab$ وعدد صحيح $n$، بيّن أن $$\frac{a}{b} - \frac{1}{n}  = \frac{a \times n - b}{b \times n} .$$
13. اِفترض أن الطريقة الجشعة تطرح $\frac1n$ من $\frac ab$: فيدخل $\frac1n$ لكن $\frac{1}{n-1}$ كبير أصلًا، أي $\frac{1}{n-1} > \frac ab$. وبوضع الاثنين على [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) المشترك $b \times (n - 1)$، اِستنتج أن $b > a \times n - a$، ومنه أن [البسط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) الجديد يحقّق $$a \times n - b < a .$$ واِشرح لماذا يبرهن هذا على أن الطريقة تتوقف دائمًا.
14. حكاية قديمة: يموت أب تاركًا $17$ جملًا، موصيًا [بالكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) $\frac12$ من القطيع لابنه الأكبر، و $\frac13$ للثاني، و $\frac19$ للثالث — ولا يكون أيّ من الأنصبة عددًا صحيحًا من الجمال. فيقرض جار الأسرةَ جملًا ثامن عشر؛ فيأخذ الأولاد $9$ و $6$ و $2$ جمال، ويُردّ الجمل المُقترض. اِحسب $\frac12 + \frac13 + \frac19$ واِشرح الحيلة: لماذا أمكن تقاسم القطيع بجمال صحيحة، ولماذا لم ينل أيّ اِبن أقلّ مما وعدت به الوصية؟
15. أصلح الوصية: اِقترح ثلاثة كسور واحدية *متمايزة* مجموعها $1$ بالضبط، وأعطِ أصغر [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) قطيع تكون فيه الأنصبة الثلاثة كلها أعدادًا صحيحة من الجمال.

**حل المسألة 55.1.**

**1.** $\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56$ و $\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34$. إذن $\frac56 = \frac12 + \frac13$ و $\frac34 = \frac12 + \frac14$ كتابتان مصريتان (كسران واحديان متمايزان في كل منهما).

**2.** [بالمقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) المشترك $28$:

$$
\frac14 + \frac{1}{28} = \frac{7}{28} + \frac{1}{28}
= \frac{8}{28} = \frac{2}{7} .
$$

**3.** $\frac13 + \frac16 = \frac26 + \frac16 = \frac36 =
\frac12$، و $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} +
\frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac13$. وعمومًا، [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) المشترك للكسرين $\frac{1}{n+1}$ و $\frac{1}{n(n+1)}$ هو $n(n+1)$:

$$
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}
= \frac{n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)}
= \frac{n+1}{n(n+1)}
= \frac{1}{n} .
$$

**4.** اِنطلق من $1 = \frac12 + \frac12$ وشطّر النصف الثاني بالسؤال 3:

$$
1 = \frac12 + \frac13 + \frac16 ,
$$

أي ثلاثة كسور واحدية متمايزة.

**5.** تشطير $\frac13$ في $\frac56 = \frac12 +
\frac13$ يعطي

$$
\frac56 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{12} .
$$

ولا تكون أيّ كتابة مصرية وحيدة أبدًا: فمتطابقة التشطير تستطيع دائمًا أن تعوّض [الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) الواحدي ذا [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) الأكبر بكسرين واحديين جديدين أصغر — فمن أيّ كتابة يُصنع أخرى.

**6.** [بالمقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $21$: $\frac27 = \frac{6}{21} <
\frac{7}{21} = \frac13$. وبالمقام $28$: $\frac14 =
\frac{7}{28} < \frac{8}{28} = \frac27$. والكسور الواحدية تصغر كلما كبرت مقاماتها، $1 > \frac12 > \frac13 > \frac14 >
\dots$؛ وبما أن $\frac13$ (وكل ما فوقه) كبير جدًّا و $\frac14$ يدخل، فإن $\frac14$ أكبر [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) واحدي أصغر من $\frac27$.

**7.** $\frac27 - \frac14 = \frac{8}{28} - \frac{7}{28} =
\frac{1}{28}$: فتنتج الطريقة الجشعة $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$، وهو بالضبط مدخل الكتبة في السؤال 2.

**8.** [بالمقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $14$: $\frac12 = \frac{7}{14} <
\frac{10}{14} = \frac57$، بينما [الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) الواحدي الوحيد الأكبر، وهو $1$، يتجاوز $\frac57$. إذن $\frac12$ هو الأكبر الذي يدخل، ومنه

$$
\frac57 - \frac12 = \frac{10}{14} - \frac{7}{14} = \frac{3}{14} .
$$

**9.** [بالمقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $28$: $\frac{3}{14} = \frac{6}{28} <
\frac{7}{28} = \frac14$، إذن $\frac14$ كبير جدًّا. وبالمقام $70$: $\frac15 = \frac{14}{70} < \frac{15}{70} =
\frac{3}{14}$، إذن $\frac15$ يدخل: فهو أكبر [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) واحدي أصغر من $\frac{3}{14}$. ثم

$$
\frac{3}{14} - \frac15 = \frac{15}{70} - \frac{14}{70}
= \frac{1}{70},
\qquad\text{ومنه}\qquad
\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .
$$

والتحقّق: $\frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} =
\frac{50}{70} = \frac57$.

**10.** الخطوة الأولى: $\frac12 = \frac{5}{10} < \frac{8}{10} =
\frac45$ و $1 > \frac45$، إذن اِطرح $\frac12$: $\frac45 - \frac12 = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$. والخطوة الثانية: $\frac13 = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} =
\frac{3}{10}$ كبير جدًّا، و $\frac14 = \frac{5}{20} <
\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ يدخل، إذن اِطرح $\frac14$: $\frac{3}{10} - \frac14 = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} =
\frac{1}{20}$. والخاتمة:

$$
\frac45 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{20},
\qquad
\frac{10}{20} + \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20}
= \frac45 . \checkmark
$$

**11.** بسوط البواقي المتعاقبة هي: من أجل $\frac27$: $2$ ثم $1$؛ ومن أجل $\frac57$: $5$ ثم $3$ ثم $1$؛ ومن أجل $\frac45$: $4$ ثم $3$ ثم $1$. وكل قائمة *متناقصة تمامًا*.

**12.** [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) المشترك للكسرين $\frac ab$ و $\frac1n$ هو $b \times n$:

$$
\frac{a}{b} - \frac{1}{n}
= \frac{a \times n}{b \times n} - \frac{b}{b \times n}
= \frac{a \times n - b}{b \times n} .
$$

**13.** على [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) المشترك $b \times (n-1)$، تقارن المتراجحة $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ البسطين $b$ و $a \times (n - 1)$:

$$
b > a \times (n - 1) = a \times n - a ,
$$

وبجمع $a - b$ إلى الطرفين نجد $a > a \times n - b$. إذن بعد كل خطوة جشعة يكون [بسط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) (السؤال 12) عددًا صحيحًا أصغر تمامًا من الذي قبله. والأعداد الصحيحة لا يمكن أن تتناقص تمامًا إلى الأبد: فبعد $a$ خطوة على الأكثر يصير [بسط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $1$ — أي [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) واحدي — أو $0$، فتتوقف الطريقة.

**14.** [بالمقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) المشترك $18$:

$$
\frac12 + \frac13 + \frac19
= \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18}
= \frac{17}{18} ,
$$

وهو *أصغر من* $1$: فقد نسيت الوصية $\frac{1}{18}$ من القطيع. وتلك الفجوة هي الحيلة كلها. فمن أصل $18$ جملًا تكون الأنصبة $\frac12$ و $\frac13$ و $\frac19$ الأعداد الصحيحة $9$ و $6$ و $2$، ومجموعها $9 + 6 + 2 = 17$: أي القطيع بالضبط، ويعود الجمل الثامن عشر إلى بيته. ولا يستطيع أحد أن يشتكي: فقد وعدت الوصية، من أصل $17$ جملًا، $\frac{17}{2} = 8.5$، ثم $\frac{17}{3} \approx 5.67$، ثم $\frac{17}{9} \approx 1.89$ جملًا، ونال كل اِبن أكثر من ذلك تمامًا ($9$ و $6$ و $2$). [والكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) $\frac{1}{18}$ المنسيّ هو ما ملأه جمل الجار مؤقتًا.

**15.** يقدّم السؤال 4 الوصية المُصلَحة:

$$
\frac12 + \frac13 + \frac16 = 1 .
$$

وتكون الأنصبة أعدادًا صحيحة حين يكون [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) القطيع [قابلًا للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $2$ وعلى $3$ وعلى $6$ — أي [قابلًا للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $6$. وأصغر قطيع كهذا $6$ جمال: فالأنصبة $3$ و $2$ و $1$، ولا يفضل شيء.