--- title: "القوى" book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية" subject: math language: ar chapter: 56 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers --- # الفصل 56 — القوى اِطوِ ورقة إلى نصفين $10$ مرات (إن اِستطعت!): فيتضاعف سُمكها في كل مرة، [والمضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) $10$ تضربه في $2^{10} = 1024$. والقوى اِختصار الضرب المتكرّر؛ ويقيم هذا الفصل الترميز وقواعده، مع دور خاصّ لقوى العدد $10$. ## 56.1 التعريف **تعريف 56.1 (القوة).** من أجل عدد $a$ وعدد صحيح $n \geq 1$: $$ a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ عاملًا}}, $$ ويُقرأ «$a$ أُسّ $n$»؛ فالعدد $a$ هو *الأساس*، و $n$ هو *الأُسّ*. وأسماء خاصّة: $a^2$ هو «مربع $a$»، و $a^3$ هو «[مكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $a$». وباصطلاح: $$ a^1 = a, \qquad a^0 = 1 \ (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}. $$ **مثال 56.2.** $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$؛ و $10^3 = 1000$؛ و $5^{-2} = \frac{1}{25} = 0.04$؛ و $(-2)^3 = -8$ و $(-2)^4 = +16$ ([المثال 54.5](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/54-multiplying-negative-numbers#ex-g8-negprod-powers)). واِنتبه: فالقوة $a^n$ *ليست* $a \times n$: فالقوة $2^5 = 32$، لا $10$. ![قوى العدد 2: كل عمود ضعف الذي قبله. فالنموّ بالضرب المتكرّر يفلت أسرع بكثير من النموّ بالجمع المتكرّر.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-powers/fig-73c0637d8084.svg) *قوى العدد $2$: كل عمود ضعف الذي قبله. فالنموّ بالضرب المتكرّر يفلت أسرع بكثير من النموّ بالجمع المتكرّر.* ## 56.2 قواعد الأُسُس **مبرهنة 56.3 (قواعد الأُسُس).** من أجل أساس $a$ غير معدوم وأُسّين صحيحين $m$ و $n$: $$ a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{m \times n}, \qquad (ab)^n = a^n b^n . $$ **برهان بعدّ العوامل.** [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $a^m \times a^n$ يصفّ $m$ عاملًا $a$ يتبعها $n$ أخرى: أي $m + n$ في المجموع. والقوة $\left(a^m\right)^n$ تكرّر [كتلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) من $m$ عاملًا $n$ مرة: أي $mn$ عاملًا. والقوة $(ab)^n$ تحوي $n$ حرف $a$ و $n$ حرف $b$، ويمكن إعادة تجميعها. وتأتي قاعدة [خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) من تلاشي $n$ من العوامل $m$؛ ومع الاصطلاحين $a^0 = 1$ و $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$، تبقى صحيحة حتى حين $n \geq m$. ∎ **مثال 56.4.** $$ 2^3 \times 2^5 = 2^8 = 256, \qquad \frac{7^6}{7^4} = 7^2 = 49, \qquad \left(5^2\right)^3 = 5^6, \qquad 2^4 \times 5^4 = 10^4 . $$ وفخّ: القواعد تنطبق على *أساس مشترك* (أو [أُسّ](#def-g8-powers-def) مشترك، في الأخيرة). ولا قاعدة تبسّط $2^3 \times 5^2$ — بل اِحسب فحسب: $8 \times 25 = 200$. ## 56.3 قوى العشرة **قضية 56.5 (قوى العشرة).** من أجل $n \geq 1$: $10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n}$، و $10^{-n} = 0.\underbrace{0\dots0}_{n-1}1$. وتُقرأ قواعد [الأُسُس](#def-g8-powers-def) هكذا: ضرب قوى العشرة يجمع [الأُسُس](#def-g8-powers-def). **مثال 56.6.** $10^4 \times 10^3 = 10^7$؛ و $\dfrac{10^2}{10^5} = 10^{-3} = 0.001$. فتصير المقادير الكبيرة والصغيرة مقروءة: $$ \text{مليار} = 10^9, \qquad \text{جزء من مليون} = 10^{-6}. $$ ومع [الأعداد العشرية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places): $3.2 \times 10^5 = 320\,000$ و $4.7 \times 10^{-3} = 0.0047$ (بنقل [النقطة العشرية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point)، [القضية 38.7](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#prop-g6-decimals-shift)). والاستعمال المنهجي لهذه الكتابة — *الترميز العلمي* — يُطوَّر في [الفصل 63](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#ch-g9-fractions). **مثال 56.7 (رتب المقادير).** يقطع الضوء نحو $3 \times 10^8$ م في الثانية؛ وفي السنة نحو $3.2 \times 10^7$ ثانية. ومنه فالسنة الضوئية نحو $$ 3 \times 3.2 \times 10^{8+7} \approx 10 \times 10^{15} = 10^{16} \text{ م} $$ — أي عشرة ملايين مليار متر. فقوى العشرة تجعل الحسابات الفلكية تسع في سطر واحد. **طريقة 56.8 (تبسيط عبارة فيها قوى).** 1. جمّع العوامل أساسًا أساسًا؛ 2. وطبّق قواعد [الأُسُس](#def-g8-powers-def) داخل كل أساس؛ 3. واِحسب القوى الصغيرة الباقية، أو اِترك الجواب على صورة قوة إذا كان كبيرًا. **مثال 56.9.** $$ \frac{3^5 \times 3^{-2} \times 4^2}{3^2} = \frac{3^{5 + (-2)}}{3^2} \times 16 = 3^{3 - 2} \times 16 = 3 \times 16 = 48 . $$ ## 56.4 تمارين **تمرين 56.1 ★.** اِحسب: $$ 2^6, \qquad 3^3, \qquad 10^5, \qquad 1^{100}, \qquad 0.1^2, \qquad 6^0 . $$ **حل التمرين 56.1.** $2^6 = 64$; $3^3 = 27$; $10^5 = 100\,000$; $1^{100} = 1$; $0.1^2 = 0.01$; $6^0 = 1$. **تمرين 56.2 ★.** اِحسب: $$ (-3)^2, \qquad -3^2, \qquad (-1)^{15}, \qquad (-5)^3, \qquad \left(\tfrac{2}{3}\right)^2 . $$ **حل التمرين 56.2.** $(-3)^2 = 9$; $-3^2 = -9$; $(-1)^{15} = -1$; $(-5)^3 = -125$; $\left(\frac23\right)^2 = \frac49$. **تمرين 56.3 ★.** اُكتب على صورة قوة واحدة: $$ 7^4 \times 7^5, \qquad \frac{2^9}{2^3}, \qquad \left(10^3\right)^4, \qquad 5^6 \times 5^{-2}, \qquad 3^4 \times 7^4 . $$ **حل التمرين 56.3.** $7^4 \times 7^5 = 7^9$; $\dfrac{2^9}{2^3} = 2^6$; $\left(10^3\right)^4 = 10^{12}$; $5^6 \times 5^{-2} = 5^4$; $3^4 \times 7^4 = 21^4$ ([الأُسّ](#def-g8-powers-def) نفسه: اِضرب الأساسين). **تمرين 56.4 ★.** اُكتب على صورة [عدد عشري](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places): $10^{-2}$؛ و $4 \times 10^3$؛ و $2.5 \times 10^{-4}$؛ و $10^0$. **حل التمرين 56.4.** $10^{-2} = 0.01$; $4 \times 10^3 = 4000$; $2.5 \times 10^{-4} = 0.00025$; $10^0 = 1$. **تمرين 56.5 ★.** اُكتب بقوة للعشرة: مئة ألف؛ وعُشر؛ وعشرة مليارات؛ و $0.000\,001$. **حل التمرين 56.5.** $10^5$; $10^{-1}$; $10^{10}$; $10^{-6}$. **تمرين 56.6 ★.** بسّط، ثم اِحسب: $$ \frac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2}, \qquad \frac{2^5 \times 2^4}{2^6}, \qquad \left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} . $$ **حل التمرين 56.6.** $\dfrac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2} = \dfrac{10^4}{10^2} = 10^2 = 100$. $\dfrac{2^5 \times 2^4}{2^6} = \dfrac{2^9}{2^6} = 2^3 = 8$. $\left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} = 2^6 \times 2^{-4} = 2^2 = 4$. **تمرين 56.7 ★.** صواب أم خطأ؟ صحّح الخاطئة. $$ 2^3 \times 2^4 = 2^{12}; \qquad 5^2 + 5^3 = 5^5; \qquad (3^2)^4 = 3^8; \qquad 10^3 \times 10^3 = 100^3 . $$ **حل التمرين 56.7.** $2^3 \times 2^4 = 2^{12}$: *خطأ* — [فالأُسُس](#def-g8-powers-def) تُجمع: $2^7$. $5^2 + 5^3 = 5^5$: *خطأ* — فلا قاعدة للمجاميع: $25 + 125 = 150$، بينما $5^5 = 3125$. $(3^2)^4 = 3^8$: *صواب*. $10^3 \times 10^3 = 100^3$: *صواب* — فكلاهما يساوي $10^6$ (اليسار: $10^{3+3}$؛ واليمين: $(10^2)^3$). **تمرين 56.8 ★★.** تنتشر إشاعة: ففي اليوم 1 يعرفها ثلاثة أشخاص؛ وفي كل يوم، يخبر كل شخص يعرفها ثلاثة أشخاص جدد. اُكتب بقوة عدد الأشخاص *الجدد* الذين أُخبروا في اليوم $4$، واِحسب كم شخصًا يعرف الإشاعة في نهاية اليوم 4 (بمن فيهم الثلاثة الأوائل). **حل التمرين 56.8.** الأشخاص الجدد في اليوم $4$: كل واحد من الأشخاص $3^3 = 27$ الذين أُخبروا في اليوم 3 يخبر ثلاثة آخرين: أي $3^4 = 81$. والذين يعرفون في نهاية اليوم 4: $3 + 9 + 27 + 81 = 120$ شخصًا. **تمرين 56.9 ★★.** سُمك ورقة $0.1$ مم، أي $10^{-4}$ م. وطيّها يضاعف سُمكها في كل مرة. 1. عبّر عن السُّمك بعد $10$ طيّات على صورة [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) ، واحسبه بالسنتيمتر ( $2^{10} = 1024$ ). 2. وبعد $42$ طيّة يكون السُّمك $2^{42} \times 10^{-4}$ م، مع $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ . بيّن أن هذا يتجاوز مسافة الأرض–القمر، وهي نحو $3.8 \times 10^8$ م. **حل التمرين 56.9.** *1.* السُّمك: $2^{10} \times 10^{-4}$ م $= 1024 \times 10^{-4}$ م $\approx 0.1$ م $= 10$ سم. *2.* $2^{42} \times 10^{-4} \approx 4.4 \times 10^{12} \times 10^{-4} = 4.4 \times 10^8$ م، وهو أكبر من $3.8 \times 10^8$ م: فبعد $42$ طيّة (نظرية!)، تتجاوز رزمة الورق القمر. **تمرين 56.10 ★★.** رتّب من الأصغر إلى الأكبر، دون آلة حاسبة: $$ 2^{10}, \qquad 10^3, \qquad 3^6, \qquad 5^4 . $$ (اِحسب كل واحد؛ فالقوّتان $2^{10}$ و $10^3$ جارتان مشهورتان.) **حل التمرين 56.10.** $2^{10} = 1024$؛ و $10^3 = 1000$؛ و $3^6 = 729$؛ و $5^4 = 625$. والترتيب: $$ 5^4 < 3^6 < 10^3 < 2^{10} . $$ **تمرين 56.11 ★★★.** أيّهما أكبر، $2^{100}$ أم $10^{30}$؟ اِستعمل $2^{10} = 1024 > 10^3$ لمقارنة $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10}$ مع $\left(10^3\right)^{10}$. **حل التمرين 56.11.** $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10} = 1024^{10}$ و $10^{30} = \left(10^3\right)^{10} = 1000^{10}$. وبما أن $1024 > 1000$، فضرب عشر نسخ من كل منهما يحفظ المتراجحة: $2^{100} > 10^{30}$. ## 56.5 مسألة: رقعة الشطرنج وقوى الاثنين **مسألة 56.1.** مسألة نهاية الأسبوع — [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الهندسي $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1$، من أسطورة مشهورة إلى الأعداد الثنائية الأسطورة: مكافأةً على اِختراع الشطرنج، طلب الحكيم سيسّا من ملكه حبة قمح واحدة على المربع الأول من الرقعة، واِثنتين على الثاني، وأربعًا على الثالث — مع المضاعفة من مربع إلى مربع، حتى الرابع والستين. فضحك الملك من هذا التواضع. وتحسب هذه المسألة ما وعد به الملك، مستعملةً قواعد [الأُسُس](#def-g8-powers-def) في [المبرهنة 56.3](#thm-g8-powers-rules)، وتنتهي حيث تقود القصة سرًّا: إلى الأعداد الثنائية داخل كل حاسوب. **الجزء الأول — حيلة المضاعفة.** من أجل $n \geq 1$، ليكن $S_n$ العدد الكلي للحبّات على المربعات $n$ الأولى. 1. عبّر عن عدد الحبّات على المربع $k$ بقوة للعدد $2$ . فأيّ قوة تقع على المربع $64$ ؟ 2. اِحسب $S_1$ و $S_2$ و $S_3$ و $S_4$ و $S_5$ ، وقارن كل واحد بقوة قريبة للعدد $2$ . وخمّن صيغة [للمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $S_n$ . 3. *حيلة المضاعفة*: اُكتب المجموعين $S_n$ و $2 \times S_n$ أحدهما تحت الآخر، واِطرح، وبَرهِن على تخمينك: $$S_n = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1 .$$ 4. فكم حبة وعد بها الملك في المجموع؟ عبّر عن الجواب بقوة للعدد $2$ ، وأكمل الملاحظة الكلاسيكية: «تحمل الرقعة كلها حبة واحدة أقلّ مما كان يحمله مربع خامس وستون وحده.» 5. بيّن أن النصف الثاني من الرقعة (المربعات من $33$ إلى $64$ ) يحمل *بالضبط* $2^{32}$ مثل ما يحمله النصف الأول. **الجزء الثاني — كم يبلغ $2^{64}$؟** المقارنة $2^{10} = 1024 > 10^3$ في [التمرين 56.11](#exo-g8-powers-11) هي مفتاح كل التقديرات أدناه. 6. بيّن أن $2^{64} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6 > 1.6 \times 10^{19}$ . 7. تزن حبة القمح نحو $0.05$ غ، أي $5 \times 10^{-2}$ غ. بيّن أن القمح الموعود يزن أكثر من $8 \times 10^{17}$ غ، وحوّل هذا إلى أطنان ( $1$ طن $= 10^6$ غ). 8. يحصد العالم كله اليوم نحو $8 \times 10^8$ طن من القمح في السنة. فكم سنة من حصاد العالم وعد بها الملك على الأقلّ؟ 9. جِد أصغر عدد صحيح $n$ يحقّق $2^n > 10^6$ — أي كم مضاعفة يلزم لتجاوز المليون. (اِحسب $2^{19}$ و $2^{20}$ بالضبط، مستعملًا $2^{10} = 1024$ .) 10. يعرض عليك محتال راتب شهر: $1$ سنت في اليوم $1$ ، ثم ضعف أجر اليوم السابق في كل يوم. ففي أيّ يوم يتجاوز الأجر *اليومي* وحده أول مرة مليون يورو ( $10^8$ سنت)؟ (اِحسب $2^{26}$ و $2^{27}$ بالضبط.) **الجزء الثالث — الأوزان الثنائية.** عند تاجرة خمسة صنجات: $1$ و $2$ و $4$ و $8$ و $16$ غرامًا، واحد من كل. وتضع بعضها في كفّة ميزان لتزن بضاعة في الكفّة الأخرى. 11. فأيّ صنجات تضع لتزن $21$ غ؟ ولتزن $27$ غ؟ 12. اِشرح لماذا *يجب* على أيّ هدف من $16$ غ فأكثر أن يستعمل الصنجة $16$ غ، ولماذا يجب على أيّ هدف من $15$ غ فأقلّ ألا يستعملها. (والسؤال 3 يخبرك بأقصى ما تبلغه الصنجات $1, 2, 4, 8$ .) واِشرح لماذا يتكرّر الاستدلال نفسه مع الصنجة التالية في الكبر، في كل مرحلة. 13. اِستنتج أن كل هدف صحيح من $1$ إلى $31$ غ يمكن وزنه، و *بطريقة واحدة بالضبط* : فكل عدد بين $1$ و $31$ [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) قوى متمايزة للعدد $2$ بأسلوب واحد. 14. تشتري التاجرة صنجة سادسة، وزنها $32$ غ. فإلى أيّ هدف تستطيع أن تزن الآن؟ واُكتب $45$ غ مجموعَ قوى متمايزة للعدد $2$ . 15. في الحاسوب، يُخزَّن العدد «ذو 64 خانة» على $64$ مربعًا، يحمل كل منها $0$ أو $1$ — فيسهم المربع $k$ بالمقدار $2^{k-1}$ حين يحمل $1$ ، كحبّات الأسطورة. وباستعمال الجزء الأول، اِشرح لماذا تمتدّ الأعداد الصحيحة التي تخزّنها آلة كهذه بالضبط من $0$ إلى $2^{64} - 1$ . **حل المسألة 56.1.** **1.** تتضاعف الحبّات من مربع إلى مربع اِنطلاقًا من $1 = 2^0$: فالمربع $k$ يحمل $2^{k-1}$ حبة ([التعريف 56.1](#def-g8-powers-def)). والمربع $64$ يحمل $2^{63}$. **2.** $S_1 = 1$، و $S_2 = 1 + 2 = 3$، و $S_3 = 3 + 4 = 7$، و $S_4 = 7 + 8 = 15$، و $S_5 = 15 + 16 = 31$: أي دائمًا أقلّ بواحد من القوة التالية للعدد $2$ ($2$ و $4$ و $8$ و $16$ و $32$). والتخمين: $S_n = 2^n - 1$. **3.** مضاعفة كل حدّ من $S_n$ ترفع كل قوة بواحد ($2 \times 2^{k} = 2^{k+1}$): $$ \begin{align*} S_n &= 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}, \\ 2 \times S_n &= \phantom{1 + {}} 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} + 2^n . \end{align*} $$ وبطرح السطر الأول من الثاني، يظهر كل حدّ من $2$ إلى $2^{n-1}$ في الاثنين فيتلاشى: $$ 2 \times S_n - S_n = 2^n - 1, \qquad\text{أي}\qquad S_n = 2^n - 1 . $$ **4.** [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) هو $S_{64} = 2^{64} - 1$ حبة. والمربع الخامس والستون كان سيحمل $2^{64}$ حبة: فالرقعة كلها تحمل بالضبط حبة واحدة أقلّ مما كان يحمله ذلك المربع وحده. **5.** النصف الأول يحمل $S_{32} = 2^{32} - 1$ حبة. والرقعة كلها تحمل $2^{64} - 1$، إذن يحمل النصف الثاني $$ \left(2^{64} - 1\right) - \left(2^{32} - 1\right) = 2^{64} - 2^{32} = 2^{32} \times \left(2^{32} - 1\right) $$ (بتعميل $2^{32}$، مستعملين $2^{32} \times 2^{32} = 2^{64}$، [المبرهنة 56.3](#thm-g8-powers-rules)): أي بالضبط $2^{32}$ مثل النصف الأول. **6.** بقواعد [الأُسُس](#def-g8-powers-def)، $2^{64} = 2^{4 + 60} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6$. وبما أن $2^{10} = 1024 > 10^3$، $$ 2^{64} > 16 \times \left(10^3\right)^6 = 16 \times 10^{18} = 1.6 \times 10^{19} . $$ **7.** أكثر من $1.6 \times 10^{19}$ حبة، وزن كل منها $5 \times 10^{-2}$ غ: $$ 1.6 \times 10^{19} \times 5 \times 10^{-2} = 8 \times 10^{17} \text{ غ} . $$ وبالقسمة على $10^6$ غ للطن: أكثر من $8 \times 10^{11}$ طن — أي ثمانمئة مليار طن. **8.** $\dfrac{8 \times 10^{11}}{8 \times 10^{8}} = 10^3$: فقد وعد الملك بما لا يقلّ عن *ألف سنة* من حصاد العالم كله اليوم. (وتقول الأسطورة إن مستشاريه أخبروه بذلك.) **9.** $2^{19} = 2^9 \times 2^{10} = 512 \times 1024 = 524\,288 < 10^6$، بينما $2^{20} = \left(2^{10}\right)^2 = 1024^2 = 1\,048\,576 > 10^6$. إذن أصغر [أُسّ](#def-g8-powers-def) هو $n = 20$: أي عشرون مضاعفة تتجاوز المليون. **10.** الأجر في اليوم $n$ هو $2^{n-1}$ سنتًا (فاليوم 1: $2^0 = 1$). والآن $$ 2^{26} = 2^6 \times \left(2^{10}\right)^2 = 64 \times 1\,048\,576 = 67\,108\,864 < 10^8, $$ $$ 2^{27} = 2 \times 2^{26} = 134\,217\,728 > 10^8 . $$ إذن يتجاوز الأجر اليومي $10^8$ سنت أول مرة حين $n - 1 = 27$: أي في اليوم $28$. **11.** $21 = 16 + 4 + 1$: أي الصنجات $16$ و $4$ و $1$ غ. و $27 = 16 + 8 + 2 + 1$: أي الصنجات $16$ و $8$ و $2$ و $1$ غ. **12.** بالسؤال 3، تزن الصنجات $1, 2, 4, 8$ معًا $S_4 = 2^4 - 1 = 15$ غ. إذن دون الصنجة $16$ غ لا تستطيع التاجرة تجاوز $15$ غ: فأيّ هدف من $16$ غ فأكثر يجب أن يستعملها. وأيّ هدف من $15$ غ فأقلّ يجب ألا يستعملها، لأن الصنجة $16$ غ وحدها تتجاوز الهدف أصلًا. ومنه يكون اِختيار الصنجة الأكبر *مفروضًا*. ويبقى هدف لا يتجاوز $15$ غ يُكوَّن من $1, 2, 4, 8$ — ويتكرّر الاستدلال نفسه: فالصنجة $8$ مفروضة (تُستعمل إذا كان الهدف [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $\geq 8$، وتُترك وإلا، لأن $1 + 2 + 4 = 7$)، ثم $4$ (لأن $1 + 2 = 3$)، ثم $2$، ثم $1$. **13.** باتّباع الاختيارات المفروضة، يكون الهدف [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) بعد كل مرحلة لا يتجاوز [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الصنجات الباقية، فتنتهي العملية بباقٍ $0$: أي إن كل هدف من $1$ إلى $31$ يُبلَغ. وبما أن كل اِختيار في الطريق كان مفروضًا، فلا يمكن لأيّ اِنتقاء آخر من الصنجات أن يبلغ الهدف نفسه: فكتابة كل عدد من $1$ إلى $31$ مجموعَ قوى متمايزة للعدد $2$ موجودة و*وحيدة*. **14.** تزن الصنجات الست $S_6 = 2^6 - 1 = 63$ غ، ويغطّي اِستدلال الاختيار المفروض نفسه كل هدف من $1$ إلى $63$ غ. ومن أجل $45$: الهدف $\geq 32$، إذن اِستعمل $32$؛ فيبقى $13 < 16$، إذن اُترك $16$؛ واِستعمل $8$ (فيبقى $5$)، واِستعمل $4$ (فيبقى $1$)، واُترك $2$، واِستعمل $1$: $$ 45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0 . $$ **15.** اِختيار $0$ أو $1$ على كل مربع من المربعات $64$ يعادل اِختيار أيّ القوى $2^0, 2^1, \dots, 2^{63}$ تُدرَج في [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) — وهو بالضبط وزن التاجرة بالصنجات $64$. وأصغر عدد يمكن تخزينه هو $0$ (فكل المربعات على $0$)؛ وأكبره [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) *كل* القوى، وهو [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الملك: $S_{64} = 2^{64} - 1$ (الجزء الأول). وباستدلال الاختيار المفروض، يُبلَغ كل عدد صحيح بينهما مرة واحدة بالضبط: فالآلة ذات $64$ خانة تخزّن بالضبط الأعداد الصحيحة من $0$ إلى $2^{64} - 1$.