--- title: "الحساب الحرفي والمعادلات" book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية" subject: math language: ar chapter: 57 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations --- # الفصل 57 — الحساب الحرفي والمعادلات قدّمت السنة السابعة الحروف واِختزلت العبارات البسيطة ([الفصل 48](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/48-literal-expressions#ch-g7-literal)). ويضيف هذا الفصل المهارتين اللتين تجعلان الجبر قويًّا: *نشر* [جداءات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) الأقواس، و *حلّ [المعادلات](#def-g8-equations-def)* — أي إيجاد العدد المختبئ وراء الحرف. ## 57.1 النشر **مبرهنة 57.1 (التوزيعية البسيطة والمضاعفة).** من أجل كل الأعداد: $$ k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd . $$ **برهان.** القاعدة الأولى هي [المبرهنة 45.6](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/45-priorities-of-operations#thm-g7-priorities-distributivity) (بما فيها الإشارات: فقد يكون $k$ والحدود سالبة، [الفصل 54](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/54-multiplying-negative-numbers#ch-g8-negprod)). وأما الثانية، فطبّق القاعدة الأولى مرتين، معاملًا $(c + d)$ عددًا واحدًا: $$ (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd . \qedhere $$ ∎ **مثال 57.2.** واِنتبه للإشارات في كل حدّ: $$ \begin{align*} 3(2x - 5) &= 6x - 15, \\ -2(4x - 7) &= -8x + 14 && \text{(الناقص في المقدمة يقلب الإشارتين)}, \\ (x + 3)(x + 5) &= x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15, \\ (2x - 1)(x - 4) &= 2x^2 - 8x - x + 4 = 2x^2 - 9x + 4 . \end{align*} $$ ![التوزيعية المضاعفة بالمساحات: فالمستطيل (a+b) × (c+d) ينقسم إلى أربعة مستطيلات أصغر — واحد لكل حدّ من حدود النشر.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-equations/fig-5157e40e0e48.svg) *التوزيعية المضاعفة بالمساحات: فالمستطيل $(a+b) \times (c+d)$ ينقسم إلى أربعة مستطيلات أصغر — واحد لكل حدّ من حدود النشر.* **طريقة 57.3 (اُنشر واِختزل).** 1. اُنشر كل [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) ، كاتبًا كل حدّ بإشارته؛ 2. وجمّع الحدود المتشابهة ( $x^2$ مع $x^2$ ، و $x$ مع $x$ ، والأعداد مع الأعداد)؛ 3. وتحقّق بقيمة: عوّض مثلًا $x = 2$ في الأصل وفي النتيجة — فتساوي النتيجتين يمسك معظم الأخطاء. ## 57.2 حلّ المعادلات **تعريف 57.4 (المعادلة).** *المعادلة* تساوٍ فيه عدد مجهول، يُكتب $x$ (أو أيّ حرف). و*حلّها* يعني إيجاد كل قيم $x$ التي تجعل التساوي صحيحًا — وهي *الحلول*. **مبرهنة 57.5 (قواعد التوازن).** تحتفظ [المعادلة](#def-g8-equations-def) بالحلول نفسها بالضبط حين: 1. يُجمع العدد نفسه إلى الطرفين (أو يُطرح منهما)؛ 2. ويُضرب الطرفان (أو يُقسمان) في العدد نفسه *غير المعدوم* . **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ ![المعادلة ميزان متوازن: فما يُفعل بكفّة يجب أن يُفعل بالأخرى، ويبقى التوازن — أي التساوي — قائمًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-equations/fig-27c3c4d7106f.svg) *[المعادلة](#def-g8-equations-def) ميزان متوازن: فما يُفعل بكفّة يجب أن يُفعل بالأخرى، ويبقى التوازن — أي التساوي — قائمًا.* **طريقة 57.6 (حلّ معادلة من الدرجة الأولى).** 1. اُنشر واِختزل كل طرف عند اللزوم؛ 2. واِجمع أو اِطرح في الطرفين لتجمع حدود $x$ في طرف والأعداد الصرفة في الآخر؛ 3. واِختزل، ثم اِقسم الطرفين على معامل $x$ ؛ 4. و *تحقّق* بتعويض القيمة الموجودة في [المعادلة](#def-g8-equations-def) الأصلية. **مثال 57.7.** حُلّ $7x - 5 = 4x + 16$: $$ \begin{align*} 7x - 5 &= 4x + 16 \\ 7x - 4x &= 16 + 5 && \text{(بجمع $5$ وطرح $4x$ في الطرفين)} \\ 3x &= 21 \\ x &= 7 && \text{(بقسمة الطرفين على 3).} \end{align*} $$ والتحقّق: الطرف الأيسر $7 \times 7 - 5 = 44$؛ والطرف الأيمن $4 \times 7 + 16 = 44$. فالحلّ هو $7$. **مثال 57.8 (بأقواس وأعداد سالبة).** حُلّ $3(x - 4) = 5 - 2(x + 1)$: $$ \begin{align*} 3x - 12 &= 5 - 2x - 2 && \text{(بنشر الطرفين)} \\ 3x - 12 &= 3 - 2x && \text{(بالاختزال)} \\ 5x &= 15 && \text{(بجمع $2x + 12$ إلى الطرفين)} \\ x &= 3 . \end{align*} $$ والتحقّق: $3(3 - 4) = -3$ و $5 - 2(3+1) = 5 - 8 = -3$. والحلّ: $3$. **طريقة 57.9 (حلّ مسألة بمعادلة).** 1. اِختر المجهول: «ليكن $x$ هو …» (المقدار المطلوب، أو مقدارًا أبسط مرتبطًا به)؛ 2. وترجم الحكاية إلى [معادلة](#def-g8-equations-def) ؛ 3. وحُلّها؛ 4. وفسّر: أجب عن السؤال الأصلي في جملة، مع الوحدات، وتحقّق من الجواب بمقابلته بالحكاية. **مثال 57.10.** لؤي أكبر من أخته بمقدار $4$ سنوات؛ [ومجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) سنّيهما معًا $26$. ليكن $x$ سنّ الأخت؛ فيكون لؤي $x + 4$، ومنه $$ x + (x + 4) = 26 \ \Longrightarrow\ 2x + 4 = 26 \ \Longrightarrow\ 2x = 22 \ \Longrightarrow\ x = 11 . $$ فالأخت $11$، ولؤي $15$. والتحقّق: $11 + 15 = 26$ و $15 - 11 = 4$. ## 57.3 الترتيب والمتراجحات **قضية 57.11 (العمليات والترتيب).** جمع العدد نفسه إلى طرفَي متراجحة يحفظها؛ وضرب الطرفين في عدد *موجب* يحفظها؛ والضرب في عدد *سالب* *يعكسها*: $$ 2 < 5 \ \text{ لكن }\ (-1) \times 2 > (-1) \times 5 . $$ **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ **مثال 57.12.** حُلّ $5 - 2x \leq 11$: اِطرح $5$ من الطرفين، فتجد $-2x \leq 6$؛ واِقسم على $-2$ *مع العكس*: فتجد $x \geq -3$. فكل الأعداد الأكبر من $-3$ أو المساوية له حلول — [فالمعادلة](#def-g8-equations-def) عادةً لها حلّ واحد، وأما المتراجحة فلها نصف [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) كامل من الحلول. ## 57.4 تمارين **تمرين 57.1 ★.** اُنشر واِختزل: $$ 5(2x + 3), \qquad -3(4x - 1), \qquad 2(3x - 2) + 4(x + 5). $$ **حل التمرين 57.1.** $5(2x + 3) = 10x + 15$. $-3(4x - 1) = -12x + 3$. $2(3x - 2) + 4(x + 5) = 6x - 4 + 4x + 20 = 10x + 16$. **تمرين 57.2 ★.** اُنشر واِختزل: $$ (x + 2)(x + 7), \qquad (3x + 1)(2x - 5), \qquad (x - 4)(x - 6). $$ **حل التمرين 57.2.** $(x+2)(x+7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14$. $(3x+1)(2x-5) = 6x^2 - 15x + 2x - 5 = 6x^2 - 13x - 5$. $(x-4)(x-6) = x^2 - 6x - 4x + 24 = x^2 - 10x + 24$. **تمرين 57.3 ★.** هل $x = 3$ حلّ [للمعادلة](#def-g8-equations-def) $4x - 5 = 7$؟ وللمعادلة $2x + 1 = x + 4$؟ وللمعادلة $x^2 = 6x - 9$؟ (عوّض وقارن الطرفين.) **حل التمرين 57.3.** $4 \times 3 - 5 = 7$: نعم. و $2 \times 3 + 1 = 7$ و $3 + 4 = 7$: نعم. و $3^2 = 9$ و $6 \times 3 - 9 = 9$: نعم — فالقيمة $x = 3$ تحلّ الثلاث كلها. **تمرين 57.4 ★.** حُلّ، مع التحقّق: $$ x + 9 = 4, \qquad 5x = -35, \qquad \frac{x}{3} = 8, \qquad 2x - 7 = 13 . $$ **حل التمرين 57.4.** $x + 9 = 4$: $x = -5$ (والتحقّق: $-5 + 9 = 4$). $5x = -35$: $x = -7$. $\frac x3 = 8$: $x = 24$. $2x - 7 = 13$: $2x = 20$، و $x = 10$ (والتحقّق: $20 - 7 = 13$). **تمرين 57.5 ★.** حُلّ: $$ 6x + 5 = 2x + 25, \qquad 9 - 4x = x - 11, \qquad 3(x + 2) = 2x + 11 . $$ **حل التمرين 57.5.** $6x + 5 = 2x + 25$: $4x = 20$، إذن $x = 5$. $9 - 4x = x - 11$: $20 = 5x$، إذن $x = 4$. $3(x + 2) = 2x + 11$: $3x + 6 = 2x + 11$، إذن $x = 5$. **تمرين 57.6 ★.** حُلّ $4(2x - 3) = 5(x + 6)$، بالنشر أولًا، وتحقّق من حلّك. **حل التمرين 57.6.** $8x - 12 = 5x + 30$، إذن $3x = 42$ و $x = 14$. والتحقّق: $4(28 - 3) = 100$ و $5(14 + 6) = 100$. **تمرين 57.7 ★.** ترجم وحُلّ: «ثلاثة أمثال عدد، ناقص $8$، تساوي $19$»؛ و«ضعف عدد مزيدًا $5$ يساوي العدد مزيدًا $12$». **حل التمرين 57.7.** “$3x - 8 = 19$”: $3x = 27$, $x = 9$. “$2x + 5 = x + 12$”: $x = 7$. **تمرين 57.8 ★★.** طول مستطيل يزيد على عرضه $5$ سم، ومحيطه $58$ سم. ليكن $x$ العرض: اُكتب [معادلة](#def-g8-equations-def)، وحُلّها وأعطِ البُعدين. **حل التمرين 57.8.** العرض $x$، والطول $x + 5$؛ [والمحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) $2\bigl(x + (x + 5)\bigr) = 4x + 10 = 58$، إذن $4x = 48$ و $x = 12$: فالعرض $12$ سم، والطول $17$ سم (والتحقّق: $2 \times (12 + 17) = 58$). **تمرين 57.9 ★★.** ثلاثة أعداد صحيحة متتالية مجموعها $141$. سمِّ الأوسط $n$ وجِد الثلاثة. **حل التمرين 57.9.** الأعداد هي $n - 1$ و $n$ و $n + 1$ ومجموعها $3n = 141$، إذن $n = 47$: فالأعداد هي $46$ و $47$ و $48$. **تمرين 57.10 ★★.** حُلّ المتراجحات وصِف الحلول: $$ 3x + 4 > 19, \qquad 7 - 2x \geq 1, \qquad 5(x - 1) < 2x + 7 . $$ **حل التمرين 57.10.** $3x + 4 > 19$: $3x > 15$، إذن $x > 5$. $7 - 2x \geq 1$: $-2x \geq -6$، والقسمة على $-2$ تعكس: $x \leq 3$. $5(x-1) < 2x + 7$: $5x - 5 < 2x + 7$، إذن $3x < 12$ و $x < 4$. **تمرين 57.11 ★★.** عند منى $140$ يورو من المدّخرات وتضيف $15$ يورو كل شهر؛ وعند طارق $200$ يورو ويضيف $10$ يورو كل شهر. فبعد كم شهرًا تصير عند منى أكثر من طارق تمامًا؟ (أقِم متراجحة.) **حل التمرين 57.11.** بعد $n$ شهرًا، تكون عند منى $140 + 15n$ وعند طارق $200 + 10n$. وتتقدّم منى حين $$ 140 + 15n > 200 + 10n \ \Longleftrightarrow\ 5n > 60 \ \Longleftrightarrow\ n > 12 : $$ أي اِبتداءً من الشهر $13$. **تمرين 57.12 ★★★.** حُلّ [المعادلة](#def-g8-equations-def) $\dfrac{x + 3}{4} = \dfrac{2x - 1}{5}$. (اِضرب الطرفين في $20$، وهو [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) المشترك، ثم تابع كالمعتاد؛ وتحقّق من حلّك في [المعادلة](#def-g8-equations-def) الأصلية.) **حل التمرين 57.12.** اِضرب الطرفين في $20$: $$ 5(x + 3) = 4(2x - 1) \ \Longrightarrow\ 5x + 15 = 8x - 4 \ \Longrightarrow\ 19 = 3x \ \Longrightarrow\ x = \frac{19}{3}. $$ والتحقّق: $\frac{19/3 + 3}{4} = \frac{28/3}{4} = \frac{28}{12} = \frac73$، و $\frac{2 \times 19/3 - 1}{5} = \frac{35/3}{5} = \frac{35}{15} = \frac73$. متساويان: فالحلّ هو $\frac{19}{3}$. ## 57.5 مسألة: المتطابقات الشهيرة وسُلَّم الأعداد الفردية **مسألة 57.1.** مسألة نهاية الأسبوع — $(a+b)^2$ و $(a-b)^2$ و $(a+b)(a-b)$، والمجموع $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ ثلاث عمليات نشر تتكرّر كثيرًا حتى صار الجبر يحفظها عن ظهر قلب: وتُسمّى *المتطابقات الشهيرة*. وتستنتجها هذه المسألة من التوزيعية المضاعفة ([المبرهنة 57.1](#thm-g8-equations-expand))، وتحوّلها قوّةً خارقة في الحساب الذهني، وتستعملها لتبرهن على واقعة جميلة عن [الأعداد الفردية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd)، وتنتهي بحلّ [معادلات](#def-g8-equations-def) من نوع جديد تمامًا: [معادلات](#def-g8-equations-def) فيها مربع. **الجزء الأول — المتطابقات الثلاث.** 1. اُنشر $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$ واِختزل، لتبرهن على $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$$ 2. وبَرهِن كذلك على الرفيقتين: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 .$$ 3. اُرسم مربعًا طول ضلعه $a + b$ ، واِقسم كل ضلع إلى $a$ و $b$ ، واِقطع المربع إلى أربع قطع. فأيّ جزء من المتطابقة الأولى يمثّله كل جزء من الصورة؟ 4. الحساب الذهني: اِستعمل المتطابقات لتحسب، دون إجراء أيّ ضرب، $$101^2, \qquad 99^2, \qquad 49 \times 51 .$$ 5. وفخّ كلاسيكي: تكتب زينة « $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ». اِختبر صيغتها بالقيمتين $a = 3$ و $b = 4$ ، واِشرح على صورة السؤال 3 أيّ [القطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) بالضبط تنساها صيغتها. **الجزء الثاني — سُلَّم [الأعداد الفردية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd).** 6. اِحسب $1$ ، ثم $1 + 3$ ، ثم $1 + 3 + 5$ ، ثم $1 + 3 + 5 + 7$ ، ثم $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ . فماذا تلاحظ على النتائج؟ 7. اِشرح لماذا يكون [العدد الفردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ذو الرتبة $n$ هو $2n - 1$ (والتحقّق: $n = 1, 2, 3$ تعطي $1, 3, 5$ ). 8. اِستعمل متطابقة من الجزء الأول لتنشر وتختزل $(n + 1)^2 - n^2$ . فما علاقة النتيجة بالسؤال 7؟ 9. يقول السؤال 8: للانتقال من مربع طول ضلعه $n$ إلى مربع طول ضلعه $n + 1$، يُضاف بالضبط [العدد الفردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) التالي من خلايا الوحدة — أي حاشية على شكل حرف L على طول ضلعين والركن. واِنطلاقًا من $1 = 1^2$ وتنمية المربع طبقةً طبقة، اِشرح لماذا $$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2 :$$ أي إن [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) [الأعداد الفردية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $n$ الأولى هو المربع ذو الرتبة $n$. 10. اِستنتج، دون جمعها واحدًا واحدًا: قيمة $1 + 3 + 5 + \dots + 99$ ؛ وكم عددًا فرديًّا، اِبتداءً من $1$ ، مجموعها $400$ بالضبط. **الجزء الثالث — [معادلات](#def-g8-equations-def) فيها مربع.** 11. تعرّف على متطابقة شهيرة في $x^2 + 6x + 9$ ، و حُلّ [المعادلة](#def-g8-equations-def) $x^2 + 6x + 9 = 0$ . 12. اِشرح، مستعملًا قاعدة الإشارة والمسافة في [المبرهنة 54.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/54-multiplying-negative-numbers#thm-g8-negprod-rules) ، لماذا لا يمكن [لجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) عددين أن يكون معدومًا *إلا إذا* كان أحد العاملين معدومًا. واِستعمل هذا لحلّ $(x - 2)(x + 5) = 0$ . 13. حُلّ $x^2 = 49$ بنقل كل شيء إلى طرف واحد وتعميل $x^2 - 49$ بالمتطابقة الثالثة. فكم حلًّا لهذه [المعادلة](#def-g8-equations-def) — وبم يختلف ذلك عن كل [معادلة](#def-g8-equations-def) حُلّت في هذا الفصل حتى الآن؟ 14. في [التمرين 57.3](#exo-g8-equations-3) تحقّقت من أن $x = 3$ حلّ [للمعادلة](#def-g8-equations-def) $x^2 = 6x - 9$ . بيّن أنه الحلّ *الوحيد* : اُنقل كل شيء إلى طرف واحد، وتعرّف على متطابقة، واِستنتج. 15. الخاتمة: اِحسب $2026^2 - 2025^2$ ذهنيًّا، واِشرح بمتطابقة لماذا يكون [فرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) مربعين متتاليين دائمًا [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) العددين — وهو السؤال 8 من جديد. **حل المسألة 57.1.** **1.** التوزيعية المضاعفة ([المبرهنة 57.1](#thm-g8-equations-expand)) مع $c = a$ و $d = b$: $$ (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 , $$ لأن $ab$ و $ba$ هما [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) نفسه. **2.** النشر نفسه، مع اِنتباه للإشارات: $$ (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 , $$ $$ (a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 : $$ وهذه المرة يتلاشى الحدّان المتقاطعان $-ab$ و $+ba$ بدل أن يتضاعفا. **3.** المربع الذي طول ضلعه $a + b$ ينقطع إلى أربع قطع: مربع $a \times a$ (وهو $a^2$)، ومربع $b \times b$ (وهو $b^2$)، و*مستطيلان* $a \times b$ (وهما معًا $2ab$). والمتطابقة $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ هي القول بأن المساحات الأربع تملأ المربع الكبير — وهي صورة التوزيعية المضاعفة مع شقّ الطرفين بالطريقة نفسها. **4.** بالمتطابقات: $$ \begin{align*} 101^2 &= (100 + 1)^2 = 10\,000 + 2 \times 100 + 1 = 10\,201, \\ 99^2 &= (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801, \\ 49 \times 51 &= (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2\,499 . \end{align*} $$ **5.** من أجل $a = 3$ و $b = 4$: $(3 + 4)^2 = 49$ لكن $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. فصيغة زينة تنسى المستطيلين $a \times b$ في الصورة — أي المقدار الناقص $2ab = 24$، وفعلًا $25 + 24 = 49$. **6.** $1$؛ و $1 + 3 = 4$؛ و $1 + 3 + 5 = 9$؛ و $1 + 3 + 5 + 7 = 16$؛ و $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$. والنتائج هي المربعات التامّة $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$. **7.** تبدأ [الأعداد الفردية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) من $1$ وتصعد بخطوات مقدارها $2$: فذو الرتبة $n$ يُبلَغ بعد $n - 1$ خطوة مقدارها $2$ من $1$، إذن يساوي $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$. والتحقّق: $n = 1, 2, 3$ تعطي $1, 3, 5$. **8.** بالمتطابقة الأولى، $$ (n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 : $$ [فالفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) بين مربعين متتاليين هو بالضبط [العدد الفردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ذو الرتبة $(n+1)$ (السؤال 7 مع $n + 1$ مكان $n$: $2(n+1) - 1 = 2n + 1$). **9.** اِبنِ المربعات واحدًا بعد الآخر. اِبدأ بخلية واحدة: $1 = 1^2$. وللانتقال من المربع ذي الضلع $1$ إلى المربع ذي الضلع $2$، أضِف $2 \times 1 + 1 = 3$ خلايا (السؤال 8): فتجد $1 + 3 = 2^2$. وللانتقال إلى الضلع $3$، أضِف $2 \times 2 + 1 = 5$ خلايا: فتجد $1 + 3 + 5 = 3^2$. وكل [عدد فردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) جديد هو بالضبط الطبقة على شكل حرف L التي تكمل المربع التالي، إذن بعد إضافة [الأعداد الفردية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $n$ الأولى يكتمل المربع ذو الضلع $n$: $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$. **10.** [الأعداد الفردية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) من $1$ إلى $99$ هي الأولى $50$ منها ([فالمعادلة](#def-g8-equations-def) $2n - 1 = 99$ تعطي $n = 50$)، إذن $$ 1 + 3 + 5 + \dots + 99 = 50^2 = 2\,500 . $$ [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = 400 = 20^2$ يستلزم $n = 20$: [فالأعداد الفردية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) *العشرون* الأولى (من $1$ إلى $39$) مجموعها $400$. **11.** $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x + 3)^2$: وهي المتطابقة الأولى مع $a = x$ و $b = 3$. إذن تُقرأ [المعادلة](#def-g8-equations-def) $(x + 3)^2 = 0$. والمربع لا ينعدم إلا حين ينعدم العدد نفسه ([المبرهنة 54.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/54-multiplying-negative-numbers#thm-g8-negprod-rules): فالعدد غير المعدوم مسافته غير معدومة، إذن مسافة مربعه غير معدومة أيضًا). ومنه $x + 3 = 0$: فالحلّ الوحيد هو $x = -3$. **12.** حسب [المبرهنة 54.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/54-multiplying-negative-numbers#thm-g8-negprod-rules)، تكون مسافة [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) المسافتين. فإذا كان العاملان غير معدومين، كانت المسافتان غير معدومتين، فتكون مسافة [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) غير معدومة: فلا يمكن [للجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) أن يكون $0$. ومنه [فالجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) المعدوم يفرض عاملًا معدومًا واحدًا على الأقلّ. ومن أجل $(x - 2)(x + 5) = 0$: إما $x - 2 = 0$ وإما $x + 5 = 0$، فيعطيان الحلّين $x = 2$ و $x = -5$. **13.** تصير $x^2 = 49$ هي $x^2 - 49 = 0$، والمتطابقة الثالثة تعمّلها: $$ x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7) = 0 . $$ وبالسؤال 12، $x = 7$ أو $x = -7$: أي *حلّان*. وكل [معادلة](#def-g8-equations-def) حُلّت حتى الآن في هذا الفصل كانت من الدرجة الأولى ولها حلّ واحد بالضبط؛ أما المربع في [المعادلة](#def-g8-equations-def) فقد ينتج حلّين. **14.** اُنقل كل شيء إلى الطرف الأيسر: $x^2 - 6x + 9 = 0$، وتعرّف على المتطابقة الثانية: $x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$. إذن [المعادلة](#def-g8-equations-def) هي $(x - 3)^2 = 0$، وهي تفرض $x - 3 = 0$ (كما في السؤال 11): فالقيمة $x = 3$ هي الحلّ الوحيد لا غير — وقد وجده تحقّق [التمرين 57.3](#exo-g8-equations-3)، والتعميل يبرهن على أنه لا حلول غيره. **15.** بالمتطابقة الثالثة، $$ 2026^2 - 2025^2 = (2026 - 2025)(2026 + 2025) = 1 \times 4051 = 4\,051 . $$ وعمومًا $(n+1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$: أي إن [فرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) مربعين متتاليين هو [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) العددين — وهو $2n + 1$ نفسه الذي في السؤال 8، محصولًا عليه الآن من المتطابقة الثالثة بدل الأولى.