---
title: "مبرهنة فيثاغورس"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 58
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/58-the-pythagorean-theorem
---

# الفصل 58 — مبرهنة فيثاغورس

أشهر مبرهنة في الرياضيات كلها تربط أضلاع [المثلث القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) الثلاثة. وبها تصير أطوال قابلة للحساب لم تكن أيّ مسطرة تستطيع قياسها مباشرةً: كالأقطار والمسافات والارتفاعات. وهي أيضًا أول لقاء كبير لنا مع [الفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) بين المبرهنة وعكسها.

## 58.1 المبرهنة

**مبرهنة 58.1 (فيثاغورس).**

إذا كان المثلث $ABC$ [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $A$، فإن

$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 :
$$

أي إن مربع الوتر (وهو الضلع المقابل [للزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle)) يساوي [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) مربعَي الضلعين الآخرين.

**فكرة البرهان.** أربع نسخ من المثلث، مرتّبة داخل مربع كبير طول ضلعه $AB + AC$، تترك دون تغطية مربعًا مائلًا مبنيًّا على الوتر: فمقارنة المساحات تعطي التساوي. والحساب المفصّل مقترح في [التمرين 58.11](#exo-g8-pythagoras-11)؛ والمبرهنة تنتج أيضًا من [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) السلّمي، المدروس في مجلّد المرحلة الثانوية. ∎

![المبرهنة عبارةً عن مساحات: فالمربع المبني على الوتر (25) له بالضبط مساحة المربعين الآخرين معًا (16 + 9). والأضلاع هنا 3 و 4 و 5.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-pythagoras/fig-1633da61d8e5.svg)

*المبرهنة عبارةً عن مساحات: فالمربع المبني على الوتر ($25$) له بالضبط [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) المربعين الآخرين معًا ($16 + 9$). والأضلاع هنا $3$ و $4$ و $5$.*

**طريقة 58.2 (حساب طول).**

في [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) معلوم فيه ضلعان:

1. سمِّ الوتر (وهو المقابل [للزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) — وأطول الأضلاع دائمًا)؛
2. واُكتب تساوي [المبرهنة 58.1](#thm-g8-pythagoras-direct) بالقيم المعلومة؛
3. وحُلّ لإيجاد المربع الناقص: *اِجمع* المربعين إذا كان الوتر مجهولًا، و *اِطرح* إذا كان أحد ضلعَي القائمة مجهولًا؛
4. وخذ الجذر التربيعي، بالضبط أو بالآلة الحاسبة، وتحقّق من أن الوتر خرج أطولها.

**مثال 58.3 (إيجاد الوتر).**

[مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ضلعا قائمته $6$ و $8$. والوتر $c$:

$$
c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100,
\qquad
c = \sqrt{100} = 10 .
$$

(والعدد $\sqrt{100}$، أي *الجذر التربيعي* للعدد $100$، هو العدد الموجب الذي مربعه $100$؛ وللجذور التربيعية فصل كامل في [الفصل 65](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/65-square-roots#ch-g9-sqrt).)

**مثال 58.4 (إيجاد ضلع قائمة).**

سُلَّم طوله $5$ م مسنود إلى جدار، وقدمه على بُعد $1.4$ م من الجدار. والارتفاع المبلوغ $h$: فالسُّلَّم هو الوتر، ومنه

$$
h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04,
\qquad
h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ m}.
$$

اِطرح ولا تجمع: فالمجهول هنا *ضلع قائمة*.

## 58.2 المبرهنة العكسية

**مبرهنة 58.5 (عكس فيثاغورس).**

إذا كانت أضلاع مثلث $ABC$ تحقّق $BC^2 = AB^2 + AC^2$، فإن [المثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $A$.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**طريقة 58.6 (اِختبار زاوية قائمة).**

من أجل أضلاع مثلث معطاة:

1. اِحسب على حدة مربع الضلع الأطول، [ومجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) مربعَي الضلعين الآخرين؛
2. فإن تساوت النتيجتان، كان [المثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) (بالعكس)، عند الرأس المقابل للضلع الأطول؛
3. وإن اِختلفتا، فليس [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) — لأن مبرهنة فيثاغورس كانت ستفرض التساوي.

**مثال 58.7.**

الأضلاع $5$ و $12$ و $13$: مربع الضلع الأطول $13^2 = 169$؛ [ومجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) المربعين الآخرين $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. متساويان: إذن [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) (في مقابل الضلع $13$).

والأضلاع $6$ و $7$ و $9$: $9^2 = 81$ لكن $6^2 + 7^2 = 85 \neq 81$: فليس مثلثًا [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) (وهو «يكاد» يكون كذلك — فالأعداد تقرّر، لا العين).

**ملاحظة 58.8 (المبرهنة وعكسها).**

المبرهنة وعكسها يقولان أمرين مختلفين: فالمبرهنة *تستعمل* [زاوية قائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) لحساب أطوال؛ والعكس يستعمل الأطوال *ليبرهن* على [زاوية قائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle). وقد اِستعمل البنّاؤون العكس منذ آلاف السنين: فحبل بعقد عند $3$ و $4$ و $5$ وحدات مشدود يعطي [زاوية قائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) تامّة.

**مثال 58.9 (قطر المربع).**

[قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) مربع طول ضلعه $1$ هو وتر [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ضلعا قائمته $1$ و $1$:

$$
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ,
$$

إذن $d = \sqrt2 \approx 1.414$ — وهو عدد ليس كسرًا، كما سيبرهن مجلّد المرحلة الثانوية. ومن أجل مربع طول ضلعه $c$، يكون [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) $c\sqrt2$.

## 58.3 تمارين

**تمرين 58.1 ★.**

في كل [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)، اِحسب الوتر: ضلعا القائمة $9$ و $12$؛ وضلعا القائمة $5$ و $12$؛ وضلعا القائمة $8$ و $15$.

**حل التمرين 58.1.**

$\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$; $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$; $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.

**تمرين 58.2 ★.**

[مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) وتره $25$ وأحد ضلعَي قائمته $7$. اِحسب ضلع القائمة الآخر.

**حل التمرين 58.2.**

ضلع القائمة$^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$، إذن ضلع القائمة هو $\sqrt{576} = 24$.

**تمرين 58.3 ★.**

اِحسب [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) مستطيل ضلعاه $12$ سم و $9$ سم؛ [وقطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) مربع طول ضلعه $5$ سم (القيمة المضبوطة بجذر تربيعي، ثم مقرّبة إلى المم).

**حل التمرين 58.3.**

المستطيل: $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ سم.

والمربع: $d = 5\sqrt2 \approx 7.1$ سم ([المثال 58.9](#ex-g8-pythagoras-diagonal)).

**تمرين 58.4 ★.**

أيّ المثلثات قائمة الزاوية؟ بَرِّر حسب [الطريقة 58.6](#met-g8-pythagoras-test):

$$
(20,\ 21,\ 29); \qquad
(7,\ 8,\ 11); \qquad
(1.5,\ 2,\ 2.5).
$$

**حل التمرين 58.4.**

$(20, 21, 29)$: $29^2 = 841$ و $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$: إذن [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles).

$(7, 8, 11)$: $121 \neq 49 + 64 = 113$: فليس [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles).

$(1.5, 2, 2.5)$: $6.25 = 2.25 + 4$: إذن [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) (وهو $(3,4,5)$ منصَّفًا).

**تمرين 58.5 ★.**

بوابة مدعّمة بلوح قُطري. وعرض البوابة $3$ م واِرتفاعها $1.6$ م: فكم يبلغ طول اللوح؟

**حل التمرين 58.5.**

اللوح $= \sqrt{3^2 + 1.6^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} = 3.4$ م.

**تمرين 58.6 ★.**

[مثلث متساوي الساقين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ساقاه $10$ سم وقاعدته $12$ سم. واِرتفاعه يشقّه إلى مثلثين قائمَي الزاوية: اِحسب ذلك الارتفاع، ثم [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) المثلث.

**حل التمرين 58.6.**

يقع الارتفاع على منتصف القاعدة ([فالمثلث متساوي الساقين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles))، إذن لكل نصف مثلث وتر $10$ وضلع قائمة $6$: $h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ سم. [والمساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area): $\frac{12 \times 8}{2} = 48$ سم$^2$.

**تمرين 58.7 ★★.**

شاشة تلفاز مستطيل $16{:}9$ قياسه $88.5$ سم في $49.8$ سم. وتُباع الشاشات [بالقطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle)، بالبوصة ($1$ بوصة $= 2.54$ سم). اِحسب [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) بالسنتيمتر، ثم بالبوصة (مقرّبًا إلى أقرب بوصة).

**حل التمرين 58.7.**

[القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle): $\sqrt{88.5^2 + 49.8^2} = \sqrt{7832.25 + 2480.04}
= \sqrt{10312.29} \approx 101.5$ سم. وبالبوصة: $101.5 \div 2.54 \approx 40$ بوصة.

**تمرين 58.8 ★★.**

يبحر قارب $24$ كم شرقًا، ثم $10$ كم شمالًا. فكم يبعد عن نقطة اِنطلاقه (في خطّ [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects))؟ اُرسم الوضعية أولًا.

**حل التمرين 58.8.**

ضلعا القائمة هما $24$ كم و $10$ كم: $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ كم.

**تمرين 58.9 ★★.**

سُلَّم طوله $2.5$ م يجب أن يبلغ عتبة نافذة على اِرتفاع $2.4$ م عن الأرض. فكم يجب أن تبعد قدمه عن الجدار؟ وهل الجواب متوافق مع نصيحة السلامة (القدم على نحو رُبع طول السُّلَّم من الجدار)؟

**حل التمرين 58.9.**

بُعد القدم: $\sqrt{2.5^2 - 2.4^2} = \sqrt{6.25 - 5.76} =
\sqrt{0.49} = 0.7$ م. ورُبع السُّلَّم هو $2.5 \div 4 \approx 0.6$ م: فالمسافة $0.7$ م الموجودة قريبة من الوضع المنصوح به — وهي مقبولة.

**تمرين 58.10 ★★.**

على شبكة إحداثيات، ضع $A(1, 2)$ و $B(5, 5)$، واُرسم [المثلث القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) الذي ضلعا قائمته موازيان للمحورين ووتره $[AB]$. واِحسب $AB$. (وهذا الإنشاء، من أجل أيّ نقطتين، يصير صيغة المسافة في الهندسة الإحداثية، في مجلّد المرحلة الثانوية.)

**حل التمرين 58.10.**

يقيس ضلعا القائمة $5 - 1 = 4$ (أفقيًّا) و $5 - 2 = 3$ (عموديًّا)، إذن

$$
AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 .
$$

**تمرين 58.11 ★★★.**

أربع نسخ من [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ضلعا قائمته $a$ و $b$ ووتره $c$ موضوعة في أركان مربع طول ضلعه $a + b$، فتترك مربعًا مائلًا طول ضلعه $c$ دون تغطية في الوسط.

1. عبّر عن [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) المربع الكبير بطريقتين: مباشرةً، و على صورة (أربعة مثلثات) $+$ (المربع المائل).
2. واُنشر $(a + b)^2$ (اُنظر [المبرهنة 57.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#thm-g8-equations-expand) ) و اِستنتج $c^2 = a^2 + b^2$ : فتكون قد برهنت على مبرهنة فيثاغورس.

**حل التمرين 58.11.**

*1.* مباشرةً: $(a + b)^2$. وعلى صورة قطع: أربعة مثلثات [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) كل منها $\frac{ab}{2}$، زائد المربع المائل $c^2$:

$$
(a + b)^2 = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 .
$$

*2.* بنشر الطرف الأيسر: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. ومنه

$$
a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2
\quad\Longrightarrow\quad
a^2 + b^2 = c^2 . \qed
$$

## 58.4 مسألة: الثلاثيات الفيثاغورية

**مسألة 58.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — المثلثات القائمة الزاوية ذات الأعداد الصحيحة، والمتطابقة $(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2$ التي تولّدها كلها

*الثلاثية الفيثاغورية* ثلاثية أعداد صحيحة $(a, b, c)$ تحقّق

$$
a^2 + b^2 = c^2 ,
$$

مثل ثلاثية البنّائين $(3, 4, 5)$. وقد فهرس لوح طيني بابلي ثلاثيات ضخمة — منها $(4601,\ 4800,\ 6649)$ — قبل فيثاغورس بأكثر من ألف سنة. وتصطاد هذه المسألة الثلاثيات، ثم تبني الآلة التي تنتجها: متطابقة جبرية مأخوذة مباشرةً من [الفصل 57](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#ch-g8-equations)، موضوعة في خدمة الهندسة.

**الجزء الأول — صيد الثلاثيات.**

1. تحقّق من أن $(5, 12, 13)$ و $(8, 15, 17)$ و $(20, 21, 29)$ ثلاثيات فيثاغورية. فماذا تقول [المبرهنة 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse) عن المثلثات ذات أطوال الأضلاع هذه؟
2. اِشرح لماذا يعطي حبل مشدود ذو اِثنتي عشرة [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) متساوية، موضوع مثلثًا أضلاعه $3$ و $4$ و $5$ قطع، البنّائين [زاوية قائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) تامّة.
3. بيّن أنه إذا كانت $(a, b, c)$ [ثلاثية فيثاغورية](#pb-g8-pythagoras-1) ، فكذلك $(ka, kb, kc)$ من أجل كل عدد صحيح $k \geq 1$ . واِستنتج ثلاث ثلاثيات جديدة من $(3, 4, 5)$ .
4. [مضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) $(3, 4, 5)$ هي الثلاثيات $(3k, 4k, 5k)$ . بيّن أن $(5, 12, 13)$ *ليست* واحدة منها.
5. اِشرح لماذا يبرهن السؤالان 3 و4 معًا على أن تكبير $(3, 4, 5)$ لا يمكن أن ينتج كل [ثلاثية فيثاغورية](#pb-g8-pythagoras-1) : فلا بدّ من آلة أخرى.

**الجزء الثاني — الآلة.** خذ عددين صحيحين $m > n \geq 1$ وكوّن الأعداد الثلاثة

$$
a = m^2 - n^2,
\qquad
b = 2mn,
\qquad
c = m^2 + n^2 .
$$

6. باستعمال المتطابقات الشهيرة في [المسألة 57.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#pb-g8-equations-1) (اُكتب $A = m^2$ و $B = n^2$)، اُنشر $a^2$ و $b^2$، وبَرهِن على أن $$\left(m^2 - n^2\right)^2 + (2mn)^2  = \left(m^2 + n^2\right)^2 :$$ أي إن الآلة تُخرج دائمًا [ثلاثية فيثاغورية](#pb-g8-pythagoras-1).
7. شغّل الآلة على $(m, n) = (2, 1)$ و $(3, 1)$ و $(3, 2)$ و $(4, 1)$ و $(4, 3)$ ، واِعرض الثلاثيات الخمس في جدول.
8. إحدى الثلاثيات في جدولك نسخة مكبّرة من أصغر منها. فأيّها، ومن أيّها؟
9. جِد $(m, n)$ التي تُخرج بها الآلة الثلاثية $(20, 21, 29)$ في السؤال 1 (بضلعَي قائمة بأيّ ترتيب).
10. جِد $m$ و $n$ يحقّقان $m^2 + n^2 = 100$ ، واِستنتج [ثلاثية فيثاغورية](#pb-g8-pythagoras-1) وترها $100$ .

**الجزء الثالث — العائلات، وخاتمة زوجية.**

11. شغّل الآلة مع $m = n + 1$ . بيّن أن ضلع القائمة الفردي هو $2n + 1$ ، وضلع القائمة الزوجي $2n^2 + 2n$ ، والوتر $2n^2 + 2n + 1$ — إذن يفترق الوتر وضلع القائمة الزوجي بمقدار $1$ بالضبط. واُكتب الثلاثيات من أجل $n = 1, 2, 3, 4$ .
12. اِستنتج أن *كل* [عدد فردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $3, 5, 7, 9, \dots$ هو ضلع [لمثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ذي أعداد صحيحة، وأعطِ ثلاثية تحوي $11$ .
13. [والأعداد الزوجية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) تصلح أيضًا: شغّل الآلة مع $n = 1$ ، و أنتج ثلاثية تحوي $14$ . ثم اِحصل على الثلاثية نفسها مرة ثانية، بتكبير واحدة من جدول السؤال 7.
14. بيّن أن مربع [العدد الزوجي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) زوجي وأن مربع [العدد الفردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) فردي. (اُكتب العدد على صورة $2k$ أو $2k + 1$ واِستعمل متطابقة.)
15. اُختم بخاتمة الزوجية: لا توجد [ثلاثية فيثاغورية](#pb-g8-pythagoras-1) أعدادها الثلاثة كلها فردية — ففي كل [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ذي أعداد صحيحة، ضلع واحد على الأقلّ زوجي.

**حل المسألة 58.1.**

**1.** $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$؛ و $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$؛ و $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$. فالثلاث كلها ثلاثيات، وحسب [المبرهنة 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse) يكون المثلث ذو أطوال الأضلاع هذه [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)، [والزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) تواجه الضلع الأطول.

**2.** يكوّن الحبل مثلثًا أضلاعه $3$ و $4$ و $5$ ([بالقطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects))، و $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$: فبالعكس ([المبرهنة 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse))، تكون الزاوية بين ضلعَي $3$ و $4$ قطع قائمة بالضبط — بلا منقلة، بالعقد وحدها.

**3.** إذا كان $a^2 + b^2 = c^2$، فإن

$$
(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 a^2 + k^2 b^2
= k^2\left(a^2 + b^2\right) = k^2 c^2 = (kc)^2 .
$$

ومن $(3, 4, 5)$: مثلًا $(6, 8, 10)$ و $(9, 12, 15)$ و $(30, 40, 50)$.

**4.** [المضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) $(3k, 4k, 5k)$ الذي يحوي $5$ عددًا أصغر فيه كان يستلزم $3k = 5$، ولا عدد صحيح $k$ يحقّق ذلك ($k = 1$ يعطي $3$، و $k = 2$ يعطي $6$). إذن $(5, 12, 13)$ ليست مضاعفًا للثلاثية $(3, 4, 5)$.

**5.** يبيّن السؤال 3 أن التكبير لا ينتج إلا الثلاثيات $(3k, 4k, 5k)$؛ ويعرض السؤال 4 ثلاثية حقيقية ليست من هذه الصورة. إذن عائلة كل الثلاثيات الفيثاغورية أوسع تمامًا من [مضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) $(3, 4, 5)$: فإنتاجها يحتاج شيئًا جديدًا.

**6.** اُكتب $A = m^2$ و $B = n^2$. وبالمتطابقات الشهيرة ([المسألة 57.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#pb-g8-equations-1)):

$$
a^2 = (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2,
\qquad
b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2 = 4AB .
$$

وبالجمع:

$$
a^2 + b^2 = A^2 - 2AB + B^2 + 4AB
= A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2
= \left(m^2 + n^2\right)^2 = c^2 .
$$

**7.**

| $(m, n)$ | $m^2 - n^2$ | $2mn$ | $m^2 + n^2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $(2, 1)$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $(3, 1)$ | $8$ | $6$ | $10$ |
| $(3, 2)$ | $5$ | $12$ | $13$ |
| $(4, 1)$ | $15$ | $8$ | $17$ |
| $(4, 3)$ | $7$ | $24$ | $25$ |

**8.** الثلاثية $(8, 6, 10)$ هي ضعف $(4, 3, 5)$ — أي ضعف ثلاثية البنّائين $(3, 4, 5)$. فالآلة تعيد اِكتشاف ثلاثية قديمة متنكّرة أحيانًا.

**9.** نحتاج $m^2 - n^2 = 21$ و $2mn = 20$، إذن $mn = 10$: وبتجريب $m = 5$ و $n = 2$ نجد $25 - 4 = 21$ و $2 \times 10 = 20$، والوتر $25 + 4 = 29$. فتُخرج الآلة $(21, 20, 29)$ من أجل $(m, n) = (5, 2)$.

**10.** القيمتان $m = 8$ و $n = 6$ تعطيان $m^2 + n^2 = 64 + 36 = 100$. والثلاثية هي

$$
\left(64 - 36,\ 2 \times 48,\ 100\right) = (28,\ 96,\ 100),
$$

وفعلًا $28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10\,000 = 100^2$.

**11.** مع $m = n + 1$:

$$
m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1
$$

([فرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) مربعين متتاليين، [المسألة 57.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#pb-g8-equations-1))؛ و $2mn = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$؛ و $m^2 + n^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$. فالوتر يزيد على ضلع القائمة الزوجي بمقدار $1$ بالضبط. ومن أجل $n = 1, 2, 3, 4$:

$$
(3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (7, 24, 25), \quad
(9, 40, 41) .
$$

**12.** كل [عدد فردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) لا يقلّ عن $3$ هو $2n + 1$ من أجل $n \geq 1$ ما، والسؤال 11 يقدّم ثلاثية ضلع قائمتها الفردي هو $2n + 1$ بالضبط. ومن أجل $11 = 2 \times 5 + 1$، خذ $n = 5$:

$$
(11,\ 60,\ 61),
\qquad
11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2 .
$$

**13.** مع $n = 1$ تعطي الآلة $\left(m^2 - 1,\ 2m,\ m^2 + 1\right)$، وضلع قائمتها الزوجي $2m$ يمكن أن يكون أيّ [عدد زوجي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) من $4$ فصاعدًا. ومن أجل $14 = 2 \times 7$، خذ $m = 7$: فتكون الثلاثية $(48, 14, 50)$. وتظهر الثلاثية نفسها بمضاعفة $(7, 24, 25)$ من جدول السؤال 7: $(14, 48, 50)$ — أي الأعداد الثلاثة نفسها.

**14.** [العدد الزوجي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) هو $2k$، والمربع $(2k)^2 = 4k^2$ زوجي (فهو [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) للعدد $4$، وهو زوجي). [والعدد الفردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) هو $2k + 1$، و المتطابقة الشهيرة الأولى تعطي

$$
(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 ,
$$

أي [عدد زوجي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) زائد $1$: فهو فردي.

**15.** اِفترض أن $a$ و $b$ و $c$ كلها فردية. فبالسؤال 14، يكون $a^2$ و $b^2$ فرديين، إذن $a^2 + b^2$ [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) عددين فرديين: أي *زوجي*. لكن $c^2$ كان سيكون *فرديًّا*. فيصير التساوي $a^2 + b^2 = c^2$ مستحيلًا. إذن في كل [ثلاثية فيثاغورية](#pb-g8-pythagoras-1) واحد على الأقلّ من الأعداد الثلاثة زوجي — كما يؤكد كل سطر من جدول السؤال 7.