--- title: "المنتصفات والمتوازيات" book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية" subject: math language: ar chapter: 59 exercises: 9 source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/59-midpoints-and-parallels --- # الفصل 59 — المنتصفات والمتوازيات صِل بين منتصفَي ضلعين من مثلث: [فالقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) التي تحصل عليها موازية دائمًا للضلع الثالث، وطولها نصف طوله بالضبط. وهذه «مبرهنة المنتصفين» وعكسها أول مذاق لفكرة كبرى — أن المتوازيات تقطع الأطوال [بتناسب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-table) — تتفتّح في مبرهنة طاليس في [الفصل 68](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/68-thales-theorem#ch-g9-thales). ## 59.1 مبرهنة المنتصفين **مبرهنة 59.1 (مبرهنة المنتصفين).** في مثلث $ABC$، ليكن $I$ منتصف $[AB]$ و $J$ منتصف $[AC]$. عندئذٍ يكون [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(IJ)$ [موازيًا](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) [للمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(BC)$، و $$ IJ = \frac{BC}{2} . $$ **فكرة البرهان.** ليكن $K$ [مماثلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-def) $I$ بالنسبة إلى $J$ (أي نصف دورة، [الفصل 52](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#ch-g7-central)). [فالرباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) $AICK$ قطراه $[IK]$ و $[AC]$ يتقاطعان في منتصفهما المشترك $J$: إذن هو [متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram)، ومنه $KC$ [موازٍ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) [للمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $AI$، أي [للمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(AB)$، و $KC = AI = IB$. ثم إن $IBCK$ له ضلعان متقابلان ($[IB]$ و $[KC]$) متوازيان ومتساويان: فهو [متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) أيضًا ([المبرهنة 52.9](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#thm-g7-central-recognize))، إذن $(IK) \parallel (BC)$ — أي $(IJ) \parallel (BC)$ — و $BC = IK = 2\,IJ$. ∎ ![قطعة المنتصفين (IJ) (بالأحمر) موازية للضلع الثالث (BC) وطولها نصف طوله.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-midpoints/fig-c5593cfefe80.svg) *[قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) المنتصفين $[IJ]$ (بالأحمر) موازية للضلع الثالث $(BC)$ وطولها نصف طوله.* **مثال 59.2.** في مثلث $ABC$ فيه $BC = 9$ سم، يُوصَل بين منتصف $I$ [للقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ و منتصف $J$ [للقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[AC]$. ودون أيّ قياس: $(IJ) \parallel (BC)$ و $IJ = \frac92 = 4.5$ سم. والمثلث الصغير $AIJ$ نسخة بنصف [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) من $ABC$ — ومحيطه نصف [محيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) $ABC$ أيضًا. **مبرهنة 59.3 (العكس).** في مثلث $ABC$، [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) المارّ بمنتصف $I$ [للقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ و *[الموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)* [للمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(BC)$ يقطع الضلع $[AC]$ في منتصفه. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ **مثال 59.4.** مسار يعبر حقلًا مثلثيًّا، منطلقًا من وسط حافة وسائرًا [موازيًا](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) للحافة المقابلة. فالعكس يضمن أن المسار يخرج بالضبط من وسط الحافة الأخرى — بلا قياس في الجهة البعيدة. **طريقة 59.5 (الاختيار بين المبرهنة وعكسها).** 1. *منتصفان معلومان* $\Rightarrow$ اِستعمل المبرهنة المباشرة: واِستنتج التوازي ونصف الطول. 2. *منتصف واحد ومتوازٍ معلومان* $\Rightarrow$ اِستعمل العكس: واِستنتج أن نقطة التقاطع منتصف. 3. واُكتب أيّ مثلث وأيّ منتصفات وأيّ مبرهنة تستعمل — جملة لكل منها. ## 59.2 مثلثات بنصف الحجم **قضية 59.6 (مثلث المنتصفات).** الوصل بين منتصفات أضلاع مثلث الثلاثة يقطعه إلى أربعة مثلثات متساوية المساحات، كل منها نسخة بنصف [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) من الأصل. **برهان.** كل ضلع من مثلث المنتصفات [موازٍ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) لضلع من $ABC$ و نصفه طولًا ([المبرهنة 59.1](#thm-g8-midpoints-direct)، مطبَّقة ثلاث مرات). وللمثلثات الصغيرة الأربعة أضلاع بالأطوال الثلاثة نفسها، إذن هي نسخ متطابقة؛ وهي معًا تبلّط $ABC$، إذن لكل منها رُبع مساحته. ∎ ![مثلث المنتصفات IJK يقطع ABC إلى أربعة مثلثات متساوية — وهي صورة تستحقّ التذكّر.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-midpoints/fig-b3c1cb0867de.svg) *مثلث المنتصفات $IJK$ يقطع $ABC$ إلى أربعة مثلثات متساوية — وهي صورة تستحقّ التذكّر.* **ملاحظة 59.7 (نحو طاليس).** مبرهنة المنتصفين هي حالة «النصف» من واقعة أعمّ: [فالمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [الموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) لضلع من مثلث يقطع الضلعين الآخرين *بنسب متساوية* — ثلثًا وثلثًا، وخُمسين وخُمسين … وتلك العبارة العامّة هي مبرهنة طاليس ([الفصل 68](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/68-thales-theorem#ch-g9-thales))؛ وحالة المنتصفين هي الوحيدة المحتاج إليها هذه السنة. ## 59.3 تمارين **تمرين 59.1 ★.** في مثلث $RST$، $M$ منتصف $[RS]$ و $N$ منتصف $[RT]$، مع $ST = 7$ سم. فماذا يمكن أن يقال عن [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(MN)$ والطول $MN$؟ اُذكر المبرهنة المستعملة. **حل التمرين 59.1.** النقطتان $M$ و $N$ منتصفا ضلعين من المثلث $RST$: فحسب مبرهنة المنتصفين ([المبرهنة 59.1](#thm-g8-midpoints-direct))، $(MN) \parallel (ST)$ و $MN = \frac{ST}{2} = 3.5$ سم. **تمرين 59.2 ★.** في مثلث $ABC$، $I$ منتصف $[AB]$ [والمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) المارّ بالنقطة $I$ [الموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) [للمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(BC)$ يقطع $[AC]$ في $J$، مع $AC = 11$ سم. اِحسب $AJ$، مع ذكر المبرهنة المستعملة. **حل التمرين 59.2.** النقطة $I$ منتصف و $(IJ) \parallel (BC)$: فحسب *العكس* ([المبرهنة 59.3](#thm-g8-midpoints-converse))، تكون $J$ منتصف $[AC]$، إذن $AJ = \frac{11}{2} = 5.5$ سم. **تمرين 59.3 ★.** اُرسم مثلثًا $ABC$ حيث $AB = 8$ سم، و $AC = 6$ سم، و $BC = 7$ سم، وضع منتصف $I$ [للقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ ومنتصف $J$ [للقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[AC]$، وقِس $IJ$ للتحقّق من المبرهنة. واِحسب [محيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) $AIJ$ دون قياس أيّ شيء آخر. **حل التمرين 59.3.** يعطي القياس $IJ = 3.5$ سم $= \frac{BC}{2}$. [ومحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) $AIJ$: $AI = 4$، و $AJ = 3$، و $IJ = 3.5$: [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $10.5$ سم — أي نصف [محيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) $ABC$ ($8 + 6 + 7 = 21$ سم). **تمرين 59.4 ★.** المثلث $IJK$ هو مثلث المنتصفات للمثلث $ABC$، الذي تقيس أضلاعه $10$ و $12$ و $16$ سم. أعطِ أضلاع $IJK$ الثلاثة ومحيطه. فكيف يتقارن المحيطان؟ **حل التمرين 59.4.** كل ضلع من $IJK$ هو نصف ضلع من $ABC$: أي $5$ و $6$ و $8$ سم. [والمحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter): $19$ سم، وهو نصف $10 + 12 + 16 = 38$ سم. **تمرين 59.5 ★.** [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) مثلث $36$ سم$^2$. فما [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) مثلث منتصفاته؟ وما [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) كل واحد من المثلثات الصغيرة الأربعة؟ **حل التمرين 59.5.** مثلث المنتصفات واحد من المثلثات الأربعة المتساوية في [القضية 59.6](#prop-g8-midpoints-medial): فمساحته $\frac{36}{4} = 9$ سم$^2$ — [ومساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) كل واحد من المثلثات الصغيرة الأربعة $9$ سم$^2$. **تمرين 59.6 ★★.** في مثلث $ABC$، $I$ منتصف $[AB]$، و $J$ منتصف $[AC]$، و $K$ منتصف $[BC]$. بيّن أن $IJKB$ [متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram). (قارن $[IJ]$ و $[BK]$: أمتوازيان؟ أمتساويان؟) **حل التمرين 59.6.** بمبرهنة المنتصفين في $ABC$: $(IJ) \parallel (BC)$، أي $(IJ) \parallel (BK)$، و $IJ = \frac{BC}{2} = BK$ (لأن $K$ منتصف $[BC]$). فضلعان متقابلان من $IJKB$ متوازيان و متساويان: إذن هو [متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) ([المبرهنة 52.9](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#thm-g7-central-recognize)، المحكّ 3). **تمرين 59.7 ★★.** شراع مثلثي حافته السفلى طولها $6.4$ م. ودرزة تقوية تصل بين منتصفَي الحافتين الأخريين. فما طول الدرزة اللازم؟ وماذا لو وصلت الدرزة بدل ذلك بين النقطتين الواقعتين على رُبع كل حافة، اِنطلاقًا من الرأس الأعلى؟ (خمّن برسم؛ والبرهان لطاليس، [الفصل 68](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/68-thales-theorem#ch-g9-thales).) **حل التمرين 59.7.** تصل الدرزة بين منتصفين: أي $\frac{6.4}{2} = 3.2$ م. وعلى رُبع من الرأس الأعلى، يوحي الرسم بدرزة طولها $\frac{6.4}{4} = 1.6$ م، موازية للقاعدة — وهو ما يؤكده طاليس في [الفصل 68](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/68-thales-theorem#ch-g9-thales). **تمرين 59.8 ★★.** في المثلث $ABC$، [القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $A$، $M$ منتصف الوتر $[BC]$، [والموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) [للمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(AB)$ المارّ بالنقطة $M$ يلتقي $[AC]$ في $N$. 1. بيّن أن $N$ منتصف $[AC]$ . 2. واِشرح لماذا يكون $(MN)$ عموديًّا على $(AC)$ . **حل التمرين 59.8.** *1.* النقطة $M$ منتصف $[BC]$ و $(MN) \parallel (AB)$: فبعكس مبرهنة المنتصفين (في المثلث $ABC$، والضلع $[AC]$)، تكون $N$ منتصف $[AC]$. *2.* لدينا $(MN) \parallel (AB)$ و $(AB) \perp (AC)$ ([فالزاوية قائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) في $A$): [والمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [الموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) [للمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(AB)$ عمودي أيضًا على $(AC)$ ([القضية 40.3](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#prop-g6-lines-facts)). إذن $(MN) \perp (AC)$ — [فالقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[MN]$ جزء من [الواسط العمودي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/42-axial-symmetry#def-g6-symmetry-bisector) الذي يبيّن من جديد أن $MA = MC$ ([المبرهنة 60.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/60-the-right-triangle-and-the-cosine#thm-g8-cosine-circle)). **تمرين 59.9 ★★★.** ليكن $ABCD$ رباعيًا *كيفما كان*، و $I$ و $J$ و $K$ و $L$ منتصفات $[AB]$ و $[BC]$ و $[CD]$ و $[DA]$ (وهو تخمين [التمرين 52.11](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#exo-g7-central-11)). 1. طبّق مبرهنة المنتصفين في المثلث $ABC$ على [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[IJ]$ ، وفي المثلث $ACD$ على [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[LK]$ : وقارن كلًّا منهما [بالقطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) $[AC]$ . 2. واِستنتج أن $IJKL$ [متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) دائمًا. **حل التمرين 59.9.** *1.* في المثلث $ABC$، النقطتان $I$ و $J$ منتصفا $[AB]$ و $[BC]$: إذن $(IJ) \parallel (AC)$ و $IJ = \frac{AC}{2}$. وفي المثلث $ACD$، النقطتان $L$ و $K$ منتصفا $[DA]$ و $[CD]$: إذن $(LK) \parallel (AC)$ و $LK = \frac{AC}{2}$. *2.* إذن $[IJ]$ و $[LK]$ متوازيتان (فكلتاهما موازية [للقطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) $(AC)$) ومتساويتان (فكلتاهما نصف $AC$): إذن $IJKL$ [متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) ([المبرهنة 52.9](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#thm-g7-central-recognize)، المحكّ 3) — من أجل *كل* [رباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$، كما خُمّن في [التمرين 52.11](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#exo-g7-central-11). ## 59.4 مسألة: المتوسطات الثلاثة ومركز الثقل **مسألة 59.1.** مسألة نهاية الأسبوع — متوسطات المثلث تلتقي في نقطة واحدة، على ثلثَي كل واحد منها اِقطع مثلثًا من ورق مقوّى فسيتوازن، مسطّحًا تمامًا، على سنّ قلم موضوع في نقطة خاصّة واحدة: هي *مركز ثقل* المثلث. وتجد هذه المسألة تلك النقطة. و*المتوسط* في مثلث هو [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الواصلة بين رأس و*منتصف* الضلع المقابل. وستبرهن — بمبرهنة المنتصفين مستعملةً مرتين، بطريقة غير متوقّعة — على أن المتوسطات الثلاثة تمرّ كلها بنقطة واحدة، وستحدّد موضعها بدقّة. **الجزء الأول — إحماء.** 1. اُرسم مثلثًا كبيرًا $ABC$ (بلا شكل خاصّ)، واِبنِ منتصف $I$ [للقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ ، ومنتصف $J$ [للقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[AC]$ ، ومنتصف $K$ [للقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[BC]$ ، واُرسم المتوسطات الثلاثة $[AK]$ و $[BJ]$ و $[CI]$ . فماذا تلاحظ؟ 2. بَرهِن على أن المتوسط يقطع المثلث إلى مثلثين متساويي [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) . (قارن القواعد والارتفاعات، واِستعمل صيغة [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) : القاعدة $\times$ الارتفاع $\div\ 2$ .) ومن أجل مثلث مساحته $36$ سم $^2$ ، ما مساحتا [القطعتين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) ؟ 3. وفي المثلث $ABC$ ، ماذا تقول [المبرهنة 59.1](#thm-g8-midpoints-direct) عن [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[IJ]$ ؟ **الجزء الثاني — متوسطان يلتقيان على ثلثَي الطريق.** يتقاطع المتوسطان $[BJ]$ و $[CI]$ في نقطة؛ سمِّها $G$. وليكن $M$ منتصف $[GB]$ و $N$ منتصف $[GC]$. 4. طبّق مبرهنة المنتصفين *في المثلث $GBC$* : فماذا تقول عن [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[MN]$ ؟ 5. اِستنتج أن $(IJ) \parallel (MN)$ و $IJ = MN$ ، و اُختم حسب [المبرهنة 52.9](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#thm-g7-central-recognize) بأن $IJNM$ [متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) . 6. اِشرح لماذا تقع $I$ و $N$ كلتاهما على المتوسط $(CI)$ ، و $J$ و $M$ كلتاهما على المتوسط $(BJ)$ — فيكون قطرا [متوازي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) $IJNM$ هما $[IN]$ و $[JM]$ ، ويتقاطعان في $G$ بالضبط. فماذا يقول *تعريف* [متوازي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) حينئذٍ عن $G$ ؟ 7. اِستنتج أن $BM = MG = GJ$، واُختم: $$BG = 2 \times GJ$$ — فالنقطة $G$ تقع على المتوسط $[BJ]$ على ثلثَي الطريق من الرأس $B$. واُذكر النتيجة المشابهة على المتوسط $[CI]$ وبَرِّرها. 8. والآن اِنسَ $[CI]$ وشغّل الاستدلال نفسه بالضبط على زوج المتوسطين $[BJ]$ و $[AK]$ : فنقطة تقاطعهما تقع أيضًا على ثلثَي $[BJ]$ من $B$ . اِشرح لماذا يفرض هذا أن تكون النقطة $G$ *نفسها* — و اِستنتج أن المتوسطات الثلاثة كلها تمرّ بالنقطة $G$ . 9. في مثلث يقيس فيه المتوسط $[BJ]$ طولًا قدره $9$ سم، كم تبعد $G$ عن $B$ ، وعن $J$ ؟ 10. بَرِّر (في جملة) أن $AG = 2 \times GK$ أيضًا. **الجزء الثالث — ستّ شرائح متساوية، وإحداثيات.** المتوسطات الثلاثة تقطع المثلث إلى ستة مثلثات صغيرة حول $G$. 11. في المثلث $GBC$ ، [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[GK]$ متوسط. فاستنتج أن المثلثين الصغيرين $GBK$ و $GKC$ لهما مساحتان متساويتان. 12. وباستعمال السؤال 2 في المثلثين $ABK$ و $AKC$ (وكلاهما مقطوع بالمتوسط $[AK]$ للمثلث $ABC$ )، بيّن أن المثلثين $ABG$ و $ACG$ متساويا [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) . وبالتكرار مع متوسط آخر، اُختم بأن المثلثات الثلاثة $ABG$ و $BCG$ و $CAG$ [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) كل منها ثلث $ABC$ . 13. وكل واحد من هذه المثلثات الثلاثة تقطعه [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) متوسط إلى نصفين ( [فالقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[GI]$ مثلًا متوسط في المثلث $ABG$ — منظورًا إليه من أيّ رأس؟). فاستنتج: الشرائح الست الصغيرة حول $G$ لها [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) نفسها كلها، وهي سُدس المثلث. 14. على شبكة إحداثيات، ضع $A(0, 0)$ و $B(6, 0)$ و $C(0, 6)$، مع $K(3, 3)$ منتصف $[BC]$. واِستعمل مبرهنة الثلثين في الجزء الثاني لتحسب إحداثيَي $G$ على المتوسط $[AK]$؛ ثم تحقّق من أن النقطة نفسها تقع على ثلثَي المتوسط $[BJ]$، حيث $J(0, 3)$. وقارن إحداثيَي $G$ بالمتوسطين الحسابيين $$\frac{0 + 6 + 0}{3}, \qquad \frac{0 + 0 + 6}{3} .$$ 15. خاتمة التوازن: باستعمال السؤالين 2 و8، اِشرح لماذا يتوازن المثلث المقوّى على حدّ سكين موضوع على أيّ متوسط — بمقادير متساوية من الورق المقوّى في كل جهة — ولماذا يجب إذن أن توضع سنّ القلم عند $G$ ، وهي النقطة التي يسمّيها الفيزيائيون [مركز الثقل](#pb-g8-midpoints-1) . (والبرهان الصارم تمامًا على التوازن يحتاج حساب التكامل في مجلّدات الجامعة؛ وتساوي المساحات يجعله معقولًا اليوم.) **حل المسألة 59.1.** **1.** مهما كان المثلث المرسوم، تبدو المتوسطات الثلاثة وكأنها تمرّ بنقطة واحدة، تقع داخل المثلث، وهي ظاهرًا أقرب إلى منتصف كل ضلع منها إلى الرأس المقابل. وبقية المسألة تبرهن على ذلك. **2.** خذ المتوسط $[AK]$ في المثلث $ABC$: فللمثلثين $ABK$ و $AKC$ قاعدتان $BK$ و $KC$ بالطول نفسه (فالنقطة $K$ منتصف $[BC]$) محمولتان على [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(BC)$ نفسه، والارتفاع نفسه: وهو بُعد $A$ عن $(BC)$. وبصيغة [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area)، [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) كل منهما القاعدة $\times$ الارتفاع $\div\ 2$، بقاعدتين متساويتين واِرتفاعين متساويين: إذن المساحتان متساويتان. ومن أجل مثلث مساحته $36$ سم$^2$: [قطعتان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) كل منهما $18$ سم$^2$. **3.** النقطتان $I$ و $J$ منتصفا الضلعين $[AB]$ و $[AC]$ في المثلث $ABC$، إذن حسب [المبرهنة 59.1](#thm-g8-midpoints-direct): $(IJ) \parallel (BC)$ و $IJ = \frac{BC}{2}$. **4.** النقطتان $M$ و $N$ منتصفا الضلعين $[GB]$ و $[GC]$ في المثلث $GBC$، إذن بالمبرهنة نفسها: $(MN) \parallel (BC)$ و $MN = \frac{BC}{2}$. **5.** كل من $(IJ)$ و $(MN)$ [موازٍ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) [للمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(BC)$، ومنه متوازيان أحدهما مع الآخر؛ و $IJ = \frac{BC}{2} = MN$. ومنه [فالرباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) $IJNM$ له ضلعان متقابلان، $[IJ]$ و $[NM]$، متوازيان وبالطول نفسه: فبالمحكّ 3 من [المبرهنة 52.9](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#thm-g7-central-recognize)، يكون $IJNM$ [متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram). **6.** النقطة $G$ تقع على المتوسط $[CI]$، والنقطة $N$ منتصف $[GC]$، وهي [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) محمولة على [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) المتوسط نفسه: إذن $I$ و $N$ (و $G$ و $C$) كلها على $(CI)$. وكذلك $J$ و $M$ و $G$ تقع على [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) المتوسط $(BJ)$. وفي [متوازي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) $IJNM$، القطران هما $[IN]$ و $[JM]$؛ وهما محمولان على مستقيمَي المتوسطين، اللذين يتقاطعان في $G$ — إذن يتقاطع القطران في $G$. وحسب *تعريف* [متوازي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) (المحكّ 1 من [المبرهنة 52.9](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#thm-g7-central-recognize): للقطرين المنتصف نفسه)، تكون $G$ منتصف $[IN]$ *و* منتصف $[JM]$: أي $GI = GN$ و $GJ = GM$. **7.** النقطة $M$ منتصف $[GB]$، إذن $BM = MG$؛ و $MG = GJ$ بالسؤال 6. ومنه $BM = MG = GJ$: [فقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) المتوسط $[BJ]$ مقطوعة إلى ثلاثة أجزاء متساوية، يأخذ $BG$ اِثنين منها: $$ BG = 2 \times GJ . $$ وبالتماثل، النقطة $N$ منتصف $[GC]$ و $GN = GI$، إذن $CN = NG = GI$ و $CG = 2 \times GI$: فعلى المتوسط $[CI]$ أيضًا، تقع نقطة التقاطع على ثلثَي الطريق من الرأس. **8.** لم يستعمل الاستدلال شيئًا خاصًّا بالزوج $[BJ]$ و $[CI]$: فبتشغيله على الزوج $[BJ]$ و $[AK]$، يبيّن أن نقطة تقاطعهما تقع أيضًا على $[BJ]$ على ثلثَي الطريق من $B$. لكن ليس على [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[BJ]$ إلا نقطة *واحدة* على بُعد $\frac23 BJ$ من $B$ — إذن نقطة تقاطع $[BJ]$ و $[AK]$ هي $G$ نفسها بعينها. ومنه فالمتوسطات الثلاثة كلها تمرّ بالنقطة $G$: فهي *متلاقية*. **9.** $BG = \frac23 \times 9 = 6$ سم و $GJ = \frac13 \times 9 = 3$ سم. **10.** بالسؤال 8 يصحّ حساب الثلثين نفسه على المتوسط $[AK]$ (بتشغيل اِستدلال الأسئلة 4–7 على الزوج $[AK]$ و $[BJ]$): أي $AG = 2 \times GK$. **11.** في المثلث $GBC$، النقطة $K$ منتصف الضلع $[BC]$، إذن $[GK]$ متوسط في $GBC$؛ وبالسؤال 2، يكون للمثلثين $GBK$ و $GKC$ مساحتان متساويتان. **12.** المتوسط $[AK]$ يقطع $ABC$ إلى $ABK$ و $AKC$ متساويَي [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) (السؤال 2). وبنزع المثلث الصغير في السؤال 11 من كل منهما: $$ \text{مساحة}(ABG) = \text{مساحة}(ABK) - \text{مساحة}(GBK), \qquad \text{مساحة}(ACG) = \text{مساحة}(AKC) - \text{مساحة}(GKC), $$ والمساحتان المنزوعتان متساويتان، إذن $\text{مساحة}(ABG) = \text{مساحة}(ACG)$. والحساب نفسه على المتوسط $[BJ]$ — الذي ينصّف $ABC$ إلى $ABJ$ و $CBJ$، بينما ينصّفه $[GJ]$، وهو متوسط في المثلث $GAC$، إلى $GAJ$ و $GCJ$ — يعطي $\text{مساحة}(ABG) = \text{مساحة}(CBG)$. إذن المثلثات الثلاثة $ABG$ و $BCG$ و $CAG$ متساوية المساحات، وبما أنها معًا تبلّط $ABC$، [فمساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) كل منها ثلث الكلّ. **13.** في المثلث $ABG$، النقطة $I$ منتصف الضلع $[AB]$، إذن $[GI]$ متوسط في $ABG$ *من الرأس $G$*: فهو يقطع $ABG$ إلى مثلثين متساويي [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) (السؤال 2)، وهما $AIG$ و $IBG$. والشيء نفسه يحدث في $BCG$ (بالمتوسط $[GK]$) وفي $CAG$ (بالمتوسط $[GJ]$). فكل ثلث من $ABC$ يُقطع إلى نصفين: ومنه فالشرائح الست حول $G$ [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) كل منها $\frac13 \times \frac12 = \frac16$ من المثلث. **14.** على المتوسط $[AK]$، من $A(0,0)$ إلى $K(3,3)$: تقع $G$ على ثلثَي الطريق، إذن إحداثياها $\left(\frac23 \times 3,\ \frac23 \times 3\right) = (2, 2)$. وعلى المتوسط $[BJ]$، من $B(6, 0)$ إلى $J(0, 3)$: ثلثا الطريق يعنيان إضافة ثلثَي الانتقال ($-6$ أفقيًّا، و $+3$ عموديًّا): $$ \left(6 + \tfrac23 \times (-6),\ 0 + \tfrac23 \times 3\right) = (2, 2) . $$ أي النقطة نفسها — كما وعد السؤال 8. و $\frac{0 + 6 + 0}{3} = 2$ و $\frac{0 + 0 + 6}{3} = 2$: فإحداثيا [مركز الثقل](#pb-g8-midpoints-1) هما *متوسطا* إحداثيات [الرؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الثلاثة. **15.** بالسؤال 2، حدّ السكين الموضوع على متوسط يترك المقدار نفسه من الورق المقوّى في كل جهة (بمساحتين متساويتين)، إذن يتوازن المثلث على كل من [مستقيمات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) المتوسطات الثلاثة. ونقطة التوازن يجب أن تقع على [مستقيمات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) التوازن الثلاثة معًا، وحسب السؤال 8 تشترك المتوسطات الثلاثة في نقطة واحدة بالضبط: هي $G$. وهناك توضع سنّ القلم. (وتساوي المساحتين في الجهتين هو النسخة المعقولة من الحجّة؛ وأما النسخة الأمينة، التي تزن *أين* يقع الورق المقوّى لا كم منه هناك فحسب، فتحتاج حساب التكامل في مجلّدات الجامعة — وهو يؤكد $G$.)