---
title: "المثلث القائم الزاوية وجيب التمام"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 60
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/60-the-right-triangle-and-the-cosine
---

# الفصل 60 — المثلث القائم الزاوية وجيب التمام

واقعتان جميلتان تربطان [المثلث القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) بالدائرة: [فالمثلث القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) يسع بالضبط في نصف دائرة، ووتره [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) لها. وعدد واحد، هو *جيب تمام* الزاوية، يشفّر شكل كل [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) فيه تلك الزاوية — وهو أول نسبة مثلثية، قبل أخويه الجيب والظلّ ([الفصل 69](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/69-trigonometry-in-the-right-triangle#ch-g9-trig)).

## 60.1 المثلث القائم الزاوية ودائرته

**مبرهنة 60.1 (مبرهنة الدائرة).**

1. إذا كان مثلث $ABC$ [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $A$ ، فإن $A$ تقع على الدائرة التي قطرها الوتر $[BC]$ .
2. وبالعكس، إذا كانت $A$ على دائرة قطرها $[BC]$ (مع $A \neq B, C$ )، فإن المثلث $ABC$ [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $A$ .

وبعبارة مكافئة: في [المثلث القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)، يكون منتصف الوتر على بُعد متساوٍ من [الرؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الثلاثة — فالمتوسط الصادر من [الزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) يقيس نصف الوتر.

**برهان 1.** ليكن $O$ منتصف $[BC]$ و $D$ [مماثلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-def) $A$ بالنسبة إلى $O$. فقطرا $ABDC$ يتقاطعان في منتصفهما المشترك $O$، إذن $ABDC$ [متوازي أضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) ([التعريف 52.7](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram)) — فيه [زاوية قائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) في $A$: فهو مستطيل. وقطرا المستطيل متساويان، إذن $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$: أي إن النقطة $A$ على بُعد $\frac{BC}{2}$ من $O$، أي على الدائرة التي قطرها $[BC]$. (والنقطة 2 يُبرهن عليها بتشغيل الاستدلال [بالمقلوب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/55-fractions-all-four-operations#def-g8-fractions-inverse).) ∎

![أينما وقعت A على الدائرة، تكون الزاوية BAC قائمة — وهو تخمين ، وقد صار مبرهنة. والمتوسط الأحمر (OA) نصف قطر: أي نصف الوتر.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-cosine/fig-104da44b3199.svg)

*أينما وقعت $A$ على الدائرة، تكون الزاوية $\widehat{BAC}$ قائمة — وهو تخمين [التمرين 41.10](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#exo-g6-shapes-10)، وقد صار مبرهنة. والمتوسط الأحمر $[OA]$ [نصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes): أي نصف الوتر.*

**مثال 60.2.**

مثلث وتره $10$ سم. ودون معرفة أيّ شيء آخر، يقيس المتوسط الصادر من [الزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) $5$ سم، وتكون [الدائرة المحيطة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/42-axial-symmetry#pb-g6-symmetry-1) بالمثلث نصف قطرها $5$ سم، ومركزها منتصف الوتر.

## 60.2 جيب تمام زاوية حادّة

**تعريف 60.3 (جيب التمام).**

في [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)، من أجل زاوية حادّة $\theta$:

$$
\cos\theta = \frac{\text{الضلع المجاور للزاوية } \theta}{\text{الوتر}}
$$

— أي ضلع القائمة الملامس للزاوية $\theta$، مقسومًا على الوتر. وهذه النسبة تتوقف على الزاوية وحدها، لا على [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) المثلث: فكل المثلثات القائمة الزاوية ذات الزاوية الحادّة نفسها تكبيرات بعضها لبعض، والتكبيرات تحفظ نسب الأطوال ([الفصل 59](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/59-midpoints-and-parallels#ch-g8-midpoints) بدأ هذه القصة؛ و[الفصل 68](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/68-thales-theorem#ch-g9-thales) يتمّها).

![مثلثان قائما الزاوية يشتركان في الزاوية : فالصغير تصغير للكبير، إذن النسبة المجاور الوتر هي نفسها في الاثنين — وتلك القيمة المشتركة هي .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-cosine/fig-a17d051dd077.svg)

*مثلثان قائما الزاوية يشتركان في الزاوية $\theta$: فالصغير تصغير للكبير، إذن النسبة $\frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}$ هي نفسها في الاثنين — وتلك القيمة المشتركة هي $\cos\theta$.*

**قضية 60.4 (أول القيم والحدود).**

من أجل كل زاوية حادّة $\theta$: $0 < \cos\theta < 1$، وجيب التمام *يتناقص* كلما اِنفتحت الزاوية: فالزاوية الأوسع جيب تمامها أصغر. والمعالم: $\cos 0^\circ = 1$، و $\cos 60^\circ = \frac12$، و $\cos 90^\circ = 0$ (وهي القيم القصوى الموافقة لمثلثات مسطّحة).

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**طريقة 60.5 (اِستعمال جيب التمام).**

في [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)، حين تكون المقادير المعلومة والمطلوبة زاويةً حادّة وضلعها المجاور والوتر:

1. اُكتب التعريف: $\cos\theta = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}$ مع وضع القيم المعلومة مكانها؛
2. وحُلّ [المعادلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) الصغيرة لإيجاد المجهول (بالضرب أو القسمة)؛
3. ومن أجل *زاوية* مجهولة، طبّق زرّ الآلة الحاسبة $\cos^{-1}$ على النسبة المحسوبة؛
4. وتحقّقات بالنظر: فالطول يجب أن يخرج أقصر من الوتر؛ والزاوية بين $0^\circ$ و $90^\circ$ تمامًا.

**مثال 60.6 (إيجاد ضلع).**

منحدر طوله $6$ م يصنع زاوية $20^\circ$ مع الأرض الأفقية. والمسافة الأفقية المقطوعة (المجاورة للزاوية $20^\circ$، والوتر $6$ م):

$$
\cos 20^\circ = \frac{d}{6}
\quad\Longrightarrow\quad
d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ م}.
$$

**مثال 60.7 (إيجاد زاوية).**

في [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)، يقيس الضلع المجاور للزاوية $\theta$ $3.5$ والوتر $5$:

$$
\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7,
\qquad
\theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .
$$

## 60.3 تمارين

**تمرين 60.1 ★.**

[مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) وتره $13$ سم. فما طول المتوسط الصادر من رأس [الزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle)؟ وما [نصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) الدائرة المارّة [بالرؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الثلاثة؟

**حل التمرين 60.1.**

المتوسط الصادر من [الزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle): نصف الوتر، أي $6.5$ سم ([المبرهنة 60.1](#thm-g8-cosine-circle)). [والدائرة المحيطة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/42-axial-symmetry#pb-g6-symmetry-1) مركزها منتصف الوتر ونصف قطرها $6.5$ سم.

**تمرين 60.2 ★.**

اُرسم دائرة قطرها $8$ سم مع [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) $[BC]$، واِختر نقطة $A$ كيفما كانت على الدائرة واُرسم $ABC$. فأيّ [زاوية قائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle)؟ اُذكر المبرهنة. وقِس $AB$ و $AC$ وتحقّق من فيثاغورس.

**حل التمرين 60.2.**

الزاوية عند $A$ قائمة ([فالقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[BC]$ [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle): النقطة 2 من [المبرهنة 60.1](#thm-g8-cosine-circle)). والقياسات تحقّق $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$، في حدود دقّة القياس.

**تمرين 60.3 ★.**

في مثلث $DEF$ [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $D$، سمِّ الضلع المجاور للزاوية $\widehat E$، والضلع المقابل لها، والوتر. واُكتب $\cos \widehat E$ نسبةً.

**حل التمرين 60.3.**

الوتر: $[EF]$ (المقابل [للزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) $D$). والمجاور للزاوية $\widehat E$: $[ED]$. والمقابل: $[DF]$. إذن $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$.

**تمرين 60.4 ★.**

اِحسب المقدار الناقص ($\cos 35^\circ \approx 0.819$، و $\cos 50^\circ \approx 0.643$):

1. الوتر $10$ ، والزاوية $35^\circ$ : فما الضلع المجاور؟
2. والضلع المجاور $6$ ، والزاوية $50^\circ$ : فما الوتر؟

**حل التمرين 60.4.**

*1.* المجاور $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$.

*2.* الوتر $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx
\dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$.

**تمرين 60.5 ★.**

في [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)، يقيس الضلع المجاور للزاوية $\theta$ $8$ و الوتر $10$. اِحسب $\cos\theta$، ثم $\theta$ ($\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$).

**حل التمرين 60.5.**

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$، إذن $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$.

**تمرين 60.6 ★.**

اِشرح لماذا لا يمكن أن يساوي $\cos\theta$ العدد $1.2$ من أجل زاوية حادّة في [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles).

**حل التمرين 60.6.**

جيب التمام $\cos\theta$ ضلع قائمة مقسوم على الوتر، والوتر هو *أطول* أضلاع [المثلث القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles): [فخارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) أصغر دائمًا من $1$. والقيمة $1.2$ كانت ستعني ضلع قائمة أطول من الوتر — وهذا مستحيل.

**تمرين 60.7 ★★.**

حبل اِنزلاقي طوله $25$ م ينزل من منصّة إلى الأرض، صانعًا زاوية $12^\circ$ مع الأفق ($\cos 12^\circ \approx
0.978$). فما المسافة الأفقية التي يغطّيها؟

**حل التمرين 60.7.**

المسافة الأفقية $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978 \approx
24.5$ م.

**تمرين 60.8 ★★.**

رتّب دون آلة حاسبة: $\cos 20^\circ$ و $\cos 70^\circ$ و $\cos 45^\circ$ (اِستعمل [القضية 60.4](#prop-g8-cosine-bounds)). ثم تحقّق بآلة حاسبة.

**حل التمرين 60.8.**

جيب التمام يتناقص كلما كبرت الزاوية ([القضية 60.4](#prop-g8-cosine-bounds)):

$$
\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .
$$

(وبالآلة الحاسبة: $0.342 < 0.707 < 0.940$.)

**تمرين 60.9 ★★.**

سُلَّم طوله $L$ مسنود إلى جدار بزاوية $\theta$ بين السُّلَّم و*الأرض*. وقدمه على بُعد $1.2$ م من الجدار و $\theta = 68^\circ$ ($\cos 68^\circ \approx 0.375$). اِحسب $L$، ثم الارتفاع المبلوغ (بفيثاغورس).

**حل التمرين 60.9.**

المسافة على الأرض مجاورة للزاوية $\theta$: $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$، إذن $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ م. والارتفاع (بفيثاغورس): $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ م.

**تمرين 60.10 ★★.**

[القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[BC]$ [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) لدائرة مركزها $O$ ونصف قطرها $4.5$ سم، والنقطة $A$ من الدائرة حيث $AB = 5.4$ سم.

1. فلماذا يكون $ABC$ [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $A$ ؟
2. واِحسب $AC$ ، ثم $\cos \widehat B$ .

**حل التمرين 60.10.**

*1.* النقطة $A$ على دائرة قطرها $[BC]$: [فالزاوية قائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) في $A$ ([المبرهنة 60.1](#thm-g8-cosine-circle)).

*2.* $BC = 9$ سم (ضعف [نصف القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes)). وبفيثاغورس: $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ سم. و $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$.

**تمرين 60.11 ★★★.**

باستعمال نصف [مثلث متساوي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) طول ضلعه $1$ (مقطوعًا على طول اِرتفاع)، بَرِّر المعلم $\cos 60^\circ = \frac12$ في [القضية 60.4](#prop-g8-cosine-bounds). (فأين تقع قدم الارتفاع على القاعدة؟ والنسخة المثلثية الكاملة هي [المثال 69.9](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/69-trigonometry-in-the-right-triangle#ex-g9-trig-special).)

**حل التمرين 60.11.**

في [المثلث المتساوي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) الذي طول ضلعه $1$، يقع الارتفاع الصادر من رأس على *منتصف* الضلع المقابل (وهو [محور تماثل](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/42-axial-symmetry#def-g6-symmetry-axis)). ونصف [المثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) وتره $1$ (أي ضلع كامل)، وفيه زاوية $60^\circ$ عند رأس القاعدة، و ضلع مجاور $\frac12$ (أي نصف القاعدة). ومنه

$$
\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .
$$

## 60.4 مسألة: علاقات إقليدس، وفيثاغورس من جديد

**مسألة 60.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — اِرتفاع المثلث القائم الزاوية: $AB^2 = BH \times BC$ و $AH^2 = BH \times HC$، وبرهان ثانٍ لفيثاغورس، وآلة لإنشاء الجذور التربيعية

أنزِل، من [الزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) في [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)، العمودَ على الوتر: فهذه [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) القصيرة — وهي *الارتفاع* — تحقّق علاقات من النفع بحيث وضعها إقليدس في قلب *أصوله*. وفي هذه المسألة تبرهن خاصّية جيب التمام المميِّزة، وهي «أن النسبة تتوقف على الزاوية وحدها» ([التعريف 60.3](#def-g8-cosine-def))، على هذه العلاقات كلها؛ وستعيد في الطريق البرهنة على مبرهنة فيثاغورس بطريق مختلف تمامًا، وتنتهي بآلة بالمسطرة والفرجار تنشئ $\sqrt2$ و $\sqrt5$ و $\sqrt{n}$ من أجل كل عدد صحيح $n$.

وفي كل ما يلي، $ABC$ [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $A$، و $H$ قدم العمود النازل من $A$ على الوتر $[BC]$، بحيث تقع $H$ بين $B$ و $C$ ويكون $AH \perp BC$.

**الجزء الأول — زاوية واحدة، ومثلثان.**

1. باستعمال [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) زوايا المثلث ( [المبرهنة 51.3](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/51-triangles-and-angles#thm-g7-triangles-sum) ) في $ABH$ وفي $ABC$ ، بيّن أن $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : فالارتفاع يقطع [المثلث القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) إلى مثلثين أصغر يحملان *الزوايا نفسها* التي للأصل.
2. المثلثان $ABC$ ([القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $A$) و $ABH$ ([القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $H$) يشتركان في الزاوية $\widehat B$. اُكتب $\cos\widehat B$ في كل منهما، واِستنتج من [التعريف 60.3](#def-g8-cosine-def) أن $$AB^2 = BH \times BC .$$ (وللانتقال من تساوي النسبتين إلى تساوي الجداءين، اِضرب الطرفين في المقامين معًا، [المبرهنة 57.5](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#thm-g8-equations-balance).)
3. اُذكر العلاقة التوأم عند الرأس $C$ وبَرهِن عليها: $$AC^2 = CH \times CB .$$
4. خذ المثلث $3$ – $4$ – $5$ : $AB = 3$ ، و $AC = 4$ ، و $BC = 5$ . اِحسب $BH$ و $CH$ من السؤالين 2 و3، وتحقّق من أن $BH + HC = BC$ .
5. وعمومًا، عبّر عن $BH$ و $CH$ بكسور لا تتضمّن إلا الأضلاع الثلاثة. وبأيّ معنى تشقّ القدم $H$ الوترَ « [بتناسب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-table) مع مربعَي ضلعَي القائمة»؟

**الجزء الثاني — فيثاغورس من جديد، والارتفاع.**

6. اِجمع علاقتَي السؤالين 2 و3 واِستعمل $BH + HC = BC$ لتحصل على $$AB^2 + AC^2 = BC^2 :$$ أي مبرهنة فيثاغورس ([المبرهنة 58.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/58-the-pythagorean-theorem#thm-g8-pythagoras-direct))، مبرهنًا عليها من جديد — بلا أيّ أحجية مساحات (قارن [التمرين 58.11](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/58-the-pythagorean-theorem#exo-g8-pythagoras-11)).
7. طبّق فيثاغورس في المثلث الصغير $ABH$ لتكتب $AH^2 = AB^2 - BH^2$، وعوّض $AB^2$ بالمقدار $BH \times BC$، وعمّل $BH$ لتبرهن على *علاقة اِرتفاع إقليدس*: $$AH^2 = BH \times HC .$$
8. اِحسب [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $ABC$ بطريقتين — بضلعَي القائمة قاعدةً واِرتفاعًا، ثم بالوتر قاعدةً ([المبرهنة 53.3](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#thm-g7-areas-triangle)) — واِستنتج العلاقة الثالثة: $$AB \times AC = BC \times AH .$$
9. عودًا إلى المثلث $3$ – $4$ – $5$ : اِحسب $AH$ بالسؤال 8، ثم تحقّق من علاقة اِرتفاع السؤال 7 عدديًّا، مستعملًا قيمتَي $BH$ و $CH$ الموجودتين في السؤال 4.
10. قدم اِرتفاع تشقّ وتر [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ما إلى [قطعتين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $BH = 2$ سم و $HC = 8$ سم. اِحسب الارتفاع $AH$ .

**الجزء الثالث — آلة للجذور التربيعية.** اُرسم [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[BC]$ مكوّنة من [قطعتين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) موضوعتين طرفًا لطرف: $BH = p$ و $HC = q$. واُرسم نصف الدائرة التي قطرها $[BC]$، ولتكن $A$ النقطة التي يلتقيها فيها العمود على $(BC)$ في $H$.

11. باستعمال [المبرهنة 60.1](#thm-g8-cosine-circle)، اِشرح لماذا يكون المثلث $ABC$ [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $A$ — فينطبق السؤال 7 ويكون $$AH^2 = p \times q .$$ (ويُسمّى الطول $AH$ *المتوسط الهندسي* للعددين $p$ و $q$.)
12. خذ $p = 1$ و $q = 2$ . فما $AH^2$ ؟ وأيّ طول مشهور من [المثال 58.9](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/58-the-pythagorean-theorem#ex-g8-pythagoras-diagonal) أنشأه شكلك بالمسطرة والفرجار للتوّ؟
13. صِف الوصفة التي تنشئ [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) طولها $\sqrt n$ من أجل أيّ عدد صحيح $n \geq 1$ ، وقل أيّ اِختيار للعددين $p$ و $q$ ينشئ $\sqrt 5$ .
14. ليكن $O$ مركز نصف الدائرة. اِشرح لماذا لا يمكن للطول $AH$ أن يتجاوز [نصف القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $\frac{p + q}{2}$ ، و من أجل أيّ موضع للنقطة $H$ يتساويان.
15. اِستنتج المتراجحة: من أجل كل عددين موجبين $p$ و $q$، $$p \times q \leq \left(\frac{p + q}{2}\right)^2,$$ مع التساوي بالضبط حين $p = q$. ثم أعِد البرهنة عليها بلا هندسة البتة: اُنشر $\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - p q$ وتعرّف على متطابقة شهيرة ([المسألة 57.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#pb-g8-equations-1)).

**حل المسألة 60.1.**

**1.** في المثلث $ABH$، [القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $H$، يعطي [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الزوايا ([المبرهنة 51.3](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/51-triangles-and-angles#thm-g7-triangles-sum)) $\widehat B + 90^\circ + \widehat{BAH} = 180^\circ$، إذن $\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat B$. وفي المثلث $ABC$، [القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $A$: $\widehat B + \widehat C + 90^\circ = 180^\circ$، إذن $\widehat C = 90^\circ - \widehat B$. ومنه $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$: فكلا المثلثين الصغيرين يكرّر الزوايا $\widehat B$ و $\widehat C$ و $90^\circ$ التي للأصل.

**2.** في $ABC$ ([القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $A$)، الضلع المجاور للزاوية $\widehat B$ هو $AB$ والوتر هو $BC$: إذن $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC}$. وفي $ABH$ ([القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $H$)، الضلع المجاور للزاوية $\widehat B$ هو $BH$ والوتر هو $AB$: إذن $\cos\widehat B = \frac{BH}{AB}$. والنسبة تتوقف على الزاوية وحدها ([التعريف 60.3](#def-g8-cosine-def))، إذن

$$
\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} ;
$$

وبضرب الطرفين في $BC \times AB$ ([المبرهنة 57.5](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#thm-g8-equations-balance)): $AB^2 = BH \times BC$.

**3.** المثلثان $ABC$ ([القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $A$) و $ACH$ ([القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $H$) يشتركان في الزاوية $\widehat C$. والمجاور على الوتر في كل منهما:

$$
\cos\widehat C = \frac{AC}{CB} = \frac{CH}{AC}
\qquad\Longrightarrow\qquad
AC^2 = CH \times CB .
$$

**4.** تُقرأ $AB^2 = BH \times BC$ هكذا: $9 = BH \times 5$، إذن $BH = 1.8$؛ و $16 = CH \times 5$ يعطي $CH = 3.2$. والتحقّق: $BH + HC = 1.8 + 3.2 = 5 = BC$ — كما يجب، لأن $H$ تقع على الوتر بين $B$ و $C$.

**5.** بقسمة كل علاقة على $BC$:

$$
BH = \frac{AB^2}{BC},
\qquad
CH = \frac{AC^2}{BC} .
$$

إذن $BH$ و $CH$ متناسبان مع $AB^2$ و $AC^2$: فقدم الارتفاع تشقّ الوتر بنسبة مربعَي ضلعَي القائمة ($1.8 : 3.2 = 9 : 16$ في السؤال 4).

**6.** بجمع العلاقتين وتعميل $BC$ (بالتوزيعية):

$$
AB^2 + AC^2 = BH \times BC + CH \times BC
= (BH + CH) \times BC = BC \times BC = BC^2 .
$$

وهذه هي [المبرهنة 58.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/58-the-pythagorean-theorem#thm-g8-pythagoras-direct)، محصولًا عليها من جيب التمام وحده — وهو برهان مختلف حقًّا عن أحجية مساحات المثلثات الأربعة في [التمرين 58.11](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/58-the-pythagorean-theorem#exo-g8-pythagoras-11).

**7.** بفيثاغورس في $ABH$ ([القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $H$، والوتر $[AB]$): $AH^2 = AB^2 - BH^2$. وبتعويض $AB^2$ بالمقدار $BH \times BC$ (السؤال 2) وتعميل $BH$:

$$
AH^2 = BH \times BC - BH^2
= BH \times (BC - BH)
= BH \times HC .
$$

**8.** بضلعَي القائمة قاعدةً واِرتفاعًا، تكون [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $ABC$ هي $\frac{AB \times AC}{2}$؛ وبالوتر $[BC]$ قاعدةً، يكون الارتفاع هو $AH$ بالضبط، إذن [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) أيضًا $\frac{BC \times AH}{2}$ ([المبرهنة 53.3](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#thm-g7-areas-triangle)). وبالمساواة والمضاعفة: $AB \times AC = BC \times AH$.

**9.** $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5}
= 2.4$. والتحقّق من السؤال 7: $AH^2 = 2.4^2 = 5.76$ و $BH \times HC = 1.8 \times 3.2 = 5.76$. متساويان.

**10.** $AH^2 = BH \times HC = 2 \times 8 = 16$، إذن $AH = \sqrt{16} = 4$ سم.

**11.** النقطة $A$ تقع على الدائرة التي قطرها $[BC]$ (وتختلف عن $B$ و $C$)، إذن بالنقطة 2 من [المبرهنة 60.1](#thm-g8-cosine-circle) يكون المثلث $ABC$ [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $A$. وبالإنشاء $(AH) \perp (BC)$ مع وقوع $H$ بين $B$ و $C$: [فالقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[AH]$ هي بالضبط اِرتفاع السؤال 7، و $AH^2 = BH \times HC = p \times q$.

**12.** $AH^2 = 1 \times 2 = 2$: فالشكل ينشئ، بالمسطرة والفرجار وحدهما، [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) مربعها $2$ — أي [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) مربع الوحدة، $\sqrt2 \approx 1.414$، في [المثال 58.9](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/58-the-pythagorean-theorem#ex-g8-pythagoras-diagonal).

**13.** الوصفة: ضع طرفًا لطرف [قطعتين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) طولاهما $p = 1$ و $q = n$؛ واُرسم نصف الدائرة التي قطرها [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) كلها (وطولها $n + 1$)؛ وأقِم العمود عند نقطة الوصل؛ فيلتقي نصف الدائرة في نقطة بُعدها عن نقطة الوصل $\sqrt{1 \times n} = \sqrt n$. ومن أجل $\sqrt5$: خذ $p = 1$ و $q = 5$ (فنصف دائرة قطرها $6$).

**14.** النقطة $A$ على الدائرة التي مركزها $O$، إذن $OA = \frac{p+q}{2}$، وهو [نصف القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes). فإذا كان $H \neq O$، كان المثلث $AHO$ [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $H$ ووتره $[OA]$، وضلع القائمة أقصر من الوتر: أي $AH < OA$. وإذا كان $H = O$، فإن $AH = OA$ بالضبط. وفي كل الحالات $AH \leq \frac{p+q}{2}$، مع التساوي بالضبط حين تكون $H$ هي المركز — أي حين $p = q$.

**15.** بتربيع $AH \leq \frac{p+q}{2}$ (والطرفان موجبان) واِستعمال $AH^2 = pq$:

$$
p \times q \leq \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 ,
$$

مع التساوي بالضبط من أجل $p = q$. وإعادة البرهنة جبريًّا، بالمتطابقات الشهيرة ([المسألة 57.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#pb-g8-equations-1)):

$$
\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq
= \frac{p^2 + 2pq + q^2 - 4pq}{4}
= \frac{p^2 - 2pq + q^2}{4}
= \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 ,
$$

أي مربع، ومنه فهو ليس سالبًا أبدًا — وينعدم بالضبط حين $p = q$. [فالمتوسط الهندسي](#pb-g8-cosine-1) لعددين لا يتجاوز أبدًا نصف مجموعهما.