---
title: "التناسب والسرعة والمتوسطات"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 61
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/61-proportionality-speed-and-averages
---

# الفصل 61 — التناسب والسرعة والمتوسطات

يلتقي [التناسب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-table) ([الفصل 49](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/49-proportionality#ch-g7-prop)) الآن العالمَ الفيزيائي: [السرعة](#def-g8-speed-def) والصبيب وتحويلات الوحدات — وهي مقادير *خوارج قسمة* مقدارين آخرين. وينتهي الفصل بالمتوسطات المرجّحة، حيث يمنع التفكير التناسبي خطأً كلاسيكيًّا.

## 61.1 السرعة المتوسطة

**تعريف 61.1 (السرعة المتوسطة).**

*السرعة المتوسطة* لرحلة هي [خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder)

$$
v = \frac{d}{t}
\qquad
\left(\text{المسافة مقسومة على المدّة}\right),
$$

بالكيلومتر في الساعة (كم/سا)، أو المتر في الثانية (م/ث)، … و الصيغة تنقلب: $d = v \times t$ و $t = \frac{d}{v}$.

**مثال 61.2.**

يقطع قطار $270$ كم في $1$ سا و $30$ دق. وأولًا حوّل الزمن: $1$ سا و $30$ دق $= 1.5$ سا. ثم

$$
v = \frac{270}{1.5} = 180 \text{ km/h}.
$$

والمسافة [بسرعة](#def-g8-speed-def) $90$ كم/سا خلال $2$ سا و $20$ دق $= \frac73$ سا: $d = 90 \times \frac73 = 210$ كم. والزمن اللازم لقطع $35$ كم [بسرعة](#def-g8-speed-def) $14$ كم/سا: $t = \frac{35}{14} = 2.5$ سا $= 2$ سا و $30$ دق.

**ملاحظة 61.3 (الدقائق ليست أعدادًا عشرية).**

المدّة $1$ سا و $30$ دق هي $1.5$ سا، لكن $1$ سا و $20$ دق *ليست* $1.2$ سا: بل هي $1 + \frac{20}{60} = \frac43 \approx 1.33$ سا. فحوّل دائمًا الدقائق إلى [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) من الساعة ($60$ دق $= 1$ سا) قبل القسمة.

![بسرعة ثابتة، تكون المسافة متناسبة مع الزمن: أي مستقيم يمرّ بالمبدأ، وميله هو السرعة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-speed/fig-6f1226af6b5c.svg)

*[بسرعة](#def-g8-speed-def) ثابتة، تكون المسافة متناسبة مع الزمن: أي [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) يمرّ بالمبدأ، وميله *هو* [السرعة](#def-g8-speed-def).*

**طريقة 61.4 (تحويل السرعات).**

لتحويل كم/سا إلى م/ث: $1$ كم $= 1000$ م و $1$ سا $= 3600$ ث، إذن

$$
v \text{ كم/سا} = \frac{v \times 1000}{3600} \text{ م/ث}
= \frac{v}{3.6} \text{ م/ث}.
$$

ولتحويل م/ث إلى كم/سا، اِضرب في $3.6$.

**مثال 61.5.**

$90$ كم/سا $= \frac{90}{3.6} = 25$ م/ث. والعدّاء الذي يجري $100$ م في $10$ ث يتحرّك [بسرعة](#def-g8-speed-def) $10$ م/ث $= 36$ كم/سا.

## 61.2 مقادير خوارج القسمة

**مثال 61.6 (الصبيب والكتلة الحجمية وثمن الكيلوغرام).**

[للسرعة](#def-g8-speed-def) أبناء عمّ كثيرون، تُعالَج كلها بالطريقة نفسها:

- حنفية تملأ $48$ لترًا في $4$ دق: فالصبيب $\frac{48}{4} = 12$ لتر/دق، ومنه فملء حوض سعته $150$ لترًا يستغرق $\frac{150}{12} = 12.5$ دق؛
- و $0.6$ كغ من الجبن ثمنها $9$ يورو: فالثمن $\frac{9}{0.6} = 15$ يورو للكيلوغرام؛
- وسيارة تستهلك $6.3$ لترًا لكل $90$ كم: فالاستهلاك $\frac{6.3}{90} \times 100 = 7$ لترات لكل $100$ كم.

حدّد [خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder)، وتقوم الصيغة الثلاثية [بالباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) ($q = \frac ab$، و $a = qb$، و $b = \frac aq$).

## 61.3 المتوسطات المرجّحة

**تعريف 61.7 (المتوسط المرجّح).**

حين تأتي القيم $v_1, v_2, \dots$ مع تعدادات (أو أوزان) $n_1, n_2, \dots$، يكون *متوسطها المرجّح* هو

$$
\bar v = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots} :
$$

أي [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) القيم، مقسومًا على [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الأوزان.

**مثال 61.8.**

اِمتحان أجرته مجموعتان: المجموعة 1 فيها $12$ تلميذًا ومتوسطها $11$؛ والمجموعة 2 فيها $18$ تلميذًا ومتوسطها $14$. ومتوسط القسم كله:

$$
\bar v = \frac{12 \times 11 + 18 \times 14}{12 + 18}
= \frac{132 + 252}{30} = \frac{384}{30} = 12.8 .
$$

و*ليس* $\frac{11 + 14}{2} = 12.5$: فالمجموعة الأكبر تجذب المتوسط نحو متوسطها — والأوزان مهمّة.

**مثال 61.9 (السرعة المتوسطة على مرحلتين).**

يقطع دراج $30$ كم [بسرعة](#def-g8-speed-def) $30$ كم/سا، ثم $30$ كم [بسرعة](#def-g8-speed-def) $15$ كم/سا. و [السرعة المتوسطة](#def-g8-speed-def) على الرحلة كلها *ليست* $\frac{30 + 15}{2} = 22.5$ كم/سا. فاِحسب بالتعريف:

1. الزمنان: $\frac{30}{30} = 1$ سا، ثم $\frac{30}{15} = 2$ سا؛ [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $3$ سا؛
2. والمسافة الكلية $60$ كم، إذن $v = \frac{60}{3} = 20$ كم/سا.

فالمرحلة البطيئة تدوم أطول، ومنه فوزنها أكبر — فمتوسط السرعات يجب أن يُرجَّح *بالزمن*.

## 61.4 تمارين

**تمرين 61.1 ★.**

اِحسب [السرعة المتوسطة](#def-g8-speed-def): $150$ كم في $2$ سا؛ و $27$ كم في $45$ دق؛ و $100$ م في $12.5$ ث.

**حل التمرين 61.1.**

$\frac{150}{2} = 75$ كم/سا. و $45$ دق $= 0.75$ سا: $\frac{27}{0.75} = 36$ كم/سا. و $\frac{100}{12.5} = 8$ م/ث.

**تمرين 61.2 ★.**

اِحسب المسافة: $2$ سا [بسرعة](#def-g8-speed-def) $85$ كم/سا؛ و $40$ دق [بسرعة](#def-g8-speed-def) $90$ كم/سا. واِحسب الزمن: $315$ كم [بسرعة](#def-g8-speed-def) $90$ كم/سا (بالساعة والدقيقة).

**حل التمرين 61.2.**

$2 \times 85 = 170$ كم. و $40$ دق $= \frac23$ سا: $90 \times \frac23 = 60$ كم. و $\frac{315}{90} = 3.5$ سا $= 3$ سا و $30$ دق.

**تمرين 61.3 ★.**

حوّل: $72$ كم/سا إلى م/ث؛ و $5$ م/ث إلى كم/سا؛ و $108$ كم/سا إلى م/ث.

**حل التمرين 61.3.**

$72 \div 3.6 = 20$ م/ث. و $5 \times 3.6 = 18$ كم/سا. و $108 \div 3.6 = 30$ م/ث.

**تمرين 61.4 ★.**

حنفية تعطي $15$ لتر/دق. فكم من الوقت لملء خزّان سعته $600$ لتر؟ وكم لترًا في $2$ سا و $30$؟

**حل التمرين 61.4.**

$600 \div 15 = 40$ دق. و $2$ سا و $30 = 150$ دق: $15 \times 150 = 2250$ لترًا.

**تمرين 61.5 ★.**

أيّهما صفقة أفضل: $1.2$ كغ من التفاح بمبلغ $3.30$ يورو، أم $0.8$ كغ بمبلغ $2.16$ يورو؟ قارن الأثمان للكيلوغرام.

**حل التمرين 61.5.**

$\frac{3.30}{1.2} = 2.75$ يورو للكغ مقابل $\frac{2.16}{0.8} = 2.70$ يورو للكغ: فالعرض الثاني صفقة أفضل (قليلًا).

**تمرين 61.6 ★.**

قسم فيه $25$ تلميذًا متوسطه $12.4$ في اِختبار؛ وقسم آخر فيه $35$ تلميذًا متوسطه $10$. اِحسب متوسط القسمين معًا.

**حل التمرين 61.6.**

$$
\bar v = \frac{25 \times 12.4 + 35 \times 10}{60}
= \frac{310 + 350}{60} = \frac{660}{60} = 11 .
$$

**تمرين 61.7 ★.**

ينتقل الصوت [بسرعة](#def-g8-speed-def) نحو $340$ م/ث. وترى ومضة برق وتسمع الرعد بعدها بمدّة $6$ ثوانٍ. فكم بَعُد موضع سقوط البرق (إلى أقرب $100$ م)؟

**حل التمرين 61.7.**

$d = 340 \times 6 = 2040$ م $\approx 2$ كم.

**تمرين 61.8 ★★.**

متجوّل يمشي $2$ سا [بسرعة](#def-g8-speed-def) $5$ كم/سا، ويستريح $30$ دق، ثم يمشي $1$ سا و $30$ [بسرعة](#def-g8-speed-def) $4$ كم/سا. اِحسب المسافة الكلية [والسرعة المتوسطة](#def-g8-speed-def) *بما فيها الاستراحة* (المسافة الكلية على الزمن الكلي المنقضي).

**حل التمرين 61.8.**

المسافتان: $2 \times 5 = 10$ كم، ثم $1.5 \times 4 = 6$ كم: [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $16$ كم. والزمن المنقضي: $2 + 0.5 + 1.5 = 4$ سا. [والسرعة المتوسطة](#def-g8-speed-def): $\frac{16}{4} = 4$ كم/سا.

**تمرين 61.9 ★★.**

علامات بمعاملات: حصلت تلميذة على $15$ (بمعامل $3$)، و $9$ (بمعامل $2$)، و $12$ (بمعامل $1$). اِحسب [المتوسط المرجّح](#def-g8-speed-average). وأيّ متوسط بسيط (غير مرجّح) كانت ستحصل عليه، ولماذا يختلفان؟

**حل التمرين 61.9.**

المرجّح: $\frac{3 \times 15 + 2 \times 9 + 1 \times 12}{3 + 2 + 1}
= \frac{45 + 18 + 12}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$. وغير المرجّح: $\frac{15 + 9 + 12}{3} = 12$. وهما يختلفان لأن المعاملات تعطي العلامة $15$ ثلاثة أمثال وزن العلامة $12$.

**تمرين 61.10 ★★.**

تسير سيارة $120$ كم [بسرعة](#def-g8-speed-def) $80$ كم/سا ثم $120$ كم [بسرعة](#def-g8-speed-def) $120$ كم/سا.

1. اِحسب مدّة كل مرحلة، ثم [السرعة المتوسطة](#def-g8-speed-def) على الرحلة كلها.
2. واِشرح لماذا يكون الجواب أصغر من $100$ كم/سا، وهي منتصف السرعتين.

**حل التمرين 61.10.**

*1.* الزمنان: $\frac{120}{80} = 1.5$ سا و $\frac{120}{120} = 1$ سا. [والسرعة المتوسطة](#def-g8-speed-def): $\frac{240}{2.5} = 96$ كم/سا.

*2.* تقضي السيارة *زمنًا أطول* [بسرعة](#def-g8-speed-def) $80$ كم/سا ($1.5$ سا) منه [بسرعة](#def-g8-speed-def) $120$ كم/سا ($1$ سا): [فالسرعة](#def-g8-speed-def) البطيئة أثقل وزنًا في [المتوسط المرجّح](#def-g8-speed-average) بالزمن، فتجذبه تحت المنتصف $100$.

**تمرين 61.11 ★★★.**

تبعد قريتان $18$ كم إحداهما عن الأخرى. تغادر آية الأولى عند $10{:}00$ ماشيةً [بسرعة](#def-g8-speed-def) $5$ كم/سا نحو الثانية؛ ويغادر بدر الثانية في الوقت نفسه ماشيًا [بسرعة](#def-g8-speed-def) $4$ كم/سا نحو الأولى. ففي أيّ ساعة يلتقيان، وعلى أيّ بُعد من قرية آية؟ (فهما معًا يقلّصان الفجوة [بسرعة](#def-g8-speed-def) $5 + 4$ كم/سا.)

**حل التمرين 61.11.**

الفجوة $18$ كم تُقلَّص [بسرعة](#def-g8-speed-def) $5 + 4 = 9$ كم/سا: فيلتقيان بعد $\frac{18}{9} = 2$ سا، عند $12{:}00$. وتكون آية قد مشت حينئذٍ $2 \times 5 = 10$ كم: فيلتقيان على بُعد $10$ كم من قرية آية (و $8$ كم من قرية بدر — والتحقّق: $10 + 8 = 18$).

## 61.5 مسألة: المتوسط التوافقي، أو لماذا تفسد رحلة العودة المتوسط

**مسألة 61.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — [السرعة المتوسطة](#def-g8-speed-def) على مسافتين متساويتين هي $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$، وهي لا تتجاوز أبدًا منتصف السرعتين

اِنتهى كل من [المثال 61.9](#ex-g8-speed-twolegs) و [التمرين 61.10](#exo-g8-speed-10) بالمفاجأة نفسها: اِذهب [بسرعة](#def-g8-speed-def)، وعُد [بسرعة](#def-g8-speed-def) أخرى، فتقع [السرعة المتوسطة](#def-g8-speed-def) *تحت* منتصف السرعتين. وتجد هذه المسألة الصيغة المضبوطة وراء المفاجأة — وهي نوع جديد من المتوسطات، هو *المتوسط التوافقي* — وتبرهن على أن المفاجأة مبرهنة، وتدفعها إلى حدّها المنطقي: أي لحاق لا تستطيعه أيّ [سرعة](#def-g8-speed-def) في العالم.

**الجزء الأول — صيغة رحلة الذهاب والعودة.** رحلة تقطع مسافة $d$ [بسرعة](#def-g8-speed-def) $v_1$، ثم المسافة $d$ نفسها [بسرعة](#def-g8-speed-def) $v_2$ (وكلها أعداد موجبة).

1. عبّر عن المدّتين، ثم عن المدّة الكلية، بكسور تتضمّن $d$ و $v_1$ و $v_2$ .
2. [السرعة المتوسطة](#def-g8-speed-def) للرحلة كلها هي $\bar v = \dfrac{2d}{\ \dfrac{d}{v_1} + \dfrac{d}{v_2}\ }$ — وهو [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) ذو طابقين ([المثال 55.8](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/55-fractions-all-four-operations#ex-g8-fractions-complex)). بسّطه وبَرهِن على أن $$\bar v = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .$$
3. تحقّق من الصيغة بمقابلتها بالحسابين المذكورين أعلاه: $v_1 = 30$ و $v_2 = 15$ كم/سا ( [المثال 61.9](#ex-g8-speed-twolegs) )، و $v_1 = 80$ و $v_2 = 120$ كم/سا ( [التمرين 61.10](#exo-g8-speed-10) ).
4. وقد اِختفت المسافة $d$ من الصيغة. فماذا يعني ذلك، عمليًّا، بالنسبة إلى الدراج؟
5. والآن اِفترض أن الرحلة تقضي بدل ذلك الزمن $T$ نفسه بكل [سرعة](#def-g8-speed-def) . بيّن أن [السرعة المتوسطة](#def-g8-speed-def) تصير حينئذٍ $\frac{v_1 + v_2}{2}$ ، أي المنتصف البسيط. وبلغة [التعريف 61.7](#def-g8-speed-average) : بأيّ مقدار يجب أن يُرجَّح متوسط السرعات دائمًا، وما الذي يتغيّر بين السيناريوهين؟

**الجزء الثاني — التوافقي مقابل الحسابي.** من أجل عددين موجبين $v_1$ و $v_2$، ضع

$$
H = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2}
\quad\text{(وهو \emph{متوسطهما التوافقي})،}
\qquad
A = \frac{v_1 + v_2}{2}
\quad\text{(وهو \emph{متوسطهما الحسابي}).}
$$

6. اِحسب $H$ و $A$ من أجل الزوجين $(30, 15)$ و $(80, 120)$ . فأيّ المتوسطين يفوز في كل مرة؟
7. ضع $A - H$ على [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) المشترك $2(v_1 + v_2)$، واُنشر [البسط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) بالمتطابقات الشهيرة ([المسألة 57.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#pb-g8-equations-1))، وبَرهِن على أن $$A - H = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2\,(v_1 + v_2)} .$$
8. اِستنتج المبرهنة الكامنة وراء كل المفاجآت: من أجل السرعات الموجبة، $H \leq A$ دائمًا، مع التساوي بالضبط حين $v_1 = v_2$ . ولماذا يحسم مربع في [البسط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) الأمر؟
9. بَرهِن على المتطابقة الأنيقة $H \times A = v_1 \times v_2$ : فالمتوسطان يعودان بالضرب إلى [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) الأصلي.
10. تقطع سيارة $60$ كم [بسرعة](#def-g8-speed-def) $40$ كم/سا و $60$ كم [بسرعة](#def-g8-speed-def) $60$ كم/سا. توقّع [السرعة المتوسطة](#def-g8-speed-def) بالصيغة، ثم أكّدها بالطريق الطويل، بالأزمنة والمسافة الكلية.

**الجزء الثالث — اللحاق المستحيل.**

11. تدخل دراجة سباقًا طوله $30$ كم آملةً أن يكون متوسطها $30$ كم/سا. فكم من الوقت يمكن أن يستغرق السباق على الأكثر؟ وهي تقطع أول $15$ كم [بسرعة](#def-g8-speed-def) $15$ كم/سا: فكم يبقى من ميزانية الوقت ذاك؟
12. بيّن أن المتوسط المرجوّ صار مستحيلًا حرفيًّا: اِحسب سرعتها المتوسطة إن قطعت النصف الثاني [بسرعة](#def-g8-speed-def) $90$ كم/سا، واِشرح لماذا تبقى دون $30$ كم/سا حتى [بسرعة](#def-g8-speed-def) هائلة كيفما كانت.
13. ثم تخفض هدفها إلى $20$ كم/سا. فأيّ [سرعة](#def-g8-speed-def) على مسافة $15$ كم الثانية تحقّقه؟ تحقّق من جوابك بصيغة [المتوسط التوافقي](#pb-g8-speed-1) .
14. حنفية باردة وحدها تملأ حوضًا في $20$ دق؛ وحنفية ساخنة وحدها تملؤه في $30$ دق. فأيّ [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) من الحوض تملؤه الحنفيتان معًا في الدقيقة، وكم من الوقت تستغرقان؟ وقارن جوابك بالمقدار $H(20, 30)$ — فماذا تلاحظ؟
15. تطير طائرة المسار نفسه ذهابًا وإيابًا: $900$ كم/سا مع الريح، و $700$ كم/سا ضدّها. اِحسب [السرعة المتوسطة](#def-g8-speed-def) للرحلة كلها، واِشرح في جملة واحدة لماذا تُطيل الريح، مهما هبّت، رحلة الذهاب والعودة دائمًا.

**حل المسألة 61.1.**

**1.** حسب [التعريف 61.1](#def-g8-speed-def)، $t_1 = \frac{d}{v_1}$ و $t_2 = \frac{d}{v_2}$؛ وتدوم الرحلة كلها $\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$ من أجل مسافة $2d$.

**2.** عمّل $d$ في [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) واِختزله حتى يزول:

$$
\bar v
= \frac{2d}{d\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)}
= \frac{2}{\ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\ } .
$$

[والمقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) المشترك في الداخل: $\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$، و القسمة تعني الضرب في [المقلوب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/55-fractions-all-four-operations#def-g8-fractions-inverse) ([المبرهنة 55.6](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/55-fractions-all-four-operations#thm-g8-fractions-div)):

$$
\bar v = 2 \times \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2}
= \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .
$$

**3.** $\dfrac{2 \times 30 \times 15}{30 + 15}
= \dfrac{900}{45} = 20$ كم/سا، كما في [المثال 61.9](#ex-g8-speed-twolegs)؛ و $\dfrac{2 \times 80 \times 120}{80 + 120} = \dfrac{19\,200}{200}
= 96$ كم/سا، كما وُجد في [التمرين 61.10](#exo-g8-speed-10).

**4.** المتوسط يتوقف على السرعتين وحدهما، لا على $d$: فرحلة ذهاب وعودة طولها $1$ كم ورحلة طولها $100$ كم بالسرعتين نفسيهما لهما [السرعة المتوسطة](#def-g8-speed-def) نفسها بالضبط. (ولهذا أمكن التحقّق من الصيغة على رحلات بأطوال مختلفة.)

**5.** في الزمن $T$ بكل [سرعة](#def-g8-speed-def)، تكون المسافتان $v_1 T$ و $v_2 T$، إذن

$$
\bar v = \frac{v_1 T + v_2 T}{2T}
= \frac{(v_1 + v_2)\,T}{2T}
= \frac{v_1 + v_2}{2} .
$$

ومتوسط السرعات يُرجَّح دائمًا *بالزمن* ([التعريف 61.7](#def-g8-speed-average)). فبأزمنة متساوية تحمل السرعتان وزنين متساويين: أي المنتصف البسيط. وبمسافات متساوية تشغل [السرعة](#def-g8-speed-def) الأبطأ زمنًا *أطول*، ومنه وزنًا أكبر — فينزلق المتوسط نحوها.

**6.** من أجل $(30, 15)$: $H = 20$ و $A = 22.5$. ومن أجل $(80, 120)$: $H = 96$ و $A = 100$. فالمتوسط الحسابي يفوز في المرتين.

**7.** على [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) المشترك $2(v_1 + v_2)$:

$$
A - H
= \frac{(v_1 + v_2)^2 - 4\, v_1 v_2}{2\,(v_1 + v_2)} ,
$$

وينتشر [البسط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) بمتطابقات [المسألة 57.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#pb-g8-equations-1):

$$
(v_1 + v_2)^2 - 4 v_1 v_2
= v_1^2 + 2 v_1 v_2 + v_2^2 - 4 v_1 v_2
= v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2
= (v_1 - v_2)^2 .
$$

**8.** المربع ليس سالبًا أبدًا، والمقدار $2(v_1 + v_2)$ موجب: إذن $A - H \geq 0$، أي $H \leq A$، من أجل كل زوج من السرعات الموجبة. والتساوي يستلزم $(v_1 - v_2)^2 = 0$، أي $v_1 = v_2$: فما إن تختلف السرعتان حتى يهبط متوسط رحلة الذهاب والعودة تحت المنتصف تمامًا — فالمفاجأة مبرهنة.

**9.** بالضرب:

$$
H \times A
= \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \times \frac{v_1 + v_2}{2}
= v_1 v_2 ,
$$

بعد تلاشي العامل $2$ والعامل $v_1 + v_2$.

**10.** بالصيغة: $\bar v = \dfrac{2 \times 40 \times 60}
{40 + 60} = \dfrac{4800}{100} = 48$ كم/سا. وبالطريق الطويل: $\frac{60}{40} = 1.5$ سا و $\frac{60}{60} = 1$ سا، إذن $120$ كم في $2.5$ سا: $\frac{120}{2.5} = 48$ كم/سا. وهما متوافقان.

**11.** متوسط $30$ كم/سا على $30$ كم يعني زمنًا كليًّا لا يتجاوز $\frac{30}{30} = 1$ سا. وأول $15$ كم [بسرعة](#def-g8-speed-def) $15$ كم/سا تستغرق أصلًا $\frac{15}{15} = 1$ سا: فتُنفَق ميزانية الوقت *كلها*، ونصف المسار ما زال باقيًا.

**12.** [بسرعة](#def-g8-speed-def) $90$ كم/سا يستغرق النصف الثاني $\frac{15}{90} = \frac16$ سا، إذن يستغرق السباق $\frac76$ سا و

$$
\bar v = \frac{30}{\ 7/6\ } = \frac{180}{7} \approx 25.7
\text{ كم/سا} < 30 .
$$

ومهما كانت [سرعة](#def-g8-speed-def) النصف الثاني، تكون مدّتها عددًا موجبًا، إذن يتجاوز الزمن الكلي $1$ سا ويبقى المتوسط تحت $30$ كم/سا تمامًا. (وبالصيغة: $\frac{2 \times 15
\times v_2}{15 + v_2} = 30$ كانت ستفرض $30 v_2 = 450 + 30 v_2$، أي $0 = 450$ — فلا [سرعة](#def-g8-speed-def) $v_2$ تصلح.)

**13.** متوسط $20$ كم/سا يسمح بمدّة $\frac{30}{20} = 1.5$ سا؛ وبعد الساعة الأولى تبقى $15$ كم من أجل $0.5$ سا: فتحتاج $\frac{15}{0.5} = 30$ كم/سا. والتحقّق: $H(15, 30) = \frac{2 \times 15 \times 30}{45} = \frac{900}{45}
= 20$ كم/سا.

**14.** في الدقيقة، تملأ الحنفيتان $\frac{1}{20}$ و $\frac{1}{30}$ من الحوض؛ ومعًا

$$
\frac{1}{20} + \frac{1}{30}
= \frac{3}{60} + \frac{2}{60}
= \frac{5}{60} = \frac{1}{12}
$$

من الحوض في الدقيقة: فيمتلئ الحوض في $12$ دق. و $H(20, 30) = \frac{2 \times 600}{50} = 24 = 2 \times 12$: فالحنفيتان معًا تستغرقان بالضبط *نصف [المتوسط التوافقي](#pb-g8-speed-1)* لزمنيهما المنفردين — فالصبيبات تُجمع، فنعود إلى أرض [المتوسط التوافقي](#pb-g8-speed-1).

**15.** المسافة نفسها في الاتجاهين، إذن

$$
\bar v = \frac{2 \times 900 \times 700}{900 + 700}
= \frac{1\,260\,000}{1\,600} = 787.5 \text{ كم/سا},
$$

وهي دون $800$ كم/سا في الهواء الساكن. وفي جملة واحدة: تقضي الطائرة زمنًا *أطول* في الطيران ضدّ الريح منه معها، إذن تأخذ المرحلة البطيئة الوزن الأكبر في [المتوسط المرجّح](#def-g8-speed-average) بالزمن — ومنه فالريح لا تستطيع إلا أن تُطيل رحلة الذهاب والعودة.