---
title: "الأهرام والمخاريط"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 62
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones
---

# الفصل 62 — الأهرام والمخاريط

بعد موشورات وأسطوانات [الفصل 53](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#ch-g7-areas) — وهي [مجسّمات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ذات مقطع ثابت — تأتي [المجسّمات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ذات القمّة: الأهرام [والمخاريط](#def-g8-solids-def). وتحمل صيغة حجمها العامل المشهور $\frac13$، الذي يجعله هذا الفصل معقولًا ويستعمله؛ وتتواصل دراسة [المجسّمات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) مع الكرات والمقاطع في [الفصل 70](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/70-solids-and-volumes#ch-g9-solids).

## 62.1 وصف الأهرام والمخاريط

**تعريف 62.1 (الهرم والمخروط).**

- *الهرم* له [مضلع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) *قاعدةً* ونقطة، هي *القمّة* ، موصولة بكل رأس من القاعدة [بأوجه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) مثلثية. و *اِرتفاعه* هو بُعد القمّة عن مستوي القاعدة.
- و *المخروط* هو البناء نفسه فوق قرص: قرص قاعدةً، وقمّة، وسطح جانبي منحنٍ.

ويكون الهرم *منتظمًا* حين تكون قاعدته مضلعًا منتظمًا (مربعًا، أو مثلثًا [متساوي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)، …) وتقع قمّته عموديًّا فوق مركز القاعدة.

![هرم قاعدته مربعة ومخروط: قاعدة واحدة مضلعة أو دائرية، وقمّة واحدة، والارتفاع مقيسًا عموديًّا على القاعدة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-solids/fig-89ff0253456e.svg)

*[هرم](#def-g8-solids-def) قاعدته مربعة [ومخروط](#def-g8-solids-def): قاعدة واحدة مضلعة أو دائرية، وقمّة واحدة، والارتفاع مقيسًا عموديًّا على القاعدة.*

**مثال 62.2 (عدّ الأوجه والأحرف والرؤوس).**

[الهرم](#def-g8-solids-def) ذو القاعدة المربعة له $5$ [أوجه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ($1$ مربع $+ 4$ مثلثات)، و $8$ [أحرف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def)، و $5$ [رؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def). ومع قاعدة ذات $n$ ضلعًا: $n + 1$ وجهًا، و $2n$ حرفًا، و $n + 1$ رأسًا. وتحقّق من نمط أويلر الصغير: [الأوجه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $+$ [الرؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $=$ [الأحرف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $+ 2$.

## 62.2 الحجم

**مبرهنة 62.3 (حجم الهرم أو المخروط).**

من أجل [هرم](#def-g8-solids-def) أو [مخروط](#def-g8-solids-def) [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) قاعدته $B$ واِرتفاعه $h$:

$$
V = \frac{1}{3}\, B \times h
$$

— أي ثلث [الموشور](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) أو [الأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) بالقاعدة والارتفاع نفسيهما. ومن أجل [مخروط](#def-g8-solids-def) [نصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) قاعدته $r$: $V = \frac13 \pi r^2 h$.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**ملاحظة 62.4 (لماذا الثلث؟).**

اِملأ هرمًا مجوّفًا بالماء واِسكبه في [الموشور](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) ذي القاعدة والارتفاع نفسيهما: فيلزم ثلاث ملآت بالضبط. وأفضل من ذلك: يمكن قطع [مكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) إلى ثلاثة أهرام متطابقة، لكل منها وجه من [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) قاعدةً ورأس من [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) قمّةً (حاول تصوّر ذلك!). والبرهان العامّ يستعمل التكامل، وهو أداة من مجلّد المرحلة الثانوية.

**مثال 62.5.**

[هرم](#def-g8-solids-def) قاعدته مربعة طول ضلعها $5$ سم واِرتفاعه $9$ سم:

1. [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) القاعدة: $B = 5^2 = 25$ سم $^2$ ؛
2. [والحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) : $V = \frac13 \times 25 \times 9 = 25 \times 3 = 75$ سم $^3$ .

[ومخروط](#def-g8-solids-def) مثلجات نصف قطره $3$ سم واِرتفاعه $10$ سم:

$$
V = \frac13 \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi \approx 94
\text{ سم}^3 .
$$

**مثال 62.6 (اِنتبه للارتفاع).**

في [المخروط](#def-g8-solids-def)، لا تخلط بين الارتفاع $h$ (من القمّة إلى مركز القاعدة، عموديًّا) و*الطول المائل* $s$ (من القمّة إلى الحافة). وترتبط بينهما مبرهنة فيثاغورس ([المبرهنة 58.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/58-the-pythagorean-theorem#thm-g8-pythagoras-direct)) في [المثلث القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) قمّة–مركز–حافة:

$$
s^2 = h^2 + r^2 .
$$

ومنه [فالمخروط](#def-g8-solids-def) الذي فيه $r = 3$ و $s = 5$ اِرتفاعه $h = \sqrt{25 - 9} = 4$، وحجمه $\frac13 \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$.

**طريقة 62.7 (مسائل الحجوم).**

1. عيّن [المجسّم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ( [موشور](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) / [أسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) : $V = Bh$ ؛ [وهرم](#def-g8-solids-def) / [مخروط](#def-g8-solids-def) : $V = \frac13 Bh$ )؛
2. واِحسب [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) القاعدة $B$ أولًا، في خطوة مستقلة؛
3. وتحقّق من أن الارتفاع عمودي على القاعدة (اِستعمل فيثاغورس إذا أُعطي الطول المائل)؛
4. واِضرب، واِحفظ اِتّساق الوحدات، وحوّل في النهاية عند اللزوم ( $1$ لتر $= 1000$ سم $^3$ ).

## 62.3 التصاميم

**مثال 62.8 (تصميم هرم).**

نشر [هرم](#def-g8-solids-def) منتظم ذي قاعدة مربعة يسطّحه في *تصميمه*: أي القاعدة المربعة مع أربعة مثلثات متساوية الساقين متطابقة ملتصقة بأضلاعها. وساقا المثلثات المتساويتان هما *[الأحرف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الجانبية* [للهرم](#def-g8-solids-def) — وطولها ليس $h$ ولا الطول المائل لوجه، فاِحرص على الترميز قبل قصّ الورق المقوّى.

![تصميم هرم ذي قاعدة مربعة: اِطوِ المثلثات الأربعة إلى أعلى حتى تلتقي قممها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-solids/fig-1939bad9e026.svg)

*تصميم [هرم](#def-g8-solids-def) ذي قاعدة مربعة: اِطوِ المثلثات الأربعة إلى أعلى حتى تلتقي قممها.*

## 62.4 تمارين

**تمرين 62.1 ★.**

كم وجهًا وحرفًا ورأسًا [لهرم](#def-g8-solids-def) ذي قاعدة مثلثية (وهو *[رباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) الوجوه*)؟ ولهرم ذي قاعدة سداسية؟

**حل التمرين 62.1.**

[رباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) الوجوه: $4$ [أوجه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def)، و $6$ [أحرف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def)، و $4$ [رؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ($4 + 4 = 6 + 2$). والقاعدة السداسية: $7$ [أوجه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def)، و $12$ حرفًا، و $7$ [رؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ($7 + 7 = 12 + 2$).

**تمرين 62.2 ★.**

اِحسب [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [هرم](#def-g8-solids-def) [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) قاعدته $36$ سم$^2$ و اِرتفاعه $10$ سم؛ [وحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [هرم](#def-g8-solids-def) قاعدته مستطيلة $6 \times 4$ سم واِرتفاعه $7.5$ سم.

**حل التمرين 62.2.**

$V = \frac13 \times 36 \times 10 = 120$ سم$^3$.

والقاعدة المستطيلة: $B = 24$ سم$^2$، إذن $V = \frac13 \times 24 \times 7.5 = 60$ سم$^3$.

**تمرين 62.3 ★.**

اِحسب [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [مخروط](#def-g8-solids-def) نصف قطره $5$ سم واِرتفاعه $9$ سم (مضبوطًا بالعدد $\pi$، ثم مقرّبًا إلى سم$^3$).

**حل التمرين 62.3.**

$V = \frac13 \pi \times 25 \times 9 = 75\pi \approx 236$ سم$^3$.

**تمرين 62.4 ★.**

[لأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) [ومخروط](#def-g8-solids-def) [نصف القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) نفسه $4$ سم والارتفاع نفسه $12$ سم. اِحسب الحجمين. فما نسبتهما؟

**حل التمرين 62.4.**

[الأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism): $\pi \times 16 \times 12 = 192\pi \approx 603$ سم$^3$. [والمخروط](#def-g8-solids-def): $\frac{192\pi}{3} = 64\pi \approx 201$ سم$^3$. والنسبة: [فالمخروط](#def-g8-solids-def) ثلث [الأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism).

**تمرين 62.5 ★.**

[هرم](#def-g8-solids-def) حجمه $56$ سم$^3$ واِرتفاعه $8$ سم. فما [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) قاعدته؟ (اُكتب صيغة [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) وحُلّ.)

**حل التمرين 62.5.**

$56 = \frac13 \times B \times 8$، إذن $B = \frac{56 \times 3}{8} = 21$ سم$^2$.

**تمرين 62.6 ★.**

اُرسم تخطيطًا لتصميم [مخروط](#def-g8-solids-def) (قرص للقاعدة، وقطاع من قرص أكبر للسطح الجانبي). فأيّ قياس من قياسات [المخروط](#def-g8-solids-def) هو [نصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) ذلك القطاع: الارتفاع $h$ أم الطول المائل $s$؟

**حل التمرين 62.6.**

ينفرد السطح الجانبي في قطاع قرص نصف قطره هو *الطول المائل* $s$ (وهو بُعد القمّة عن الحافة — فتلك [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) تقع على السطح)، لا الارتفاع $h$.

**تمرين 62.7 ★★.**

[هرم](#def-g8-solids-def) اللوفر قاعدته مربعة طول ضلعها نحو $35$ م و اِرتفاعه نحو $22$ م. قدّر حجمه، إلى أقرب مئة متر [مكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def).

**حل التمرين 62.7.**

$V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac13 \times 1225 \times 22
= \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ م$^3$ — أي نحو $9\,000$ متر [مكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def).

**تمرين 62.8 ★★.**

[مخروط](#def-g8-solids-def) طوله المائل $13$ سم [ونصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) قاعدته $5$ سم. اِحسب اِرتفاعه، ثم حجمه (مضبوطًا بالعدد $\pi$).

**حل التمرين 62.8.**

الارتفاع: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ سم. [والحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume): $V = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ سم$^3$.

**تمرين 62.9 ★★.**

[كأس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) مخروطية نصف قطرها $4$ سم واِرتفاعها $9$ سم مملوءة إلى الحافة، ثم تُسكب في [كأس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) أسطوانية نصف قطرها $4$ سم. فأيّ اِرتفاع يبلغه السائل في [الأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism)؟

**حل التمرين 62.9.**

[نصف القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) نفسه، إذن [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [المخروط](#def-g8-solids-def) ثلث [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [الأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) *من أجل الارتفاع نفسه*: فيبلغ السائل $\frac{9}{3} = 3$ سم في [الأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism).

**تمرين 62.10 ★★.**

ساعة رملية مصنوعة من [مخروطين](#def-g8-solids-def) متطابقين ([نصف القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $2$ سم، والارتفاع $4.5$ سم) موصولين عند قمّتيهما. والرمل كله يملأ مخروطًا واحدًا بالضبط. اِحسب [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) الرمل (مضبوطًا، ثم بوحدة سم$^3$ مقرّبًا إلى العُشر)، [والكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) من [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) الداخلي الكلي للساعة الرملية الذي يشغله الرمل.

**حل التمرين 62.10.**

الرمل $=$ [مخروط](#def-g8-solids-def) واحد: $V = \frac13 \pi \times 4 \times 4.5 = 6\pi
\approx 18.8$ سم$^3$. والساعة الرملية تسع [مخروطين](#def-g8-solids-def) كهذا، إذن يملأ الرمل نصف [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) الداخلي الكلي بالضبط.

**تمرين 62.11 ★★★.**

[هرم](#def-g8-solids-def) ذو قاعدة مربعة طول ضلعها $6$ سم قمّته فوق ركن من القاعدة مباشرةً، على اِرتفاع $8$ سم.

1. فهل تبقى الصيغة $V = \frac13 Bh$ منطبقة؟ (نعم — فالقمّة لا يلزم أن تكون في المركز. اِحسب $V$ .)
2. واِحسب طول أطول حرف جانبي، من القمّة إلى الركن المقابل من القاعدة (بخطوتَي فيثاغورس: [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) القاعدة أولًا).

**حل التمرين 62.11.**

*1.* نعم: فالصيغة $V = \frac13 Bh$ تصحّ من أجل أيّ موضع للقمّة، ما دام $h$ هو البُعد العمودي عن مستوي القاعدة. و $V = \frac13 \times 36 \times 8 = 96$ سم$^3$.

*2.* [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) القاعدة: $\sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt2$ سم. وأطول حرف جانبي هو وتر [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ضلعا قائمته $6\sqrt2$ (في مستوي القاعدة) و $8$ (عموديًّا):

$$
\sqrt{(6\sqrt2)^2 + 8^2} = \sqrt{72 + 64} = \sqrt{136} \approx 11.7
\text{ سم}.
$$

## 62.5 مسألة: مكعب مقطوع إلى ثلاثة أهرام

**مسألة 62.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — من أين يأتي العامل $\frac13$، وماذا يحدث لهرم يُقطع عند نصف اِرتفاعه

تدّعي الملاحظة التي بعد [المبرهنة 62.3](#thm-g8-solids-volume) أن [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) يمكن قطعه إلى ثلاثة أهرام متطابقة — «حاول تصوّر ذلك!». وتصوّر هذه المسألة ذلك بدقّة، وتستخرج العامل المشهور $\frac13$ منه اِستخراجًا أمينًا، ثم تقطع [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) بطريقة ثانية إلى *ستة* أهرام، وتنتهي بتشريح [هرم](#def-g8-solids-def) عند نصف اِرتفاعه — بنتيجة قلّ من يخمّنها صحيحة من أول محاولة.

وفي كل ما يلي، $ABCDEFGH$ [مكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) طول ضلعه $a$: قاعدته $ABCD$، ووجهه الأعلى $EFGH$، مع $E$ فوق $A$، و $F$ فوق $B$، و $G$ فوق $C$، و $H$ فوق $D$.

**الجزء الأول — ثلاثة أهرام تشترك في قمّة.**

1. الرأس $G$ ينتمي إلى ثلاثة [أوجه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) من [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) . اُذكر [الأوجه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الثلاثة التي *لا* تحوي $G$ ، و صِف الأهرام الثلاثة المحصولة بأخذ كل واحد منها قاعدةً، مع القمّة $G$ في كل مرة. وكم وجهًا وحرفًا ورأسًا لكل [هرم](#def-g8-solids-def) ( [المثال 62.2](#ex-g8-solids-count) )؟
2. اِشرح لماذا تترك إدارة [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ثلث دورة حول قطره الطويل $(AG)$ المكعبَ دون تغيير لكنها تخلط قواعد السؤال 1 الثلاث في دورة — ولماذا تكون الأهرام الثلاثة إذن نسخًا متطابقة بعضها لبعض.
3. وبالتسليم بأن الأهرام الثلاثة تملأ [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) دون تراكب (ونموذج من الورق المقوّى مقنع جدًّا)، اِستنتج [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) كل واحد منها.
4. وتحقّق من ذلك بمقابلته بصيغة [المبرهنة 62.3](#thm-g8-solids-volume) : [فالهرم](#def-g8-solids-def) ذو القاعدة $ABCD$ والقمّة $G$ قمّته فوق *ركن* من قاعدته مباشرةً، تمامًا كما في [التمرين 62.11](#exo-g8-solids-11) . عيّن اِرتفاعه، وطبّق الصيغة، وقارن.
5. ومن أجل [مكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) طول ضلعه $6$ سم، أعطِ [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) كل واحد من الأهرام الثلاثة — واِشرح ما علاقة هذا التفكيك بتجربة سكب الماء في الفصل (ثلاث ملآت من [الهرم](#def-g8-solids-def) مقابل [موشور](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) واحد).

**الجزء الثاني — ستة أهرام تشترك في المركز.** والآن ليكن $O$ مركز [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def)، وصِل $O$ [بالرؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الأربعة لكل وجه من [الأوجه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الستة.

6. صِف الأهرام الستة المحصولة، واِشرح لماذا تكون نسخًا متطابقة بعضها لبعض. وما اِرتفاع كل واحد منها؟
7. واِستنتج، بتقاسم [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ، [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) كل واحد من الأهرام الستة.
8. وأعِد حساب ذلك [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) بالصيغة $V = \frac13 B h$ ، وتحقّق من توافق الجوابين.
9. يؤكد التفكيكان العامل $\frac13$ من أجل أهرام خاصّة جدًّا. اِشرح لماذا لا *يبرهنان* بعدُ على [المبرهنة 62.3](#thm-g8-solids-volume) من أجل كل [هرم](#def-g8-solids-def) [ومخروط](#def-g8-solids-def) — وقل كيف يعالج الفصل تلك الفجوة: أيّ عبارة مقبولة، وأيّ تجربة تدعمها، وفي أيّ مجلّد من السلسلة يُبرهن عليها برهانًا أمينًا.
10. [مكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) طول ضلعه $6$ سم يُقطع إلى أهرامه المركزية الستة. اِحسب [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) كل واحد، بالطريقتين.

**الجزء الثالث — قطع [هرم](#def-g8-solids-def) عند نصف الارتفاع.** $SABCD$ [هرم](#def-g8-solids-def) منتظم ذو قاعدة مربعة: طول ضلع القاعدة $c$، والارتفاع $h$، والقمّة $S$ فوق مركز القاعدة. اِقطعه بالمستوي المارّ *بمنتصفات* [الأحرف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الجانبية الأربعة $[SA]$ و $[SB]$ و $[SC]$ و $[SD]$.

11. طبّق مبرهنة المنتصفين ( [المبرهنة 59.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/59-midpoints-and-parallels#thm-g8-midpoints-direct) ) في المثلث $SAB$ : فما اِتجاه وطول [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الواصلة بين منتصفَي $[SA]$ و $[SB]$ ؟ واِستنتج أن المقطع مربع طول ضلعه $\frac{c}{2}$ ، [موازٍ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) للقاعدة، على اِرتفاع $\frac{h}{2}$ .
12. [والقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) التي فوق المقطع [هرم](#def-g8-solids-def) ذو قاعدة مربعة بنفسه. أعطِ طول ضلع قاعدته واِرتفاعه، وبيّن أن حجمه هو *ثُمن* [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) الأصلي $V$ بالضبط.
13. واِستنتج [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) السفلى (وهي *جذع [الهرم](#def-g8-solids-def)* ، شكل [الهرم](#def-g8-solids-def) غير المكتمل). فبأيّ نسبة يتقاسم قطعُ نصف الارتفاع الحجمَ؟
14. [هرم](#def-g8-solids-def) اللوفر ( [التمرين 62.7](#exo-g8-solids-7) : طول ضلع القاعدة $35$ م، والارتفاع $22$ م) يُنظَّف في حملتين: الزجاج فوق نصف الارتفاع، ثم الزجاج تحته. فأيّ [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) من *[الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume)* يقع تحت نصف الارتفاع؟ قدّره بالأمتار المكعبة، إلى أقرب مئة.
15. والدرس العامّ: إذا ضُربت *كل* أبعاد [هرم](#def-g8-solids-def) في $2$ ، فماذا يحدث لحجمه؟ وبأيّ معامل ينمو [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) حين يُضرب كل بُعد في $k$ — وكيف يفسّر هذا، في سطر واحد، «الثُّمن» في السؤال 12؟

**حل المسألة 62.1.**

**1.** الرأس $G$ ينتمي إلى الوجه الأعلى $EFGH$ وإلى الوجهين الجانبيين $BCGF$ و $DCGH$. [والأوجه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الثلاثة التي *لا* تحوي $G$ هي الأسفل $ABCD$، والأمام $ABFE$، والوجه الأيسر $ADHE$ (وهي كلها تشترك في الرأس $A$، وهو الركن المقابل للرأس $G$). والأهرام الثلاثة هي $ABCDG$ و $ABFEG$ و $ADHEG$: لكل منها وجه مربع من [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) قاعدةً والرأس البعيد $G$ قمّةً. وكل واحد [هرم](#def-g8-solids-def) ذو قاعدة مربعة: $5$ [أوجه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def)، و $8$ [أحرف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def)، و $5$ [رؤوس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ([المثال 62.2](#ex-g8-solids-count)).

**2.** [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) الطويل $[AG]$ يصل الرأسين الوحيدين اللذين لا ينتميان إلى أيّ من القواعد الثلاث. وإدارة بثلث دورة حول [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(AG)$ ترسل [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) إلى نفسه ([فالأحرف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الثلاثة الخارجة من $A$ — نحو $B$ و $D$ و $E$ — تُخلط في دورة، وكذلك [الأحرف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الثلاثة الواصلة إلى $G$). وهي تحمل القاعدة $ABCD$ إلى $ADHE$، ثم $ADHE$ إلى $ABFE$، وترجع: فالقمم ثابتة عند $G$، والقواعد تدور. ومنه يُحمل كل [هرم](#def-g8-solids-def) على الذي يليه: فالثلاثة نسخ متطابقة.

**3.** ثلاث قطع متطابقة تملأ [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) تتقاسم حجمه بالتساوي:

$$
V_{\text{الهرم}} = \frac{a^3}{3} .
$$

**4.** [الهرم](#def-g8-solids-def) $ABCDG$ قاعدته $ABCD$، ومساحتها $a^2$، وقمّته $G$ تقع عموديًّا فوق الركن $C$، على اِرتفاع $CG = a$ (وهو حرف عمودي من [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def)). وكما في [التمرين 62.11](#exo-g8-solids-11)، تنطبق الصيغة بالارتفاع العمودي $h = a$:

$$
V = \frac13 \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} ,
$$

في توافق تامّ مع السؤال 3 — فالتفكيك والصيغة يؤكد كل منهما الآخر.

**5.** من أجل $a = 6$: $V = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ سم$^3$ لكل واحد. و تجربة سكب الماء هي هذا التفكيك مسيَّلًا: [فالموشور](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) فوق القاعدة $ABCD$ باِرتفاع $a$ هو [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) نفسه، وهو يسع ثلاث ملآت من [الهرم](#def-g8-solids-def) بالضبط — وهنا تتجمّع الملآت الثلاث هندسيًّا أيضًا في [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def).

**6.** وصل المركز $O$ بأركان كل وجه الأربعة ينتج ستة أهرام، واحدًا لكل وجه: قاعدة مربعة، وقمّة $O$. والمركز موضوع بالتساوي بالنسبة إلى [الأوجه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الستة (فأيّ دوران أو تماثل [للمكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) يثبّت $O$ ويبدّل [الأوجه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def))، إذن الأهرام الستة متطابقة. واِرتفاع كل واحد هو بُعد $O$ عن وجه: أي نصف الضلع، $\frac{a}{2}$.

**7.** ست قطع متطابقة تتقاسم [المكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def): أي $V = \frac{a^3}{6}$ لكل واحدة.

**8.** بالصيغة: [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) القاعدة $a^2$، والارتفاع $\frac a2$:

$$
V = \frac13 \times a^2 \times \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6} .
$$

والجوابان متوافقان.

**9.** يخصّ التفكيكان أهرامًا ذات نسب خاصّة جدًّا منحوتة من [مكعب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def)؛ أما [الهرم](#def-g8-solids-def) النحيل، أو المائل، أو [المخروط](#def-g8-solids-def)، فلا يمكن تركيبه بهذه الطريقة (فلا ثلاثة [مخاريط](#def-g8-solids-def) تملأ [أسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism)). ولهذا كانت [المبرهنة 62.3](#thm-g8-solids-volume) *مقبولة* في هذا المستوى: فالتفكيكات وتجربة سكب الماء تجعل العامل $\frac13$ معقولًا تمامًا، والبرهان العامّ الأمين — وهو التكامل — يُعطى في مجلّد المرحلة الثانوية.

**10.** $V = \frac{6^3}{6} = 36$ سم$^3$؛ وبالصيغة، $V = \frac13 \times 36 \times 3 = 36$ سم$^3$. وهما متوافقان.

**11.** في المثلث $SAB$، يوصَل بين منتصفَي الضلعين $[SA]$ و $[SB]$ [بقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) موازية [للمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(AB)$ و طولها $\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$ ([المبرهنة 59.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/59-midpoints-and-parallels#thm-g8-midpoints-direct)). والشيء نفسه يصحّ في كل وجه جانبي، إذن تكوّن المنتصفات الأربعة مربعًا طول ضلعه $\frac c2$، وأضلاعه موازية للقاعدة. وعلى [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) العمودي المارّ بالقمّة، يمرّ المقطع في منتصف الارتفاع (بمبرهنة المنتصفين من جديد، في مثلث يمرّ بالقمّة $S$ ومركز القاعدة ورأس من القاعدة): فيقع مستوي [القطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) على اِرتفاع $\frac h2$.

**12.** [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) العليا [هرم](#def-g8-solids-def) منتظم ذو قاعدة مربعة طول ضلعها $\frac c2$ واِرتفاعه $\frac h2$ (فقاعدته هي المقطع، وقمّته هي $S$). وحجمه

$$
\frac13 \times \left(\frac c2\right)^2 \times \frac h2
= \frac13 \times \frac{c^2}{4} \times \frac h2
= \frac{1}{8} \times \frac{c^2 h}{3}
= \frac{V}{8} :
$$

أي ثُمن الأصلي — لا نصفه.

**13.** يحتفظ جذع [الهرم](#def-g8-solids-def) [بالباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder): $V - \frac V8 = \frac{7V}{8}$. فقطع نصف الارتفاع يتقاسم [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) بنسبة $1 : 7$ — فالبلاطة السفلى المتواضعة المظهر تحمل سبعة أمثال [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) القمّة المدبّبة.

**14.** يقع تحت نصف الارتفاع $\frac78$ من [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume). ومع $V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx
8\,983$ م$^3$ ([التمرين 62.7](#exo-g8-solids-7)):

$$
\frac78 \times \frac{26\,950}{3} \approx 7\,860 \approx
7\,900 \text{ م}^3
$$

إلى أقرب مئة — فحملة «النصف السفلي» تنظّف نحو ثمانية أمثال [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) زجاج الحملة العليا.

**15.** مضاعفة كل بُعد تضرب [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) القاعدة في $2^2 = 4$ والارتفاع في $2$، ومنه [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) في $4 \times 2 = 8 = 2^3$. والتكبير بالمعامل $k$ يضرب المساحات في $k^2$ وطولًا آخر في $k$: فتنمو الحجوم بالمعامل $k^3$. و [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) العليا في السؤال 12 نسخة مكبّرة من [الهرم](#def-g8-solids-def) كله بالمعامل $k = \frac12$، إذن حجمها $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ من الكلّ — وهو التفسير في سطر واحد.