---
title: "الكسور والقوى"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 63
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers
---

# الفصل 63 — الكسور والقوى

الكسور والقوى أدوات الحساب اليومية: لتقاسم المقادير، ومقارنة النسب، وكتابة الأعداد الكبيرة جدًّا أو الصغيرة جدًّا. ويرسّخ هذا الفصل قواعد الحساب بها — مع كتابة كل خطوة وسيطة — ويقدّم [الترميز العلمي](#def-g9-fractions-scientific).

## 63.1 الحساب بالكسور

**تعريف 63.1 (الكسر).**

*الكسر* $\dfrac ab$ (مع $b \neq 0$) هو [خارج قسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $a$ على $b$. ويتساوى كسران حين يُحصل أحدهما من الآخر بضرب [البسط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) [والمقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) (أو قسمتهما) في العدد نفسه غير المعدوم:

$$
\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).
$$

**مثال 63.2.**

اِختزل $\dfrac{42}{56}$ خطوة خطوة:

$$
\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28}
= \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .
$$

(وفي [الفصل 64](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#ch-g9-arith) سيقوم القاسم المشترك الأكبر بهذا في خطوة واحدة.)

**طريقة 63.3 (جمع الكسور وطرحها).**

1. ضع الكسرين على *[مقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) مشترك* (وهو [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) مشترك للمقامين)؛
2. واجمع البسطين أو اِطرحهما، محتفظًا [بالمقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) ؛
3. واِختزل النتيجة إن أمكن.

**مثال 63.4.**

اِحسب $\dfrac56 + \dfrac34$. [ومقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) مشترك للعددين $6$ و $4$ هو $12$:

$$
\frac56 + \frac34
= \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3}
= \frac{10}{12} + \frac{9}{12}
= \frac{19}{12}.
$$

واِحسب $2 - \dfrac37$. اُكتب $2$ كسرًا على [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $7$:

$$
2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.
$$

![لماذا المقام المشترك: تقطيع الكلّين إلى 12 خانة متساوية يجعل الكسرين قابلين للمقارنة والجمع — ومعًا، 10 + 9 = 19 جزءًا من اِثني عشر.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-fractions/fig-746402fa7eba.svg)

*لماذا [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) المشترك: تقطيع الكلّين إلى $12$ خانة متساوية يجعل الكسرين قابلين للمقارنة والجمع — ومعًا، $10 + 9 = 19$ جزءًا من اِثني عشر.*

**طريقة 63.5 (ضرب الكسور وقسمتها).**

1. للضرب، اِضرب البسطين معًا والمقامين معًا: $\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{ac}{bd}$ (واِختزل *قبل* الضرب كلما أمكن)؛
2. وللقسمة، اِضرب في [مقلوب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/55-fractions-all-four-operations#def-g8-fractions-inverse) القاسم: $\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc$ .

**مثال 63.6.**

$$
\frac{7}{15} \times \frac{25}{14}
= \frac{7 \times 25}{15 \times 14}
= \frac{7 \times 25}{15 \times 2 \times 7}
= \frac{25}{30} = \frac56,
$$

حيث اِختزلنا على العامل المشترك $7$، ثم على $5$. وإليك قسمة:

$$
\frac{3}{4} \div \frac{9}{8}
= \frac34 \times \frac89
= \frac{3 \times 8}{4 \times 9}
= \frac{24}{36} = \frac23 .
$$

## 63.2 القوى

**تعريف 63.7 (القوة).**

من أجل عدد حقيقي $a$ وعدد صحيح موجب $n$، تكون *القوة* $a^n$ [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $n$ عاملًا يساوي كل منها $a$:

$$
a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ عاملًا}} .
$$

وباصطلاح $a^0 = 1$ (من أجل $a \neq 0$)، وتدلّ [الأُسُس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) السالبة على المقلوبات:

$$
a^{-n} = \frac{1}{a^n}.
$$

**مثال 63.8.**

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$؛ و $(-3)^2 = 9$ لكن $-3^2 = -(3^2) = -9$ ([فالأُسّ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) يربط قبل إشارة الناقص)؛ و $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001$؛ و $5^1 = 5$ و $5^0 = 1$.

**مبرهنة 63.9 (قواعد الأُسُس).**

من أجل كل $a$ و $b$ غير معدومين وكل عددين صحيحين $m$ و $n$:

$$
a^m \times a^n = a^{m+n},
\qquad
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},
\qquad
\left(a^m\right)^n = a^{mn},
\qquad
(ab)^n = a^n b^n .
$$

**برهان.** من أجل [الأُسُس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) الموجبة، عُدّ العوامل. ففي القاعدة الأولى: $a^m \times a^n$ هو $m$ عاملًا $a$ يتبعها $n$ عاملًا $a$، أي في المجموع $m + n$ عاملًا. وفي الثالثة: $\left(a^m\right)^n$ يكرّر $n$ مرة كتلةً من $m$ عاملًا، فيعطي $mn$ عاملًا. والقاعدتان الأخريان مشابهتان؛ والامتداد إلى [الأُسّ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) المعدوم [والأُسُس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) السالبة يُتحقَّق منه من $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (وهو يجعل الاصطلاح $a^0 = 1$ الخيار المتّسق الوحيد، لأن $a^n \times a^0$ يجب أن يكون $a^{n+0} = a^n$). ∎

**مثال 63.10.**

بسّط خطوة خطوة:

$$
\frac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4}
= \frac{3^{7 + (-2)}}{3^4}
= \frac{3^5}{3^4}
= 3^{5-4} = 3^1 = 3 .
$$

ومع حرفين: $(2a^3)^2 \times a = 4 a^6 \times a = 4a^7$.

## 63.3 قوى العشرة والترميز العلمي

**قضية 63.11 (قوى العشرة).**

من أجل عدد صحيح موجب $n$: يُكتب $10^n$ هكذا: «$1$ يتبعه $n$ صفرًا»، و $10^{-n} = 0.0\dots01$ حيث يقع $1$ في المرتبة العشرية ذات الرتبة $n$. وضرب [عدد عشري](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places) في $10^n$ (أو في $10^{-n}$) ينقل نقطته العشرية $n$ مرتبة إلى اليمين (أو إلى اليسار).

**تعريف 63.12 (الترميز العلمي).**

*الترميز العلمي* [لعدد عشري](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places) موجب هو الطريقة الوحيدة لكتابته على الصورة

$$
a \times 10^n,
\qquad\text{حيث } 1 \leq a < 10 \text{ و } n \text{ عدد صحيح.}
$$

**مثال 63.13.**

بُعد الأرض عن الشمس نحو $149\,600\,000$ كم $= 1.496 \times
10^8$ كم. [وحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) جزيء الماء نحو $0.000\,000\,000\,28$ م $= 2.8 \times 10^{-10}$ م. وللحساب بأعداد كهذه، جمّع الأجزاء العشرية وقوى العشرة:

$$
(3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2})
= (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)}
= 7.5 \times 10^{3}.
$$

**طريقة 63.14 (وضع عدد في الترميز العلمي).**

1. اُنقل [النقطة العشرية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) إلى ما بعد أول رقم غير معدوم مباشرةً؛ فيعطي هذا العامل $a$ حيث $1 \leq a < 10$ ؛
2. وعُدّ عدد المراتب التي اِنتقلت إليها النقطة: فذلك العدد هو $n$ ، موجبًا إن كان العدد الأصلي $\geq 10$ ، وسالبًا إن كان $< 1$ ؛
3. وتحقّق: فالمقدار $a \times 10^n$ يجب أن يعيد العدد الأصلي.

## 63.4 تمارين

**تمرين 63.1 ★.**

اِحسب وأعطِ النتيجة كسرًا مختزلًا تمامًا:

$$
\frac13 + \frac15, \qquad
\frac72 - \frac53, \qquad
\frac{5}{12} + \frac38, \qquad
3 - \frac45 .
$$

**حل التمرين 63.1.**

$\dfrac13 + \dfrac15 = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}$.

$\dfrac72 - \dfrac53 = \dfrac{21}{6} - \dfrac{10}{6} = \dfrac{11}{6}$.

$\dfrac{5}{12} + \dfrac38 = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} =
\dfrac{19}{24}$.

$3 - \dfrac45 = \dfrac{15}{5} - \dfrac45 = \dfrac{11}{5}$.

**تمرين 63.2 ★.**

اِحسب واِختزل:

$$
\frac59 \times \frac{27}{35}, \qquad
\frac{8}{15} \div \frac{4}{5}, \qquad
\frac23 \times \frac34 \times \frac45 .
$$

**حل التمرين 63.2.**

$\dfrac59 \times \dfrac{27}{35} = \dfrac{5 \times 27}{9 \times 35}
= \dfrac{27}{9} \times \dfrac{5}{35} = 3 \times \dfrac17 = \dfrac37$ (بالاختزال على $9$ وعلى $5$).

$\dfrac{8}{15} \div \dfrac45 = \dfrac{8}{15} \times \dfrac54
= \dfrac{8 \times 5}{15 \times 4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac23$.

$\dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 = \dfrac{2 \times 3 \times 4}
{3 \times 4 \times 5} = \dfrac25$ (فالعددان $3$ و $4$ يتلاشيان).

**تمرين 63.3 ★.**

اِحسب:

$$
2^5, \qquad (-2)^4, \qquad -2^4, \qquad 4^{-2}, \qquad
\left(\tfrac23\right)^3, \qquad 7^0 .
$$

**حل التمرين 63.3.**

$2^5 = 32$; $(-2)^4 = 16$; $-2^4 = -16$; $4^{-2} = \frac{1}{16}$; $\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27}$; $7^0 = 1$.

**تمرين 63.4 ★.**

اُكتب على صورة [قوة](#def-g9-fractions-power) واحدة:

$$
5^3 \times 5^6, \qquad
\frac{7^9}{7^5}, \qquad
\left(2^3\right)^4, \qquad
\frac{3^2 \times 3^7}{3^5}, \qquad
2^5 \times 4 .
$$

**حل التمرين 63.4.**

$5^3 \times 5^6 = 5^9$; $\dfrac{7^9}{7^5} = 7^4$; $\left(2^3\right)^4 = 2^{12}$; $\dfrac{3^2 \times 3^7}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4$; $2^5 \times 4 = 2^5 \times 2^2 = 2^7$.

**تمرين 63.5 ★.**

اُكتب [بالترميز العلمي](#def-g9-fractions-scientific): $45\,000$؛ و $0.0072$؛ و $302.5$؛ و $0.000\,000\,9$؛ واِثني عشر مليونًا.

**حل التمرين 63.5.**

$45\,000 = 4.5 \times 10^4$؛ و $0.0072 = 7.2 \times 10^{-3}$؛ و $302.5 = 3.025 \times 10^2$؛ و $0.000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7}$؛ واِثنا عشر مليونًا $= 1.2 \times 10^7$.

**تمرين 63.6 ★★.**

اِحسب، وأعطِ النتيجة [بالترميز العلمي](#def-g9-fractions-scientific):

$$
(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}),
\qquad
\frac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}},
\qquad
(5 \times 10^3)^2 .
$$

**حل التمرين 63.6.**

$(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^{4}$.

$\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{5 - (-2)}
= 3 \times 10^7$.

$(5 \times 10^3)^2 = 25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^7$.

**تمرين 63.7 ★★.**

خزّان ممتلئ إلى $\frac35$. وبعد إضافة $30$ لترًا يصير ممتلئًا إلى $\frac34$. فما [سعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) الخزّان؟ (عبّر أولًا عن [الكسر](#def-g9-fractions-fraction) المضاف من الخزّان.)

**حل التمرين 63.7.**

الماء المضاف يمثّل $\dfrac34 - \dfrac35 = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{20}$ من الخزّان. إذن $\frac{3}{20}$ من [السعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) هي $30$ لترًا: ومنه $\frac{1}{20}$ هي $10$ لترات، [والسعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) $200$ لتر.

**تمرين 63.8 ★★.**

تأكل عالية $\frac14$ من كعكة، ثم يأكل بدر $\frac13$ مما يبقى، ثم تأكل كريمة $\frac12$ مما ما زال باقيًا. فأيّ [كسر](#def-g9-fractions-fraction) من الكعكة يبقى في النهاية؟ (اِحسب [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) بعد كل خطوة.)

**حل التمرين 63.8.**

بعد عالية: يبقى $1 - \frac14 = \frac34$ من الكعكة. ويأكل بدر $\frac13 \times \frac34 = \frac14$، فيترك $\frac34 - \frac14 = \frac12$. وتأكل كريمة نصف ذلك، أي $\frac14$، فيبقى $\frac14$ من الكعكة.

**تمرين 63.9 ★★.**

ينتقل الضوء $3 \times 10^8$ متر في الثانية. والشمس تبعد نحو $1.5 \times 10^{11}$ م. فكم من الوقت يستغرق ضوء الشمس ليبلغنا؟ أعطِ الجواب بالثواني (ولا حاجة إلى [الترميز العلمي](#def-g9-fractions-scientific))، ثم بالدقائق والثواني.

**حل التمرين 63.9.**

الزمن $= \dfrac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}} =
\dfrac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 = 500$ ثانية، أي $8$ دقائق و $20$ ثانية.

**تمرين 63.10 ★★★.**

أيّهما أكبر، $2^{30}$ أم $3^{20}$؟ (إرشاد: اُكتب الاثنين قوّتين أُسّهما $10$ مستعملًا $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$، وقارن $2^3$ مع $3^2$.)

**حل التمرين 63.10.**

اُكتب العددين قوّتين أُسّهما $10$:

$$
2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10},
\qquad
3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}.
$$

وبما أن $8 < 9$، فبضرب عشر نسخ من كل منهما: $8^{10} < 9^{10}$، إذن $2^{30} < 3^{20}$.

## 63.5 مسألة: الشفرة السرّية للأعداد العشرية الدورية

**مسألة 63.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — لكل كسر كتابة عشرية تتوقف أو تتكرّر، وكل عدد عشري دوري كسر، والعدد $0.999\ldots$ يساوي $1$ بالضبط

اِقسم $3$ على $11$ فتقع الأرقام في ترنيمة: $0.272727\ldots$ إلى الأبد. واِقسم $1$ على $4$ فتتوقف الأرقام فجأةً: $0.25$. وتبرهن هذه المسألة على أن هذين هما السلوكان الوحيدان الممكنان [للكسر](#def-g9-fractions-fraction) — ثم تعكس الآلة: فمن أيّ [عدد عشري](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places) دوري تعيد بناء [الكسر](#def-g9-fractions-fraction) المختبئ وراءه. وتحسم في الطريق، حسمًا نهائيًّا، أكثر التساويات جدلًا في رياضيات المدرسة.

**الجزء الأول — من [الكسر](#def-g9-fractions-fraction) إلى [العدد العشري](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places).**

1. اِحسب بالقسمة المطوّلة الكتابات العشرية للكسور $\frac14$ و $\frac13$ و $\frac56$ و $\frac{3}{11}$ . فأيّها يتوقف، وأيّها يتكرّر، وبأيّ دورة؟
2. اِشرح لماذا يجب أن تتوقف الكتابة العشرية *لأيّ* [كسر](#def-g9-fractions-fraction) $\frac ab$ أو تتكرّر في النهاية. (ففي القسمة المطوّلة على $b$ ، أيّ قيم تستطيع البواقي المتعاقبة أن تأخذها؟ وماذا يحدث لحظة ظهور باقٍ للمرة الثانية؟)
3. اِدفع قسمة $1$ على $7$ بعيدًا بما يكفي لتجد الدورة. فما طولها، وكيف يقارَن ذلك الطول بالحدّ الذي وعد به السؤال 2؟
4. وبعض الكسور تتوقف لأن مقامها يمكن أن يُنفَخ إلى [قوة](#def-g9-fractions-power) للعشرة: $\frac14 =  \frac{25}{100}$ ، و $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000}$ . اِشرح المحكّ، ولماذا لا يستطيع أيّ مضروب فيه صحيح أن يحوّل $3$ أو $6$ أو $11$ إلى $10$ أو $100$ أو $1000, \dots$ (فبأيّ رقم كان سينتهي [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) ؟).
5. ودون قسمة، صنّف $\frac{9}{40}$ و $\frac{5}{12}$ و $\frac{33}{50}$ إلى «يتوقف» و«يتكرّر»، ثم أعطِ الكتابة العشرية للاثنين اللذين يتوقفان.

**الجزء الثاني — من [العدد العشري](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places) الدوري رجوعًا إلى [الكسر](#def-g9-fractions-fraction).**

6. حيلة الإزاحة. ليكن $x = 0.7777\ldots$ اِحسب $10x$ ، ثم $10x - x$ ، واِستنتج $x$ كسرًا. وتحقّق بالقسمة.
7. ليكن $x = 0.727272\ldots$ فأيّ [قوة](#def-g9-fractions-power) للعشرة تزيح $x$ بدورة كاملة واحدة بالضبط؟ اِستعملها لتكتب $x$ كسرًا مختزلًا إلى أبسط صورة.
8. وحالة مختلطة: $x = 0.58333\ldots$ (فالرقم $3$ وحده يتكرّر). اِحسب $1000x - 100x$ واِستنتج $x$ كسرًا مختزلًا إلى أبسط صورة.
9. والمشهورة: طبّق حيلة الإزاحة على $x = 0.9999\ldots$ فأيّ [كسر](#def-g9-fractions-fraction) — وأيّ *عدد* — تجد؟ ووفّق بين النتيجة و حدسك، متذكّرًا الجار الشبح في [المسألة 38.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#pb-g6-decimals-1) [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) المتقلّص في [المسألة 39.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#pb-g6-fractions-1) : أهو $0.999\ldots$ «تحت $1$ بقليل»، أم اِسم آخر للعدد $1$ ؟
10. حوّل $2.454545\ldots$ و $0.123123123\ldots$ إلى كسرين مختزلين إلى أبسط صورة.

**الجزء الثالث — القاموس مكتملًا.**

11. توحي الأسئلة 6–10 بقاموس: فدورة من $k$ رقمًا تتكرّر من [النقطة العشرية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) تساوي تلك الدورة على $k$ تسعة ( $0.727272\ldots = \frac{72}{99}$ ). اِستعمل القاموس لتتوقّع $0.037037\ldots$ كسرًا، واِختزل — ثم اِعجب: أيّ [كسر](#def-g9-fractions-fraction) بسيط بشكل مدهش يرنّم « $037$ »؟ وتحقّق منه بالقسمة.
12. واجمع القاموس مع إزاحة: اُكتب $0.0272727\ldots$ كسرًا مختزلًا إلى أبسط صورة.
13. والعدد $0.101001000100001\ldots$ (رقم $1$ ، ثم رقم $0$ واحد، ثم $1$ ، ثم رقمان $0$ ، ثم $1$ ، ثم ثلاثة أرقام $0$ ، وهكذا) لا يتوقف أبدًا. فهل هو [عدد عشري](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places) دوري؟ وماذا يقول الجزء الأول عنه حينئذٍ — أيمكن أن يكون كسرًا؟ (فقد اِلتقيت للتوّ أول عدد *أصمّ* مبرهن على صممه؛ وأشهرها يُمسَك في [الفصل 65](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/65-square-roots#ch-g9-sqrt) .)
14. وكم رقمًا للعدد $2^{30}$ تقريبًا؟ اِستعمل $2^{10} = 1\,024 \approx 1.024 \times 10^3$ وقواعد [الأُسُس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) ( [المبرهنة 63.9](#thm-g9-fractions-rules) ) لتكتب $2^{30}$ [بالترميز العلمي](#def-g9-fractions-scientific) (تقريبًا)، و اُستنتج. (قارن [التمرين 63.10](#exo-g9-fractions-10) .)
15. الخاتمة: اُكتب $0.20262026\ldots$ كسرًا، و اُذكر الدرس ذا الاتجاهين في المسألة كلها: أيّ كتابات عشرية تكون كسورًا، وأيّ كسور لها أيّ كتابات عشرية؟

**حل المسألة 63.1.**

**1.** $\frac14 = 0.25$ (يتوقف)؛ و $\frac13 = 0.333\ldots$ (الدورة $3$)؛ و $\frac56 = 0.8333\ldots$ (الدورة $3$ بعد الرقم $8$)؛ و $\frac{3}{11} = 0.272727\ldots$ (الدورة $27$).

**2.** في كل خطوة من القسمة على $b$، يكون [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) إحدى القيم $b$ التالية: $0, 1, \dots, b - 1$ ([المبرهنة 37.7](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#thm-g6-wholes-division)). فإن ظهر [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$، توقّفت القسمة. وإلا، فبعد $b$ خطوة على الأكثر لا بدّ أن يظهر باقٍ ما مرة ثانية — فالخطوات أكثر من البواقي الممكنة — ومن تلك اللحظة تكرّر القسمة بالضبط سلسلة الأرقام التي أنتجتها بعد الظهور الأول: فتدور الكتابة العشرية إلى الأبد. توقّف أو تكرار: ولا سلوك ثالث.

**3.** $\frac17 = 0.142857\,142857\ldots$: فالدورة $142857$ طولها $6$. وقد وعد السؤال 2 بتكرار في $7$ خطوات على الأكثر — وهنا تظهر البواقي $1, 3, 2, 6, 4, 5$ كلها قبل عودة $1$: أي أطول ترنيمة ممكنة لقسمة على $7$.

**4.** يتوقف $\frac ab$ بالضبط حين يكون [لكسر](#def-g9-fractions-fraction) ما $\frac{a \times k}{b \times k}$ [مقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $10$ أو $100$ أو $1000, \dots$ — أي حين يمكن ضرب [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) حتى يبلغ [قوة](#def-g9-fractions-power) للعشرة، مثل $4 \times 25 = 100$ أو $8 \times 125 = 1\,000$. ومن أجل $3$ و $6$ هذا ميؤوس منه: [فقوة](#def-g9-fractions-power) العشرة مجموع أرقامها $1$، وكل [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) للعدد $3$ [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) أرقامه [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) للعدد $3$ — إذن لا [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) للعدد $3$ (ومنه ولا للعدد $6$) يكون $10$ أو $100$ أو $1\,000, \dots$ ومن أجل $11$: قسمة $10$ أو $100$ أو $1\,000$ أو $10\,000$ على $11$ تترك دائمًا باقيًا ($10$ أو $1$ أو $10$ أو $1, \dots$)، ولا تعطي $0$ أبدًا. فالمقامات التي تبلغ [قوة](#def-g9-fractions-power) للعشرة تتوقف؛ وكل ما عداها يتكرّر.

**5.** $\frac{9}{40}$: بما أن $40 \times 25 = 1\,000$، يتوقف: $\frac{225}{1000} = 0.225$. و $\frac{33}{50}$: بما أن $50 \times 2 = 100$، يتوقف: $\frac{66}{100} = 0.66$. و $\frac{5}{12}$: العدد $12$ [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) للعدد $3$، فيتكرّر ($0.41666\ldots$).

**6.** $10x = 7.777\ldots$، إذن $10x - x = 7$ (فالذيلان يتلاشيان تمامًا)، و $9x = 7$ و $x = \frac79$. والتحقّق بالقسمة: $7 \div 9 = 0.777\ldots$

**7.** الدورة من رقمين، إذن أزِح بالعدد $100$: $100x - x = 72.7272\ldots - 0.7272\ldots = 72$، ومنه $99x = 72$ و $x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$.

**8.** $1000x = 583.333\ldots$ و $100x = 58.333\ldots$؛ وبالطرح، $900x = 525$، إذن $x = \frac{525}{900} = \frac{7}{12}$ (بالقسمة على $75$). وفعلًا $\frac{7}{12} = 0.58333\ldots$

**9.** $10x - x = 9.999\ldots - 0.999\ldots = 9$، إذن $9x = 9$ و $x = 1$. فليس «تحت $1$ بقليل»: بل $0.999\ldots$ *هو* العدد $1$، مكتوبًا في زيّ ثانٍ. فأيّ عدد أصغر تمامًا من $1$ يترك فجوة، وقد بيّن [المسألة 38.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#pb-g6-decimals-1) أن الفجوة تحوي دائمًا أعدادًا أخرى — بينما لا شيء يسع بين $0.999\ldots$ و $1$. فالتسعات التي لا تنتهي هي [باقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) الشوكولاتة في [المسألة 39.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#pb-g6-fractions-1) متقلّصًا تحت كل مقدار موجب: فلا يبقى شيء.

**10.** $2.4545\ldots = 2 + \frac{45}{99} = 2 +
\frac{5}{11} = \frac{27}{11}$. و $0.123123\ldots = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$ (بالقسمة على $3$).

**11.** بالقاموس: $0.037037\ldots = \frac{37}{999}$. وبما أن $999 = 27 \times 37$، يُختزل هذا إلى $\frac{1}{27}$: [فالكسر](#def-g9-fractions-fraction) $\frac{1}{27}$ يرنّم «$037$». والتحقّق بالقسمة: $1 \div 27 = 0.037037\ldots$

**12.** $0.0272727\ldots = \frac{1}{10} \times
0.272727\ldots = \frac{1}{10} \times \frac{27}{99}
= \frac{27}{990} = \frac{3}{110}$ (بالقسمة على $9$).

**13.** دورات الأصفار تنمو بلا نهاية، إذن لا دورة ثابتة تتكرّر إلى الأبد: فهو *ليس* عددًا عشريًّا دوريًّا (ولا يتوقف أبدًا). وحسب الجزء الأول، كل [كسر](#def-g9-fractions-fraction) يتوقف أو يتكرّر — إذن هذا العدد ليس كسرًا البتة: فهو أصمّ، مبنيّ عمدًا. وأما نجم الصمم الأكبر، $\sqrt2$، فيُفضح في [الفصل 65](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/65-square-roots#ch-g9-sqrt).

**14.** $2^{30} = \left(2^{10}\right)^3 \approx
(1.024)^3 \times 10^9 \approx 1.07 \times 10^9$: أي عدد أعلى قليلًا من $10^9$، ومنه فله $10$ أرقام. (وبالضبط: $2^{30} = 1\,073\,741\,824$.)

**15.** $0.20262026\ldots = \frac{2026}{9999}$، وهو أصلًا في أبسط صورة (فالعدد $9999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101$ لا يشترك في أيّ عامل مع $2026 = 2 \times 1013$). والقاموس المكتمل: *الكسور هي بالضبط [الأعداد العشرية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places) التي تتوقف أو تتكرّر* — فالمقامات صديقة العشرات تتوقف، وكل ما عداها يرنّم دورة؛ وبالعكس كل ترنيمة، حتى سنة تخرّجك، [كسر](#def-g9-fractions-fraction) متنكّر.