---
title: "الحساب: القواسم والأعداد الأولية"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 64
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers
---

# الفصل 64 — الحساب: القواسم والأعداد الأولية

يدرس الحساب الأعداد الصحيحة وكيف [يقسم](#def-g9-arith-divisor) بعضها بعضًا. وأبطاله الرئيسيون هم [الأعداد الأولية](#def-g9-arith-prime)، اللبنات التي يُبنى منها كل عدد صحيح بالضرب. وينتهي الفصل عند [القاسم المشترك الأكبر](#def-g9-arith-gcd)، وهو الأداة المناسبة لِاختزال الكسور مرّة واحدة وإلى الأبد. وتتواصل هذه الحكاية، إلى أبعد من ذلك بكثير، في مجلّد الثانوية وما بعده.

## 64.1 القواسم والمضاعفات

**تعريف 64.1 (القاسم، المضاعف).**

ليكن $a$ و $b$ عددين صحيحين موجبين. نقول إنّ $b$ *يقسم* $a$ (أو إنّ $b$ قاسم للعدد $a$، أو إنّ $a$ *مضاعف* للعدد $b$) حين يكون $a = b \times
k$ من أجل عدد صحيح $k$ — أي حين تترك قسمة $a$ على $b$ [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$.

**مثال 64.2.**

قواسم العدد $24$ هي $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ — وهي تأتي أزواجًا [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) كلٍّ منها $24$: $(1,24)$، $(2,12)$، $(3,8)$، $(4,6)$. [ومضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) العدد $7$ هي $7, 14, 21, 28, \dots$

**قضية 64.3 (قواعد قابلية القسمة).**

العدد الصحيح [قابل للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible):

- على $2$ حين يكون رقمه الأخير زوجيًا ( $0, 2, 4, 6, 8$ )؛
- على $5$ حين يكون رقمه الأخير $0$ أو $5$ ؛
- على $10$ حين يكون رقمه الأخير $0$ ؛
- على $3$ (وكذلك $9$ ) حين يكون مجموع أرقامه [قابلًا للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $3$ (وكذلك $9$ )؛
- على $4$ حين يشكّل رقماه الأخيران عددًا [قابلًا للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $4$ .

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**مثال 64.4.**

العدد $7\,215$ ينتهي بالرقم $5$: فهو [قابل للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $5$. [ومجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) أرقامه $7 + 2 + 1 + 5 = 15$، وهو [قابل للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $3$ لا على $9$: إذن $7\,215$ [قابل للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $3$ لا على $9$. وبالفعل $7\,215 = 3 \times 5 \times 481$.

## 64.2 الأعداد الأولية

**تعريف 64.5 (العدد الأولي).**

*العدد الأولي* عدد صحيح $\geq 2$ قواسمه الوحيدة هي $1$ ونفسه. والأعداد الأولية الأصغر من $30$ هي

$$
2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29 .
$$

والعدد $1$ *ليس* أوليًا (باصطلاح)، وكل عدد صحيح $\geq 2$ غير أولي يُسمّى *مركّبًا*.

**مبرهنة 64.6 (التفكيك إلى عوامل أولية).**

كل عدد صحيح $\geq 2$ هو [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) [أعداد أولية](#def-g9-arith-prime)، وهذا التفكيك وحيد إلى حدّ ترتيب العوامل.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**طريقة 64.7 (تفكيك عدد صحيح).**

اِقسم على أصغر [عدد أولي](#def-g9-arith-prime) ممكن، مرارًا وتكرارًا، حتى تصل إلى $1$:

1. جرّب $2$ ما دام العدد زوجيًا؛
2. ثم جرّب $3$ ، ثم $5$ ، ثم $7$ ، … ( [الأعداد الأولية](#def-g9-arith-prime) وحدها)؛
3. وقف حين يصير [خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $1$ ؛ واِجمع العوامل مع أُسُسها.

ويكفي أن تجرّب [الأعداد الأولية](#def-g9-arith-prime) $p$ التي لا يتجاوز $p^2$ العدد الحالي: فإن لم يقسمه أيٌّ منها، كان العدد نفسه أوليًا.

**مثال 64.8.**

فكّك العدد $360$، قسمةً قسمة:

$$
360 = 2 \times 180, \quad
180 = 2 \times 90, \quad
90 = 2 \times 45, \quad
45 = 3 \times 15, \quad
15 = 3 \times 5,
$$

إذن

$$
360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2
\times 5 .
$$

![شجرة عوامل العدد 360: كل خطوة تفصل أصغر عامل أولي (بالأحمر). وبقراءة الأوراق الحمراء والعدد الأخير 5: 360 = 23 × 32 × 5.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-arith/fig-aae7345aa9ba.svg)

*شجرة عوامل العدد $360$: كل خطوة تفصل أصغر عامل أولي (بالأحمر). وبقراءة الأوراق الحمراء والعدد الأخير $5$: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.*

**مبرهنة 64.9 (إقليدس).**

[الأعداد الأولية](#def-g9-arith-prime) غير منتهية العدد.

**برهان.** لنفترض أنّها منتهية العدد، ولتكن $p_1, p_2, \dots, p_k$، ولنتأمّل العدد

$$
N = p_1 \times p_2 \times \dots \times p_k + 1 .
$$

قسمة $N$ على أيّ $p_i$ تترك [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $1$، فلا [يقسم](#def-g9-arith-divisor) أيٌّ من الأعداد $p_i$ العدد $N$. لكن $N \geq 2$ له قاسم أولي واحد على الأقل ([المبرهنة 64.6](#thm-g9-arith-factorization)) — وهو [عدد أولي](#def-g9-arith-prime) ليس في قائمتنا. وهذا تناقض: فلا قائمة منتهية تسع كل [الأعداد الأولية](#def-g9-arith-prime). ∎

## 64.3 القاسم المشترك الأكبر

**تعريف 64.10 (القاسم المشترك الأكبر).**

*القاسم المشترك الأكبر* لعددين صحيحين موجبين $a$ و $b$، ويُكتب $\gcd(a, b)$، هو أكبر عدد صحيح يقسمهما معًا. وحين يكون $\gcd(a, b) = 1$، يُقال إنّ العددين *أوليان فيما بينهما*: فلا يشتركان في أيّ قاسم سوى $1$.

**مثال 64.11.**

قواسم العدد $18$: $1, 2, 3, 6, 9, 18$. وقواسم العدد $24$: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$. والقواسم المشتركة: $1, 2, 3, 6$؛ إذن $\gcd(18, 24) = 6$. والعددان $15$ و $28$ [أوليان فيما بينهما](#def-g9-arith-gcd).

**قضية 64.12 (القاسم المشترك الأكبر من التفكيكين).**

[القاسم المشترك الأكبر](#def-g9-arith-gcd) لعددين صحيحين هو [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) [الأعداد الأولية](#def-g9-arith-prime) التي تظهر في *كلا* التفكيكين، مع أخذ *الأصغر* من [أُسّيه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) في كل مرّة.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**مثال 64.13.**

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ و $84 = 2^2 \times 3 \times 7$. [والأعداد الأولية](#def-g9-arith-prime) المشتركة: $2$ ([الأُسّان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) $3$ و $2$: نُبقي $2$) و $3$ ([الأُسّان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) $2$ و $1$: نُبقي $1$). إذن

$$
\gcd(360, 84) = 2^2 \times 3 = 12 .
$$

**مبرهنة 64.14 (خوارزمية إقليدس).**

إذا كانت $a = bq + r$ قسمة $a$ على $b$ حيث [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) هو $r$، فإنّ

$$
\gcd(a, b) = \gcd(b, r).
$$

وبتكرار القسمات حتى يصير [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$، يكون [القاسم المشترك الأكبر](#def-g9-arith-gcd) للعددين $a$ و $b$ هو *آخر باقٍ غير معدوم*.

**برهان.** من $a = bq + r$: كل عدد صحيح [يقسم](#def-g9-arith-divisor) $b$ و $r$ [يقسم](#def-g9-arith-divisor) $bq + r = a$؛ ومن $r = a - bq$: كل عدد صحيح [يقسم](#def-g9-arith-divisor) $a$ و $b$ [يقسم](#def-g9-arith-divisor) $r$. إذن للزوجين $(a, b)$ و $(b, r)$ القواسم المشتركة نفسها تمامًا — وبخاصّة أكبرها نفسه. وبما أنّ البواقي تتناقص تناقصًا تامًّا، تنتهي الخوارزمية، ويعطي $\gcd(x, 0) = x$ آخر باقٍ غير معدوم. ∎

**مثال 64.15.**

اِحسب $\gcd(1071, 462)$:

$$
\begin{align*}
1071 &= 462 \times 2 + 147, \\
462 &= 147 \times 3 + 21, \\
147 &= 21 \times 7 + 0 .
\end{align*}
$$

آخر باقٍ غير معدوم هو $21$: أي $\gcd(1071, 462) = 21$.

**طريقة 64.16 (اِختزال كسر اِختزالًا تامًّا).**

لكتابة $\dfrac ab$ على أبسط صورة:

1. اِحسب $d = \gcd(a, b)$ ، بخوارزمية إقليدس مثلًا؛
2. واِقسم [البسط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) [والمقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) على $d$ : $\dfrac ab = \dfrac{a \div d}{b \div d}$ ؛
3. فيكون [الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) الناتج *غير قابل للاِختزال* : بسطه ومقامه [أوليان فيما بينهما](#def-g9-arith-gcd) .

**مثال 64.17.**

$\dfrac{462}{1071} = \dfrac{462 \div 21}{1071 \div 21} = \dfrac{22}{51}$، و $\gcd(22, 51) = 1$: فهو غير قابل للاِختزال.

## 64.4 تمارين

**تمرين 64.1 ★.**

اُذكر جميع قواسم العدد $36$، والعدد $45$، والعدد $17$.

**حل التمرين 64.1.**

قواسم العدد $36$: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$. وقواسم العدد $45$: $1, 3, 5, 9, 15, 45$. وقواسم العدد $17$: $1$ و $17$ فقط (فالعدد $17$ أولي).

**تمرين 64.2 ★.**

باِستعمال قواعد [قابلية القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible)، حدّد ما إذا كان $2\,346$ [قابلًا للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $2$، و $3$، و $4$، و $5$، و $9$.

**حل التمرين 64.2.**

العدد $2\,346$ ينتهي بالرقم $6$: فهو [قابل للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $2$ لا على $5$. ومجموع أرقامه $2 + 3 + 4 + 6 = 15$: فهو [قابل للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $3$ لا على $9$. ورقماه الأخيران $46$، و $46 = 4 \times 11 + 2$ ليس [قابلًا للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $4$: إذن $2\,346$ ليس [قابلًا للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $4$.

**تمرين 64.3 ★.**

أعطِ التفكيك إلى عوامل أولية للأعداد $72$ و $150$ و $210$ و $121$.

**حل التمرين 64.3.**

$72 = 2^3 \times 3^2$; $150 = 2 \times 3 \times 5^2$; $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$; $121 = 11^2$.

**تمرين 64.4 ★.**

هل $101$ أولي؟ وهل $91$؟ وهل $143$؟ برّر باِستعمال قاعدة التوقف في [الطريقة 64.7](#met-g9-arith-factorization).

**حل التمرين 64.4.**

$101$: جرّب [الأعداد الأولية](#def-g9-arith-prime) $p$ التي $p^2 \leq 101$، أي $2, 3, 5, 7$. فلا [يقسم](#def-g9-arith-divisor) أيٌّ منها $101$ (فهو فردي، [ومجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) أرقامه $2$، وليس آخره $0/5$، و $101 = 7 \times 14 + 3$): إذن $101$ أولي.

$91 = 7 \times 13$: ليس أوليًا.

$143 = 11 \times 13$: ليس أوليًا.

**تمرين 64.5 ★.**

اِحسب $\gcd(48, 60)$ بطريقتين: بسرد القواسم المشتركة، ثم اِنطلاقًا من التفكيكين إلى عوامل أولية.

**حل التمرين 64.5.**

القواسم المشتركة للعددين $48$ و $60$: قواسم 48 هي $1$، $2$، $3$، $4$، $6$، $8$، $12$، $16$، $24$، $48$؛ وقواسم العدد $60$ هي $1$، $2$، $3$، $4$، $5$، $6$، $10$، $12$، $15$، $20$، $30$، $60$؛ والمشتركة منها $1$، $2$، $3$، $4$، $6$، $12$، إذن $\gcd(48,60) = 12$.

وبالتفكيك: $48 = 2^4 \times 3$ و $60 = 2^2 \times 3 \times 5$؛ [والأعداد الأولية](#def-g9-arith-prime) المشتركة مع [الأُسُس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) الأصغر: $2^2 \times 3 = 12$.

**تمرين 64.6 ★★.**

اِستعمل خوارزمية إقليدس لحساب $\gcd(255, 154)$، ثم $\gcd(1053, 325)$. واُكتب كل سطر من سطور القسمة.

**حل التمرين 64.6.**

$\gcd(255, 154)$:

$$
\begin{align*}
255 &= 154 \times 1 + 101, \\
154 &= 101 \times 1 + 53, \\
101 &= 53 \times 1 + 48, \\
53 &= 48 \times 1 + 5, \\
48 &= 5 \times 9 + 3, \\
5 &= 3 \times 1 + 2, \\
3 &= 2 \times 1 + 1, \\
2 &= 1 \times 2 + 0 .
\end{align*}
$$

آخر باقٍ غير معدوم: $\gcd(255, 154) = 1$ (فهما [أوليان فيما بينهما](#def-g9-arith-gcd)).

$\gcd(1053, 325)$:

$$
\begin{align*}
1053 &= 325 \times 3 + 78, \\
325 &= 78 \times 4 + 13, \\
78 &= 13 \times 6 + 0 .
\end{align*}
$$

$\gcd(1053, 325) = 13$.

**تمرين 64.7 ★★.**

اِجعل [الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) $\dfrac{588}{504}$ غير قابل للاِختزال. (اِحسب [القاسم المشترك الأكبر](#def-g9-arith-gcd) بالطريقة التي تختارها، ثم اِقسم.)

**حل التمرين 64.7.**

بخوارزمية إقليدس: $588 = 504 \times 1 + 84$؛ و $504 = 84 \times 6 + 0$: أي $\gcd(588, 504) = 84$. ثم

$$
\frac{588}{504} = \frac{588 \div 84}{504 \div 84} = \frac{7}{6},
$$

وهو غير قابل للاِختزال.

**تمرين 64.8 ★★.**

لدى بائعة زهور $84$ وردة و $126$ زهرة توليب، وتريد أن تصنع باقات متطابقة تستعمل فيها كل الزهور، وأن يكون عدد الباقات أكبر ما يمكن. كم باقة تستطيع أن تصنع؟ وماذا تحوي كل واحدة؟

**حل التمرين 64.8.**

عدد الباقات يجب أن [يقسم](#def-g9-arith-divisor) $84$ و $126$ معًا؛ وأكبر قيمة ممكنة هي $\gcd(84, 126)$. والتفكيكان: $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ و $126 = 2 \times 3^2 \times 7$، إذن [القاسم المشترك الأكبر](#def-g9-arith-gcd) هو $2 \times 3 \times 7 = 42$. فتستطيع أن تصنع $42$ باقة، تحوي كل واحدة $\frac{84}{42} = 2$ وردتين و $\frac{126}{42} = 3$ زهرات توليب.

**تمرين 64.9 ★★.**

تنطلق عبّارتان من الرصيف نفسه في الساعة 8:00. تنطلق إحداهما كل $24$ دقيقة، والأخرى كل $36$ دقيقة. في أيّ ساعة تنطلقان معًا في المرّة التالية؟ (اِبحث عن أصغر [مضاعف](#def-g9-arith-divisor) مشترك للعددين $24$ و $36$؛ والتفكيكان يساعدان.)

**حل التمرين 64.9.**

نحتاج إلى أصغر [مضاعف](#def-g9-arith-divisor) مشترك. و $24 = 2^3 \times 3$ و $36 = 2^2 \times 3^2$؛ وبأخذ كل [عدد أولي](#def-g9-arith-prime) مع *الأكبر* من [أُسّيه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def): $\lcm = 2^3 \times 3^2 = 72$. فتنطلق العبّارتان معًا في المرّة التالية بعد $72$ دقيقة من الساعة 8:00، أي في الساعة 9:12.

**تمرين 64.10 ★★★.**

ليكن $n$ عددًا صحيحًا موجبًا.

1. بيّن أنّ $\gcd(n, n+1) = 1$ (العددان الصحيحان المتتاليان [أوليان فيما بينهما](#def-g9-arith-gcd) دائمًا).
2. واِستنتج أنّ [الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) $\dfrac{n}{n+1}$ غير قابل للاِختزال دائمًا.

**حل التمرين 64.10.**

*1.* كل قاسم مشترك $d$ للعددين $n$ و $n+1$ [يقسم](#def-g9-arith-divisor) أيضًا فرقهما $(n+1) - n = 1$، إذن $d = 1$: أي $\gcd(n, n+1) = 1$.

*2.* يكون [الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) غير قابل للاِختزال بالضبط حين يكون بسطه ومقامه أوليين فيما بينهما، وهذا ما يقع للعددين $n$ و $n + 1$ حسب الجزء 1.

## 64.5 مسألة: أباريق الماء، والزيزان، ومئة خزانة

**مسألة 64.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — القاسم المشترك الأكبر يقرّر أيّ المقادير يمكن قياسها بإبريقين؛ والأعداد الأولية تحمي الزيزان؛ والخزانات التي تبقى مفتوحة هي المربّعات التامّة

ثلاثة ألغاز تبدو أحاجي وهي في الحقيقة حساب: قياس الماء بأوانٍ بلا تدريج ([القاسم المشترك الأكبر](#def-g9-arith-gcd) متنكّرًا)، ودورات حياة حشرات تطوّرت إلى [أعداد أولية](#def-g9-arith-prime)، ورواق شهير فيه مئة خزانة تتقرّر حالته النهائية بعدّ القواسم. وكل شيء هنا يشتغل بعُدّة هذا الفصل: [قابلية القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible)، والتفكيك إلى عوامل أولية ([المبرهنة 64.6](#thm-g9-arith-factorization))، وخوارزمية إقليدس ([المبرهنة 64.14](#thm-g9-arith-euclidalgo)).

**الجزء الأول — أباريق الماء.** أنت واقف عند نافورة ومعك إبريقان بلا تدريج، سعتهما $5$ لترات و $3$ لترات. والحركات المسموحة: ملء إبريق إلى حافّته، وتفريغ إبريق تفريغًا تامًّا، وصبّ إبريق في الآخر حتى يفرغ المصدر أو يمتلئ الهدف.

1. قِس $1$ لتر بالضبط. (صِف تسلسل حركاتك ومحتوى الإبريقين بعد كل حركة.)
2. وقِس $4$ لترات بالضبط — وهو اللغز الوارد في فيلم حركة شهير. (يمكن ذلك في ست حركات.)
3. وأيّ أعداد صحيحة من اللترات بين $1$ و $8$ تستطيع أن تُظهر (في إبريق واحد، أو موزّعة على الاِثنين)؟ أكمل القائمة معيدًا اِستعمال تسلسلاتك.
4. وإبريقان جديدان: $6$ لترات و $4$ لترات. حاول قياس $1$ لتر — ثم فسّر لماذا الأمر ميؤوس منه: تحقّق أنّ كل حركة من الحركات الثلاث المسموحة تُبقي محتوى كل إبريق مضاعفًا للعدد $2$ ، فيكون كل مقدار يمكن بلوغه زوجيًا.
5. وحجّة السؤال 4 تصلح في العموم: بإبريقين سعتهما $a$ و $b$ لترات، يكون كل مقدار يمكن بلوغه مضاعفًا للعدد $\gcd(a, b)$ . اِحسب $\gcd(6, 4)$ و $\gcd(5, 3)$ ، وقل ماذا يتنبّأ به القانون في كل زوج من الأباريق.

**الجزء الثاني — إقليدس عند النافورة.**

6. اِحسب بخوارزمية إقليدس: $\gcd(91, 65)$ و $\gcd(2\,026, 46)$ .
7. وفسّر بكلماتك لماذا تكون المقادير الظاهرة في الأباريق بواقي إقليدس متنكّرة: بإبريقين سعتهما $13$ لترًا و $5$ لترات، اِملأ الإبريق الصغير مرارًا واِصببه في الكبير (مفرّغًا الكبير كلّما اِمتلأ). ما المقادير الجديدة التي تظهر أولًا — وقارنها مع البواقي في خوارزمية إقليدس من أجل $(13, 5)$ .
8. واِستنتج جواب البطل: بإبريقين سعتهما $13$ و $5$ لترات، هل تستطيع قياس $1$ لتر بالضبط؟ برّر في سطر واحد بالسؤال 5 و $\gcd(13, 5)$ .
9. وبرهان سريع على الأولية فيما بينهما على غرار [التمرين 64.10](#exo-g9-arith-10) : بيّن أنّ $\gcd(n, 2n + 1) = 1$ من أجل كل عدد صحيح موجب $n$ . (ما الذي يجب أن يقسمه قاسم مشترك للعددين $n$ و $2n + 1$ ؟)
10. وتنطلق حافلتان معًا من المحطّة النهائية في الساعة 7:00؛ تنطلق إحداهما كل $12$ دقيقة، والأخرى كل $18$ . اُذكر أوقات اِنطلاق كل منهما التالية، وجِد أول لحظة تنطلقان فيها معًا من جديد. وتحقّق في هذا المثال من القانون الجميل: (أول [مضاعف](#def-g9-arith-divisor) مشترك) $\times$ $\gcd$ $=$ [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) العددين — ثم اِختبره من جديد على $5$ و $3$ .

**الجزء الثالث — الزيزان والقواسم والخزانات.**

11. تخرج بعض زيزان أمريكا الشمالية كل $17$ سنة فقط؛ ولنفترض أنّ عدد حيوان مفترس يبلغ ذروته كل $4$ سنوات. فإذا وقع الأمران هذه السنة، فبعد كم سنة يتصادف الخروج مع الذروة من جديد؟ والسؤال نفسه لو كانت دورة الزيزان $16$ سنة — كل كم تُذبح حينئذ؟ وفسّر في جملة واحدة لماذا دفع التطوّر الدورة إلى طول *أولي* .
12. وباِستعمال التفكيك $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ ، عُدّ قواسم العدد $360$ من غير أن تسردها: القاسم يختار [أُسًّا](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) للعدد $2$ (أربعة اِختيارات: $0, 1, 2, 3$ )، [وأُسًّا](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) للعدد $3$ ، [وأُسًّا](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) للعدد $5$ . فكم قاسمًا في [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) ؟
13. وبيّن أنّه في تفكيك مربّع تامّ $n = m^2$ ، يكون كل [عدد أولي](#def-g9-arith-prime) *زوجيّ* [الأُسّ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) . واِستنتج، من غير حساب أيّ جذر تربيعي، أنّ $360$ ليس مربّعًا تامًّا.
14. وقارِن كل قاسم $d$ للعدد $n$ بشريكه $\frac{n}{d}$ (من أجل $n = 36$ : $1 \leftrightarrow 36$ ، $2 \leftrightarrow 18$ ، $3 \leftrightarrow 12$ ، $4 \leftrightarrow 9$ ، $6 \leftrightarrow 6$ ). متى يكون القاسم شريك نفسه؟ واِستنتج المعيار: يكون للعدد $n$ عدد *فردي* من القواسم بالضبط حين يكون $n$ مربّعًا تامًّا. وتحقّق من ذلك على $36$ وعلى $360$ .
15. الخزانات المئة. الخزانات من $1$ إلى $100$ مغلقة في البداية. التلميذ $1$ يقلب حالة كل خزانة؛ والتلميذ $2$ يقلب الخزانات $2, 4, 6, \dots$ ؛ والتلميذ $k$ يقلب [مضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) $k$ ؛ وهكذا حتى التلميذ $100$ . فسّر أيّ التلاميذ يمسّون الخزانة $n$ ، وكم مرّة تُقلب حالتها، و — باِستعمال السؤال 14 — أيّ الخزانات بالضبط تنتهي مفتوحة. وكم واحدة منها مفتوحة؟

**حل المسألة 64.1.**

**1.** اِملأ إبريق $3$ لترات واِصببه في إبريق $5$ لترات (فيصير المحتوى $0/3 \to 3$ في الكبير). ثم اِملأ إبريق $3$ لترات من جديد واِصببه في $5$ حتى يمتلئ: فلا يأخذ الكبير سوى $2$، ويبقى

$$
3 - 2 = 1 \text{ لتر في الإبريق الصغير.}
$$

الحركات: اِملأ $3$؛ واِصبب $3 \to 5$؛ واِملأ $3$؛ واِصبب $3 \to 5$.

**2.** اِملأ $5$؛ واِصبب في $3$ (فيبقى $2$ في الكبير)؛ وفرّغ $3$؛ واِصبب $2$ في $3$؛ واِملأ $5$؛ واِصبب في $3$ حتى يمتلئ — فيأخذ $1$، ويبقى $\mathbf{4}$ لترات في الإبريق الكبير. ست حركات.

**3.** جميعها: $1$ (السؤال 1)، و $2$ (بعد حركتين من السؤال 2)، و $3$ و $5$ (بملء واحد)، و $4$ (السؤال 2)، و $6 = 3 + 3$ (إبريق صغير ممتلئ مع $3$ مصبوبة في الكبير)، و $7 = 5 + 2$، و $8 = 5 + 3$ (كلاهما ممتلئ). فكل مقدار صحيح من $1$ إلى $8$ لترات يمكن قياسه بإبريقي $5$ و $3$ لترات.

**4.** في البداية: يحمل الإبريقان $0$، وهو [مضاعف](#def-g9-arith-divisor) للعدد $2$. والملء يجعل المحتوى $6$ أو $4$: زوجيًا. والتفريغ يجعله $0$: زوجيًا. والصبّ ينقل ماءً بين إبريقين كان محتواهما زوجيًا، والكمية المصبوبة [فرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) عددين زوجيين ([السعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) الباقية، أو الكمية المتوفّرة): فتبقى كل المحتويات زوجية أبدًا. والهدف الفردي مثل $1$ لتر غير قابل للبلوغ.

**5.** $\gcd(6, 4) = 2$: فالمقادير الزوجية وحدها — وهذا ما أكّده السؤال 4. و $\gcd(5, 3) = 1$: فكل مقدار صحيح مسموح به في القانون، وقد حقّقها السؤال 3 كلّها. [والقاسم المشترك الأكبر](#def-g9-arith-gcd) هو بالضبط وحدة القياس عند الإبريقين.

**6.** $91 = 1 \times 65 + 26$؛ و $65 = 2 \times 26 + 13$؛ و $26 = 2 \times 13 + 0$: أي $\gcd(91, 65) = 13$. و $2\,026 = 44 \times 46 + 2$؛ و $46 = 23 \times 2 + 0$: أي $\gcd(2\,026, 46) = 2$.

**7.** بصبّ $5$ في إبريق $13$ لترًا مرارًا: بعد ملئين يحمل الكبير $10$؛ ولا يستوعب الملء الثالث سوى $3$، فيبقى $5 - 3 = 2$ في الإبريق الصغير — وكان [باقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) قسمة $13$ على $5$ هو $3$، والمقداران $3$ ([السعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units)) و $2$ (الفائض) هما بالضبط عددا إقليدس ($13 = 2 \times 5 + 3$، و $5 = 1 \times 3 + 2$). وبالمواصلة يظهر $3 - 2 = 1$: وهو [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) التالي في الخوارزمية. فالنافورة تُجري قسمات إقليدس بالماء.

**8.** $\gcd(13, 5) = 1$، إذن يسمح قانون السؤال 5 بكل مقدار صحيح — وقد أنتج تسلسل السؤال 7 فعلًا $1$ لتر. نعم.

**9.** كل قاسم مشترك للعددين $n$ و $2n + 1$ [يقسم](#def-g9-arith-divisor) $2n + 1 - 2 \times n = 1$: فلا بد أن يكون $1$. ومن ثمّ $\gcd(n, 2n+1) = 1$ دائمًا.

**10.** الحافلة A: 7:12، 7:24، 7:36، 7:48، 8:00 …؛ والحافلة B: 7:18، 7:36، 7:54 … وأول اِنطلاق مشترك: 7:36، بعد $36$ دقيقة — وهو أول [مضاعف](#def-g9-arith-divisor) مشترك للعددين $12$ و $18$. والقانون: $36 \times \gcd(12, 18) = 36 \times 6 = 216 = 12 \times
18$. ومن أجل $5$ و $3$: أول [مضاعف](#def-g9-arith-divisor) مشترك هو $15$، و $15 \times \gcd(5,3) = 15 \times 1 = 15 = 5 \times 3$.

**11.** بدورة من $17$ سنة: يكون التصادف التالي عند أول [مضاعف](#def-g9-arith-divisor) مشترك للعددين $17$ و $4$؛ وبما أنّ $\gcd(17, 4) = 1$، فهو $17 \times 4 = 68$ سنة — فتلتقي الزيزان بالذروة مرّة واحدة في كل أربعة خروجات. وبدورة من $16$ سنة: العدد $16$ [مضاعف](#def-g9-arith-divisor) للعدد $4$، فيصادف *كل* خروج ذروة. وطول الدورة الأولي لا يشترك في أيّ عامل مع أيّ دورة مفترس أقصر، فيباعد بين التصادفات أقصى ما يمكن: الحساب تمويهًا.

**12.** أربعة اِختيارات [للأُسّ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) من أجل $2$، وثلاثة من أجل $3$، واِثنان من أجل $5$: أي $4 \times 3 \times 2 = 24$ قاسمًا.

**13.** إذا كان $m = 2^{a} \times 3^{b} \times \cdots$، فإنّ $m^2 = 2^{2a} \times 3^{2b} \times \cdots$: فكل [أُسّ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) يتضاعف، ومن ثمّ يكون زوجيًا. وفي $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$، تكون [أُسُس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) $2$ و $5$ فردية: إذن $360$ ليس مربّعًا تامًّا.

**14.** يكون القاسم شريك نفسه بالضبط حين $d = \frac nd$، أي $n = d^2$: فالمربّعات وحدها لها قاسم أوسط كهذا. وفي كل $n$ آخر تنقسم القواسم أزواجًا، فيكون عددها زوجيًا. إذن: [عدد فردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) من القواسم $\Leftrightarrow$ مربّع تامّ. وللتحقّق: للعدد $36$ قواسم $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ — تسعة منها، وهو [عدد فردي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd)، و $36 = 6^2$؛ بينما للعدد $360$ منها $24$ (السؤال 12)، وهو زوجي، وليس مربّعًا (السؤال 13).

**15.** تُقلب حالة الخزانة $n$ مرّة واحدة على يد كل تلميذ $k$ [يقسم](#def-g9-arith-divisor) رقمه $n$: أي بعدد قواسم $n$ في المجموع. وتنتهي الخزانة *مفتوحة* حين تُقلب حالتها عددًا فرديًا من المرّات — أي، حسب السؤال 14، حين يكون $n$ مربّعًا تامًّا. والخزانات المفتوحة: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ — عشر منها.