---
title: "الجذور التربيعية"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 65
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/65-square-roots
---

# الفصل 65 — الجذور التربيعية

كم يبلغ طول [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) مربّع طول ضلعه $1$؟ تجيب مبرهنة فيثاغورس بالعدد $\sqrt 2$، وهو عدد مربّعه $2$ — ويتبيّن أنّه ليس كسرًا. يعرّف هذا الفصل [الجذور التربيعية](#def-g9-sqrt-def)، ويرسي قواعد الحساب بها، ويعلّم كيف تُختزل عبارات مثل $\sqrt{75}$.

## 65.1 التعريف والخواص الأولى

**تعريف 65.1 (الجذر التربيعي).**

ليكن $a \geq 0$. *الجذر التربيعي* للعدد $a$، ويُكتب $\sqrt a$، هو العدد *غير السالب* الوحيد الذي مربّعه $a$:

$$
\sqrt a \geq 0
\qquad\text{و}\qquad
\left(\sqrt a\right)^2 = a .
$$

وليس للأعداد السالبة جذر تربيعي، لأنّ كل مربّع غير سالب.

**مثال 65.2.**

$\sqrt{49} = 7$، و $\sqrt 0 = 0$، و $\sqrt 1 = 1$، و $\sqrt{2.25} = 1.5$. وأول [الجذور التربيعية](#def-g9-sqrt-def) التي تُحفظ عن ظهر قلب هي جذور *المربّعات التامّة*: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121,
144$.

![قطر المربّع الواحدي طوله √12 + 12 = √2 1.414، حسب مبرهنة فيثاغورس (ويذكّر بها ). وهذا العدد أصمّ: أرقامه العشرية لا تصير دورية أبدًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-sqrt/fig-e4c870763528.svg)

*[قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) المربّع الواحدي طوله $\sqrt{1^2 + 1^2} =
\sqrt2 \approx 1.414$، حسب مبرهنة فيثاغورس (ويذكّر بها [الفصل 69](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/69-trigonometry-in-the-right-triangle#ch-g9-trig)). وهذا العدد أصمّ: أرقامه العشرية لا تصير دورية أبدًا.*

**قضية 65.3 (الجذر التربيعي لمربّع).**

من أجل كل عدد حقيقي $x$ (موجبًا كان أو غير موجب):

$$
\sqrt{x^2} = \abs{x} =
\begin{cases}
x & \text{إذا كان } x \geq 0,\\
-x & \text{إذا كان } x < 0 .
\end{cases}
$$

**برهان.** العدد $\abs{x}$ غير سالب ومربّعه $x^2$ (فالعدد ونظيره لهما المربّع نفسه). وبما أنّه العدد غير السالب الوحيد الذي مربّعه $x^2$، فهو $\sqrt{x^2}$. ∎

**مثال 65.4.**

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = \abs{-5}$: [فالجذر التربيعي](#def-g9-sqrt-def) «ينسى» الإشارة ولا يعيدها. وبخاصّة، فإنّ $\sqrt{x^2} = x$ *خطأ* من أجل $x$ سالب.

## 65.2 جداءات الجذور التربيعية وخوارج قسمتها

**مبرهنة 65.5 (قاعدتا الضرب والقسمة).**

من أجل كل $a \geq 0$ و $b \geq 0$:

$$
\sqrt{a b} = \sqrt a \times \sqrt b,
\qquad\text{ومن أجل } b > 0:\quad
\sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} .
$$

**برهان.** العدد $\sqrt a \times \sqrt b$ غير سالب ([جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) عددين غير سالبين)، ومربّعه

$$
\left(\sqrt a \times \sqrt b\right)^2
= \left(\sqrt a\right)^2 \times \left(\sqrt b\right)^2
= a b .
$$

وبوحدانية العدد غير السالب الذي مربّعه $ab$، يكون مساويًا $\sqrt{ab}$. وتُبرهن قاعدة [خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) بالطريقة نفسها. ∎

**ملاحظة 65.6 (لا قاعدة كهذه للمجاميع!).**

$\sqrt{a + b}$ *ليس* $\sqrt a + \sqrt b$ في العموم:

$$
\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5,
\qquad\text{لكن}\qquad
\sqrt 9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 .
$$

**طريقة 65.7 (اِختزال n\sqrt nn​).**

لِاختزال [الجذر التربيعي](#def-g9-sqrt-def) لعدد صحيح:

1. جِد أكبر مربّع تامّ [يقسم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) $n$ (وفكّك $n$ إن لزم الأمر)؛
2. واِفصل بقاعدة [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) واِستخرج المربّع: $\sqrt{k^2 m} = k\sqrt m$ ؛
3. وتحقّق أنّ لا مربّع تامّ [يقسم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) ما تبقّى تحت الجذر.

**مثال 65.8.**

اِختزل $\sqrt{75}$: بما أنّ $75 = 25 \times 3$، فإنّ

$$
\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5\sqrt3 .
$$

واِختزل $\sqrt{72}$: بما أنّ $72 = 36 \times 2$، يكون $\sqrt{72} = 6\sqrt2$. [وخارج قسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder): $\sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \dfrac74$.

**مثال 65.9 (جمع الجذور التربيعية).**

مجاميع [الجذور التربيعية](#def-g9-sqrt-def) تُختزل حين تكون الجذور *متشابهة* فقط. اِحسب $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$، مختزلًا كل حدّ أولًا:

$$
\begin{align*}
\sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\
\sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\
\sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3,
\end{align*}
$$

فيكون [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$.

**مثال 65.10 (النشر مع الجذور التربيعية).**

تنطبق متطابقات الجبر على [الجذور التربيعية](#def-g9-sqrt-def). اِنشر $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ باِستعمال $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$$
\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .
$$

وبالمتطابقة الثالثة، $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$$
\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :
$$

[فجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) عددين أصمّين قد يكون عددًا صحيحًا.

## 65.3 المعادلة $x^2 = a$

**مبرهنة 65.11 (حل x2=ax^2 = ax2=a).**

1. إذا كان $a > 0$ ، كان [للمعادلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) $x^2 = a$ حلّان اِثنان بالضبط: $\sqrt a$ و $-\sqrt a$ ؛
2. وإذا كان $a = 0$ ، كان الحل الوحيد هو $0$ ؛
3. وإذا كان $a < 0$ ، فلا حلّ.

**برهان.** أعِد كتابة $x^2 = a$ على صورة $x^2 - \left(\sqrt a\right)^2 = 0$ حين $a \geq 0$، وفكّكها [كفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) مربّعين:

$$
\left(x - \sqrt a\right)\left(x + \sqrt a\right) = 0 ,
$$

إذن $x = \sqrt a$ أو $x = -\sqrt a$ (ويتطابق الحلّان حين $a = 0$). وحين $a < 0$ فلا حلّ، لأنّ $x^2 \geq 0 > a$ من أجل كل $x$. ∎

![حل x2 = 3 على القطع المكافئ y = x2: يقطعه المستقيم الأفقي y = 3 عند الفاصلتين ±√3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-sqrt/fig-57ab6201daa2.svg)

*حل $x^2 = 3$ على [القطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) المكافئ $y = x^2$: يقطعه [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الأفقي $y = 3$ عند الفاصلتين $\pm\sqrt3$.*

**مثال 65.12.**

$x^2 = 16$: الحلّان $4$ و $-4$. $x^2 = 5$: الحلّان $\sqrt5$ و $-\sqrt5$ (قيمتان مضبوطتان؛ و $\sqrt5
\approx 2.236$). $x^2 = -9$: لا حلّ. $3x^2 = 21$: اِقسم على 3 أولًا، فيكون $x^2 = 7$، والحلّان $\pm\sqrt7$.

## 65.4 تمارين

**تمرين 65.1 ★.**

اِحسب من غير آلة حاسبة:

$$
\sqrt{64}, \qquad \sqrt{100}, \qquad \sqrt{0.09}, \qquad
\sqrt{\tfrac{1}{25}}, \qquad \left(\sqrt{13}\right)^2, \qquad
\sqrt{(-4)^2} .
$$

**حل التمرين 65.1.**

$\sqrt{64} = 8$; $\sqrt{100} = 10$; $\sqrt{0.09} = 0.3$ (لأنّ $0.3^2 = 0.09$)؛ $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac15$; $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$; $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \abs{-4}$.

**تمرين 65.2 ★.**

اِختزل:

$$
\sqrt{50}, \qquad \sqrt{45}, \qquad \sqrt{98}, \qquad \sqrt{300} .
$$

**حل التمرين 65.2.**

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$; $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt5$; $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt2$; $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt3$.

**تمرين 65.3 ★.**

اِحسب واِختزل:

$$
\sqrt2 \times \sqrt{18}, \qquad
\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}, \qquad
\sqrt5 \times \sqrt{20}, \qquad
\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} .
$$

**حل التمرين 65.3.**

$\sqrt2 \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$.

$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$.

$\sqrt5 \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$.

$\dfrac{\sqrt8}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{8}{50}} = \sqrt{\dfrac{4}{25}}
= \dfrac25$.

**تمرين 65.4 ★.**

حُلّ: $x^2 = 36$؛ $x^2 = 11$؛ $x^2 + 4 = 0$؛ $2x^2 = 50$.

**حل التمرين 65.4.**

$x^2 = 36$: $x = 6$ أو $x = -6$.

$x^2 = 11$: $x = \sqrt{11}$ أو $x = -\sqrt{11}$.

$x^2 + 4 = 0$ يعني $x^2 = -4 < 0$: لا حلّ.

$2x^2 = 50$: $x^2 = 25$، إذن $x = 5$ أو $x = -5$.

**تمرين 65.5 ★.**

اِختزل إلى حدّ واحد: $\sqrt{20} + \sqrt{45}$، ثم $3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2$.

**حل التمرين 65.5.**

$\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt5 + 3\sqrt5 = 5\sqrt5$.

$3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2 = 3 \times 2\sqrt2 - 3\sqrt2 + \sqrt2
= (6 - 3 + 1)\sqrt2 = 4\sqrt2$.

**تمرين 65.6 ★★.**

اِنشر واِختزل:

$$
\left(\sqrt3 + 1\right)^2, \qquad
\left(2\sqrt5 - 3\right)^2, \qquad
\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right).
$$

**حل التمرين 65.6.**

$\left(\sqrt3 + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3$.

$\left(2\sqrt5 - 3\right)^2 = 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 2\sqrt5 + 9
= 29 - 12\sqrt5$.

$\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right) = 6 - 2 = 4$.

**تمرين 65.7 ★★.**

حقل مربّع مساحته $6400$ م$^2$. فما طول ضلعه؟ وما طول قطره (القيمة المضبوطة، ثم مقرّبة إلى أقرب متر)؟

**حل التمرين 65.7.**

الضلع: $\sqrt{6400} = 80$ م. [والقطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) (فيثاغورس): $\sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt2 \approx 113$ م.

**تمرين 65.8 ★★.**

بيّن أنّ $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (اِضرب [البسط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) [والمقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) في $\sqrt2$). واِستعمل الحيلة نفسها لكتابة $\dfrac{6}{\sqrt3}$ و $\dfrac{10}{\sqrt5}$ من غير [جذر تربيعي](#def-g9-sqrt-def) في [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def).

**حل التمرين 65.8.**

$\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2}
= \dfrac{\sqrt2}{2}$.

$\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. $\dfrac{10}{\sqrt5} = \dfrac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5$.

**تمرين 65.9 ★★.**

صواب أم خطأ؟ برّر ببرهان أو بمثال مضادّ.

1. من أجل كل $a, b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$ .
2. من أجل كل $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ .
3. من أجل كل $x$ : $\sqrt{x^2} = x$ .
4. $\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ .

**حل التمرين 65.9.**

*1. صواب*: وهي قاعدة [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) ([المبرهنة 65.5](#thm-g9-sqrt-rules)).

*2. خطأ*: $\sqrt{9 + 16} = 5$ لكن $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$.

*3. خطأ* من أجل $x$ سالب: $\sqrt{(-4)^2} = 4 \neq -4$. والصياغة الصحيحة هي $\sqrt{x^2} = \abs{x}$.

*4. صواب*: $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \times 2 = 18$.

**تمرين 65.10 ★★★.**

ليكن $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3}$. اِحسب $\left(2 + \sqrt3\right)^2$، واِستنتج عبارة أبسط للعدد $x$. والسؤال نفسه من أجل $\sqrt{9 - 4\sqrt5}$ (اِستهدف مربّعًا على صورة $\left(\sqrt5 - 2\right)^2$، واِنتبه للإشارة).

**حل التمرين 65.10.**

$\left(2 + \sqrt3\right)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$. إذن $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3} = \sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2} = 2 + \sqrt3$ (وهو عدد غير سالب، فيزيل الجذر المربّع فحسب).

وبالمثل $\left(\sqrt5 - 2\right)^2 = 5 - 4\sqrt5 + 4 = 9 - 4\sqrt5$، و $\sqrt5 - 2 > 0$، إذن $\sqrt{9 - 4\sqrt5} = \sqrt5 - 2$ (لا $2 - \sqrt5$، فهو سالب!).

## 65.5 مسألة: العدد الذي ليس كسرًا

**مسألة 65.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — البرهان الأسطوري على أنّ $\sqrt2$ عدد أصمّ، وأبناء عمومته الكثيرون، ووصفة هيرون الجيدة جودةً مذهلة لتقريبه

[قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) المربّع الواحدي طول حقيقي تمامًا — وقد رسمته في [المثال 58.9](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/58-the-pythagorean-theorem#ex-g8-pythagoras-diagonal) — ومع ذلك، كما اِكتشف الفيثاغوريون مذعورين قبل نحو خمسة وعشرين قرنًا، *لا يقيسه أيّ [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) كان*. وتزعم الأسطورة أنّ الاِكتشاف عوقب بالإغراق. وتقودك هذه المسألة عبر البرهان الخالد (أربعة أسئلة ويصير لك مدى الحياة)، وتضاعف الضحايا، وتنتهي بالوصفة التي اِستعملها المهندسون ألفي سنة لترويض العدد العصيّ على الترويض.

**الجزء الأول — البرهان.**

1. تعقّبه أولًا: تحقّق أنّ $1.4 < \sqrt2 < 1.5$ ، ثم أنّ $1.41 < \sqrt2 < 1.42$ ، بتربيع الحدّين. ورقم إضافي: بين أيّ عددين بثلاثة أرقام عشرية يقع $\sqrt2$ ؟
2. واِفترض الآن — على سبيل الخُلف — أنّ $\sqrt2 = \frac ab$ من أجل [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) *مختزل إلى أبسط صورة* ( [الطريقة 64.16](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#met-g9-arith-simplify) ). ربّع الطرفين وبيّن أنّ $a^2 = 2 b^2$ . فما زوجية $a^2$ ؟
3. وتقول وقائع الزوجية في [المسألة 58.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/58-the-pythagorean-theorem#pb-g8-pythagoras-1) : [الأعداد الفردية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) مربّعاتها فردية. اِستنتج أنّ $a$ زوجي، واِكتب $a = 2k$ ، وعوّض — وبيّن أنّ $b$ يجب أن يكون زوجيًا أيضًا.
4. فأين التناقض؟ اِستنتج، واُذكر المبرهنة كاملة: *العدد $\sqrt2$ أصمّ — فهو ليس [خارج قسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) عددين صحيحين* .
5. وقد اِتّكأ البرهان مرّة واحدة، في خفاء، على عبارة «مختزل إلى أبسط صورة». أشِر إلى الخطوة الدقيقة التي تنهار من دونها، وفسّر لماذا كان اِفتراض الاِختزال مشروعًا أصلًا.

**الجزء الثاني — الضحايا تتكاثر.**

6. وأسلوب برهان ثانٍ، عبر التفكيك إلى عوامل أولية ( [المبرهنة 64.6](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#thm-g9-arith-factorization) ): في $a^2 = 3b^2$ ، قارن زوجية *[أُسّ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) العدد $3$* في كل طرف ( [المسألة 64.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#pb-g9-arith-1) : المربّعات زوجية [الأُسُس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) ). اِستنتج أنّ $\sqrt3$ أصمّ.
7. وأجرِ حجّة [الأُسّ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) نفسها على $a^2 = n b^2$ من أجل عدد صحيح عام $n$ : من أجل أيّ $n$ تعطي تناقضًا، ومن أجل أيّها تفشل؟ اُذكر النتيجة الكاملة: $\sqrt n$ أصمّ بالضبط حين …
8. وبرهن على مبرهنة الدرع: [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) عدد ناطق غير معدوم في عدد أصمّ هو عدد أصمّ. (اِفترض $r x = q$ حيث $r, q$ ناطقان، و $r \neq 0$ ، وحُلّ من أجل $x$ .) واِستنتج أنّ $2\sqrt2$ و $\frac{\sqrt2}{2}$ أصمّان.
9. وبرهن أنّ $1 + \sqrt2$ أصمّ. ثم الجميل: بافتراض أنّ $s = \sqrt2 + \sqrt3$ ناطق، اِحسب $s^2$ ، واِعزل $\sqrt6$ ، وجِد التناقض.
10. وخفّف الحماس: أعطِ عددين أصمّين *مجموعهما* ناطق، وعددين *جداؤهما* ناطق. (فالصمم لا يُحفظ في الحساب — وكل حالة تحتاج برهانها الخاصّ.)

**الجزء الثالث — وصفة هيرون.** قبل الآلات الحاسبة بألفي سنة، كان هيرون السكندري يقرّب $\sqrt2$ هكذا: *خمّن $x$؛ ثم اِستبدل بالتخمين متوسّط $x$ و $\frac2x$؛ وكرّر.*

11. اِنطلق من التخمين $x = 1$ واِحسب التخمينين التاليين كسرين مضبوطين.
12. واِحسب التخمين الثالث، كسرًا مضبوطًا أيضًا، وقيمته العشرية. وقارن مع السؤال 1: كم رقمًا عشريًا من $\sqrt2$ صار صحيحًا؟
13. والفكرة وراء الوصفة: مستطيل مساحته $2$ وأحد ضلعيه $x$ يكون ضلعه الآخر $\frac2x$ . بيّن أنّ $\sqrt2$ يقع دائمًا *بين* $x$ و $\frac2x$ (اُنظر في الحالتين $x^2 > 2$ و $x^2 < 2$ )، فيضغط متوسّط الضلعين المستطيل نحو المربّع.
14. والتخمينات $\frac32$ و $\frac{17}{12}$ و $\frac{577}{408}$ تخفي جوهرة: اِحسب $3^2 - 2 \times  2^2$ ، ثم $17^2 - 2 \times 12^2$ ، ثم $577^2 - 2 \times 408^2$ . وقد برهن الجزء الأول على اِستحالة $a^2 - 2b^2 = 0$ — فكم تقترب كسور هيرون من المستحيل؟
15. والختام، في جملتين: [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) المربّع الواحدي موجود على الورق، ولا يقيسه أيّ [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) ، وكتابته العشرية لا يمكن أن تصير دورية أبدًا ( [المسألة 63.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#pb-g9-fractions-1) ). فأيّ «أعداد جديدة» يجب إذن أن يحويها [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الأعداد — وأين في هذه السلسلة تُروى حكايتها كاملة؟

**حل المسألة 65.1.**

**1.** $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$؛ و $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$. وبثلاثة أرقام عشرية: $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$، إذن $1.414 < \sqrt2 < 1.415$.

**2.** بتربيع $\sqrt2 = \frac ab$ نجد $2 = \frac{a^2}{b^2}$، ومن ثمّ $a^2 = 2b^2$: فالعدد $a^2$ ضعف عدد صحيح — أي *زوجي*.

**3.** لو كان $a$ فرديًا، لكان $a^2$ فرديًا ([المسألة 58.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/58-the-pythagorean-theorem#pb-g8-pythagoras-1))؛ وبما أنّ $a^2$ زوجي، فالعدد $a$ زوجي: أي $a = 2k$. وبالتعويض: $4k^2 = 2b^2$، إذن $b^2 = 2k^2$ زوجي، وبواقعة الزوجية نفسها يكون $b$ زوجيًا.

**4.** كون $a$ و $b$ زوجيين معناه أنّهما [قابلان للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $2$ — لكنّ $\frac ab$ كان مختزلًا إلى أبسط صورة، فلا يشتركان في أيّ قاسم. وهذا تناقض: فلا يمكن أن يوجد [الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) المفترض. *المبرهنة: العدد $\sqrt2$ أصمّ.*

**5.** يقيم التناقض كلّه في عبارة «مختزل إلى أبسط صورة»: فمن دونها لا تناقض عبارةُ «$a$ و $b$ زوجيان» شيئًا. واِفتراض الاِختزال مشروع لأنّ لكل [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) صورةً مختزلة ([الطريقة 64.16](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#met-g9-arith-simplify): اِقسم على [القاسم المشترك الأكبر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-gcd)) — فلو كان $\sqrt2$ كسرًا أصلًا، لكان كسرًا مختزلًا، وذاك مستحيل.

**6.** في التفكيك إلى عوامل أولية، تكون المربّعات زوجية [الأُسُس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) ([المسألة 64.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#pb-g9-arith-1)). وفي $a^2 = 3b^2$، يكون [أُسّ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) العدد $3$ زوجيًا في طرف، وفرديًا في الطرف الآخر (زوجي من $b^2$، مع واحد). ولا عدد له تفكيكان ([المبرهنة 64.6](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#thm-g9-arith-factorization)): فتناقض، والعدد $\sqrt3$ أصمّ.

**7.** في $a^2 = n b^2$، تجد الحجّة عددًا أوليًا تتناقض زوجية [أُسّه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) بالضبط حين يظهر [عدد أولي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-prime) في $n$ [بأُسّ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) *فردي*. وإذا كان كل [أُسّ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) في $n$ زوجيًا، كان $n$ مربّعًا تامًّا ($n = m^2$، والعدد $\sqrt n = m$ صحيح). والنتيجة الكاملة: $\sqrt n$ أصمّ من أجل كل عدد صحيح $n$ ليس مربّعًا تامًّا — $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, \sqrt6, \sqrt7, \sqrt8, \sqrt{10},
\dots$

**8.** من $r x = q$ حيث $r \neq 0$: يكون $x = \frac qr$، وهو [خارج قسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) ناطقين، ومن ثمّ ناطق. إذن إذا كان $x$ أصمّ، فلا يمكن أن يكون $r x$ ناطقًا: فالعددان $2\sqrt2$ و $\frac{\sqrt2}{2}$ أصمّان (والمضروب فيهما $2$ و $\frac12$).

**9.** لو كان $1 + \sqrt2 = q$ ناطقًا، لكان $\sqrt2 = q - 1$ ناطقًا: وهذا تناقض. ولو كان $s = \sqrt2 + \sqrt3$ ناطقًا، لكان $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ ناطقًا أيضًا، فيكون $\sqrt6 = \frac{s^2 - 5}{2}$ ناطقًا — لكنّ $\sqrt6$ أصمّ (السؤال 7). إذن $\sqrt2 + \sqrt3$ أصمّ.

**10.** المجاميع: العددان $\sqrt2$ و $-\sqrt2$ (أو $\sqrt2$ و $1 - \sqrt2$) كلاهما أصمّ، ومجموعاهما ناطقان $0$ و $1$. [والجداءات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def): $\sqrt2 \times \sqrt2 = 2$. فالصمم قد يتبخّر في الحساب — ومن هنا البراهين حالةً حالة.

**11.** من $x = 1$: متوسّط $1$ و $\frac21 = 2$ هو $x_1 = \frac32$. ثم متوسّط $\frac32$ و $\frac{2}{3/2} = \frac43$: $x_2 = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right)
= \frac12 \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{12} \approx 1.4167$.

**12.** $x_3 = \frac12\left(\frac{17}{12} +
\frac{24}{17}\right) = \frac12 \cdot
\frac{289 + 288}{204} = \frac{577}{408} = 1.4142156\ldots$ وأمام $\sqrt2 = 1.4142135\ldots$: خمسة أرقام عشرية صحيحة بعد ثلاث خطوات — فالوصفة تضاعف تقريبًا عدد الأرقام الصحيحة في كل جولة.

**13.** إذا كان $x^2 > 2$ (تخمين أكبر من اللازم)، كان $x > \sqrt2$، و $\frac2x < \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$: فالضلع المرافق أصغر من اللازم. وإذا كان $x^2 < 2$، اِنعكست المتباينات. وفي الحالتين يقع $\sqrt2$ بين $x$ و $\frac2x$، فيكون متوسّطهما — وهو التخمين التالي — أقرب من أسوأ الضلعين: فالمستطيل ذو [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $2$ يزداد تربيعًا في كل خطوة.

**14.** $9 - 8 = 1$؛ $289 - 288 = 1$؛ $332\,929 - 332\,928 = 1$. فكل تخمين لهيرون $\frac ab$ يحقّق $a^2 - 2b^2 = 1$: وقد برهن الجزء الأول على اِستحالة بلوغ $0$، وهذه الكسور تخطئ المستحيل بوحدة واحدة بالضبط — وهو أقرب ما تصل إليه الأعداد الصحيحة.

**15.** يجب أن يحوي [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الأعداد أعدادًا وراء الكسور — أطوالًا مثل $\sqrt2$، كتابتها العشرية تمضي أبدًا من غير أن تصير دورية: وهي *الأعداد الحقيقية*. وبناؤها الأمين حكاية لمجلّد الثانوية، وبكل صرامة لمجلّدات الجامعة.