---
title: "الجبر والمعادلات"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 66
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/66-algebra-and-equations
---

# الفصل 66 — الجبر والمعادلات

الحروف تنوب عن الأعداد، والحساب بالحروف يبرهن على وقائع تخصّ *كل* الأعداد دفعةً واحدة. ويتمرّن هذا الفصل على [النشر](#def-g9-algebra-expand) والتفكيك — بما فيه المتطابقات الثلاث التي سترافقك في الرياضيات كلّها — ويحلّ [معادلات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) الدرجة الأولى، [ومعادلات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def)، والمتباينات البسيطة، خطوةً مبرَّرة في كل مرّة.

## 66.1 النشر

**تعريف 66.1 (النشر).**

*النشر* هو تحويل [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) إلى [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def)، باِستعمال التوزيعية:

$$
k(a + b) = ka + kb,
\qquad
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .
$$

**مثال 66.2.**

كل حدّ من القوس الأول يضرب كل حدّ من الثاني:

$$
\begin{align*}
(x + 3)(2x + 5)
&= x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5 \\
&= 2x^2 + 5x + 6x + 15 \\
&= 2x^2 + 11x + 15 .
\end{align*}
$$

والإشارات ترافق الحدود:

$$
\begin{align*}
(3x - 2)(x - 4)
&= 3x^2 - 12x - 2x + 8
= 3x^2 - 14x + 8 .
\end{align*}
$$

**مبرهنة 66.3 (المتطابقات الثلاث).**

من أجل كل عددين $a$ و $b$:

$$
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
\qquad
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,
\qquad
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .
$$

**برهان.** اُنشر الطرف الأول من كل متطابقة. ففي الأولى: $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. وفي الثانية، يكفي أن يصير $b$ هو $-b$ في الأولى. وفي الثالثة: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ (فالحدّان المتقاطعان يتلاشيان). ∎

![المتطابقة (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 منظورًا إليها كمساحات: المربّع الكبير ذو الضلع a+b مؤلّف من مربّعين ومستطيلين متساويين. ونسيان «2ab» هو نسيان المستطيلين!](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-algebra/fig-3f1377230717.svg)

*المتطابقة $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ منظورًا إليها كمساحات: المربّع الكبير ذو الضلع $a+b$ مؤلّف من مربّعين ومستطيلين متساويين. ونسيان «$2ab$» هو نسيان المستطيلين!*

**مثال 66.4.**

$$
(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, \qquad
(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1, \qquad
(2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49 .
$$

وحساب ذهني: $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$، و $98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$.

## 66.2 التفكيك

**طريقة 66.5 (التفكيك).**

لتفكيك عبارة، جرّب بالترتيب:

1. *العامل المشترك* : $ka + kb = k(a + b)$ ، حيث قد يكون $k$ نفسه قوسًا؛
2. *[فرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) مربّعين* : $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ؛
3. *المربّع التامّ* : $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ (ومع $-2ab$ ، يكون $(a-b)^2$ ).

وتحقّق دائمًا [بنشر](#def-g9-algebra-expand) النتيجة.

**مثال 66.6.**

*العامل المشترك:* $15x^2 + 10x = 5x \times 3x + 5x \times 2 = 5x(3x + 2)$.

*القوس المشترك:*

$$
(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)\bigl[(x-1) + (3x+4)\bigr]
= (x+2)(4x+3).
$$

*[فرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) مربّعين:* $x^2 - 81 = (x+9)(x-9)$، و

$$
(2x+1)^2 - 9 = (2x+1)^2 - 3^2 = (2x+1+3)(2x+1-3) = (2x+4)(2x-2).
$$

ولكل عامل عامل مشترك بعدُ: $(2x+4)(2x-2) = 2(x+2) \times
2(x-1) = 4(x+2)(x-1)$.

## 66.3 المعادلات

**طريقة 66.7 (معادلات الدرجة الأولى).**

لحلّ [معادلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) مثل $5x - 3 = 2x + 9$:

1. اِجمع حدود $x$ في طرف، والأعداد في الطرف الآخر، بإضافة المقدار نفسه إلى الطرفين؛
2. واِختزل كل طرف؛
3. واِقسم الطرفين على معامل $x$ ؛
4. وتحقّق من الحل في [المعادلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) الأصلية.

**مثال 66.8.**

$$
\begin{align*}
5x - 3 &= 2x + 9 \\
5x - 2x &= 9 + 3 && \text{(بإضافة $3 - 2x$ إلى الطرفين)}\\
3x &= 12 \\
x &= 4 && \text{(بالقسمة على 3).}
\end{align*}
$$

التحقّق: $5 \times 4 - 3 = 17$ و $2 \times 4 + 9 = 17$. فالحل هو $4$.

ومع الأقواس، اُنشر أولًا: $3(x - 2) = x + 8$ تصير $3x - 6 = x + 8$، إذن $2x = 14$ و $x = 7$.

**مبرهنة 66.9 (قاعدة الجداء المعدوم).**

[الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) معدوم إذا وفقط إذا كان أحد عوامله على الأقل معدومًا:

$$
A \times B = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
A = 0 \ \text{ أو } \ B = 0 .
$$

**برهان.** إذا كان أحد العوامل معدومًا فمن الواضح أنّ [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) معدوم. وبالعكس، إذا كان $A B = 0$ مع $A \neq 0$، فبقسمة الطرفين على $A$ نجد $B = 0$. ∎

**مثال 66.10.**

حُلّ $(x - 3)(2x + 10) = 0$: إمّا $x - 3 = 0$ أو $2x + 10 = 0$، إذن الحلّان $3$ و $-5$.

وحُلّ $x^2 - 49 = 0$: فكّك أولًا، $(x-7)(x+7) = 0$، والحلّان $7$ و $-7$.

وحُلّ $x^2 = 3x$: لا تقسم على $x$ أبدًا! اِنقل وفكّك: $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$، والحلّان $0$ و $3$.

## 66.4 المتباينات

**قضية 66.11 (قواعد المتباينات).**

تُحفظ المتباينة عند إضافة العدد نفسه إلى الطرفين، وعند ضرب الطرفين في العدد *الموجب* نفسه. أمّا الضرب في عدد *سالب* فيعكس إشارة المتباينة.

**برهان.** إذا كان $a \leq b$ فإنّ $b - a \geq 0$. وبإضافة $c$: $(b+c) - (a+c) = b - a
\geq 0$، إذن $a + c \leq b + c$. وبالضرب في $c > 0$: $bc - ac = (b-a)c \geq 0$، إذن $ac \leq bc$. وبالضرب في $c < 0$: $(b-a)c \leq 0$، إذن $ac \geq bc$: فينعكس الترتيب. ∎

**مثال 66.12.**

حُلّ $7 - 2x < 15$:

$$
\begin{align*}
7 - 2x &< 15 \\
-2x &< 8 && \text{(بطرح 7)} \\
x &> -4 && \text{(بالقسمة على $-2$: اِعكس الإشارة).}
\end{align*}
$$

الحلول هي كل الأعداد الأكبر من $-4$: وعلى [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الأعداد، نقطة مجوّفة عند $-4$ وتظليل نحو اليمين.

![حلول 7 - 2x < 15: كل x > -4 (نقطة مجوّفة: فالعدد -4 نفسه ليس حلًّا).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-algebra/fig-754390be3efb.svg)

*حلول $7 - 2x < 15$: كل $x > -4$ (نقطة مجوّفة: فالعدد $-4$ نفسه ليس حلًّا).*

## 66.5 تمارين

**تمرين 66.1 ★.**

اُنشر واِختزل:

$$
4(3x - 2), \qquad
(x + 6)(x + 2), \qquad
(2x - 3)(x + 5), \qquad
(x - 1)(x - 9).
$$

**حل التمرين 66.1.**

$4(3x - 2) = 12x - 8$.

$(x+6)(x+2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12$.

$(2x-3)(x+5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$.

$(x-1)(x-9) = x^2 - 9x - x + 9 = x^2 - 10x + 9$.

**تمرين 66.2 ★.**

اُنشر باِستعمال المتطابقات:

$$
(x + 8)^2, \qquad
(3x - 4)^2, \qquad
(x + 10)(x - 10), \qquad
(5x + 2)(5x - 2).
$$

**حل التمرين 66.2.**

$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$.

$(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$.

$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$.

$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4$.

**تمرين 66.3 ★.**

اِحسب ذهنيًّا، باِستعمال متطابقة: $101^2$؛ $59^2$ (اُكتب $59 = 60 - 1$)؛ $53 \times 47$.

**حل التمرين 66.3.**

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.

$59^2 = (60-1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$.

$53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$.

**تمرين 66.4 ★.**

فكّك:

$$
9x + 12, \qquad
x^2 - 64, \qquad
x^2 + 14x + 49, \qquad
18x^2 - 6x .
$$

**حل التمرين 66.4.**

$9x + 12 = 3(3x + 4)$.

$x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$.

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$.

$18x^2 - 6x = 6x(3x - 1)$.

**تمرين 66.5 ★.**

حُلّ، كاتبًا كل خطوة:

$$
4x + 7 = 19, \qquad
6x - 5 = 2x + 11, \qquad
5(x - 3) = 3x + 1 .
$$

**حل التمرين 66.5.**

$4x + 7 = 19$: $4x = 12$، إذن $x = 3$.

$6x - 5 = 2x + 11$: $4x = 16$، إذن $x = 4$.

$5(x-3) = 3x + 1$: $5x - 15 = 3x + 1$، إذن $2x = 16$ و $x = 8$.

**تمرين 66.6 ★★.**

حُلّ باِستعمال قاعدة [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) المعدوم:

$$
(x + 4)(3x - 12) = 0, \qquad
x^2 - 121 = 0, \qquad
(2x - 1)^2 = 0, \qquad
x^2 = 8x .
$$

**حل التمرين 66.6.**

$(x+4)(3x-12) = 0$: $x = -4$ أو $x = 4$.

$x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = 0$: $x = 11$ أو $x = -11$.

$(2x-1)^2 = 0$: الحل الوحيد $x = \frac12$.

$x^2 = 8x$: $x(x - 8) = 0$، إذن $x = 0$ أو $x = 8$.

**تمرين 66.7 ★★.**

فكّك $E = (3x + 2)^2 - 25$، ثم حُلّ $E = 0$.

**حل التمرين 66.7.**

[فرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) مربّعين مع $a = 3x + 2$ و $b = 5$:

$$
E = (3x + 2)^2 - 5^2 = (3x + 2 + 5)(3x + 2 - 5) = (3x + 7)(3x - 3).
$$

وقاعدة [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) المعدوم: $3x + 7 = 0$ يعطي $x = -\frac73$، و $3x - 3 = 0$ يعطي $x = 1$.

**تمرين 66.8 ★★.**

حُلّ المتباينات ومثّل الحلول على [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الأعداد:

$$
3x - 4 \geq 8, \qquad
5 - 2x > 1, \qquad
4(x + 1) \leq x - 5 .
$$

**حل التمرين 66.8.**

$3x - 4 \geq 8$: $3x \geq 12$، إذن $x \geq 4$ (نقطة ممتلئة عند $4$، وتظليل نحو اليمين).

$5 - 2x > 1$: $-2x > -4$، والقسمة على $-2$ تعكس الإشارة: $x < 2$ (نقطة مجوّفة عند $2$، وتظليل نحو اليسار).

$4(x+1) \leq x - 5$: $4x + 4 \leq x - 5$، إذن $3x \leq -9$، إذن $x \leq -3$ (نقطة ممتلئة عند $-3$، وتظليل نحو اليسار).

**تمرين 66.9 ★★.**

أفكّر في عدد، فأضربه في $3$، وأضيف $7$، فأحصل على النتيجة نفسها التي أحصل عليها لو ضربته في $5$ وطرحت $9$. فما عددي؟ (كوّن [معادلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) وحُلّها.)

**حل التمرين 66.9.**

ليكن $x$ العدد: $3x + 7 = 5x - 9$. إذن $16 = 2x$، ومنه $x = 8$. والتحقّق: $3 \times 8 + 7 = 31$ و $5 \times 8 - 9 = 31$.

**تمرين 66.10 ★★★.**

ليكن $n$ عددًا صحيحًا.

1. اُنشر $(n + 1)(n - 1)$ واِستنتج أنّ [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) جاري العدد $n$ يساوي دائمًا $n^2 - 1$ (مثلًا $24 \times 26 =  25^2 - 1 = 624$ ).
2. وبيّن أنّ [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) ثلاثة أعداد صحيحة متتالية هو دائمًا [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) للعدد $3$ .

**حل التمرين 66.10.**

*1.* $(n+1)(n-1) = n^2 - 1$ (المتطابقة الثالثة). وجارا العدد $n$ هما $n - 1$ و $n + 1$، فيكون جداؤهما $n^2 - 1$: مثلًا $24 \times 26 = 625 - 1 = 624$.

*2.* تُكتب ثلاثة أعداد صحيحة متتالية $n - 1$ و $n$ و $n + 1$. ومجموعها

$$
(n-1) + n + (n+1) = 3n ,
$$

وهو [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) للعدد $3$ (ثلاثة أمثال الأوسط).

## 66.6 مسألة: جبر الأرقام

**مسألة 66.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — لماذا تشتغل قواعد قابلية القسمة، وكشف حيلة 1089، وحساب ذهني يشبه السحر

علّمتك المدرسة *قواعد* (فالعدد [قابل للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $9$ حين يكون مجموع أرقامه كذلك)؛ ويؤدّي السحرة *حيلًا* (فينتهي الجميع عند $1089$)؛ وتعرف الأسواق *اِختصارات* ($35^2 = 1225$، في الحال). وكل ذلك سرّ واحد: فالعدد ذو الأرقام $a$ و $b$ و $c$ هو العبارة $100a + 10b + c$، وجبر هذا الفصل ([المبرهنة 66.3](#thm-g9-algebra-identities)، [والنشر](#def-g9-algebra-expand)، والتفكيك) قادر على تفكيكه. وفي نهاية هذه المسألة تكون قد برهنت على القواعد، وكشفت الحيلة، وتعلّمت السحر.

**الجزء الأول — الأرقام تحت المجهر.**

1. العدد ذو الرقمين الذي رقم عشراته $a$ ورقم آحاده $b$ هو $10a + b$ . اُنشر وفكّك [الفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) بين العدد ومقلوبه، $(10a + b) - (10b + a)$ ، واُذكر الاِكتشاف. وتحقّق منه على $72 - 27$ .
2. وبرهن على قاعدة التسعة من أجل الأعداد ذات الثلاثة أرقام: تحقّق من المتطابقة $$100a + 10b + c = 9\,(11a + b) + (a + b + c),$$ وفسّر لماذا تبيّن أنّ العدد ومجموع أرقامه يتركان *[الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) نفسه* في القسمة على $9$ — فيكون أحدهما [قابلًا للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $9$ بالضبط حين يكون الآخر كذلك ([القضية 64.3](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#prop-g9-arith-rules)، وقد بُرهن عليها الآن).
3. واِستنتج قاعدة الثلاثة من المتطابقة نفسها، في جملة واحدة.
4. و«طرح التساعات»، تحقّق المحاسبين: لاِختبار $47 \times 86 = 4\,042$ ، اِستبدل بكل عدد [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) مجموع أرقامه: $47 \to 11 \to 2$ ، و $86 \to 14 \to 5$ ، و $2 \times 5 = 10 \to 1$ ؛ ثم $4\,042 \to 10 \to 1$ : فمتّسق. فسّر لماذا يجب أن يجتاز [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) الصحيح الاِختبار (اُكتب $47 = 9k + 2$ ، و $86 = 9l + 5$ واُنشر)، وجِد نتيجة خاطئة يعجز الاِختبار عن اِلتقاطها (لماذا تكون الأرقام المتبادلة غير مرئية له؟).
5. وبرهن على قاعدة الأحد عشر من أجل الأعداد ذات الأربعة أرقام: تحقّق من $$1000a + 100b + 10c + d  = 11\,(91a + 9b + c) + (- a + b - c + d),$$ واِستعملها لتقرّر ما إذا كان $2\,926$ [قابلًا للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $11$.

**الجزء الثاني — حيلة 1089.** الحيلة: فكّر في عدد ذي ثلاثة أرقام يختلف رقمه الأول وآخره بمقدار $2$ على الأقل؛ واِقلبه؛ واِطرح الأصغر من الأكبر؛ واِقلب النتيجة؛ واِجمع العددين الأخيرين. فيعلن الساحر: *1089*.

6. أدِّ الحيلة على $742$ وعلى عدد من اِختيارك.
7. وليكن العدد ذا الأرقام $a$ و $b$ و $c$ مع $a > c$ . فكّك الطرح الأول، $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$ ، واُذكر كل القيم التي يمكن أن يأخذها حين يمشي $a - c$ من $2$ إلى $9$ .
8. ولكل [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) من [مضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) $99$ هذه نمط لافت في أرقامه. وبكتابة $m = a - c$، تحقّق من المتطابقة $$99m = 100\,(m - 1) + 90 + (10 - m),$$ واِقرأ منها الأرقام الثلاثة للعدد $99m$.
9. واِجمع $99m$ مع مقلوبه، مستعملًا أرقام السؤال 8، وبرهن أنّ [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) هو $1089$ — مهما كان $m$ . ماتت الحيلة؛ فليحيَ الجبر.
10. ولماذا اِشترط الساحر أن يختلف الرقمان الأول والأخير بمقدار $2$ على الأقل؟ اُنظر في الحالتين $a = c$ و $a - c = 1$ (حيث يعطي الطرح $99$ ، الذي يجب أن يُكتب $099$ ليشتغل القلب)، واُذكر الشرط الصغير الذي يُبقي الحيلة أمينة.

**الجزء الثالث — سحر للاِستعمال اليومي.**

11. حيلة عيد الميلاد: «اِضرب شهر ميلادك في $5$ ، وأضِف $7$ ، وضاعِف، وأضِف يوم ميلادك، واِطرح $14$ ». بيّن أنّ النتيجة هي دائمًا $10m + d$ — الشهر واليوم، مقروءين بنظرة واحدة. (جرّبها على أحدهم.)
12. وتعيد تصميم الحيلة هكذا: «اِضرب الشهر في $5$ ، وأضِف $9$ ، وضاعِف، وأضِف اليوم». فما العدد الذي يجب أن يطرحه المتفرّج في النهاية ليقرأ الشهر واليوم نفسيهما؟
13. وحيلة الرقم الناقص: يختار المتفرّج عددًا ما، ويطرح منه مجموع أرقامه (ويقول السؤال 2 إنّ النتيجة [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) للعدد $9$ دائمًا — فسّر ذلك من أجل عدد ذي ثلاثة أرقام)، ثم يشطب رقمًا *غير معدوم* ويقرأ عليك الأرقام الباقية. فسّر كيف تستعيد الرقم المشطوب، ولماذا وجب اِستبعاد $0$ .
14. وسحر السوق: برهن على المتطابقة $(10t + 5)^2 = 100\,t(t+1) + 25$ ، واُذكر قاعدة تربيع أيّ عدد ينتهي بالرقم $5$ ، واِحسب $45^2$ و $85^2$ و $105^2$ في رأسك.
15. والختام، بتوسيع [التمرين 66.10](#exo-g9-algebra-10) : برهن أنّ [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) خمسة أعداد صحيحة متتالية هو دائمًا [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) للعدد $5$ ، لكنّ [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) *أربعة* أعداد صحيحة متتالية *ليس أبدًا* مضاعفًا للعدد $4$ . (حسابان قصيران — وعبرة واحدة عمّا يصنعه الجبر بكلمتَي «دائمًا» و«أبدًا».)

**حل المسألة 66.1.**

**1.** $(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$: [فالفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) بين عدد ذي رقمين ومقلوبه هو دائمًا [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) للعدد $9$. والتحقّق: $72 - 27 = 45 = 9 \times 5$، و $a - b = 7 - 2 = 5$.

**2.** [بنشر](#def-g9-algebra-expand) الطرف الثاني: $9(11a + b) + a + b + c = 99a + 9b + a + b + c
= 100a + 10b + c$. إذن العدد يساوي مضاعفًا للعدد $9$ مضافًا إليه مجموع أرقامه: فبالقسمة على $9$ يتركان [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) نفسه. وبخاصّة، [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$ لأحدهما يعني [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$ للآخر: وهي قاعدة التسعة، مبرهنًا عليها.

**3.** والعدد $9(11a + b)$ [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) للعدد $3$ أيضًا، فالمتطابقة نفسها تبيّن أنّ العدد ومجموع أرقامه يتركان [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) نفسه في القسمة على $3$: وهي قاعدة الثلاثة.

**4.** اُكتب $47 = 9k + 2$ و $86 = 9l + 5$. إذن

$$
47 \times 86 = (9k + 2)(9l + 5)
= 9\,(9kl + 5k + 2l) + 10 :
$$

فيترك [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) نفسه الذي يتركه $2 \times 5 = 10$، أي $1$. ومن ثمّ يجب أن تترك النتيجة الصحيحة [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $1$ أيضًا — وهذا ما يفعله $4\,042$. لكنّ الاِختبار لا يرى سوى البواقي: فالعددان $4\,042$ و $4\,402$ (بتبادل الرقمين) يجتازانه سواءً بسواء، فالنجاح لا يبرهن على شيء — والرسوب هو الذي يُدين.

**5.** [بالنشر](#def-g9-algebra-expand): $11(91a + 9b + c) - a + b - c + d
= 1001a + 99b + 11c - a + b - c + d
= 1000a + 100b + 10c + d$. إذن العدد [قابل للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $11$ بالضبط حين يكون مجموعه المتناوب $-a + b - c + d$ كذلك. ومن أجل $2\,926$: $-2 + 9 - 2 + 6 = 11$، وهو [قابل للقسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) على $11$: نعم، $2\,926 = 11 \times 266$.

**6.** $742 - 247 = 495$؛ و $495 + 594 = 1\,089$. وكل مثال صالح يقع على $1\,089$ أيضًا.

**7.** $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c)$. ومن أجل $a - c = 2, 3, \dots, 9$:

$$
198,\ 297,\ 396,\ 495,\ 594,\ 693,\ 792,\ 891 .
$$

**8.** $100(m - 1) + 90 + (10 - m) = 100m - 100 + 90 + 10
- m = 99m$. إذن أرقام العدد $99m$ الثلاثة هي $m - 1$، ثم $9$، ثم $10 - m$ (تحقّق على $495$: فالقيمة $m = 5$ تعطي $4$ و $9$ و $5$).

**9.** [ومقلوب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/55-fractions-all-four-operations#def-g8-fractions-inverse) $99m$ أرقامه $10 - m$ و $9$ و $m - 1$، فهو يساوي $100(10 - m) + 90 + (m - 1)$. وبالجمع:

$$
100\,(m - 1 + 10 - m) + 180 + (10 - m + m - 1)
= 100 \times 9 + 180 + 9 = 1\,089 ,
$$

من غير تعلّق بالعدد $m$. فمهما كان العدد المنطلق منه، الساحر في أمان.

**10.** إذا كان $a = c$، أعطى الطرح $0$ وماتت الحيلة في الحال. وإذا كان $a - c = 1$، أعطى $99$، الذي يجب أن يُعامل كسلسلة من ثلاثة أرقام $099$ (مقلوبها $990$، و $99 + 990 = 1\,089$: نجت!). والشرط الصغير: فروق $1$ لا تشتغل إلا إذا كتب المتفرّج نتيجة الطرح بثلاثة أرقام، بما فيها [الصفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) الأول — واِشتراط فجوة $2$ على الأقل يتجنّب الجدال.

**11.** $2(5m + 7) + d - 14 = 10m + 14 + d - 14 =
10m + d$: فالعشرات (والمئات، من أجل الشهور من العاشر إلى الثاني عشر) تعطي الشهر، والآحاد (والعشرات) تعطي اليوم.

**12.** $2(5m + 9) + d = 10m + 18 + d$: فليطرح $18$.

**13.** حسب السؤال 2، $n - (\text{مجموع أرقام } n) =
9(11a + b)$ من أجل $n$ ذي ثلاثة أرقام: أي [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) للعدد $9$ دائمًا (وتشتغل متطابقات مشابهة مهما كان الطول). [ومضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) العدد $9$ مجموع أرقامه [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) للعدد $9$ (السؤال 2 مرّة أخرى)، فالأرقام التي يقرؤها المتفرّج يجب أن تُكمَّل إلى [المضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) التالي للعدد $9$: والرقم الناقص هو ذلك المكمّل. والاِلتباس: إذا كان مجموع الأرقام المقروءة مضاعفًا للعدد $9$ أصلًا، فقد يكون الرقم المشطوب $0$ أو $9$ — واِستبعاد $0$ يزيل الشكّ.

**14.** $(10t + 5)^2 = 100t^2 + 100t + 25 =
100\,t(t + 1) + 25$: اُكتب $t(t+1)$، ثم أَلصِق $25$ خلفه. ففي $45^2$: $4 \times 5 = 20$، إذن $2\,025$. وفي $85^2$: $8 \times 9 = 72$، إذن $7\,225$. وفي $105^2$: $10 \times 11 = 110$، إذن $11\,025$.

**15.** خمسة متتالية: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) +
(n+4) = 5n + 10 = 5(n + 2)$: أي [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) للعدد $5$، دائمًا. وأربعة متتالية: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 =
4(n + 1) + 2$: أي [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $2$ في القسمة على $4$، فلا يكون مضاعفًا أبدًا. والجبر يحوّل «يبدو أنّه يشتغل» إلى *دائمًا*، و«لم أجد مثالًا» إلى *أبدًا* — وهما كلمتان لا يبلغهما أيّ قدر من الاِختبار ([الطريقة 48.8](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/48-literal-expressions#met-g7-literal-test)).