---
title: "الدوال الخطية والتآلفية"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 67
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/67-linear-and-affine-functions
---

# الفصل 67 — الدوال الخطية والتآلفية

«ثلاثة كيلوغرامات تكلّف ثلاثة أمثال ما يكلّفه واحد»: وهذا هو [التناسب](#def-g9-linfunc-linear)، أبسط علاقة تربط مقدارين. [والدوال الخطية](#def-g9-linfunc-linear) هي [التناسب](#def-g9-linfunc-linear) بلغة الدوال؛ [والدوال التآلفية](#def-g9-linfunc-affine) تضيف مقدارًا اِبتدائيًّا ثابتًا. وتمثيلاتها البيانية [مستقيمات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects)، وقراءة هذه [المستقيمات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) هي المهارة التي يبنيها هذا الفصل.

## 67.1 التناسب والدوال الخطية

**تعريف 67.1 (الدالة الخطية).**

*الدالة الخطية* تضرب كل عدد في عدد ثابت $a$:

$$
f(x) = a x .
$$

والعدد $a$ هو *معامل* الدالة $f$. ويكون مقداران *متناسبين* بالضبط حين يكون أحدهما دالة خطية للآخر.

**مثال 67.2.**

إذا كان ثمن التفاح $3$ للكيلوغرام، فثمن $x$ كيلوغرامًا هو $f(x) = 3x$: فشراء الضِّعف يكلّف الضِّعف، وثمن $2.5$ كغ هو $f(2.5) = 7.5$.

وبالعكس، إذا حقّقت [دالة خطية](#def-g9-linfunc-linear) $f(4) = 10$، كان $a = \frac{10}{4} = 2.5$ و $f(x) = 2.5x$: *فقيمة واحدة تعيّن [الدالة الخطية](#def-g9-linfunc-linear) تعيينًا تامًّا.*

**قضية 67.3 (التمثيل البياني لدالة خطية).**

التمثيل البياني للدالة $f(x) = ax$ [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) *يمرّ بالمبدأ*. وبالعكس، كل [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) غير عمودي يمرّ بالمبدأ هو التمثيل البياني [لدالة خطية](#def-g9-linfunc-linear).

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![دالّتان خطيّتان: كلا التمثيلين يمرّ بالمبدأ؛ والمعامل a هو الاِرتفاع المبلوغ عند x = 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-linfunc/fig-08e8aadc66eb.svg)

*[دالّتان خطيّتان](#def-g9-linfunc-linear): كلا التمثيلين يمرّ بالمبدأ؛ والمعامل $a$ هو الاِرتفاع المبلوغ عند $x = 1$.*

## 67.2 الدوال التآلفية

**تعريف 67.4 (الدالة التآلفية).**

*الدالة التآلفية* على الصورة

$$
f(x) = a x + b ,
$$

حيث $a$ و $b$ عددان ثابتان. [والدوال الخطية](#def-g9-linfunc-linear) هي الحالة الخاصّة $b = 0$؛ والدوال الثابتة هي الحالة $a = 0$.

**مثال 67.5.**

تأخذ قاعة رياضية رسم اِنخراط قدره $20$، ثم $5$ لكل زيارة: فتكلفة $x$ زيارة كلّها هي $f(x) = 5x + 20$. والتكلفة *ليست* متناسبة مع عدد الزيارات (فعشر زيارات لا تكلّف ضِعف ما تكلّفه خمس)، لكن كل زيارة إضافية تضيف المقدار نفسه، $5$.

**قضية 67.6 (التمثيل البياني لدالة تآلفية).**

التمثيل البياني للدالة $f(x) = ax + b$ [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects):

- $b = f(0)$ هو *الترتيب عند مبدأ محور $y$* : [فالمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) يقطع المحور العمودي عند $(0, b)$ ؛
- و $a$ هو *الميل* : فالتقدّم وحدةً واحدة نحو اليمين يرفع $a$ وحدة (ويخفض إذا كان $a < 0$ )؛ والدالة متزايدة حين $a > 0$ ، ومتناقصة حين $a < 0$ ؛
- ومن أجل أيّ مدخلين $u \neq v$ ، $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ .

**برهان النقطة الأخيرة.** $f(v) - f(u) = (av + b) - (au + b) = a(v - u)$؛ فاِقسم على $v - u$. وما تبقّى مقبول في هذا المستوى (ويعالج مجلّد الثانوية [المستقيمات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [ومعادلاتها](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) معالجةً كاملة). ∎

![قراءة y = ax + b على تمثيلها البياني: يقطع المستقيم محور y عند الاِرتفاع b، ويصعد a في كل خطوة وحدة نحو اليمين (وهنا a = 1، و b = 1).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-linfunc/fig-01bf255d3837.svg)

*قراءة $y = ax + b$ على تمثيلها البياني: يقطع [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) محور $y$ عند الاِرتفاع $b$، ويصعد $a$ في كل خطوة وحدة نحو اليمين (وهنا $a = 1$، و $b = 1$).*

**طريقة 67.7 (إيجاد دالة تآلفية من قيمتين).**

بمعرفة $f(u)$ و $f(v)$ حيث $u \neq v$:

1. اِحسب [الميل](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ ؛
2. وعوّض بإحدى القيمتين المعلومتين في $f(x) = ax + b$ لإيجاد $b$ ؛
3. وتحقّق بالقيمة الأخرى.

**مثال 67.8.**

أوجِد [الدالة التآلفية](#def-g9-linfunc-affine) التي $f(2) = 7$ و $f(5) = 16$.

$$
a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac93 = 3 ,
$$

ثم $f(2) = 3 \times 2 + b = 7$ يعطي $b = 1$: أي $f(x) = 3x + 1$. والتحقّق: $f(5) = 15 + 1 = 16$.

## 67.3 النسب المئوية

**قضية 67.9 (التغيّر بنسبة مئوية).**

زيادة مقدار بنسبة $t\,\%$ تضربه في $1 + \dfrac{t}{100}$؛ وإنقاصه بنسبة $t\,\%$ يضربه في $1 - \dfrac{t}{100}$. والتغيّرات بالنسب المئوية [دوال خطية](#def-g9-linfunc-linear).

**برهان.** زيادة $x$ بنسبة $t\,\%$ تعني إضافة $\frac{t}{100}\,x$:

$$
x + \frac{t}{100}\,x = \left(1 + \frac{t}{100}\right) x .
$$

والحساب نفسه بإشارة الطرح من أجل الإنقاص. ∎

**مثال 67.10.**

ثمن قدره $80$ يزيد بنسبة $15\%$: فالثمن الجديد $80 \times 1.15 = 92$. وثمن قدره $60$ ينقص بنسبة $30\%$: $60 \times 0.7 = 42$.

*وتتابع التغيّرات يضرب العوامل بعضها في بعض.* فزيادة $20\%$ يتبعها نقصان $20\%$ تعطي $1.2 \times 0.8 = 0.96$: أي *نقصانًا* إجماليًّا قدره $4\%$، لا عودةً إلى البداية!

## 67.4 تمارين

**تمرين 67.1 ★.**

أيّ هذه [الدوال خطية](#def-g9-linfunc-linear)؟ وأيّها تآلفية؟ وأيّها ليست هذه ولا تلك؟

$$
f(x) = 4x, \qquad
g(x) = 3x - 5, \qquad
h(x) = x^2, \qquad
k(x) = -\tfrac x2, \qquad
m(x) = 7 .
$$

**حل التمرين 67.1.**

الخطية: $f$ و $k$ (على الصورة $ax$). والتآلفية غير الخطية: $g$ ([الميل](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $3$، والترتيب عند المبدأ $-5$) و $m$ (ثابتة، وميلها $0$). ولا هذه ولا تلك: $h$، بسبب المربّع.

**تمرين 67.2 ★.**

لتكن $f(x) = 2x - 3$. اِحسب $f(0)$ و $f(4)$ و $f(-1)$، وجِد العدد $x$ الذي يحقّق $f(x) = 9$.

**حل التمرين 67.2.**

$f(0) = -3$؛ و $f(4) = 5$؛ و $f(-1) = -5$. و $f(x) = 9$ تعني $2x - 3 = 9$، إذن $2x = 12$ و $x = 6$.

**تمرين 67.3 ★.**

[دالة خطية](#def-g9-linfunc-linear) تحقّق $f(6) = 15$. أوجِد معاملها، ثم اِحسب $f(10)$ و $f(-2)$.

**حل التمرين 67.3.**

$a = \frac{15}{6} = 2.5$، إذن $f(x) = 2.5x$. ومنه $f(10) = 25$ و $f(-2) = -5$.

**تمرين 67.4 ★.**

اُرسم في المعلم نفسه التمثيلات البيانية للدوال $f(x) = 2x$ و $g(x) = 2x + 3$ و $h(x) = -x + 4$. فماذا يمكن أن يقال عن تمثيلَي $f$ و $g$؟

**حل التمرين 67.4.**

تمرّ $f$ بالمبدأ وميلها $2$؛ و $g$ لها [الميل](#prop-g9-linfunc-affinegraph) نفسه لكنّها تقطع محور $y$ عند $3$؛ و $h$ متناقصة من $(0, 4)$ وميلها $-1$. وتمثيلا $f$ و $g$ *[مستقيمان متوازيان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)* ([فالميل](#prop-g9-linfunc-affinegraph) نفسه، والترتيبان عند المبدأ مختلفان).

**تمرين 67.5 ★.**

أوجِد [الدالة التآلفية](#def-g9-linfunc-affine) التي $f(1) = 5$ و $f(3) = 11$؛ ثم تلك التي $g(0) = 4$ و $g(2) = 0$.

**حل التمرين 67.5.**

من أجل $f$: [الميل](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $\frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$، ثم $5 = 3 \times 1 + b$ يعطي $b = 2$: أي $f(x) = 3x + 2$.

ومن أجل $g$: [الميل](#prop-g9-linfunc-affinegraph) $\frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$، والقيمة $g(0) = 4$ هي الترتيب عند المبدأ أصلًا: أي $g(x) = -2x + 4$.

**تمرين 67.6 ★★.**

اِحسب: الثمن بعد زيادة $25\%$ على $120$؛ والثمن بعد تخفيض $40\%$ على $65$؛ والثمن الأصلي إذا صار ثمن سلعة $69$ بعد تخفيض $25\%$.

**حل التمرين 67.6.**

زيادة $25\%$: $120 \times 1.25 = 150$.

وتخفيض $40\%$: $65 \times 0.6 = 39$.

والثمن الأصلي $p$ حيث $p \times 0.75 = 69$: $p = \frac{69}{0.75} = 92$.

**تمرين 67.7 ★★.**

اِشتراك هاتف A يكلّف $10$ في الشهر مضافًا إليها $0.05$ لكل دقيقة مكالمة؛ والاِشتراك B يكلّف $25$ في الشهر بمكالمات غير محدودة.

1. عبّر عن التكلفة الشهرية للاِشتراك A بدلالة عدد الدقائق $x$ .
2. واِبتداءً من كم دقيقة في الشهر يصير الاِشتراك B أرخص؟

**حل التمرين 67.7.**

*1.* $f(x) = 0.05x + 10$.

*2.* الاِشتراك B أرخص حين $25 < 0.05x + 10$، أي $15 < 0.05x$، أي $x > 300$. فاِبتداءً من $301$ دقيقة ($5$ ساعات) في الشهر، يفوز الاِشتراك B.

**تمرين 67.8 ★★.**

مستعمرة من $2000$ بكتيريا تزيد بنسبة $10\%$ كل ساعة.

1. كم بكتيريا فيها بعد ساعة؟ وبعد ساعتين؟
2. وفسّر لماذا ليس الجواب بعد ساعتين $2400$ .

**حل التمرين 67.8.**

*1.* بعد ساعة: $2000 \times 1.1 = 2200$. وبعد ساعتين: $2200 \times 1.1 = 2420$.

*2.* تنطبق الزيادة الثانية على $2200$ لا على $2000$: فالنمو بنسبة $10\%$ مرّتين يضرب في $1.1^2 = 1.21$، أي زيادة $21\%$، لا $20\%$.

**تمرين 67.9 ★★.**

التمثيل البياني [لدالة تآلفية](#def-g9-linfunc-affine) يمرّ بالنقطتين $(2, 3)$ و $(6, 1)$.

1. اِحسب ميلها. فهل الدالة متزايدة أم متناقصة؟
2. وأعطِ عبارتها، واِحسب المدخل الذي يكون المخرج عنده $0$ .

**حل التمرين 67.9.**

*1.* [الميل](#prop-g9-linfunc-affinegraph): $\frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$: فالدالة متناقصة.

*2.* $f(x) = -0.5x + b$ مع $f(2) = 3$: $-1 + b = 3$، إذن $b = 4$ و $f(x) = -0.5x + 4$. والمخرج $0$: $-0.5x + 4 = 0$ يعطي $x = 8$.

**تمرين 67.10 ★★★.**

يرفع متجر ثمنًا بنسبة $t\,\%$ أولًا، ثم يخفض الثمن الجديد بنسبة $t\,\%$.

1. بيّن أنّ الثمن النهائي يساوي الثمن الأصلي مضروبًا في $1 - \dfrac{t^2}{10000}$ .
2. واِستنتج أنّ الثمن النهائي *أصغر* دائمًا من الأصلي (من أجل $0 < t \leq 100$ )، وجِد التغيّر الإجمالي بالنسبة المئوية من أجل $t = 10$ .

**حل التمرين 67.10.**

*1.* يضرب التغيّران الثمن في

$$
\left(1 + \frac{t}{100}\right)\left(1 - \frac{t}{100}\right)
= 1 - \frac{t^2}{10000}
$$

(المتطابقة الثالثة مع $a = 1$ و $b = \frac{t}{100}$).

*2.* من أجل $0 < t \leq 100$، يكون $\frac{t^2}{10000} > 0$، فالعامل أصغر من $1$: أي أنّ الثمن النهائي أصغر من الأصلي. ومن أجل $t = 10$: العامل $1 - \frac{100}{10000} = 0.99$، أي نقصان إجمالي قدره $1\%$.

## 67.5 مسألة: الميزانان الحراريان

**مسألة 67.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — سيلسيوس وفهرنهايت والدوال التآلفية في الحياة اليومية: درجة حرارة واحدة تُقرأ العدد نفسه على السلّمين، وثبات الميل هو توقيع الاِستقامة

يسمع الأمريكيون «$68$ درجة» فيلبسون خفيفًا؛ ويسمعها الأوروبيون فيمسكون معاطفهم. وميزانا الحرارة في العالم تربطهما [دالة تآلفية](#def-g9-linfunc-affine) — وبناؤها من واقعتين هو بالضبط مهارة [الطريقة 67.7](#met-g9-linfunc-findaffine). وتبني هذه المسألة التحويل، وتجد درجة الحرارة الغريبة التي يتّفق عندها السلّمان، ثم تقرأ سيارات الأجرة والصراصير والشموع بالنظّارتين نفسيهما، وتنتهي بالاِختبار الذي يتعرّف على الاِستقامة نفسها.

**الجزء الأول — بناء التحويل.** واقعتان تثبّتان [سلّم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-scale) فهرنهايت: يتجمّد الماء عند $32\,^\circ$F ويغلي عند $212\,^\circ$F (أي عند $0\,^\circ$C و $100\,^\circ$C).

1. أوجِد [الدالة التآلفية](#def-g9-linfunc-affine) $F = f(C)$ التي تحوّل سيلسيوس إلى فهرنهايت ( [الطريقة 67.7](#met-g9-linfunc-findaffine) بالقيمتين $f(0) = 32$ و $f(100) = 212$ ).
2. وحوّل إلى فهرنهايت: يومًا معتدلًا عند $20\,^\circ$ C؛ وحرارة الجسم $37\,^\circ$ C؛ وصقيعًا عند $-10\,^\circ$ C.
3. وحُلّ من أجل $C$ لتبني التحويل العكسي، واِستعمله على $50\,^\circ$ F وعلى $98.6\,^\circ$ F.
4. فهل $f$ دالة *خطية* ( [التعريف 67.1](#def-g9-linfunc-linear) )؟ اِختبر العلامات الفارقة: ما $f(0)$ ، وهل مضاعفة قراءة سيلسيوس تضاعف قراءة فهرنهايت؟ اِستنتج بالكلمة الصحيحة ( [التعريف 67.4](#def-g9-linfunc-affine) ).
5. واللغز الكلاسيكي: هل توجد درجة حرارة تُقرأ *العدد نفسه* على السلّمين؟ حُلّ $f(x) = x$ ، وصِف ماذا يعني حلّك على التمثيل البياني للدالة $f$ (أيّ [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) يقطعه التمثيل هناك؟).

**الجزء الثاني — [الدوال التآلفية](#def-g9-linfunc-affine) في البرّية.**

6. سيارة أجرة A تأخذ $3$ يورو مضافًا إليها $1.50$ لكل كلم؛ وسيارة B تأخذ $2$ يورو لكل كلم من غير رسم ثابت. اُكتب دالّتَي الثمن وقارن بينهما من أجل رحلة $4$ كلم ورحلة $8$ كلم.
7. وجِد مسافة التعادل التي تتساوى عندها تكلفة السيارتين، وصِف الوضع على تمثيل بياني ( [مستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) — ماذا يحدث عند نقطة التقاطع، وقبلها، وبعدها؟).
8. وقاعدة الطبيعيين التقريبية: يصرّ الصرصور نحو $N = 7T - 30$ مرّة في الدقيقة عند درجة الحرارة $T\,^\circ$ C. فكم صريرًا في مساء عند $20\,^\circ$ C؟ وإذا عددت $82$ صريرًا في دقيقة: فأيّ درجة حرارة يعلنها الصرصور؟
9. وهاتف ثمنه $600$ يورو تنقص قيمته $15$ يورو كل شهر: اُكتب دالة القيمة $v(t)$ ، وجِد متى تصير قيمة الهاتف $240$ يورو، ومتى يقول النموذج إنّها معدومة. فهل تبقى للصيغة دلالة بعد ذلك التاريخ؟
10. والتغيّرات بالنسب المئوية [دوال خطية](#def-g9-linfunc-linear) : فالزيادة $+25\,\%$ هي الضرب في $1.25$ ، والنقصان $-20\,\%$ هو الضرب في $0.8$ ( [القضية 67.9](#prop-g9-linfunc-percent) ). ركّبهما: فماذا تفعل زيادة $+25\,\%$ يتبعها خفض $-20\,\%$ بثمنٍ ما؟ فسّر المعجزة الصغيرة، وقارن مع [التمرين 67.10](#exo-g9-linfunc-10) .

**الجزء الثالث — [الميل](#prop-g9-linfunc-affinegraph) هو كل شيء.**

11. شمعة طولها $20$ سم حين تُشعل و $17$ سم بعد نصف ساعة. بافتراض ذوبان تآلفي، أوجِد $h(t)$ (الاِرتفاع بالسنتيمتر، و $t$ بالدقائق)، وتنبّأ متى تموت الشمعة.
12. ودرّاجان يسيران على الطريق نفسه: مسافة الأول $d_1(t) = 24t$ (بالكيلومترات بعد $t$ ساعة)، ومسافة الثاني $d_2(t) = 10 + 18t$ . فمن اِنطلق بتقدّم، ومن يسير أسرع، وفي أيّ لحظة وعند أيّ كيلومتر يلحق الأول الثاني؟
13. ولتكن $f(x) = 2x + 3$ و $g(x) = -0.5x + 7$ . اِحسب $f(x) + g(x)$ وتحقّق أنّها تآلفية من جديد. فما ميل [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) وترتيبه عند المبدأ، في العموم؟
14. وناقش [المعادلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) $mx + p = 0$ مناقشة كاملة: كم حلًّا حين $m \neq 0$ (وما هو)؟ وحين $m = 0$ و $p \neq 0$ ؟ وحين $m = 0$ و $p = 0$ ؟ (ولكل حالة حكاية على التمثيل البياني: أين يقطع [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) ميله $m$ المحور الأفقي؟)
15. واِختبار الاِستقامة: هل النقاط $(1, 5)$ و $(3, 9)$ و $(7, 17)$ على [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) واحد؟ وهل النقاط $(1, 5)$ و $(3, 9)$ و $(6, 16)$ كذلك؟ اِحسب معدّلات التغيّر بين الأزواج وقرّر. واُذكر العبرة: *ثبات معدّل التغيّر* هو توقيع [الدوال التآلفية](#def-g9-linfunc-affine) — أمّا التمثيلات المنحنية فتغيّر معدّلها، وقياس *ذلك* حكاية لمجلّد الثانوية.

**حل المسألة 67.1.**

**1.** [الميل](#prop-g9-linfunc-affinegraph): $\frac{f(100) - f(0)}{100 - 0} =
\frac{212 - 32}{100} = 1.8$؛ والترتيب عند المبدأ $f(0) = 32$. ومنه

$$
f(C) = 1.8\,C + 32 .
$$

**2.** $f(20) = 68\,^\circ$F (اليوم المعتدل الشهير)؛ و $f(37) = 98.6\,^\circ$F؛ و $f(-10) = 14\,^\circ$F.

**3.** من $F = 1.8C + 32$: $C = \frac{F - 32}{1.8}$. ومنه $50\,^\circ$F $\to \frac{18}{1.8} = 10\,^\circ$C، و $98.6\,^\circ$F $\to \frac{66.6}{1.8} = 37\,^\circ$C.

**4.** $f(0) = 32 \neq 0$، والقيمة $f(20) = 68$ ليست ضِعف $f(10) = 50$: فليست خطية. والتمثيل البياني [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) لا يمرّ بالمبدأ: أي أنّ $f$ *تآلفية* لا خطية.

**5.** $1.8x + 32 = x$ يعطي $0.8x = -32$، إذن $x = -40$: فعند أربعين تحت [الصفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero)، يقرأ الميزانان $-40$ كلاهما. وعلى التمثيل البياني، يقطع [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $f$ [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) القطري $y = x$ هناك بالضبط.

**6.** $p_A(k) = 1.5k + 3$ و $p_B(k) = 2k$. ومن أجل $4$ كلم: $9$ يورو مقابل $8$: فالسيارة B أرخص. ومن أجل $8$ كلم: $15$ مقابل $16$: فالسيارة A أرخص.

**7.** $1.5k + 3 = 2k$ يعطي $k = 6$: فعند ستة كيلومترات تكلّف السيارتان $12$ يورو. وبيانيًّا، يبدأ [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) B (المارّ بالمبدأ، والأشدّ اِنحدارًا) تحت [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) A ويقطعه عند $(6, 12)$: فتفوز B في الرحلات القصيرة، وتفوز A في الطويلة.

**8.** $N = 7 \times 20 - 30 = 110$ صريرًا في الدقيقة. ومن $82 = 7T - 30$: $T = \frac{112}{7} = 16\,^\circ$C.

**9.** $v(t) = 600 - 15t$. والقيمة $240$: $600 - 15t = 240$، أي $t = 24$ شهرًا. والقيمة $0$: أي $t = 40$ شهرًا. وبعد $40$ شهرًا تصير الصيغة سالبة — لكنّ قيمة الهاتف تقف عند [الصفر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero): فلكل نموذج تآلفي نطاق يكون فيه ذا معنًى.

**10.** بالتركيب: $\times 1.25$ ثم $\times 0.8$ يضرب في $1.25 \times 0.8 = 1$: فيعود الثمن إلى بدايته بالضبط. ولا معجزة: فالنسب المئوية تعمل على مرجعين مختلفين (إذ ينطبق الخفض على الثمن المرفوع)، وقد تصادف هنا أن تلاشى المضروبان — وأمّا الحكاية العامّة، بخسارتها المضمّنة $1 - \frac{t^2}{10\,000}$، فهي [التمرين 67.10](#exo-g9-linfunc-10).

**11.** [الميل](#prop-g9-linfunc-affinegraph): $\frac{17 - 20}{30} = -0.1$ سم في الدقيقة؛ و $h(t) = 20 - 0.1t$. وتموت عند $h(t) = 0$: أي $t = 200$ دقيقة — ثلاث ساعات وعشرون دقيقة من الضوء.

**12.** اِنطلق الثاني بتقدّم $10$ كلم (الترتيب عند المبدأ)؛ والأول أسرع ($24 > 18$ كلم/سا). واللحاق: $24t = 10 + 18t$ يعطي $6t = 10$، أي $t = \frac53$ سا $= 1$ سا $40$ دق، عند الكيلومتر $24 \times \frac53 = 40$.

**13.** $f(x) + g(x) = (2 - 0.5)x + (3 + 7) = 1.5x + 10$: فهي تآلفية، وميلها *[مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الميلين*، وترتيبها عند المبدأ [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الترتيبين — وهذا واضح بجمع الحدود المتشابهة في $(mx + p) + (m'x + p')$.

**14.** إذا كان $m \neq 0$: فحلّ واحد بالضبط، $x = -\frac pm$ — إذ يقطع [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) غير الأفقي المحور مرّة واحدة. وإذا كان $m = 0$ و $p \neq 0$: فلا حلّ — إذ لا يلمس المستقيمُ الأفقي فوق المحور أو تحته المحورَ أبدًا. وإذا كان $m = 0$ و $p = 0$: فكل $x$ حلّ — إذ يكون [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) *هو* المحور.

**15.** الثلاثية الأولى: المعدّلان $\frac{9 - 5}{3 - 1} = 2$ و $\frac{17 - 9}{7 - 3} = 2$: متساويان، فالنقاط على اِستقامة واحدة (على $y = 2x + 3$). والثلاثية الثانية: $\frac{9-5}{2} = 2$ لكنّ $\frac{16 - 9}{3} = \frac73 \neq 2$: فليست على اِستقامة واحدة. [والدوال التآلفية](#def-g9-linfunc-affine) هي بالضبط ذوات معدّل التغيّر الثابت — فعدد واحد، هو [الميل](#prop-g9-linfunc-affinegraph)، يروي الحكاية كلّها؛ أمّا المنحنيات فيتغيّر معدّلها من نقطة إلى أخرى، ومطاردته تقود إلى المشتقّة، في مجلّد الثانوية.