---
title: "مبرهنة طاليس"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 68
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/68-thales-theorem
---

# الفصل 68 — مبرهنة طاليس

كيف تقيس اِرتفاع [هرم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) من غير أن تتسلّقه؟ قارن طاليس الميليتي ظلّه بظلّ عصًا. ومبرهنته — [المستقيمات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) المتوازية تقطع [القطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) قِطعًا متناسبة — هي القلب الرياضي لنماذج [السلّم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-scale) والخرائط والتكبيرات، وإحدى أقدم المبرهنات التي تحمل اِسمًا.

## 68.1 المبرهنة

**مبرهنة 68.1 (طاليس).**

ليتقاطع [مستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) في نقطة $A$. وخذ $M$ على الأول و $N$ على الثاني، مع $B$ أبعد على الأول و $C$ أبعد على الثاني. فإذا كان [المستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(MN)$ و $(BC)$ *[متوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)*، كان للمثلثين $AMN$ و $ABC$ أضلاع متناسبة:

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.
$$

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![وضعيّتا طاليس: مثلثان متداخلان (على اليسار) و«الفراشة»، حيث تقع M و N على الجهة الأخرى من A (على اليمين). وفي الحالتين (MN) (BC) والنسب الثلاث متساوية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-45201f71a40b.svg)

![وضعيّتا طاليس: مثلثان متداخلان (على اليسار) و«الفراشة»، حيث تقع M و N على الجهة الأخرى من A (على اليمين). وفي الحالتين (MN) (BC) والنسب الثلاث متساوية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-9ab852c1ceba.svg)

*وضعيّتا طاليس: مثلثان متداخلان (على اليسار) و«الفراشة»، حيث تقع $M$ و $N$ على الجهة الأخرى من $A$ (على اليمين). وفي الحالتين $(MN) \parallel (BC)$ والنسب الثلاث متساوية.*

**طريقة 68.2 (حساب طول بمبرهنة طاليس).**

1. عيّن النقطة $A$ حيث يتقاطع [المستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) ، [والمستقيمين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [المتوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) ؛ وسمِّ المثلثين؛
2. واُكتب النسب الثلاث المتساوية، دائمًا «المثلث الصغير على المثلث الكبير»؛
3. واِحتفظ بتساوي النسبتين اللتين تضمّان الأطوال الثلاثة المعلومة والطول المجهول؛
4. وحُلّ [التناسب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/67-linear-and-affine-functions#def-g9-linfunc-linear) الناتج بالضرب المتقاطع.

**مثال 68.3.**

في الوضعية اليسرى أعلاه، ليكن $AM = 3$ و $AB = 5$ و $AN = 2.4$ و $MN = 3.3$، ولنحسب $AC$ و $BC$. تعطي مبرهنة طاليس

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC},
\qquad\text{أي}\qquad
\frac35 = \frac{2.4}{AC} = \frac{3.3}{BC}.
$$

ومن $\frac35 = \frac{2.4}{AC}$، بالضرب المتقاطع: $3 \times AC = 5 \times 2.4 = 12$، إذن $AC = 4$. ومن $\frac35 = \frac{3.3}{BC}$: $3 \times BC = 16.5$، إذن $BC = 5.5$.

**مثال 68.4 (طاليس في الحياة الواقعية).**

عصًا عمودية اِرتفاعها $1$ م تلقي ظلًّا طوله $1.5$ م، بينما تلقي شجرة ظلًّا طوله $12$ م في اللحظة نفسها. وأشعّة الشمس متوازية، فيكون مثلث العصا وظلّها ومثلث الشجرة وظلّها في وضعية طاليس:

$$
\frac{\text{اِرتفاع الشجرة}}{1} = \frac{12}{1.5},
\qquad\text{فاِرتفاع الشجرة } 8 \text{ م.}
$$

## 68.2 المبرهنة العكسية

**مبرهنة 68.5 (عكس مبرهنة طاليس).**

بوضع النقط كما في [المبرهنة 68.1](#thm-g9-thales-direct) (فتكون $M$ على $(AB)$، و $N$ على $(AC)$، بالترتيب نفسه على [المستقيمين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects)): إذا كان

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},
$$

كان [المستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(MN)$ و $(BC)$ [متوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp).

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**طريقة 68.6 (البرهنة على التوازي أو نفيه).**

1. اِحسب على حدة النسبتين $\dfrac{AM}{AB}$ و $\dfrac{AN}{AC}$ (كسورًا، لا تقريبات)؛
2. فإذا تساوتا *وكانت* النقط بالترتيب نفسه على [المستقيمين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) ، كان [المستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [متوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) (عكس مبرهنة طاليس)؛
3. وإذا اِختلفتا، [فالمستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) *ليسا* [متوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) — لأنّهما لو كانا كذلك، لفرضت مبرهنة طاليس تساوي النسبتين.

**مثال 68.7.**

على [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الأول، $AM = 4$ و $AB = 10$؛ وعلى الثاني، $AN = 6$ و $AC = 15$. إذن

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = \frac25,
\qquad
\frac{AN}{AC} = \frac{6}{15} = \frac25 :
$$

نسبتان متساويتان، والترتيب نفسه: إذن $(MN) \parallel (BC)$.

وبأخذ $AC = 14$ بدلًا من ذلك: $\frac{6}{14} = \frac37 \neq \frac25$، [فالمستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) ليسا [متوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp).

## 68.3 التكبير والتصغير

**تعريف 68.8 (تحجيم شكل).**

تكبير شكل أو تصغيره *بمعامل التحجيم* $k > 0$ يعني ضرب *كل* أطواله في $k$: فيكون *تكبيرًا* حين $k > 1$، و*تصغيرًا* حين $k < 1$. وفي وضعية طاليس، يكون المثلث $AMN$ تصغيرًا للمثلث $ABC$ بالمعامل $k = \frac{AM}{AB}$.

**قضية 68.9 (الأثر في الزوايا والمساحات).**

التحجيم بالمعامل $k$ يحفظ الزوايا وشكل الأشكال، ويضرب كل طول في $k$، ويضرب كل *[مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area)* في $k^2$.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![مضاعفة الأطوال (k = 2) تضرب المساحة في k2 = 4: فأربع نسخ من المستطيل الصغير تبلّط الكبير.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-f48252eddc74.svg)

*مضاعفة الأطوال ($k = 2$) تضرب [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) في $k^2 = 4$: فأربع نسخ من المستطيل الصغير تبلّط الكبير.*

**مثال 68.10.**

صورة قياسها $10 \times 15$ سم تُكبَّر [بمعامل تحجيم](#def-g9-thales-scaling) $k = 3$: فتقيس المطبوعة $30 \times 45$ سم. وتنتقل مساحتها من $150$ سم$^2$ إلى $150 \times 9 = 1350$ سم$^2$ — أي $9$ أمثال، لا $3$.

## 68.4 تمارين

**تمرين 68.1 ★.**

[المستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(MN)$ و $(BC)$ متوازيان، مع $M$ على $[AB]$ و $N$ على $[AC]$؛ و $AM = 2$ و $AB = 6$ و $AN = 3$ و $BC = 9$. اِحسب $AC$ و $MN$.

**حل التمرين 68.1.**

طاليس: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$، أي $\dfrac26 = \dfrac13$. إذن $\dfrac{3}{AC} = \dfrac13$ يعطي $AC = 9$، و $\dfrac{MN}{9} = \dfrac13$ يعطي $MN = 3$.

**تمرين 68.2 ★.**

الوضعية نفسها: $AM = 5$ و $MB = 3$ (اِنتبه: $MB$ لا $AB$!) و $AN = 4$. اِحسب $AC$.

**حل التمرين 68.2.**

جِد أولًا $AB = AM + MB = 5 + 3 = 8$. ثم $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ يعطي $\dfrac58 = \dfrac{4}{AC}$، إذن $5 \times AC = 32$ و $AC = 6.4$.

**تمرين 68.3 ★.**

في وضعية فراشة، تقع $A$ بين $M$ و $B$ وبين $N$ و $C$، مع $(MN) \parallel (BC)$؛ و $AM = 3$ و $AB = 7.5$ و $AN = 2$ و $MN = 2.6$. اِحسب $AC$ و $BC$.

**حل التمرين 68.3.**

تشتغل الفراشة تمامًا كالوضعية المتداخلة: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$، أي $\dfrac{3}{7.5} = \dfrac25$. إذن $\dfrac{2}{AC} = \dfrac25$ يعطي $AC = 5$، و $\dfrac{2.6}{BC} = \dfrac25$ يعطي $BC = \dfrac{2.6 \times 5}{2} = 6.5$.

**تمرين 68.4 ★.**

$M$ على $[AB]$ حيث $AM = 6$ و $AB = 8$؛ و $N$ على $[AC]$ حيث $AN = 9$ و $AC = 12$. فهل [المستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(MN)$ و $(BC)$ متوازيان؟

**حل التمرين 68.4.**

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac68 = \dfrac34$ و $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$: نسبتان متساويتان، والنقط بالترتيب نفسه، إذن $(MN) \parallel (BC)$ بعكس مبرهنة طاليس.

**تمرين 68.5 ★★.**

كما سبق مع $AM = 4$ و $AB = 6$ و $AN = 5$ و $AC = 8$. فهل $(MN)$ و $(BC)$ متوازيان؟ برّر بعناية.

**حل التمرين 68.5.**

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac46 = \dfrac23$ و $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac58$. وللمقارنة: $\dfrac23 = \dfrac{16}{24}$ و $\dfrac58 = \dfrac{15}{24}$: فالنسبتان مختلفتان. ولو كان [المستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) [متوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)، لفرضت مبرهنة طاليس تساويهما — إذن $(MN)$ و $(BC)$ *ليسا* [متوازيين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp).

**تمرين 68.6 ★★.**

شخص طوله $1.8$ م يقف على بعد $2$ م من قاعدة مصباح شارع؛ وظلّه يقيس $3$ م. اُرسم وضعية طاليس التي يشكّلها المصباح والشخص وطرف الظلّ، واِحسب اِرتفاع المصباح.

**حل التمرين 68.6.**

لتكن $S$ طرف الظلّ، و $P$ قمّة رأس الشخص، و $L$ قمّة المصباح. فالشخص ($1.8$ م على بعد $3$ م من $S$) والمصباح (اِرتفاعه $h$ على بعد $3 + 2 = 5$ م من $S$) متوازيان وهما [قطعتان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) عموديتان يقطعهما شعاع الضوء $(SL)$: فطاليس اِنطلاقًا من النقطة $S$ يعطي

$$
\frac{1.8}{h} = \frac{3}{5},
\qquad\text{إذن}\quad
h = \frac{1.8 \times 5}{3} = 3 \text{ م}.
$$

**تمرين 68.7 ★★.**

خريطة سلّمها $1 : 25\,000$ (فالأطوال على الخريطة هي الأطوال الحقيقية مضروبة في $k = \frac{1}{25000}$).

1. تبعد قريتان $6.8$ سم إحداهما عن الأخرى على الخريطة. فما المسافة الحقيقية، بالكيلومترات؟
2. وغابة مساحتها $8$ سم $^2$ على الخريطة. فما مساحتها الحقيقية، بالكلم $^2$ ؟

**حل التمرين 68.7.**

*1.* المسافة الحقيقية: $6.8 \times 25\,000 = 170\,000$ سم $=
1.7$ كلم.

*2.* تتحجّم المساحات بالمعامل $k^2$: [فالمساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) الحقيقية $= 8 \times 25\,000^2$ سم$^2$ $= 8 \times 6.25 \times 10^8$ سم$^2$ $= 5 \times 10^9$ سم$^2$. وبما أنّ $1$ كلم$^2 = 10^{10}$ سم$^2$، فهي $0.5$ كلم$^2$.

**تمرين 68.8 ★★.**

في المثلث $ABC$: $AB = 12$ و $AC = 15$ و $BC = 18$. والنقطة $M$ على $[AB]$ تحقّق $AM = 8$، [والمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) المارّ بالنقطة $M$ [والموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) [للمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(BC)$ يقطع $[AC]$ في $N$.

1. اِحسب $AN$ و $MN$ .
2. وما [معامل التحجيم](#def-g9-thales-scaling) من $ABC$ إلى $AMN$ ؟ وقارن محيطَي المثلثين.

**حل التمرين 68.8.**

*1.* النسبة هي $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$. وطاليس: $AN = \frac23 \times 15 = 10$ و $MN = \frac23 \times 18 = 12$.

*2.* [معامل التحجيم](#def-g9-thales-scaling) هو $k = \frac23$. والمحيطان: للمثلث $ABC$ [محيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) $12 + 15 + 18 = 45$، وللمثلث $AMN$ [محيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) $8 + 10 + 12 = 30 = \frac23 \times
45$: [فالمحيط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) يتحجّم بالمعامل $k$ أيضًا، كأيّ طول.

**تمرين 68.9 ★★★.**

ليكن $ABCD$ شبه منحرف حيث $(AB) \parallel (CD)$ و $AB = 4$ و $CD = 6$، ويتقاطع قطراه $[AC]$ و $[BD]$ في $O$. وباِستعمال طاليس في وضعية الفراشة حول $O$، اِحسب النسبة $\dfrac{OA}{OC}$، وبيّن أنّ $O$ يقطع القطرين بالنسبة نفسها.

**حل التمرين 68.9.**

حول $O$، يتقاطع [المستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(AC)$ و $(BD)$، و $(AB) \parallel (CD)$: أي وضعية فراشة بالمثلثين $OAB$ و $OCD$. وتعطي مبرهنة طاليس

$$
\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac46 = \frac23 .
$$

إذن $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac23$، والتساوي $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$ يقول بالضبط إنّ $O$ يقطع القطرين بالنسبة نفسها.

## 68.5 مسألة: المسطرة غير المدرّجة، وآلة التصوير ذات الثقب، والمتوسطات الثلاثة لشبه المنحرف

**مسألة 68.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — طاليس في العمل: تقسيم أيّ قطعة إلى أجزاء متساوية، وقياس الشمس بعلبة أحذية، وشبه منحرف تلتقي فيه المتوسطات الشهيرة الثلاثة

مبرهنة طاليس هي رياضيات *الأشعّة*: أشعّة الشمس، وأشعّة الضوء عبر ثقب، وحزم الأشعّة من رأس. وتستعملها هذه المسألة على ثلاثة وجوه — أداةَ إنشاء (لتقسيم [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) أيًّا كان طولها، حتى $\sqrt2$، إلى أجزاء متساوية تمامًا)، وآلةَ قياس ([قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) الشمس، بعلبة أحذية [وقطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) نقود)، وعدسةً مكبّرة على شبه المنحرف في [التمرين 68.9](#exo-g9-thales-9)، حيث تظهر المتوسطات الحسابي والهندسي والتوافقي في هذه السلسلة كلّها في شكل واحد.

**الجزء الأول — التقسيم بمسطرة غير مدرّجة.**

1. اُرسم [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ طولها $7$ سم. ولتقسيمها إلى ثلاثة أجزاء متساوية بالفرجار والمسطرة غير المدرّجة: اُرسم نصف [مستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) أيًّا كان من $A$ (لا يمرّ بالنقطة $B$ )؛ واِنقل عليه ثلاثة أطوال متساوية بالفرجار، فتحصل على النقط $P_1$ و $P_2$ و $P_3$ ؛ وصِل $P_3$ بالنقطة $B$ ؛ واُرسم [الموازيَين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) [للمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(P_3 B)$ المارّين بالنقطتين $P_1$ و $P_2$ . أنجِز الإنشاء وعلّم أين يقطع [الموازيان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ .
2. وبرّر باِستعمال [المبرهنة 68.1](#thm-g9-thales-direct) أنّ النقطتين المعلَّمتين تقطعان $[AB]$ عند ثلثيها بالضبط.
3. وكيّف الطريقة لتقسيم [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) إلى $5$ أجزاء متساوية، ثم لإنشاء $\frac35$ من [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) معطاة.
4. وأنشِئ النقطة $M$ من $[AB]$ حيث $\frac{AM}{MB} = \frac23$ (أي $M$ عند $\frac25$ من الطريق اِنطلاقًا من $A$ ). فكم خطوة متساوية على نصف [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) ، وأيّ نقطة تُوصَل بالنقطة $B$ ؟
5. ولماذا يكون هذا الإنشاء أفضل من القياس بمسطرة مدرّجة؟ اُنظر في [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) طولها $\sqrt2$ ( [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) مربّع واحدي، وهو أصمّ حسب [المسألة 65.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/65-square-roots#pb-g9-sqrt-1) ): فماذا يعطي القياس، وماذا تعطي مبرهنة طاليس؟

**الجزء الثاني — آلة التصوير ذات الثقب.** اِثقب بدبّوس أحد [أوجه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) علبة مغلقة: فتظهر على الوجه المقابل صورة مقلوبة للعالم. فنقطة من الجسم، والثقب، ونقطة الصورة على اِستقامة واحدة — إذ يسير الضوء مستقيمًا — فيقع الجسم (اِرتفاعه $H$، وعلى بعد $D$ أمام الثقب) وصورته (اِرتفاعها $h$، على الجدار الخلفي على عمق $d$ خلف الثقب) في وضعية الفراشة عند طاليس.

6. اِستنتج صيغة الثقب $h = H \times \frac dD$ من طاليس في الفراشة حول الثقب.
7. وشجرة اِرتفاعها $12$ م تقف على بعد $30$ م من علبة أحذية عمقها $20$ سم. فما اِرتفاع صورتها، وفي أيّ اِتّجاه؟
8. ووجّه العلبة نحو الشمس: على بعد $d = 1$ م خلف الثقب، تكون صورة الشمس قرصًا قطره نحو $9$ مم. وبمعرفة بعد الشمس $D = 1.5 \times 10^{11}$ م، اِحسب قطرها [بالترميز العلمي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-scientific) (وترميز [المسألة 63.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#pb-g9-fractions-1) في العمل). وقارن بالقيمة الحقيقية، $1.39 \times 10^9$ م.
9. والقمر: قطره $3.5 \times 10^6$ م، وبعده $3.8 \times 10^8$ م. اِحسب النسبة $\frac{\text{القطر}}{\text{البعد}}$ للقمر وللشمس. فأيّ مصادفة سعيدة يكشفها العددان — وأيّ حدث مذهل يجعلانه ممكنًا؟
10. وفي جملة أو جملتين: لماذا تكون صورة الثقب مقلوبة، ولماذا يجعل توسيع الثقب الصورة أسطع لكن أكثر ضبابية؟

**الجزء الثالث — شبه المنحرف ذو المتوسطات الثلاثة.** و $ABCD$ هو شبه المنحرف في [التمرين 68.9](#exo-g9-thales-9): $(AB) \parallel (CD)$، و $AB = 4$، و $CD = 6$، ويتقاطع القطران في $O$ حيث $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{4}{6} =
\frac23$.

11. تمرين على الفراشة: يتقاطع [مستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) في $O$ مع $(MN) \parallel (PQ)$ في وضعية فراشة؛ و $OM = 3$ ، و $OP = 7.5$ ، و $MN = 4$ ، و $OQ = 6$ . اِحسب $PQ$ و $ON$ .
12. وفسّر كيف تحوي مبرهنة طاليس، مطبَّقةً بالنسبة $\frac12$ ، مبرهنة المنتصفات في [المبرهنة 59.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/59-midpoints-and-parallels#thm-g8-midpoints-direct) حالةً خاصّة منها.
13. واُرسم [الموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) للقاعدتين المارّ بالنقطة $O$ ؛ فيلتقي $[AD]$ في $E$ . وبالعمل في المثلث $ACD$ (ولاحظ أنّ $\frac{AO}{AC} = \frac25$ )، اِحسب $EO$ .
14. وبالحساب المرآتي في المثلث $BDC$، تكون [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $OF$ (حيث $F$ على $[BC]$) بالطول نفسه. اِستنتج أنّ $$EF = 2 \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} = 4.8 :$$ أي أنّ [الموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) المارّ بتقاطع القطرين يقيس *[المتوسط التوافقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/61-proportionality-speed-and-averages#pb-g8-speed-1)* للقاعدتين — متوسط الذهاب والإياب في [المسألة 61.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/61-proportionality-speed-and-averages#pb-g8-speed-1)، عائدًا في هندسة خالصة.
15. والختام الكبير: اِحسب المتوسطات الكلاسيكية الثلاثة للقاعدتين $4$ و $6$ — الحسابي $\frac{4+6}{2}$ ، والهندسي $\sqrt{4 \times 6}$ ، والتوافقي $\frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6}$ — ورتّبها. ولكلٍّ منها موضع في شبه المنحرف: فالمتوسط الحسابي هو الخط المتوسّط الواصل بين منتصفَي الساقين ( [المسألة 53.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#pb-g7-areas-1) )، [والمتوسط التوافقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/61-proportionality-speed-and-averages#pb-g8-speed-1) هو قطعتك $EF$ ، [والمتوسط الهندسي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/60-the-right-triangle-and-the-cosine#pb-g8-cosine-1) هو [الموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) الذي يقطع شبه المنحرف إلى شبهَي منحرف *متشابهين* (تحقّق من قيمته بالآلة الحاسبة؛ والبرهان تحدٍّ إضافي جميل). وأين بُرهن على المتباينة بين الثلاثة في هذا الكتاب ( [المسألة 60.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/60-the-right-triangle-and-the-cosine#pb-g8-cosine-1) ، و [المسألة 61.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/61-proportionality-speed-and-averages#pb-g8-speed-1) )؟

**حل المسألة 68.1.**

**1.** يعطي الإنشاء نقطتين على $[AB]$؛ ولنسمِّهما $M_1$ (من $P_1$) و $M_2$ (من $P_2$).

**2.** في المثلث $A P_3 B$، يقطع [الموازيان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) [للمستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(P_3 B)$ المارّان بالنقطتين $P_1$ و $P_2$ الضلعين تقاطعًا متناسبًا ([المبرهنة 68.1](#thm-g9-thales-direct)):

$$
\frac{A M_1}{AB} = \frac{A P_1}{A P_3} = \frac13,
\qquad
\frac{A M_2}{AB} = \frac{A P_2}{A P_3} = \frac23 .
$$

وقد جعل الفرجار $A P_1$ و $P_1 P_2$ و $P_2 P_3$ متساوية، فالنسب أثلاث بالضبط — مهما كانت زاوية نصف [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) وفتحة الفرجار المختارتان.

**3.** من أجل الأخماس: اِنقل خمسة أطوال متساوية، وصِل النقطة الخامسة بالنقطة $B$، واُرسم أربعة [مستقيمات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) موازية. ومن أجل $\frac35$ من [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects): الشكل نفسه، وخذ النقطة التي يقطعها [الموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) المارّ بالنقطة $P_3$: فهي عند $\frac{3}{5}$ من $[AB]$ اِنطلاقًا من $A$.

**4.** $\frac{AM}{MB} = \frac23$ تعني $AM = \frac25 AB$: خمس خطوات متساوية على نصف [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects)، وصِل $P_5$ بالنقطة $B$، فيعلّم [الموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) المارّ بالنقطة $P_2$ النقطة $M$.

**5.** قياس $\sqrt2 = 1.41421\ldots$ سم لا يستعمل أبدًا سوى عدد منتهٍ من الأرقام العشرية: فكل «ثلث» مقيس [تقريب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-rounding). أمّا إنشاء طاليس فلا يقرأ عددًا قطّ: بل يعطي النقطة المضبوطة عند $\frac{\sqrt2}{3}$ — أجزاءً متساوية من [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) لا تستطيع أيّ مسطرة حتى التعبير عنها ([المسألة 65.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/65-square-roots#pb-g9-sqrt-1)).

**6.** قمّة الجسم والثقب وأسفل الصورة على اِستقامة واحدة، وكذلك أسفل الجسم وقمّة الصورة: [مستقيمان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) يتقاطعان عند الثقب، والجسم وجدار الصورة متوازيان. وطاليس في الفراشة:

$$
\frac{h}{H} = \frac{d}{D},
\qquad\text{إذن}\qquad
h = H \times \frac dD .
$$

**7.** $h = 12 \times \frac{0.20}{30} = 0.08$ م $= 8$ سم — ومقلوبة (فالأشعّة تتقاطع عند الثقب).

**8.** $H = h \times \frac Dd = 9 \times 10^{-3} \times
\frac{1.5 \times 10^{11}}{1} = 1.35 \times 10^{9}$ م. والقيمة الحقيقية $1.39 \times 10^9$ م: فعلبة أحذية تقيس الشمس في حدود نسبة مئوية قليلة.

**9.** القمر: $\frac{3.5 \times 10^6}{3.8 \times 10^8}
\approx 0.0092$. والشمس: $\frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times
10^{11}} \approx 0.0093$. فالنسبتان — وهما الحجمان الظاهريان في السماء — تكادان تتطابقان: فيستطيع القمر أن يغطّي الشمس *بالضبط*، حافّةً بحافّة. وتلك المصادفة الكونية هي الكسوف الكلّي للشمس.

**10.** كل شعاع مضطرّ إلى المرور بالثقب الوحيد، فأشعّة قمّة الجسم تمضي *إلى الأسفل* وأشعّة أسفله تمضي *إلى الأعلى*: فتنقلب الصورة. وتوسيع الثقب يمرّر حزمة كاملة من نسخ الصورة المزاحة قليلًا، فتتراكب: أسطع، لكن ملطّخة.

**11.** $\frac{PQ}{MN} = \frac{OP}{OM} = \frac{7.5}{3}
= 2.5$، إذن $PQ = 10$؛ و $\frac{ON}{OQ} = \frac{OM}{OP} =
\frac{1}{2.5}$، إذن $ON = \frac{6}{2.5} = 2.4$.

**12.** إذا مرّ [الموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) بمنتصف أحد الضلعين، كانت نسبة طاليس $\frac12$، فيقطع الضلع الثاني عند منتصفه *هو*، وتقيس [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الموازية نصف القاعدة: وهي بالضبط [المبرهنة 59.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/59-midpoints-and-parallels#thm-g8-midpoints-direct). فطاليس هي مبرهنة المنتصفات محرَّرةً من النسبة $\frac12$.

**13.** في المثلث $ACD$، [المستقيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(EO)$ [موازٍ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) للقاعدة $(CD)$، مع $\frac{AO}{AC} = \frac{OA}{OA + OC} =
\frac{4}{4 + 6} = \frac25$. وطاليس: $\frac{EO}{DC} = \frac{AO}{AC} = \frac25$، إذن $EO = \frac25 \times 6 = 2.4$.

**14.** وفي المثلث $BDC$، كذلك $\frac{BO}{BD} = \frac25$ و $OF = \frac25 \times 6 = 2.4$. ومنه

$$
EF = EO + OF = 4.8
= \frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6} :
$$

أي [المتوسط التوافقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/61-proportionality-speed-and-averages#pb-g8-speed-1) للقاعدتين — متوسط رحلات الذهاب والإياب ([المسألة 61.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/61-proportionality-speed-and-averages#pb-g8-speed-1))، مرسومًا في شبه منحرف.

**15.** الحسابي: $5$؛ والهندسي: $\sqrt{24} \approx 4.90$؛ والتوافقي: $4.8$. والترتيب: $4.8 < 4.90\ldots < 5$، أي التوافقي $<$ الهندسي $<$ الحسابي — ولا تساوي إلا عند تساوي القاعدتين. وفي الشكل: يقيس الخط المتوسّط $5$، [والموازي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) المارّ بتقاطع القطرين $4.8$، وقطع التشابه $\sqrt{24}$، وكلّها مرصوفة بين القاعدتين بذلك الترتيب. وقد بُرهن على المتباينات في [المسألة 60.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/60-the-right-triangle-and-the-cosine#pb-g8-cosine-1) (الهندسي $\leq$ الحسابي، بالدائرة وبالمتطابقة) و[المسألة 61.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/61-proportionality-speed-and-averages#pb-g8-speed-1) (التوافقي $\leq$ الحسابي)؛ ويتبع التوافقي $\leq$ الهندسي بتركيبهما ($H \times A = G^2$، وقد بُرهن عليه هناك أيضًا).