---
title: "حساب المثلثات في المثلث القائم الزاوية"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 69
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/69-trigonometry-in-the-right-triangle
---

# الفصل 69 — حساب المثلثات في المثلث القائم الزاوية

في [المثلث القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)، متى عرفت زاوية حادّة واحدة، تعيّن *شكل* المثلث — ولا يبقى متغيّرًا سوى حجمه. ومن ثمّ لا تتعلّق نسب أضلاعه إلا بالزاوية: وهذه النسب هي [جيب التمام](#def-g9-trig-ratios) [والجيب](#def-g9-trig-ratios) والظلّ. وهي، مع مبرهنة فيثاغورس، تتيح لك حساب كل ضلع وكل زاوية في [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) اِنطلاقًا من معلومات قليلة جدًّا.

## 69.1 مبرهنة فيثاغورس، من جديد

**مبرهنة 69.1 (فيثاغورس).**

في مثلث $ABC$ [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $A$، يكون مربّع الوتر [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) مربّعَي ضلعَي القائمة:

$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 .
$$

وبالعكس، إذا كان $BC^2 = AB^2 + AC^2$ في مثلث، كان [المثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $A$.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**مثال 69.2.**

[مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ضلعا قائمته $AB = 5$ و $AC = 12$. إذن

$$
BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169,
\qquad\text{إذن}\quad BC = \sqrt{169} = 13 .
$$

ولإيجاد *ضلع قائمة*: إذا كان $BC = 10$ و $AB = 6$، فإنّ $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 100 - 36 = 64$، إذن $AC = 8$.

## 69.2 جيب التمام والجيب والظلّ

في [المثلث القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)، وبالنسبة إلى زاوية حادّة $\theta$، تحمل الأضلاع الثلاثة أسماء: *الوتر* (المقابل [للزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle)، وهو أطول الأضلاع)، والضلع *المقابل* للزاوية $\theta$، والضلع *المجاور* للزاوية $\theta$ (وهو ضلع القائمة الملامس للزاوية $\theta$).

**تعريف 69.3 (النسب المثلثية).**

من أجل زاوية حادّة $\theta$ في [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles):

$$
\cos\theta = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}},
\qquad
\sin\theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}},
\qquad
\tan\theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} .
$$

وهذه النسب لا تتعلّق إلا بالزاوية $\theta$، لا [بحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) المثلث (فكل المثلثات القائمة الزاوية التي لها الزاوية الحادّة نفسها تحجيمات بعضها لبعض، حسب طاليس).

![الأضلاع الثلاثة منظورًا إليها من الزاوية = B: الوتر (BC)، والضلع المجاور (BA)، والضلع المقابل (AC).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-trig/fig-7013d5bd7de1.svg)

*الأضلاع الثلاثة منظورًا إليها من الزاوية $\theta = \widehat B$: الوتر $[BC]$، والضلع المجاور $[BA]$، والضلع المقابل $[AC]$.*

**قضية 69.4 (الخواص الأولى).**

من أجل كل زاوية حادّة $\theta$:

1. $0 < \cos\theta < 1$ و $0 < \sin\theta < 1$ (فضلع القائمة أقصر من الوتر)؛
2. $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ ؛
3. $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .

**برهان.** لنكتب $a$ للضلع المجاور، و $o$ للضلع المقابل، و $h$ للوتر في [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) له الزاوية $\theta$.

1. $0 < a < h$ و $0 < o < h$، فالنسبتان محصورتان تمامًا بين $0$ و $1$.

2. حسب فيثاغورس، $a^2 + o^2 = h^2$. فاِقسم كل شيء على $h^2$:

$$
\cos^2\theta + \sin^2\theta
= \frac{a^2}{h^2} + \frac{o^2}{h^2}
= \frac{a^2 + o^2}{h^2} = 1 .
$$

3. $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{o/h}{a/h} = \dfrac oa
= \tan\theta$. ∎

**طريقة 69.5 (إيجاد ضلع).**

لحساب ضلع مجهول حين يُعرف ضلع وزاوية حادّة:

1. علّم الزاوية المعلومة وسمِّ الأضلاع الثلاثة (الوتر، والمقابل، والمجاور) *اِنطلاقًا من تلك الزاوية* ؛
2. واِختر النسبة ( [جيب التمام](#def-g9-trig-ratios) أو [الجيب](#def-g9-trig-ratios) أو الظلّ) التي تضمّ الضلع المعلوم والضلع المطلوب؛
3. واُكتب [المعادلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) وحُلّها؛
4. وتحقّق من المعقولية: يجب أن يخرج الوتر أطول الأضلاع.

**مثال 69.6.**

في [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)، يقيس الوتر $8$ وإحدى الزاويتين $35^\circ$؛ اِحسب الضلع المقابل لها. والنسبة التي تضمّ الضلع المقابل والوتر هي [الجيب](#def-g9-trig-ratios):

$$
\sin 35^\circ = \frac{\text{المقابل}}{8}
\quad\Longrightarrow\quad
\text{المقابل} = 8 \sin 35^\circ \approx 8 \times 0.574 \approx 4.6 .
$$

وللضلع المجاور، اِستعمل [جيب التمام](#def-g9-trig-ratios): $8\cos 35^\circ \approx 8 \times 0.819 \approx 6.6$. والتحقّق بفيثاغورس: $4.6^2 + 6.6^2 \approx 21 + 43 \approx 64 = 8^2$.

**طريقة 69.7 (إيجاد زاوية).**

حين يُعرف ضلعان، اِحسب النسبة التي يشكّلانها، وتعرّف عليها جيبَ تمام أو جيبًا أو ظلًّا للزاوية المجهولة، وطبّق على النسبة الدالة العكسية في الآلة الحاسبة ($\cos^{-1}$ أو $\sin^{-1}$ أو $\tan^{-1}$).

**مثال 69.8.**

سلّم طوله $5$ م مسنود إلى جدار، وقدمه على بعد $1.4$ م من الجدار. فالزاوية $\theta$ بين السلّم والأرض تحقّق

$$
\cos\theta = \frac{1.4}{5} = 0.28,
\qquad\text{إذن}\quad
\theta = \cos^{-1}(0.28) \approx 73.7^\circ .
$$

![مسألة السلّم: الضلع المجاور (1.4 م) والوتر (5 م) معلومان، فجيب التمام يعطي الزاوية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-trig/fig-17054bd4c6fd.svg)

*مسألة السلّم: الضلع المجاور ($1.4$ م) والوتر ($5$ م) معلومان، [فجيب التمام](#def-g9-trig-ratios) يعطي الزاوية.*

**مثال 69.9 (الزوايا الخاصّة).**

يعطي مثلثان قيمًا مضبوطة. فنصف مربّع ضلعه 1 (وهو [مثلث متساوي الساقين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)) وتره $\sqrt2$ وزاويتاه $45^\circ$:

$$
\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2},
\qquad \tan 45^\circ = 1 .
$$

ونصف [مثلث متساوي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ضلعه 1 يعطي الزاويتين $30^\circ$ و $60^\circ$:

$$
\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \frac12,
\qquad
\cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}.
$$

## 69.3 تمارين

**تمرين 69.1 ★.**

[مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ضلعا قائمته $9$ و $12$. اِحسب وتره. وآخر وتره $17$ وأحد ضلعَي قائمته $8$: اِحسب الضلع الآخر.

**حل التمرين 69.1.**

الوتر: $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

وضلع القائمة الآخر: $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$.

**تمرين 69.2 ★.**

مثلث أضلاعه $7$ و $24$ و $25$. فهل هو [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)؟ والسؤال نفسه من أجل الأضلاع $5$ و $6$ و $8$.

**حل التمرين 69.2.**

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$: نعم، [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) (بعكس فيثاغورس)، [والزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) مقابلة للضلع $25$.

$5^2 + 6^2 = 61 \neq 64 = 8^2$: ليس [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles).

**تمرين 69.3 ★.**

في مثلث $DEF$ [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) في $D$، وبتسمية الزاوية عند $E$ بالرمز $\theta$: أيّ ضلع هو الوتر؟ وأيّ ضلع هو المقابل للزاوية $\theta$؟ واُكتب $\cos\theta$ و $\sin\theta$ و $\tan\theta$ نسبًا بين الأضلاع $DE$ و $DF$ و $EF$.

**حل التمرين 69.3.**

الوتر هو $[EF]$ (المقابل [للزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) في $D$). والضلع المقابل للزاوية $\theta = \widehat E$ هو $[DF]$؛ والضلع المجاور هو $[DE]$. ومنه

$$
\cos\theta = \frac{DE}{EF}, \qquad
\sin\theta = \frac{DF}{EF}, \qquad
\tan\theta = \frac{DF}{DE}.
$$

**تمرين 69.4 ★.**

في [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)، يقيس الوتر $10$ وإحدى الزاويتين الحادّتين $28^\circ$. اِحسب ضلعَي القائمة (وقرّب إلى العُشر؛ و $\cos 28^\circ \approx 0.883$، و $\sin 28^\circ \approx 0.469$).

**حل التمرين 69.4.**

ضلع القائمة المقابل: $10 \sin 28^\circ \approx 10 \times 0.469 = 4.7$. وضلع القائمة المجاور: $10 \cos 28^\circ \approx 10 \times 0.883 = 8.8$. (والتحقّق: $4.7^2 + 8.8^2 \approx 22 + 77 \approx 100$.)

**تمرين 69.5 ★.**

في [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)، يقيس ضلع القائمة المجاور للزاوية $\theta$ العدد $6$ ويقيس المقابل $4.5$. اِحسب $\tan\theta$، ثم $\theta$ (وقرّب إلى الدرجة؛ و $\tan^{-1}(0.75) \approx 36.9^\circ$).

**حل التمرين 69.5.**

$\tan\theta = \dfrac{4.5}{6} = 0.75$، إذن $\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 37^\circ$.

**تمرين 69.6 ★★.**

طائرة مسيّرة تطير على اِرتفاع $120$ م. ويراها مراقب على الأرض بزاوية اِرتفاع قدرها $32^\circ$. فعلى أيّ مسافة أفقية من المراقب تكون الطائرة ($\tan 32^\circ \approx 0.625$)؟

**حل التمرين 69.6.**

في [المثلث القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) الذي يشكّله المراقب، والنقطة التي على الأرض تحت الطائرة، والطائرة: يكون الاِرتفاع $120$ م هو الضلع المقابل لزاوية الاِرتفاع، والمسافة الأفقية $d$ هي المجاور. إذن

$$
\tan 32^\circ = \frac{120}{d},
\qquad
d = \frac{120}{\tan 32^\circ} \approx \frac{120}{0.625} = 192 \text{ م}.
$$

**تمرين 69.7 ★★.**

منحدر ولوج يجب أن يرتفع $1.2$ م بزاوية لا تتجاوز $5^\circ$ مع الأفق. فما أدنى طول على [الميل](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/67-linear-and-affine-functions#prop-g9-linfunc-affinegraph) يجب أن يكون للمنحدر ($\sin 5^\circ \approx 0.0872$)؟ قرّب بالزيادة إلى أقرب عُشر متر.

**حل التمرين 69.7.**

الاِرتفاع ($1.2$ م) مقابل للزاوية؛ وطول المنحدر $L$ هو الوتر:

$$
\sin 5^\circ = \frac{1.2}{L},
\qquad
L = \frac{1.2}{\sin 5^\circ} \approx \frac{1.2}{0.0872} \approx 13.8
\text{ م}.
$$

فيجب أن يكون طول المنحدر $13.8$ م على الأقل.

**تمرين 69.8 ★★.**

باِستعمال [القضية 69.4](#prop-g9-trig-properties): زاوية حادّة $\theta$ تحقّق $\cos\theta = 0.6$. اِحسب $\sin\theta$ من غير إيجاد $\theta$، ثم $\tan\theta$.

**حل التمرين 69.8.**

من $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$: $\sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$، و $\sin\theta > 0$ من أجل زاوية حادّة، إذن $\sin\theta = 0.8$. ومنه $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{0.8}{0.6} =
\dfrac43$.

**تمرين 69.9 ★★★.**

برّر القيم المضبوطة في [المثال 69.9](#ex-g9-trig-special): في [المثلث المتساوي الساقين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) [القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) الذي ضلعا قائمته $1$، اِحسب الوتر؛ وفي [المثلث المتساوي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ذي الضلع $1$، اِحسب الاِرتفاع، واِستنتج [جيب التمام](#def-g9-trig-ratios) [والجيب](#def-g9-trig-ratios) للزاويتين $30^\circ$ و $60^\circ$.

**حل التمرين 69.9.**

*[المثلث المتساوي الساقين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) [القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)* ذو ضلعَي قائمة $1$: وتره $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$؛ وكل زاوية حادّة فيه $45^\circ$، و

$$
\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} = \sin 45^\circ,
\qquad
\tan 45^\circ = \frac11 = 1 .
$$

*[المثلث المتساوي الأضلاع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)* ذو الضلع $1$: يقسمه اِرتفاعه إلى مثلثين قائمَي الزاوية وترهما $1$، وقاعدتهما $\frac12$، واِرتفاعهما $h = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}$ (بفيثاغورس). والزاويتان $60^\circ$ (عند القاعدة) و $30^\circ$ (عند القمّة). وبقراءة النسب:

$$
\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12, \quad
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt3/2}{1} = \frac{\sqrt3}{2}, \quad
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}, \quad
\sin 30^\circ = \frac12 .
$$

## 69.4 مسألة: قياس ما لا تستطيع بلوغه

**مسألة 69.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — طريقة المساحين ذات المحطّتين للاِرتفاعات التي لا تُبلَغ، ودرجات اِنحدار الطرق، والمسافة إلى الأفق، وسباق الظلّ نحو اللانهاية

لا يبلغ أيّ شريط قياس قمّة جبل، ولا قمّة برج وراء نهر، ولا الأفق في البحر — لكنّ مقياس زوايا ونسب هذا الفصل الثلاث تبلغها. وقلب هذه المسألة هو *طريقة المحطّتين* الكلاسيكية عند المساحين، وهي تحسب اِرتفاعًا من غير الاِقتراب من قاعدته أبدًا؛ وحولها: لافتات الطرق، والسلالم، والدرج، وتكوّر الأرض، ولمحة أولى عن دالة تنفجر نحو اللانهاية.

**الجزء الأول — محطّة واحدة.** (القيم: $\tan 35^\circ \approx 0.700$، و $\sin 35^\circ \approx 0.574$، و $\cos 35^\circ \approx 0.819$، و $\tan 1^\circ \approx 0.0175$.)

1. من نقطة على بعد $60$ م من قاعدة منارة، تُرى القمّة بزاوية اِرتفاع قدرها $35^\circ$ (مقيسة من الأفق، عند مستوى العين). فكم تعلو القمّة فوق مستوى العين؟
2. وتعلن لافتة طريق اِنحدارًا قدره $12\,\%$ : أي أنّ الطريق يرتفع $12$ م لكل $100$ م أفقية. فأيّ زاوية يصنعها الطريق مع الأفق؟ وأيّ نسبة اِنحدار مئوية لطريق بزاوية $45^\circ$ ؟
3. والزاويتان الحادّتان في [المثلث القائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) متتامّتان، والضلع المقابل لكل منهما هو المجاور للأخرى. اِستنتج متطابقتَي «التمام»: $$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta,  \qquad  \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta .$$
4. وسلّم طوله $8$ م مسنود بزاوية $60^\circ$ مع الأرض. باِستعمال القيم المضبوطة في [المثال 69.9](#ex-g9-trig-special) ، أعطِ الاِرتفاع المبلوغ وبعد القدم عن الجدار — بالضبط، ثم إلى السنتيمتر.
5. وتحقّق من $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ عدديًّا من أجل $\theta = 35^\circ$ وبالضبط من أجل $\theta = 60^\circ$ . ولماذا تكون هذه المتطابقة ( [القضية 69.4](#prop-g9-trig-properties) ) عادةً جيدة للتحقّق من عمل الآلة الحاسبة؟

**الجزء الثاني — محطّتان.** قمّة جبل مرئية، وقاعدته لا تُبلَغ. فمن نقطة $A$، اِرتفاع القمّة $30^\circ$؛ وبالمشي $200$ م مباشرةً نحو الجبل، إلى $B$، يصير الاِرتفاع $40^\circ$. ولنكتب $h$ لعلوّ القمّة فوق مستوى العين و $x$ للمسافة الأفقية من $B$ إلى عمودي القمّة. ($\tan 30^\circ \approx 0.577$، و $\tan 40^\circ \approx 0.839$.)

6. عبّر عن $\tan 40^\circ$ و $\tan 30^\circ$ بدلالة $h$ و $x$ و $x + 200$ : أي [معادلتان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) بمجهولين.
7. ومن كل [معادلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) عبّر عن المسافة الأفقية بدلالة $h$، واِطرح، واِستنتج صيغة المحطّتين: $$h = \frac{200}  {\ \dfrac{1}{\tan 30^\circ} - \dfrac{1}{\tan 40^\circ}\ } .$$ واِحسب $h$ إلى أقرب عشرة أمتار.
8. واِحسب $x$ أيضًا، وتحقّق من معقولية جوابيك أمام رؤية $30^\circ$ من النقطة $A$ .
9. وفي جملة واحدة: لماذا لا غنى عن طريقة المحطّتين — وأيّ قياس واحد، مستحيل هنا، كانت ستطلبه طريقة المحطّة الواحدة في السؤال 1؟
10. ويُرى برج بزاوية $30^\circ$ ، وبزاوية $60^\circ$ بعد المشي $200$ م نحوه. وباِستعمال $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt3}$ و $\tan 60^\circ = \sqrt3$ ، اِحسب الاِرتفاع *بالضبط* — والجواب [مضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) للعدد $\sqrt3$ — ثم إلى المتر.

**الجزء الثالث — إلى الأفق وصعودًا على الجدار.**

11. كم يبعد الأفق؟ إذا وقفت وعيناك على اِرتفاع $h$ مترًا فوق أرض كروية نصف قطرها $R$ ، لامس خطّ نظرك الكرة: فيشكّل خطّ النظر، [ونصف القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) إلى نقطة الملامسة، [ونصف القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) إلى قدميك مثلثًا [قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) . بيّن بفيثاغورس ( [المبرهنة 69.1](#thm-g9-trig-pythagoras) ) أنّ المسافة $d$ إلى الأفق تحقّق $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ ، واِحسب $d$ من أجل عينين على $1.80$ م ( $R = 6.37 \times 10^6$ م).
12. والسؤال نفسه من قمّة برج اِرتفاعه $324$ م. (وقاعدة البحّارة التقريبية: الأفق بالكيلومترات نحو $3.6\sqrt{h}$ حيث $h$ بالأمتار — فتحقّق من جوابيك أمامها.)
13. وإبهامك، وعرضه نحو $2$ سم، ممدودًا على طول ذراعك، على بعد نحو $60$ سم من عينك: فأيّ زاوية يغطّي؟ ويغطّي البدر نحو $0.5^\circ$ : فأيّ جزء من إبهامك يخفي القمر كلّه؟
14. والدرج المريح قوائمه $17$ سم ونوائمه $29$ سم. فبأيّ زاوية يصعد؟ قارن بالزاوية $30^\circ$ في [المثال 69.9](#ex-g9-trig-special) ، وبسلّم علّية حادّ بزاوية $60^\circ$ : فأيّ قائمة يحتاج *هو* على نائمة قدرها $29$ سم؟
15. وسباق الظلّ: اِحسب (بالآلة الحاسبة) $\tan 10^\circ$ و $\tan 45^\circ$ و $\tan 80^\circ$ و $\tan 89^\circ$ . فماذا يحدث حين تقترب الزاوية من $90^\circ$ ، ولماذا (فكّر في الضلع المجاور)؟ فالجدار عمودي، ولا قيمة للنسبة، ويقفز التمثيل البياني نحو اللانهاية — وهذا أول *خطّ مقارب* لك، وهو مخلوق يُدرس عن كثب في مجلّد الثانوية.

**حل المسألة 69.1.**

**1.** العلوّ فوق مستوى العين هو الضلع المقابل للزاوية $35^\circ$، والضلع المجاور $60$ م: $h = 60 \tan 35^\circ \approx 60 \times 0.700 = 42$ م.

**2.** $\tan\theta = 0.12$ يعطي $\theta = \tan^{-1}(0.12) \approx 6.8^\circ$ — وهو حادّ بالنسبة إلى طريق، لكنّه زاوية متواضعة. والطريق بزاوية $45^\circ$ له $\tan 45^\circ = 1$: أي اِنحدار $100\,\%$. («مئة في المئة» بعيدة جدًّا عن العمودي — وهو سوء فهم محبَّب عند مصاعد التزلّج.)

**3.** في [مثلث قائم الزاوية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) زاويتاه الحادّتان $\theta$ و $90^\circ - \theta$، يكون الضلع المقابل لإحداهما مجاورًا للأخرى، والوتر مشترك. إذن $\sin(90^\circ - \theta) = \frac{\text{المقابل لها}}{h} =
\frac{\text{المجاور للزاوية }\theta}{h} = \cos\theta$، وبالتناظر $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$: [فجيب](#def-g9-trig-ratios) *التمام* هو [الجيب](#def-g9-trig-ratios) لتمام الزاوية.

**4.** الاِرتفاع: $8 \sin 60^\circ = 8 \times
\frac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3 \approx 6.93$ م. والقدم: $8 \cos 60^\circ = 4$ م بالضبط.

**5.** $0.574^2 + 0.819^2 = 0.329 + 0.671 = 1.000$ (في حدود [التقريب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-rounding))؛ و $\left(\frac12\right)^2 +
\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac14 + \frac34 = 1$. وكل زوج قيم يخفق في المتطابقة يفضح قراءة خاطئة أو آلة حاسبة في النمط الخطأ — أي كاشف أخطاء مجّاني.

**6.** $\tan 40^\circ = \dfrac hx$ و $\tan 30^\circ = \dfrac{h}{x + 200}$.

**7.** $x = \dfrac{h}{\tan 40^\circ}$ و $x + 200 = \dfrac{h}{\tan 30^\circ}$؛ وبالطرح، $200 = h\left(\frac{1}{\tan 30^\circ} -
\frac{1}{\tan 40^\circ}\right)$، ومنه الصيغة. والأعداد: $\frac{1}{0.577} \approx 1.732$، و $\frac{1}{0.839} \approx
1.192$، [والفرق](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) $0.540$: $h \approx \frac{200}{0.540} \approx 370$ م.

**8.** $x = \frac{h}{\tan 40^\circ} \approx
\frac{370}{0.839} \approx 441$ م. والتحقّق من $A$: $\frac{h}{x + 200} \approx \frac{370}{641} \approx 0.577 =
\tan 30^\circ$: فمتّسق.

**9.** تحتاج طريقة المحطّة الواحدة إلى المسافة الأفقية إلى النقطة *الواقعة تحت القمّة مباشرةً* — وهي غير قابلة للقياس عبر واد أو داخل جبل. أمّا طريقة المحطّتين فتستبدل بها مسافة تستطيع أن تمشيها بنفسك: أي $200$ م بين موضعَي نظرك أنت.

**10.** $h = \dfrac{200}{\sqrt3 - \frac{1}{\sqrt3}}
= \dfrac{200}{\frac{2}{\sqrt3}} = 100\sqrt3 \approx 173$ م — أي الطابق الثاني من برج إيفل، مقيسًا برؤيتين ونزهة.

**11.** خطّ النظر $d$، ونصفا [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) $R$ (إلى نقطة الملامسة، وهو عمودي على خطّ النظر) و $R + h$ (إلى العين): يعطي فيثاغورس $d^2 + R^2 = (R + h)^2 = R^2 + 2Rh + h^2$، إذن $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ (فالعدد $h$ ضئيل أمام $R$). وبعينين على $1.80$ م: $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 1.8}
\approx 4\,800$ م — فأفق البحر لا يكاد يبعد خمسة كيلومترات.

**12.** $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times
324} \approx 64$ كلم. وقاعدة البحّارة: $3.6\sqrt{1.8} \approx
4.8$ كلم و $3.6\sqrt{324} = 64.8$ كلم — وكلاهما يوافق.

**13.** $\tan\theta = \frac{2}{60}$ يعطي $\theta \approx
1.9^\circ$. والزاوية $0.5^\circ$ للقمر نحو *ربع* إبهام: فالقمر يبدو هائلًا ويخفيه ظفر — والعين منقلة رديئة.

**14.** الدرج: $\tan^{-1}\frac{17}{29} \approx 30^\circ$ — فالدرج المريح يصعد بزاوية تكاد تكون بالضبط $30^\circ$ من القيم الخاصّة. وبزاوية $60^\circ$ على نائمة $29$ سم، تكون القائمة $29\tan 60^\circ = 29\sqrt3 \approx
50$ سم: أي سلّم، لا درج.

**15.** $\tan 10^\circ \approx 0.18$؛ و $\tan 45^\circ = 1$؛ و $\tan 80^\circ \approx 5.7$؛ و $\tan 89^\circ \approx 57.3$. ولما $\theta \to 90^\circ$ يتضاءل الضلع المجاور حتى ينعدم بينما يصمد الضلع المقابل: [فخارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) ينمو فوق كل حدّ. وعند $90^\circ$ بالضبط لا مثلث ولا قيمة — ويصعد التمثيل البياني للظلّ خطًّا مقاربًا عموديًّا، أول كثير منها في مجلّد الثانوية.