---
title: "المجسّمات والحجوم"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 70
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/70-solids-and-volumes
---

# الفصل 70 — المجسّمات والحجوم

تبدأ هندسة الفضاء بأسرة صغيرة من [المجسّمات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) — [المواشير](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism)، والأسطوانات، والأهرام، [والمخاريط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def)، والكرات — وبسؤالين: كم تسع ([الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume))، وماذا ترى حين تقطعها (المقاطع)؟ وينتهي الفصل بواقعة بالغة الأهمية العملية: تحجيم [مجسّم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) بالمعامل $k$ يضرب حجمه في $k^3$.

## 70.1 المجسّمات الكلاسيكية وحجومها

**مبرهنة 70.1 (صيغ الحجوم).**

لنكتب $B$ [لمساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) القاعدة و $h$ للاِرتفاع (وهو المسافة بين القاعدة والوجه المقابل أو الرأس).

| [المجسّم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) | [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) |
| --- | --- |
| [الموشور](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism)، [والأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) | $V = B \times h$ |
| [5pt] [الهرم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def)، [والمخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) | $V = \dfrac13\, B \times h$ |
| [5pt] كرة نصف قطرها $r$ | $V = \dfrac43\,\pi r^3$ |

ومن أجل [أسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) [ومخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) نصف قطرهما $r$، تكون [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) القاعدة $B = \pi r^2$؛ [ومساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) سطح الكرة $4\pi r^2$.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![مجسّمات هذا الفصل. ويضمّ حجم كل واحد منها مساحة قاعدة واِرتفاعًا — إلا الكرة، فلا تحتاج سوى نصف قطرها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-solids/fig-f55209fdccc8.svg)

*[مجسّمات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) هذا الفصل. ويضمّ [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) كل واحد منها [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) قاعدة واِرتفاعًا — إلا الكرة، فلا تحتاج سوى نصف قطرها.*

**مثال 70.2.**

علبة أسطوانية نصف قطرها $4$ سم واِرتفاعها $10$ سم:

$$
V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503 \text{ سم}^3
\approx 0.5 \text{ لتر}.
$$

[ومخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) له القاعدة والاِرتفاع نفسهما يسع ثلث ذلك: $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ سم$^3$. وكرة نصف قطرها $4$ سم: $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ سم$^3$.

**مثال 70.3 (هرم خطوةً خطوة).**

[هرم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) قاعدته مربّعة ضلعها $6$ م واِرتفاعه $5$ م.

1. [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) القاعدة: $B = 6^2 = 36$ م $^2$ .
2. [والحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) : $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ م $^3$ .

واِنتبه للوحدات: لو أُعطي الضلع بالسنتيمتر والاِرتفاع بالمتر، لوجب تحويل أحدهما أولًا.

## 70.2 المقاطع بمستويات

**قضية 70.4 (مقاطع المجسّمات الكلاسيكية).**

قطع [مجسّم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) بمستوٍ يعطي شكلًا مستويًا، هو *المقطع*:

- [الموشور](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) أو [الأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) المقطوع *[موازيًا](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) لقاعدته* يعطي نسخة من القاعدة، عند كل اِرتفاع؛
- [والهرم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) أو [المخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) المقطوع [موازيًا](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) لقاعدته يعطي *تصغيرًا* للقاعدة: فعلى بعد $d$ من الرأس، يكون [معامل التحجيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/68-thales-theorem#def-g9-thales-scaling) $k = \frac{d}{h}$ ؛
- والكرة ذات [نصف القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $r$ المقطوعة بمستوٍ على بعد $d < r$ من المركز تعطي دائرة نصف قطرها $\sqrt{r^2 - d^2}$ (حسب مبرهنة فيثاغورس).

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![على اليسار: قطع مخروط موازيًا لقاعدته على بعد d من الرأس يعطي قرصًا محجَّمًا بالمعامل k = dh. وعلى اليمين: مستوٍ على بعد d من مركز كرة يقطعها في دائرة نصف قطرها √r2 - d2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-solids/fig-dc9b1109b64e.svg)

*على اليسار: قطع [مخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) [موازيًا](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) لقاعدته على بعد $d$ من الرأس يعطي قرصًا محجَّمًا بالمعامل $k = \frac dh$. وعلى اليمين: مستوٍ على بعد $d$ من مركز كرة يقطعها في دائرة نصف قطرها $\sqrt{r^2 - d^2}$.*

**مثال 70.5.**

[مخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) [نصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) قاعدته $6$ واِرتفاعه $9$. [والمقطع](#prop-g9-solids-sections) بمستوٍ [موازٍ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) للقاعدة، على بعد $3$ من الرأس، قرص محجَّم بالمعامل $k = \frac39 = \frac13$: فنصف قطره $6 \times \frac13 = 2$.

وكرة نصف قطرها $5$ تُقطع بمستوٍ على بعد $3$ من مركزها: [فالمقطع](#prop-g9-solids-sections) دائرة نصف قطرها $\sqrt{25 - 9} = 4$.

## 70.3 تحجيم المجسّمات

**مبرهنة 70.6 (أثر التحجيم في الأطوال والمساحات والحجوم).**

حين يُكبَّر [مجسّم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) أو يُصغَّر [بمعامل التحجيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/68-thales-theorem#def-g9-thales-scaling) $k > 0$:

- تُضرب كل الأطوال في $k$ ؛
- وتُضرب كل المساحات في $k^2$ ؛
- وتُضرب كل الحجوم في $k^3$ .

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**مثال 70.7.**

نموذج سيارة [بسلّم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-scale) $\frac{1}{18}$: فأطواله هي أطوال السيارة الحقيقية مضروبة في $k = \frac{1}{18}$، وسطحه المطليّ مضروب في $k^2 = \frac{1}{324}$، وحجمه في $k^3 = \frac{1}{5832}$.

ومضاعفة [نصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) كرة ($k = 2$) تضرب حجمها في $2^3 = 8$: تحقّق على الصيغة، $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$.

**مثال 70.8 (المخروط الناقص).**

[مخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) اِرتفاعه $9$ [ونصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) قاعدته $6$ (وحجمه $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$) يُقطع على بعد $3$ من الرأس، ويُزال [المخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) الصغير فوق [القطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects). [والمخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) الصغير هو التصغير بالمعامل $k = \frac13$، فحجمه $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$. [والمجسّم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) (*[مخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) ناقص*) حجمه $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$.

## 70.4 تمارين

**تمرين 70.1 ★.**

اِحسب الحجوم: علبة ([موشور](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) قائم) أبعادها $4 \times 5
\times 12$؛ [وأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) نصف قطرها $3$ واِرتفاعها $7$ (القيمة المضبوطة بالرمز $\pi$، ثم مقرّبة إلى الوحدة).

**حل التمرين 70.1.**

العلبة: $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$.

[والأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism): $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$.

**تمرين 70.2 ★.**

اِحسب [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [مخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) نصف قطره $5$ واِرتفاعه $12$، [وهرم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) قاعدته مستطيلة $8 \times 3$ واِرتفاعه $10$.

**حل التمرين 70.2.**

[المخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def): $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 =
100\pi \approx 314$.

[والهرم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def): [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) القاعدة $B = 8 \times 3 = 24$، إذن $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$.

**تمرين 70.3 ★.**

اِحسب [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [ومساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) سطح كرة نصف قطرها $6$ (القيمتين المضبوطتين بالرمز $\pi$).

**حل التمرين 70.3.**

[الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume): $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$.

[ومساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) السطح: $4\pi \times 6^2 = 144\pi$.

**تمرين 70.4 ★.**

كرة نصف قطرها $10$ تُقطع بمستوٍ على بعد $8$ من مركزها. فما [نصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) دائرة [المقطع](#prop-g9-solids-sections)؟

**حل التمرين 70.4.**

[نصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) [المقطع](#prop-g9-solids-sections): $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36}
= 6$.

**تمرين 70.5 ★★.**

[مخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) [نصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) قاعدته $8$ واِرتفاعه $12$. ويقطعه مستوٍ [موازٍ](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) للقاعدة على بعد $9$ من الرأس. اِحسب [نصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) [المقطع](#prop-g9-solids-sections)، ثم [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [المخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) الصغير فوق [القطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects).

**حل التمرين 70.5.**

[معامل التحجيم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/68-thales-theorem#def-g9-thales-scaling) من [المخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) كلّه إلى الصغير: $k = \frac{9}{12} = \frac34$. [ونصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) [المقطع](#prop-g9-solids-sections): $8 \times \frac34 = 6$.

[وحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [المخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) كلّه: $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$. [وحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [المخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) الصغير: $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 =
256\pi \times \frac{27}{64} = 108\pi \approx 339$.

**تمرين 70.6 ★★.**

[كأس](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) أسطوانية نصف قطرها الداخلي $3$ سم فيها ماء إلى اِرتفاع $10$ سم. وتُغمر فيها كرة نصف قطرها $2$ سم غمرًا تامًّا. فكم يرتفع مستوى الماء؟ ([فالحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) المضاف ينتشر على [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) قاعدة الكأس؛ أعطِ الاِرتفاع المضبوط، ثم قرّب إلى المليمتر.)

**حل التمرين 70.6.**

[حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) الكرة: $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ سم$^3$. وينتشر هذا [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) على [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) القاعدة $\pi \times 3^2 = 9\pi$ سم$^2$، فيرتفع المستوى بمقدار

$$
\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ سم}
$$

(أي نحو $12$ مم).

**تمرين 70.7 ★★.**

وصفة تملأ قالبًا كرويًّا نصف قطره $6$ سم. وليس لديك سوى قالب كرويّ نصف قطره $3$ سم. فكم قالبًا صغيرًا تستطيع أن تملأ؟ (أجِب من غير حساب أيّ من الحجمين صراحةً.)

**حل التمرين 70.7.**

القالب الصغير هو تصغير الكبير بالمعامل $k = \frac36 =
\frac12$، فحجمه $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ من [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) الكبير: فتملأ الوصفة $8$ قوالب صغيرة.

**تمرين 70.8 ★★.**

[الهرم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) الأكبر بالجيزة قاعدته مربّعة ضلعها نحو $230$ م واِرتفاعه نحو $147$ م. قدّر حجمه، وعبّر عنه بملايين الأمتار المكعّبة.

**حل التمرين 70.8.**

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times 147
= 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ م$^3$ — أي نحو $2.6$ مليون متر مكعّب.

**تمرين 70.9 ★★★.**

قمع مخروطي نصف قطره $6$ سم واِرتفاعه $12$ سم، ورأسه إلى الأسفل، يُملأ ماءً إلى نصف *اِرتفاعه* (مقيسًا من الرأس).

1. فأيّ [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) من [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) القمع مملوء؟
2. وإذا مُلئ بدلًا من ذلك بنصف *حجمه* ماءً، بيّن أنّ اِرتفاع الماء $d$ يحقّق $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ ، وأعطِ $d$ إلى المليمتر ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ).

**حل التمرين 70.9.**

*1.* يشكّل الماء مخروطًا محجَّمًا بالمعامل $k = \frac12$ (فالرأس إلى الأسفل، ونصف الاِرتفاع)، فحجمه $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ من [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) القمع: أي الثمن، وهو أقلّ بكثير من النصف!

*2.* والماء إلى الاِرتفاع $d$ يشكّل مخروطًا محجَّمًا بالمعامل $k = \frac{d}{12}$، وحجمه $k^3$ مرّة [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) القمع. ونصف [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) يعني $k^3 = \frac12$، أي $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$. ومنه $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$، إذن $d \approx 9.5$ سم: فالنصف الثاني من [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) لا يشغل سوى أعلى $2.5$ سم — فالجزء العريض من [المخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) يحمل معظم الماء.

## 70.5 مسألة: شاهد قبر أرخميدس

**مسألة 70.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — الكرة ثلثا أسطوانتها (مرّتين)، ورصّة 1:2:3، وقانون المربّع والمكعّب الذي يمنع العمالقة

برهن أرخميدس على مبرهنات كثيرة، لكنّ واحدة منها أفخرته حتى طلب أن يُنقش *شكلها* على قبره: كرة محشورة في أضيق [أسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) لها. وبعد قرن، تعرّف الكاتب الروماني شيشرون، وهو يفتّش في العلّيق قرب سيراكوزا، على القبر «بالكرة [والأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism)». وتستعيد هذه المسألة ما يرمز إليه النقش — معجزة ثلثين مزدوجة — ثم تتبع الحجوم والسطوح ([المبرهنة 70.1](#thm-g9-solids-volumes) و[المبرهنة 70.6](#thm-g9-solids-scaling)) إلى قانون يحكم العمالقة والنمل والكواكب التي تبرد.

**الجزء الأول — فكّ رموز النقش.** كرة نصف قطرها $r$ تجلس بالضبط داخل [أسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism): [بنصف القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) نفسه، واِرتفاعها $2r$.

1. اِحسب [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [الأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) بدلالة $r$ .
2. واِحسب نسبة [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) الكرة إلى [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [الأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) . ولماذا قد يكون أرخميدس أحبّ أنّ الجواب لا يحوي $\pi$ ولا $r$ ؟
3. والآن السطوح: قارن [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) سطح الكرة بسطح [الأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) *الكلّي* (الجانب مضافًا إليه الغطاءان). فأيّ نسبة تظهر — من جديد؟
4. والفضاء الفارغ بين الكرة [والأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) حجمه $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3$ . بيّن أنّ هذا [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) يساوي بالضبط [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) *[مخروطين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def)* نصف قطرهما $r$ واِرتفاعهما $r$ .
5. وكرة سلّة نصف قطرها $12$ سم تُباع في أضيق علبة أسطوانية. اِحسب الحجمين (إلى أقرب $100$ سم $^3$ ) والنسبة المئوية للجزء الفارغ من العلبة.

**الجزء الثاني — الأوعية والقوالب والأقمار.**

6. وعاء نصف كروي نصف قطره $10$ سم. اِحسب سعته، بوحدة سم $^3$ وباللترات (إلى الديسيلتر).
7. ورصّة 1:2:3: [مخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) ، ونصف كرة، [وأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) ، وكلّها نصف قطرها $10$ سم واِرتفاعها $10$ سم. اِحسب الحجوم الثلاثة وتحقّق من النسبة الأسطورية $1 : 2 : 3$ . (وكان أرخميدس ليقدّر هذه أيضًا.)
8. وكرة شوكولاتة نصف قطرها $3$ سم تُذاب في قالب أسطواني نصف قطره $3$ سم. فأيّ اِرتفاع تبلغه الشوكولاتة؟ (كسرًا مضبوطًا، ثم إلى المليمتر.)
9. [ونصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) الأرض نحو $6\,371$ كلم، [ونصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) القمر نحو $1\,737$ كلم. اِحسب نسبة نصفَي [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) ، ثم — حسب [المبرهنة 70.6](#thm-g9-solids-scaling) — نسبة الحجوم: فكم قمرًا يسع في أرض جوفاء، حجمًا؟
10. ومن المبرهنة نفسها: ما نسبة *مساحتَي السطح* بين الأرض والقمر؟ وفي العموم، حين يتضاعف [نصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) بالون، ماذا يحدث لحجمه ولسطحه؟ اُذكر *قانون المربّع والمكعّب* : فحين يتحجّم شكل إلى أعلى، تسبق الحجوم السطوح.

**الجزء الثالث — قانون المربّع والمكعّب يحكم العالم.**

11. حجّة غاليليو ضدّ العمالقة: تخيّل إنسانًا محجَّمًا بالمعامل $10$ ، بالنسب نفسها. فبأيّ معامل ينمو الوزن (والوزن يتبع [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) )؟ وبأيّ معامل ينمو مقطع العظام (وهو [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) )؟ وبأيّ معامل إذن ينمو *الضغط* على كل سنتيمتر مربّع من العظم — وماذا يحدث للعملاق؟
12. والقانون نفسه معكوسًا يفسّر بطولات النمل: فالقوّة تتبع مقطع العضلة (وهو [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) )، والوزن يتبع [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) . ومن أجل حيوان أصغر $100$ مرّة في كل اِتّجاه، بأيّ معاملين ينكمش الوزن والقوّة، وبأيّ معامل تتحسّن نسبة القوّة إلى الوزن؟
13. والحرارة ينتجها [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) الجسم وتُفقد عبر سطحه. بيّن أنّ نسبة السطح إلى [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) في الكرة هي $\frac{3}{r}$ ، واِحسبها من أجل $r = 1$ و $r = 2$ . فأيّهما يبرد أسرع، الفأر أم الدبّ — ولماذا يحتاج الرضّع قبّعات في الشتاء؟
14. وبرتقالتان كرويتان نصفا قطريهما $4$ سم و $5$ سم تُباعان بالثمن نفسه. اِحسب نسبة حجميهما: فكم من البرتقال تعطي الكبيرة أكثر مقابل المال نفسه؟
15. والختام: صِف بدقّة ما يرمز إليه شكل شاهد القبر — «الثلثان» في السؤالين 2 و 3 — وأجِب شيشرون في جملة واحدة: لماذا يختار عالم رياضيات، على كل فتوحات عبقريته الهندسية، كرةً في [أسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) ؟

**حل المسألة 70.1.**

**1.** $V_{\text{الأسطوانة}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$.

**2.** $\dfrac{V_{\text{الكرة}}}{V_{\text{الأسطوانة}}}
= \dfrac{\frac43 \pi r^3}{2 \pi r^3} = \dfrac23$. فيتلاشى $\pi$ و $r^3$: والنسبة *كونية* — صحيحة من أجل كرية زجاج ومن أجل كوكب. وهي علاقة بين أشكال، لا بين أعداد: أي بالضبط نوع الحقيقة التي تستحقّ أن تُنقش في الحجر.

**3.** الكرة: $4\pi r^2$. [والأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism): الجانب $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$، مضافًا إليه الغطاءان $2 \times \pi r^2$: أي [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $6\pi r^2$. والنسبة: $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac23$ — الثلثان أنفسهما، من أجل السطوح. (وزيادة: [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) الكرة تساوي بالضبط [المساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) الجانبية [للأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism).)

**4.** [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder): $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3 =
\frac23 \pi r^3$. [ومخروطان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) نصف قطرهما $r$ واِرتفاعهما $r$: $2 \times \frac13 \pi r^2 \times r = \frac23 \pi r^3$. متساويان.

**5.** الكرة: $\frac43 \pi \times 12^3 \approx 7\,200$ سم$^3$؛ والعلبة: $2\pi \times 12^3 \approx 10\,900$ سم$^3$. والفارغ: ثلث العلبة، أي نحو $33\,\%$ — يضمنه السؤال 2، مهما كان [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) الكرة.

**6.** نصف كرة: $\frac12 \times \frac43 \pi \times 10^3 = \frac23 \pi \times
1\,000 \approx 2\,094$ سم$^3 \approx 2.1$ لتر.

**7.** [المخروط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def): $\frac13 \pi \times 10^2 \times 10 =
\frac{1\,000\pi}{3} \approx 1\,047$ سم$^3$. ونصف الكرة: $\frac{2\,000\pi}{3} \approx 2\,094$ سم$^3$. [والأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism): $1\,000\pi \approx 3\,142$ سم$^3$. والنسب: $\frac{1000\pi}{3} : \frac{2000\pi}{3} : \frac{3000\pi}{3}
= 1 : 2 : 3$ بالضبط.

**8.** $\frac43 \pi \times 27 = \pi \times 9 \times h$ يعطي $h = \frac43 \times 3 = 4$ سم بالضبط.

**9.** نصفا [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle): $\frac{6\,371}{1\,737} \approx 3.67$. والحجوم تتحجّم كالمكعّب ([المبرهنة 70.6](#thm-g9-solids-scaling)): $3.67^3 \approx 49$. أي نحو خمسين قمرًا تسع في الأرض.

**10.** والسطوح تتحجّم كالمربّع: $3.67^2 \approx
13.5$. ومضاعفة [نصف قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) بالون تضرب حجمه في $2^3 = 8$ لكن سطحه في $2^2 = 4$ فقط: فحين تكبر الأشياء، يسبق [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) (الوزن، والمحتوى، والحرارة المنتَجة) السطح (الجلد، والمادّة، والحرارة المفقودة) — وهو قانون المربّع والمكعّب.

**11.** الوزن: $\times 10^3 = 1\,000$. ومقطع العظم: $\times 10^2 = 100$. والضغط — أي الوزن على [مساحة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) العظم: $\times \frac{1000}{100} = 10$. فالعظام المبنية لضغط إنسان تتلقّى عشرة أمثاله: فينكسر هيكل العملاق تحت وزنه هو. والعمالقة مستحيلون هندسيًّا؛ والحيوانات الكبيرة تحتاج عظامًا سميكة سمكًا غير متناسب (قارن قوائم الفيل بقوائم الغزال).

**12.** الوزن: $\div 100^3 = 10^6$. والقوّة (مقطع العضلة): $\div 100^2 = 10^4$. والقوّة إلى الوزن: $\times \frac{10^6}{10^4} = 100$. فالنملة التي ترفع خمسين مثل وزنها ليست بطلة خارقة — بل هي صغيرة فحسب؛ وإنسان مصغَّر إلى [حجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) نملة كان ليفعل مثلها.

**13.** $\dfrac{S}{V} = \dfrac{4\pi r^2}{\frac43\pi r^3}
= \dfrac{3}{r}$: فمن أجل $r = 1$ تكون النسبة $3$، ومن أجل $r = 2$ تكون $1.5$ — فتنصيف [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) يضاعف السطح المتاح لكل وحدة من [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) المنتِج للحرارة. والأجسام الصغيرة تنزف حرارة: فالفأر مضطرّ إلى الأكل دائمًا، والدبّ يستطيع أن يشتو، والرضيع — كرة صغيرة، بنسبة $\frac Sr$ كبيرة — يحتاج القبّعة.

**14.** $\left(\frac54\right)^3 = \frac{125}{64} \approx
1.95$: فالبرتقالة الكبيرة تحمل *ضِعف* الفاكهة تقريبًا بالثمن نفسه. فاِشترِ [نصف القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes).

**15.** يقول النقش: الكرة $= \frac23$ من [الأسطوانة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) حجمًا، *و* $\frac23$ منها في السطح الكلّي — أي نسبتان مضبوطتان كونيّتان تربطان [المجسّم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) الأكثر اِستدارة بالأبسط. وجواب شيشرون: لأنّ المبرهنة هي النصب الوحيد الذي لا تنال منه الجيوش ولا القرون — فقد اِحترقت آلات أرخميدس مع سيراكوزا، لكنّ الثلثين ما زالا ثلثين بالضبط.