---
title: "الإحصاء والاحتمال"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 71
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/71-statistics-and-probability
---

# الفصل 71 — الإحصاء والاحتمال

المعطيات والصدفة في كل مكان: نتائج الرياضة، وتوقّعات الطقس، والألعاب. ويعلّم هذا الفصل كيف تُلخَّص سلسلة أعداد [بمتوسّطها](#def-g9-statproba-indicators) [ووسيطها](#def-g9-statproba-indicators) [ومداها](#def-g9-statproba-indicators)، وكيف يُحسب [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) تجارب عشوائية بسيطة — بما فيها التجارب ذات الخطوتين، وتُعالَج بأشجار [الاِحتمالات](#def-g9-statproba-probability). ويتوسّع الموضوعان كثيرًا في مجلّد الثانوية من هذه السلسلة.

## 71.1 تلخيص المعطيات

**تعريف 71.1 (المتوسّط والوسيط والمدى).**

من أجل سلسلة من $N$ عددًا:

- *المتوسّط* هو [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) كل القيم مقسومًا على $N$ ؛
- *والوسيط* قيمة تقسم السلسلة المرتّبة إلى نصفين متساويي [الحجم](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) : فإذا كان $N$ فرديًا، فهو القيمة الوسطى؛ وإذا كان $N$ زوجيًا، فهو منتصف القيمتين الوسطيين؛
- *والمدى* هو أكبر قيمة ناقصًا أصغرها.

**مثال 71.2.**

علامات تلميذ: $8,\ 12,\ 9,\ 15,\ 11$.

1. [المتوسّط](#def-g9-statproba-indicators) : $\dfrac{8 + 12 + 9 + 15 + 11}{5} = \dfrac{55}{5} = 11$ .
2. [والوسيط](#def-g9-statproba-indicators) : رتّب السلسلة: $8, 9, 11, 12, 15$ ؛ فالقيمة الوسطى (الثالثة) هي $11$ .
3. [والمدى](#def-g9-statproba-indicators) : $15 - 8 = 7$ .

وبعلامة سادسة قدرها $17$: تصير السلسلة المرتّبة $8, 9, 11, 12, 15, 17$، ويصير [الوسيط](#def-g9-statproba-indicators) منتصف $11$ و $12$، أي $11.5$، ويصير [المتوسّط](#def-g9-statproba-indicators) $\frac{72}{6} = 12$.

**مثال 71.3 (المتوسّط المرجَّح).**

مقاسات الأحذية المبيعة في يوم:

| المقاس | $38$ | $39$ | $40$ | $41$ | $42$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| العدد | $3$ | $7$ | $6$ | $3$ | $1$ |

[ومتوسّط](#def-g9-statproba-indicators) المقاسات هو

$$
\frac{3 \times 38 + 7 \times 39 + 6 \times 40 + 3 \times 41 + 1 \times 42}
{3 + 7 + 6 + 3 + 1}
= \frac{114 + 273 + 240 + 123 + 42}{20}
= \frac{792}{20} = 39.6 .
$$

**ملاحظة 71.4.**

قد يختلف [المتوسّط](#def-g9-statproba-indicators) [والوسيط](#def-g9-statproba-indicators) اِختلافًا كبيرًا. ففي السلسلة $10, 10, 10, 10, 60$ يكون [المتوسّط](#def-g9-statproba-indicators) $20$ (تجرّه القيمة $60$ إلى أعلى) بينما [الوسيط](#def-g9-statproba-indicators) $10$. فاِسأل دائمًا أيّ مؤشّر يمثّل الوضع تمثيلًا أفضل.

## 71.2 الاحتمال

**تعريف 71.5 (الاحتمال).**

للتجربة العشوائية عدّة *مخارج* ممكنة؛ و*الحدث* مجموعة من المخارج. ولكل مخرج *اِحتمال*: وهو عدد بين $0$ و $1$، [ومجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) اِحتمالات المخارج كلّها $1$؛ واِحتمال $\P(A)$ حدثٍ $A$ هو [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) اِحتمالات مخارجه. وحين تكون المخارج $n$ كلّها متساوية الإمكان،

$$
\P(A) = \frac{\text{عدد المخارج الملائمة}}{n}.
$$

**مثال 71.6.**

عجلة مقسومة إلى $8$ قطاعات متساوية: $3$ حمراء، و $3$ زرقاء، و $2$ خضراء. ولكل قطاع [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) $\frac18$، إذن

$$
\P(\text{أحمر}) = \frac38, \qquad
\P(\text{أخضر}) = \frac28 = \frac14, \qquad
\P(\text{ليس أخضر}) = 1 - \frac14 = \frac34 .
$$

**قضية 71.7 (الحدث المضادّ).**

من أجل كل حدث $A$، *الحدث المضادّ* $\bar A$ («لا يقع $A$») يحقّق

$$
\P(\bar A) = 1 - \P(A).
$$

**برهان.** كل مخرج في واحد بالضبط من $A$ و $\bar A$، إذن $\P(A) + \P(\bar A)$ يجمع [اِحتمالات](#def-g9-statproba-probability) كل المخارج، وهو $1$. ∎

## 71.3 التجارب ذات الخطوتين

**طريقة 71.8 (أشجار الاحتمالات).**

من أجل تجربة في خطوتين:

1. اُرسم فرعًا لكل مخرج من الخطوة الأولى، ثم واصِل كل فرع بمخارج الخطوة الثانية، كاتبًا كل [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) على فرعه؛
2. واِضرب [الاِحتمالات](#def-g9-statproba-probability) على طول مسار للحصول على [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) ذلك المسار؛
3. واِجمع [اِحتمالات](#def-g9-statproba-probability) كل المسارات التي تشكّل حدثًا.

**مثال 71.9.**

كيس فيه $2$ من [القطع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) الحمراء و $3$ سوداء. اِسحب [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects)، وسجّل لونها، *وأعِدها*، ثم اِسحب من جديد. فيعطي كل سحب أحمر [باِحتمال](#def-g9-statproba-probability) $\frac25$، وأسود [باِحتمال](#def-g9-statproba-probability) $\frac35$.

![شجرة السحبين مع الإعادة: اِضرب على طول الفروع، وتحقّق أنّ مجموع المسارات الأربعة 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-statproba/fig-f9a985036b5b.svg)

*شجرة السحبين مع الإعادة: اِضرب على طول الفروع، وتحقّق أنّ [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) المسارات الأربعة $1$.*

[اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) [قطعتين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) باللون نفسه: $\frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25}$. [واِحتمال](#def-g9-statproba-probability) حمراء واحدة على الأقل: $1 - \P(\text{BB}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

**ملاحظة 71.10 (التواترات تقترب من الاحتمالات).**

رمي نرد سليم $6000$ مرّة يعطي *نحو* $1000$ ستّة — لا بالضبط. وكلّما زاد عدد التكرارات، اِقتربت التواترات الملاحَظة أكثر فأكثر من [الاِحتمالات](#def-g9-statproba-probability): وهذا ما يجعل [الاِحتمال](#def-g9-statproba-probability) الأداة الصحيحة لنمذجة التجارب المكرَّرة (وهي حكاية تُطوَّر في مجلّد الثانوية من هذه السلسلة).

## 71.4 تمارين

**تمرين 71.1 ★.**

اِحسب [المتوسّط](#def-g9-statproba-indicators) [والوسيط](#def-g9-statproba-indicators) [والمدى](#def-g9-statproba-indicators) للسلسلة $14,\ 9,\ 17,\ 9,\ 12,\ 11,\ 12$.

**حل التمرين 71.1.**

[المتوسّط](#def-g9-statproba-indicators): $\dfrac{14 + 9 + 17 + 9 + 12 + 11 + 12}{7} = \dfrac{84}{7} = 12$.

[والوسيط](#def-g9-statproba-indicators): بعد الترتيب، $9, 9, 11, 12, 12, 14, 17$؛ فالقيمة رقم $4$ هي $12$.

[والمدى](#def-g9-statproba-indicators): $17 - 9 = 8$.

**تمرين 71.2 ★.**

كانت درجات الحرارة عند الظهيرة في أسبوع $19,\ 21,\ 24,\ 18,\ 22,\ 25,\
19$ (بالدرجات). اِحسب [المتوسّط](#def-g9-statproba-indicators) (إلى العُشر) [والوسيط](#def-g9-statproba-indicators).

**حل التمرين 71.2.**

[المتوسّط](#def-g9-statproba-indicators): $\dfrac{19 + 21 + 24 + 18 + 22 + 25 + 19}{7} = \dfrac{148}{7}
\approx 21.1$ درجة.

[والوسيط](#def-g9-statproba-indicators): بعد الترتيب، $18, 19, 19, 21, 22, 24, 25$؛ فالقيمة رقم $4$ هي $21$ درجة.

**تمرين 71.3 ★.**

عدد الأهداف التي سجّلها فريق في $10$ مباريات:

| الأهداف | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| المباريات | $2$ | $4$ | $3$ | $1$ |

اِحسب [متوسّط](#def-g9-statproba-indicators) عدد الأهداف في المباراة، [والوسيط](#def-g9-statproba-indicators).

**حل التمرين 71.3.**

[المتوسّط](#def-g9-statproba-indicators):

$$
\frac{2 \times 0 + 4 \times 1 + 3 \times 2 + 1 \times 3}{10}
= \frac{0 + 4 + 6 + 3}{10} = \frac{13}{10} = 1.3
\text{ هدفًا في المباراة.}
$$

[والوسيط](#def-g9-statproba-indicators): السلسلة المرتّبة هي $0,0,1,1,1,1,2,2,2,3$؛ والقيمتان رقم $5$ ورقم $6$ كلتاهما $1$: أي [الوسيط](#def-g9-statproba-indicators) $1$.

**تمرين 71.4 ★.**

يُرمى نرد سليم مرّة واحدة. اِحسب [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability): «الحصول على $3$»؛ و«الحصول على [عدد زوجي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd)»؛ و«الحصول على $3$ على الأقل»؛ و«عدم الحصول على $6$».

**حل التمرين 71.4.**

$\P(3) = \frac16$. $\P(\text{زوجي}) = \frac36 = \frac12$. $\P(\text{على الأقل } 3) = \P(\{3,4,5,6\}) = \frac46 = \frac23$. $\P(\text{ليس } 6) = 1 - \frac16 = \frac56$.

**تمرين 71.5 ★.**

علبة فيها $12$ كرة: $5$ بيضاء، و $4$ حمراء، و $3$ خضراء؛ وتُسحب كرة عشوائيًّا. اِحسب $\P(\text{أبيض})$ و $\P(\text{أحمر أو أخضر})$ و $\P(\text{ليس أبيض})$. فماذا تلاحظ في الأخيرين؟

**حل التمرين 71.5.**

$\P(\text{أبيض}) = \frac{5}{12}$.

$\P(\text{أحمر أو أخضر}) = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}$.

$\P(\text{ليس أبيض}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$.

والأخيران متساويان: فحدث «ليس أبيض» *هو* حدث «أحمر أو أخضر».

**تمرين 71.6 ★★.**

تُرمى [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) نقود، ثم يُرمى نرد سليم. اُرسم الشجرة (أو عُدّ المخارج) واِحسب [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) الحصول على صورة *و* $6$؛ ثم [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) الحصول على صورة *أو* $6$ (أو كليهما).

**حل التمرين 71.6.**

المخارج $12$ (وجه [القطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects)، وقيمة النرد) متساوية الإمكان.

صورة و $6$: مخرج واحد من $12$: أي $\frac{1}{12}$.

وصورة أو $6$: المخارج ذات الصورة (وعددها $6$) مضافًا إليها المخرج (كتابة، $6$): أي $7$ مخارج، ومنه $\frac{7}{12}$. وعدّ كل حدث وطرح التداخل يعطي النتيجة نفسها: $\frac{6}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$.

**تمرين 71.7 ★★.**

في كيس [المثال 71.9](#ex-g9-statproba-tree) ($2$ حمراء، و $3$ سوداء)، يُجرى السحبان الآن *من غير* إعادة. اُرسم الشجرة الجديدة (واِنتبه: [اِحتمالات](#def-g9-statproba-probability) المستوى الثاني تتغيّر) واِحسب [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) سحب [قطعتين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) سوداوين، ثم [قطعتين](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) مختلفتَي اللون.

**حل التمرين 71.7.**

السحب الأول: أحمر $\frac25$، وأسود $\frac35$. والسحب الثاني من غير إعادة: فبعد حمراء، تبقى $1$ حمراء و $3$ سوداء من $4$؛ وبعد سوداء، تبقى $2$ حمراء و $2$ سوداء من $4$.

[قطعتان](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) سوداوان: $\frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

ولونان مختلفان (RB أو BR): $\frac25 \times \frac34 + \frac35 \times \frac24
= \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac35$.

**تمرين 71.8 ★★.**

بعد $9$ مباريات، بلغ [متوسّط](#def-g9-statproba-indicators) لاعبة كرة سلّة $14$ نقطة في المباراة.

1. كم نقطة سجّلت في المجموع؟
2. وكم نقطة يجب أن تسجّل في المباراة $10$ ليصير [المتوسّط](#def-g9-statproba-indicators) $15$ ؟

**حل التمرين 71.8.**

*1.* $9 \times 14 = 126$ نقطة.

*2.* [متوسّط](#def-g9-statproba-indicators) $15$ على $10$ مباريات يعني $150$ نقطة في [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def): فيجب أن تسجّل $150 - 126 = 24$ نقطة.

**تمرين 71.9 ★★★.**

لعبة: اِرمِ نردين سليمين؛ وتفوز إذا تساوت النتيجتان («الزوج»).

1. اِحسب [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) الفوز.
2. وتلعب مرّتين (لعبتان مستقلّتان). وباِستعمال شجرة، اِحسب [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) الفوز مرّة واحدة على الأقل.

**حل التمرين 71.9.**

*1.* من بين الأزواج $36$ المتساوية الإمكان، تكون الأزواج المتماثلة $(1,1), (2,2), \dots, (6,6)$: وعددها ستّة، إذن $\P(\text{زوج}) = \frac{6}{36} = \frac16$.

*2.* لعبتان مستقلّتان: شجرة بفوز ($\frac16$) وخسارة ($\frac56$) في كل مستوى. [واِحتمال](#def-g9-statproba-probability) عدم الفوز أبدًا: $\frac56 \times \frac56 = \frac{25}{36}$. إذن

$$
\P(\text{فوز واحد على الأقل}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}
\approx 0.31 .
$$

## 71.5 مسألة: رهانات الفارس المهلِكة

**مسألة 71.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — نزاع القمار سنة 1654 الذي أنشأ نظرية الاحتمال، ومصادفة أعياد الميلاد التي تخدع كل قسم

في سنة 1654، أثرى نبيل فرنسي مولع بالقمار، هو الفارس دي ميري، من رهان نرد واحد، ثم بدأ يخسر في رهان آخر ظنّه مكافئًا له. وحائرًا، سأل عالم الرياضيات بليز باسكال؛ فكتب باسكال إلى بيير دو فيرما؛ وأسّس تبادل رسائلهما نظرية [الاحتمال](#def-g9-statproba-probability). وتعيد هذه المسألة تمثيل القضية كلّها بأدوات هذا الفصل — المخارج المتساوية الإمكان، والأشجار، وقاعدة الحدث المضادّ ([القضية 71.7](#prop-g9-statproba-complement)) — وتنتهي بأكثر المصادفات مخالفةً للحدس على الإطلاق.

**الجزء الأول — النرد، معدودًا بأمانة.**

1. اِرمِ نردًا سليمًا مرّتين. وباِستعمال شجرة (أو جدول $6 \times 6$ )، اِحسب [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) *عدم* ظهور ستّة في الرميتين، واِستنتج [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) ظهور ستّة واحدة على الأقل.
2. ويجادل زميل: «فرصة واحدة من ستّ في كل رمية، ومرّتين، إذن $\frac16 + \frac16 = \frac13$ ». قارن بالسؤال 1 وأشِر إلى المخارج التي يعدّها جمعُه مرّتين بالضبط.
3. وبرمي نردين وجمع النتيجتين: اِحسب [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) قدره $7$ [ومجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) قدره $2$ . ولماذا يكون $7$ مفضَّل المقامرين؟
4. ونزاع قديم: بنردين، أيّهما أرجح [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) قدره $9$ أم [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) قدره $10$ ؟ عُدّ المخارج واحسم الأمر.
5. وعمّم السؤال 1: فسّر لماذا يكون [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) ظهور ستّة واحدة على الأقل في $n$ رمية هو $$1 - \left(\frac56\right)^{\!n} ,$$ إذ تتضاعف فروع «لا ستّة» في الشجرة من مستوى إلى مستوى.

**الجزء الثاني — رهانا الفارس.**

6. الرهان الأول، بمال متكافئ: *ستّة واحدة على الأقل في أربع رميات نرد* . اِحسب $\left(\frac56\right)^4$ كسرًا وعددًا عشريًّا، [واِحتمال](#def-g9-statproba-probability) فوز الفارس. فهل كان الرهان جيدًا؟
7. وكان تعليل الفارس نفسه: «أربع رميات، كل واحدة $\frac16$ : أي $\frac46$ من الفرصة». وقد أعطى جوابًا يكاد يكون صحيحًا هنا — لكن اِدفعه إلى $7$ رميات: فأيّ عبث ينتجه، وأيّ خطأ من السؤال 2 يكرّره؟
8. والرهان الثاني، الذي ظنّه مكافئًا [بالتناسب](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/67-linear-and-affine-functions#def-g9-linfunc-linear) (« $24$ رمية، كل واحدة $\frac1{36}$ : أي من جديد $\frac{24}{36} = \frac46$ »): *ستّة مزدوجة واحدة على الأقل في $24$ رمية نردين* . اِحسب [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) الفوز الحقيقي $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ (بالآلة الحاسبة). ولماذا خرب الفارس ببطء؟
9. وكم رمية نردين كانت ستعيد إليه أفضليته؟ اِختبر $n = 25$ بالآلة الحاسبة واِستنتج.
10. واُذكر العبرة في جملتين: ما الخطأ، في العموم، في ضرب [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) في عدد المحاولات — وأيّ أداة صحيحة تحلّ محلّ هذا الإغراء؟

**الجزء الثالث — [المتوسّطات](#def-g9-statproba-indicators) [والوسطاء](#def-g9-statproba-indicators) وأعياد الميلاد.**

11. شركة صغيرة تدفع لتسعة موظّفين $2\,000$ يورو في الشهر وللمدير $20\,000$ . اِحسب [المتوسّط](#def-g9-statproba-indicators) [والوسيط](#def-g9-statproba-indicators) للأجور ( [التعريف 71.1](#def-g9-statproba-indicators) ). فأيّ عدد ينبغي أن يذكره إعلان التوظيف بأمانة؟
12. وأنشِئ قائمة من خمس علامات [متوسّطها](#def-g9-statproba-indicators) $12$ [ووسيطها](#def-g9-statproba-indicators) $15$ . فماذا يقول هذا الزوج ( [متوسّط](#def-g9-statproba-indicators) دون [الوسيط](#def-g9-statproba-indicators) ) عن شكل العلامات؟
13. ومسألة أعياد الميلاد: في قسم فيه $23$ تلميذًا، ما [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) أن يتشارك اِثنان على الأقل عيد ميلاد؟ كوّن الحدث المضادّ (أعياد الميلاد $23$ كلّها مختلفة): $$\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times  \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{343}{365} .$$ اِحسب [جداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) العوامل الثلاثة الأولى، وصِف كيف تتطوّر العوامل، ثم — بما أنّ [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) الكامل نحو $0.493$ — أجِب عن السؤال. ويتوقّع معظم الناس «مستبعَد جدًّا»: فماذا تقول الرياضيات؟
14. والحدس مصلَّحًا: كم *زوجًا* من التلاميذ يمكن أن يتشارك عيد ميلاد في قسم فيه $23$ تلميذًا (عدّ المصافحات في [المسألة 37.1](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers#pb-g6-wholes-1) )؟ فسّر في جملة واحدة لماذا يقود هذا العدد المفاجأة، لا العدد $23$ نفسه.
15. والختام: صِف تجربة للتحقّق من إحدى النتيجتين — رهان دي ميري بنرد حقيقي، أو مسألة أعياد الميلاد عبر عدّة أقسام — واُذكر بعناية ما تتوقّعه من التواترات الملاحَظة كلّما زاد عدد التكرارات. (ولذلك التوقّع اِسم، هو قانون الأعداد الكبيرة؛ وبرهانه ينتظر في مجلّد الثانوية.)

**حل المسألة 71.1.**

**1.** لكل رمية $5$ مخارج غير الستّة من $6$؛ ويبيّن الجدول $6 \times 6$ أنّ $5 \times 5 = 25$ مخرجًا خاليًا من الستّة من $36$: أي $P(\text{لا ستّة}) = \frac{25}{36}$، إذن $P(\text{واحدة على الأقل}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}
\approx 0.31$.

**2.** $\frac13 = \frac{12}{36} \neq \frac{11}{36}$. فالجمع يعدّ المخرج «ستّة ثم ستّة» مرّة في كل $\frac16$: أي مرّة زائدة. [واِحتمالات](#def-g9-statproba-probability) الأحداث التي يمكن أن تقع *معًا* لا تُجمع ببساطة.

**3.** [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $7$: المخارج الستّة $(1,6), (2,5), (3,4),
(4,3), (5,2), (6,1)$: أي $P = \frac{6}{36} = \frac16$. [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $2$: $(1,1)$ وحده: أي $\frac{1}{36}$. فللسبعة أكثر الطرق لتقع — وهي الوسط السمين في جدول المجاميع.

**4.** [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ — أربعة مخارج، أي $\frac{4}{36}$. [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ — ثلاثة، أي $\frac{3}{36}$. فالتسعة أرجح: إذ يحسم العدّ الأمر، لا عدد «طرق كتابة» [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) [بأوجه](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) غير مرتّبة.

**5.** يضرب كل مستوى من الشجرة [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) «لا ستّة» في $\frac56$، مهما وقع من قبل: فبعد $n$ رمية، يكون $P(\text{لا ستّة إطلاقًا}) = \left(\frac56\right)^n$، وتعطي قاعدة الحدث المضادّ الصيغة.

**6.** $\left(\frac56\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx
0.482$، إذن كان الفارس يفوز [باِحتمال](#def-g9-statproba-probability) $1 - 0.482 = 0.518$ — أي أفضلية هادئة ثابتة تقارب $2\,\%$ في اللعبة: رهان ممتاز، وقد دفع ثمن عرباته.

**7.** وعند $7$ رميات تعطي قاعدته $\frac76$ — أي [اِحتمالًا](#def-g9-statproba-probability) أكبر من $1$، وهو عبث. وهو العدّ المزدوج في السؤال 2، مركَّبًا: فنجاحات الرميات تتداخل، وجمع فرصها يعدّ التداخلات مرّة بعد مرّة.

**8.** $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx
1 - 0.5086 = 0.491$: أي دون النصف. وبالرهان بمال متكافئ على حدث [اِحتماله](#def-g9-statproba-probability) $49.1\,\%$، كان الفارس يخسر نحو $2$ لعبة من كل $100$ في [المتوسّط](#def-g9-statproba-indicators) — ببطء، وبغموض (بالنسبة إليه)، ولا محالة.

**9.** $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{25} \approx
1 - 0.494 = 0.506$: فمع $25$ رمية يصير الرهان مواتيًا. ورمية واحدة كانت تفصل الفارس عن الربح.

**10.** ضرب [اِحتمال](#def-g9-statproba-probability) في عدد المحاولات يعدّ النجاحات المتداخلة عدّة مرّات، وينتج في النهاية أجوبة مستحيلة فوق $1$. والطريق الصحيح يمرّ دائمًا بالحدث المضادّ: اِضرب [اِحتمالات](#def-g9-statproba-probability) الفشل بعضها في بعض، ثم اِطرح من $1$.

**11.** [المتوسّط](#def-g9-statproba-indicators): $\frac{9 \times 2\,000 + 20\,000}{10} =
\frac{38\,000}{10} = 3\,800$ يورو. [والوسيط](#def-g9-statproba-indicators): الأجران الأوسطان كلاهما $2\,000$: أي [الوسيط](#def-g9-statproba-indicators) $2\,000$ يورو. وينبغي أن يذكر الإعلان [الوسيط](#def-g9-statproba-indicators) — فتسعة من العشرة لا يرون شيئًا يشبه $3\,800$؛ [والمتوسّط](#def-g9-statproba-indicators) تجرّه قيمة شاذّة واحدة إلى أعلى (وقد حذّر [المثال 71.3](#ex-g9-statproba-weighted) من الأوزان).

**12.** مثلًا $2, 8, 15, 17, 18$: [فالوسيط](#def-g9-statproba-indicators) $15$ (القيمة الوسطى)، [والمتوسّط](#def-g9-statproba-indicators) $\frac{60}{5} = 12$. [ومتوسّط](#def-g9-statproba-indicators) دون [الوسيط](#def-g9-statproba-indicators) يفضح ذيلًا من العلامات *المنخفضة* يجرّ المعدّل إلى أسفل بينما النصف الأعلى مرتفع.

**13.** العوامل الثلاثة الأولى: $1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \approx
0.992$. وكل تلميذ جديد مضطرّ إلى تفادي تاريخ محجوز إضافي، فتتقلّص العوامل: $\frac{343}{365} \approx 0.94$ للتلميذ $23$. ويهبط [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) الكامل إلى نحو $0.493$ — إذن

$$
P(\text{عيد ميلاد مشترك واحد على الأقل}) \approx 0.507 :
$$

أي أفضل من التكافؤ، في قسم فيه $23$ تلميذًا فقط. ويقول الحدس «$23$ شخصًا، و $365$ يومًا، لا فرصة»؛ وتقول الرياضيات «اِرمِ [قطعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) نقود».

**14.** $\frac{23 \times 22}{2} = 253$ زوجًا. وكل زوج فرصة جديدة لمصادفة، و $253$ فرصة، كل واحدة $\frac{1}{365}$، لم تعد شأنًا صغيرًا: فتتبدّد المفاجأة متى عُدّت الأزواج، لا الأشخاص.

**15.** بروتوكول مثال: اِرمِ نردًا في كتل من أربع رميات، مسجّلًا ما إذا أظهرت كل [كتلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) ستّة، من أجل $100$ [كتلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units)؛ أو اِجمع قوائم أعياد الميلاد لعدّة أقسام فيها نحو $23$ تلميذًا وسجّل نسبة الأقسام التي فيها مصادفة. [والتواتر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/50-organizing-data#def-g7-stats-frequency) الملاحَظ سيتذبذب، لكن كلّما زاد عدد التكرارات وجب أن يستقرّ أقرب فأقرب من [الاِحتمالات](#def-g9-statproba-probability) المحسوبة ($0.518$؛ و $0.507$) — فالتواترات تتقارب إلى [الاِحتمالات](#def-g9-statproba-probability): وهو قانون الأعداد الكبيرة، مذكورًا هنا توقّعًا ومبرهنًا عليه في مجلّد الثانوية.