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title: "La multiplicación"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 16
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/16-la-multiplicacion
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# Capítulo 16 — La multiplicación

Tres bolsas de siete canicas: podrías sumar $7 + 7 + 7$, pero hay un camino más rápido — la multiplicación, la operación de la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) repetida. Este capítulo construye las tablas de multiplicar a partir de dibujos y luego enseña el método en columna.

## 16.1 Qué significa multiplicar

**Definición 16.1 (La multiplicación).**

El [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) $3 \times 7$ significa «tres veces siete»:

$$
3 \times 7 = 7 + 7 + 7 = 21 .
$$

En un dibujo, $3 \times 7$ es un rectángulo de puntos: $3$ filas de $7$ puntos.

![Los mismos 21 puntos, contados por filas o por columnas: el orden de un producto no importa. Saber 3 × 7 regala 7 × 3 — ¡la mitad de las tablas que aprender!](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-mult/fig-7df423557046.svg)

*Los mismos $21$ puntos, contados por filas o por columnas: el orden de un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) no importa. Saber $3 \times 7$ regala $7 \times 3$ — ¡la mitad de las tablas que aprender!*

**Proposición 16.2 (Reglas que ayudan).**

1. el orden no importa: $a \times b = b \times a$ ;
2. multiplicar por $1$ no cambia nada; multiplicar por $0$ da $0$ .
3. multiplicar por $10$ añade un [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) : $34 \times 10 = 340$ ; por $100$ , dos [ceros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) ;
4. una tabla se puede reconstruir a partir de sus vecinas: $6 \times 8 = 5 \times 8 + 8 = 40 + 8 = 48$ .

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 16.3 (El cuadro de las tablas).**

Todas las tablas caben en un solo cuadro. Para leer $6 \times 7$: fila $6$, columna $7$.

| $\times$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $1$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| $2$ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
| $3$ | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 |
| $4$ | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 |
| $5$ | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
| $6$ | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 |
| $7$ | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 |
| $8$ | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 |
| $9$ | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |

El cuadro es simétrico respecto de su diagonal — esa es la regla 1 hecha visible.

## 16.2 La multiplicación en columna

**Método 16.4 (Multiplicar por un número de una cifra).**

Para calcular $234 \times 6$:

1. multiplica las unidades: $4 \times 6 = 24$ : escribe $4$ y lleva $2$ ;
2. multiplica las decenas y [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) la llevada: $3 \times 6 + 2 = 20$ : escribe $0$ y lleva $2$ ;
3. multiplica las centenas y [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) la llevada: $2 \times 6 + 2 = 14$ : escribe $14$ .

$$
\begin{array}{r}
2\,3\,4 \\
\times \quad 6 \\
\hline
1\,4\,0\,4
\end{array}
$$

Estimación para comprobar: $234$ está cerca de $200$ y $200 \times 6 = 1\,200$: la respuesta $1\,404$ es verosímil.

**Ejemplo 16.5 (Descomponer para multiplicar de cabeza).**

El método en columna descompone en secreto el número por lugares. De cabeza, haz lo mismo:

$$
23 \times 4 = (20 + 3) \times 4 = 20 \times 4 + 3 \times 4
= 80 + 12 = 92 .
$$

Y con una vecina amable: $99 \times 5 = 100 \times 5 - 5 =
495$.

![Por qué funciona descomponer: un rectángulo 23 × 4 de cuadraditos unidad es una parte 20 × 4 más una parte 3 × 4 — 80 + 12 = 92 cuadraditos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-mult/fig-6ebeb59e65b5.svg)

*Por qué funciona descomponer: un rectángulo $23 \times 4$ de cuadraditos unidad es una parte $20 \times 4$ más una parte $3 \times 4$ — $80 + 12 = 92$ cuadraditos.*

## 16.3 La multiplicación en los problemas

**Ejemplo 16.6.**

Un microbús lleva $9$ pasajeros. ¿Cuántos pasajeros pueden llevar $27$ microbuses?

1. es una multiplicación: $27$ grupos de $9$ ;
2. $27 \times 9 = 243$ (en columna o $27 \times 9 = 27 \times 10 - 27 = 270 - 27$ ).
3. frase: los microbuses pueden llevar $243$ pasajeros.

## 16.4 Ejercicios

**Ejercicio 16.1 ★.**

Escribe como multiplicación y calcula: $8 + 8 + 8 + 8$; $5 + 5 + 5$; $20 + 20 + 20 + 20 + 20$.

**Solución de Ejercicio 16.1.**

$8 + 8 + 8 + 8 = 4 \times 8 = 32$; $5 + 5 + 5 = 3 \times 5 = 15$; $20 \times 5 = 100$.

**Ejercicio 16.2 ★.**

Recita y completa: $6 \times 7$; $8 \times 4$; $9 \times 9$; $7 \times 8$; $6 \times 6$.

**Solución de Ejercicio 16.2.**

$42$; $32$; $81$; $56$; $36$.

**Ejercicio 16.3 ★.**

Dibuja un rectángulo de puntos para $4 \times 6$ y otro para $6 \times 4$. ¿Qué observas al comparar los dos recuentos?

**Solución de Ejercicio 16.3.**

Los dos rectángulos contienen los mismos $24$ puntos — uno es el otro girado de lado: $4 \times 6 = 6 \times 4$.

**Ejercicio 16.4 ★.**

Calcula usando las reglas de la [Proposición 16.2](#prop-g3-mult-rules): $56 \times 10$; $8 \times 100$; $73 \times 0$; $45 \times 1$; $30 \times 10$.

**Solución de Ejercicio 16.4.**

$560$; $800$; $0$; $45$; $300$.

**Ejercicio 16.5 ★.**

Calcula en columna: $132 \times 3$; $217 \times 4$; $408 \times 7$.

**Solución de Ejercicio 16.5.**

$132 \times 3 = 396$; $217 \times 4 = 868$; $408 \times 7 = 2\,856$.

**Ejercicio 16.6 ★.**

Calcula de cabeza descomponiendo (como en el [Ejemplo 16.5](#ex-g3-mult-split)): $31 \times 5$; $42 \times 3$; $25 \times 6$.

**Solución de Ejercicio 16.6.**

$31 \times 5 = 30 \times 5 + 5 = 155$; $42 \times 3 = 120 + 6 = 126$; $25 \times 6 = 20 \times 6 + 5 \times 6 = 120 + 30 = 150$.

**Ejercicio 16.7 ★.**

Calcula con una vecina amable: $99 \times 7$; $101 \times 6$; $98 \times 5$.

**Solución de Ejercicio 16.7.**

$99 \times 7 = 700 - 7 = 693$; $101 \times 6 = 600 + 6 = 606$; $98 \times 5 = 500 - 10 = 490$.

**Ejercicio 16.8 ★.**

Estima primero y después calcula: $389 \times 5$ (estima con $400$); $612 \times 8$ (estima con $600$).

**Solución de Ejercicio 16.8.**

$389 \times 5$: estimación $400 \times 5 = 2\,000$; exactamente $1\,945$.

$612 \times 8$: estimación $600 \times 8 = 4\,800$; exactamente $4\,896$.

**Ejercicio 16.9 ★.**

Una huevera lleva $6$ huevos. ¿Cuántos huevos hay en $38$ hueveras? Escribe la operación, calcula y responde con una frase.

**Solución de Ejercicio 16.9.**

$38 \times 6 = 228$. En las hueveras hay $228$ huevos.

**Ejercicio 16.10 ★★.**

Un aula tiene $8$ filas de $4$ pupitres y en cada pupitre se sientan $2$ alumnos. ¿Cuántos alumnos caben en el aula? (Dos multiplicaciones.)

**Solución de Ejercicio 16.10.**

Pupitres: $8 \times 4 = 32$. Alumnos: $32 \times 2 = 64$. En el aula caben $64$ alumnos.

**Ejercicio 16.11 ★★.**

Busca todas las maneras de colocar $24$ sillas en filas iguales (filas de $1$, de $2$, …). ¿Qué disposiciones son posibles? (Usa el cuadro de las tablas: busca el $24$ dentro.)

**Solución de Ejercicio 16.11.**

El $24$ aparece en el cuadro de las tablas como $1 \times 24$, $2 \times 12$, $3 \times 8$ y $4 \times 6$ — y las mismas parejas al revés. Disposiciones posibles: $1$ fila de $24$, $2$ filas de $12$, $3$ filas de $8$, $4$ filas de $6$, $6$ filas de $4$, $8$ filas de $3$, $12$ filas de $2$ y $24$ filas de $1$.

**Ejercicio 16.12 ★★.**

Zoe calcula $47 \times 6$ así: $40 \times 6 = 240$, $7 \times 6 = 42$ y después $240 + 42 = 282$. Lea calcula $47 \times 6 = 50 \times 6 - 3 \times 6 = 300 - 18 = 282$. Explica cada método. ¿Cuál prefieres para $38 \times 4$? Calcúlalo de las dos maneras.

**Solución de Ejercicio 16.12.**

Zoe descompone $47$ en $40 + 7$ (el método en columna hecho de cabeza); Lea sustituye $47$ por el amable $50$ y corrige quitando el $3 \times 6$ contado de más. Para $38 \times 4$: al modo de Zoe, $120 + 32 = 152$; al modo de Lea, $40 \times 4 - 2 \times 4 = 160 - 8 =
152$. Las dos funcionan — la de Lea es más rápida aquí porque $38$ está cerca de $40$.