--- title: "Repartir y dividir" book: "Matemáticas de primaria y secundaria" subject: math language: es chapter: 17 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir --- # Capítulo 17 — Repartir y dividir Veinte canicas repartidas a partes iguales entre cuatro niños: ¿cuántas para cada uno? La división responde a todas las preguntas de reparto — y también a las de agrupamiento — y es la gemela de la multiplicación: una deshace a la otra. ## 17.1 Las dos caras de la división **Definición 17.1 (La división).** La división $20 \div 4$ responde a dos tipos de preguntas: - *repartir* : $20$ canicas repartidas entre $4$ niños — ¿cuántas canicas para *cada uno* ? ( $5$ para cada uno); - *agrupar* : $20$ canicas metidas en bolsas de $4$ — ¿cuántas *bolsas* ? ( $5$ bolsas). Las dos preguntas tienen la misma respuesta, porque las dos deshacen la misma multiplicación: $4 \times 5 = 20$. ![Repartir 20 en 4 grupos iguales. Agrupar de 4 en 4 daría 5 grupos — la misma división.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-division/fig-1be1d9fd51c9.svg) *Repartir $20$ en $4$ grupos iguales. Agrupar de $4$ en $4$ daría $5$ grupos — la misma división.* **Método 17.2 (Dividir con las tablas).** Para calcular $42 \div 6$, pregunta: «¿$6$ por *cuánto* da $42$?» La tabla del $6$ responde: $6 \times 7 = 42$, así que $42 \div 6 = 7$. Toda pregunta de división es una pregunta de multiplicación leída al revés. ## 17.2 Cuando no es exacta **Definición 17.3 (El resto).** Repartir $23$ canicas entre $4$ niños da $5$ canicas para cada uno — y *sobran* $3$ canicas, que no llegan para otra ronda. Escribimos $$ 23 = 4 \times 5 + 3 , $$ y decimos: el *cociente* es $5$ y el *resto* es $3$. El resto es siempre menor que el número de niños — si no, se podría hacer otra ronda de reparto. ![Repartir 23 entre 4: después de 5 rondas sobran 3 canicas — demasiado pocas para una sexta ronda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-division/fig-25c734fef20a.svg) *Repartir $23$ entre $4$: después de $5$ rondas sobran $3$ canicas — demasiado pocas para una sexta ronda.* **Ejemplo 17.4.** Divide $58$ entre $7$. Recorre la tabla del $7$: $7 \times 8 = 56$ es el mayor [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) que cabe por debajo de $58$ ($7 \times 9 = 63$ se pasa). Por tanto, $$ 58 = 7 \times 8 + 2 : $$ [cociente](#def-g3-division-remainder) $8$ y [resto](#def-g3-division-remainder) $2$. Comprobación: $56 + 2 = 58$, y $2 < 7$. **Método 17.5 (Interpretar el resto).** Después de dividir, vuelve a la historia: 1. «¿cuántos para cada uno / cuántos grupos completos?» — el [cociente](#def-g3-division-remainder) ; 2. «¿cuántos sobran?» — el [resto](#def-g3-division-remainder) ; 3. «¿cuántas cajas hacen falta para guardarlo todo?» — el [cociente](#def-g3-division-remainder) *más uno* si el [resto](#def-g3-division-remainder) no es [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) . **Ejemplo 17.6.** $58$ alumnos van en canoa, $7$ por canoa. $58 = 7 \times 8 + 2$: ocho canoas van llenas y quedan $2$ alumnos — que también necesitan canoa. Así que hay que reservar $9$ canoas. ## 17.3 Mitades, tercios y cuartos **Definición 17.7 (Mitad, tercio, cuarto).** La *mitad* de un número es el resultado de dividirlo entre $2$; el *tercio*, entre $3$; el *cuarto*, entre $4$. Por ejemplo, la mitad de $18$ es $9$, el tercio de $18$ es $6$ y el cuarto de $36$ es $9$. **Ejemplo 17.8 (Los dobles y las mitades van juntos).** La [mitad](#def-g3-division-half) de $46$: como $46 = 40 + 6$, la [mitad](#def-g3-division-half) de cada parte da $20 + 3 = 23$. Comprobación con el doble: $23 + 23 = 46$. Saberse los dobles de memoria ($25 \to 50$, $45 \to 90$, $150 \to 300$) hace instantáneas las [mitades](#def-g3-division-half). ## 17.4 Ejercicios **Ejercicio 17.1 ★.** Calcula usando las tablas al revés: $36 \div 4$; $63 \div 9$; $40 \div 5$; $56 \div 8$. **Solución de Ejercicio 17.1.** $36 \div 4 = 9$ (porque $4 \times 9 = 36$); $63 \div 9 = 7$; $40 \div 5 = 8$; $56 \div 8 = 7$. **Ejercicio 17.2 ★.** Para cada división, escribe la igualdad $a = b \times q + r$ y di el [cociente](#def-g3-division-remainder) y el [resto](#def-g3-division-remainder): $17 \div 5$; $30 \div 4$; $50 \div 6$. **Solución de Ejercicio 17.2.** $17 = 5 \times 3 + 2$: [cociente](#def-g3-division-remainder) $3$, [resto](#def-g3-division-remainder) $2$. $30 = 4 \times 7 + 2$: [cociente](#def-g3-division-remainder) $7$, [resto](#def-g3-division-remainder) $2$. $50 = 6 \times 8 + 2$: [cociente](#def-g3-division-remainder) $8$, [resto](#def-g3-division-remainder) $2$. **Ejercicio 17.3 ★.** Se reparten $28$ canicas entre $6$ niños. ¿Cuántas canicas para cada uno y cuántas sobran? Dibuja el reparto si te ayuda. **Solución de Ejercicio 17.3.** $28 = 6 \times 4 + 4$: cada niño recibe $4$ canicas y sobran $4$ canicas. **Ejercicio 17.4 ★.** Calcula: la [mitad](#def-g3-division-half) de $68$; el tercio de $27$; el [cuarto](#def-g3-division-half) de $48$; la [mitad](#def-g3-division-half) de $150$. **Solución de Ejercicio 17.4.** La [mitad](#def-g3-division-half) de $68$: $34$. El tercio de $27$: $9$. El [cuarto](#def-g3-division-half) de $48$: $12$. La [mitad](#def-g3-division-half) de $150$: $75$. **Ejercicio 17.5 ★.** ¿Verdadero o falso? Compruébalo con una multiplicación. «$45 \div 5 = 9$»; «$52 \div 6 = 8$ y [resto](#def-g3-division-remainder) $4$»; «$70 \div 8 = 9$ y [resto](#def-g3-division-remainder) $2$». **Solución de Ejercicio 17.5.** «$45 \div 5 = 9$»: verdadero, $5 \times 9 = 45$. «$52 \div 6 = 8$ y [resto](#def-g3-division-remainder) $4$»: verdadero, $6 \times 8 + 4 = 52$ y $4 < 6$. «$70 \div 8 = 9$ y [resto](#def-g3-division-remainder) $2$»: falso — $8 \times 9 + 2 = 74$, no $70$. Lo correcto: $70 = 8 \times 8 + 6$. **Ejercicio 17.6 ★.** Se pegan $32$ fotos en un álbum, $4$ por página. ¿Cuántas páginas se usan? ¿Qué [cara](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/11-figuras-y-cuerpos#def-g2-shapes-solids) de la división es esta (repartir o agrupar)? **Solución de Ejercicio 17.6.** $32 \div 4 = 8$ páginas. Es un *agrupamiento*: las fotos se colocan en grupos de $4$ y contamos los grupos. **Ejercicio 17.7 ★.** Una cuerda de $75$ cm se corta en trozos de $9$ cm. ¿Cuántos trozos completos salen y cuánto mide el pedazo que sobra? **Solución de Ejercicio 17.7.** $75 = 9 \times 8 + 3$: ocho trozos completos y un pedazo sobrante de $3$ cm. **Ejercicio 17.8 ★.** $50$ niños van de excursión en coches de $4$ plazas. ¿Cuántos coches hacen falta? (Cuidado: ¡todos tienen que ir!) **Solución de Ejercicio 17.8.** $50 = 4 \times 12 + 2$: doce coches llevan a $48$ niños y quedan $2$ niños sin sitio. Hacen falta $13$ coches. **Ejercicio 17.9 ★.** Halla los números que faltan: $? \div 7 = 6$; $54 \div ? = 6$; la [mitad](#def-g3-division-half) de $?$ es $35$. **Solución de Ejercicio 17.9.** $? = 7 \times 6 = 42$. $54 \div 9 = 6$, así que el divisor que falta es $9$. El número cuya [mitad](#def-g3-division-half) es $35$ es $70$. **Ejercicio 17.10 ★★.** Amina reparte sus $47$ pegatinas entre sus $5$ amigos, lo más equitativamente posible, y se queda con lo que sobra. ¿Cuántas pegatinas recibe cada amigo y cuántas se queda Amina? **Solución de Ejercicio 17.10.** $47 = 5 \times 9 + 2$: cada amigo recibe $9$ pegatinas y Amina se queda con el [resto](#def-g3-division-remainder), $2$ pegatinas. **Ejercicio 17.11 ★★.** Cuando se divide un número entre $6$, ¿cuáles son todos los [restos](#def-g3-division-remainder) posibles? ¿Cuál es el mayor número cuya división entre $6$ tiene [cociente](#def-g3-division-remainder) $7$? **Solución de Ejercicio 17.11.** Al dividir entre $6$, el [resto](#def-g3-division-remainder) es siempre menor que $6$: puede ser $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ o $5$. El mayor número con [cociente](#def-g3-division-remainder) $7$ usa el mayor [resto](#def-g3-division-remainder): $6 \times 7 + 5 = 47$.