--- title: "Figuras y ángulos rectos" book: "Matemáticas de primaria y secundaria" subject: math language: es chapter: 18 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos --- # Capítulo 18 — Figuras y ángulos rectos Cuadrados, rectángulos, triángulos, círculos: las figuras son viejas conocidas. Este capítulo las mira con ojos de geómetra — ¿qué hace exactamente que un cuadrado sea un cuadrado? — y presenta la herramienta que lo decide: la escuadra y su [ángulo recto](#def-g3-shapes-rightangle). ## 18.1 El ángulo recto **Definición 18.1 (Ángulo recto).** Un *ángulo recto* es el ángulo de la esquina de una hoja de papel o de la escuadra. Dos rectas que forman un ángulo recto son *perpendiculares*. En las figuras, un ángulo recto se marca con un cuadradito en la esquina. **Método 18.2 (Comprobar un ángulo recto).** 1. coloca la esquina de la escuadra exactamente sobre la esquina que quieres comprobar; 2. desliza un borde de la escuadra a lo largo de un lado del ángulo; 3. si el otro lado del ángulo sigue exactamente el otro borde, el ángulo es recto — si se abre más o menos, no lo es. ![Solo el primer ángulo es recto — y únicamente el cuadradito de la marca, o la escuadra, pueden certificarlo: la vista sola se engaña con facilidad.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-shapes/fig-d119413931af.svg) *Solo el primer ángulo es recto — y únicamente el cuadradito de la marca, o la escuadra, pueden certificarlo: la vista sola se engaña con facilidad.* ## 18.2 Las figuras y sus reglas **Definición 18.3 (Cuadrado, rectángulo, triángulo).** - un *rectángulo* tiene $4$ lados y $4$ [ángulos rectos](#def-g3-shapes-rightangle) ; sus lados opuestos miden lo mismo; - un *cuadrado* es un rectángulo cuyos $4$ lados miden todos lo mismo; - un *triángulo* tiene $3$ lados; un *triángulo rectángulo* tiene un [ángulo recto](#def-g3-shapes-rightangle) ; - un *círculo* se traza con el compás: todos sus puntos están a la misma distancia (el *radio* ) del *centro* . ![La galería de figuras, con sus marcas: cuadraditos para los ángulos rectos y trazos pequeños para los lados iguales.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-shapes/fig-92e7fde7edf8.svg) *La galería de figuras, con sus marcas: cuadraditos para los [ángulos rectos](#def-g3-shapes-rightangle) y trazos pequeños para los lados iguales.* **Ejemplo 18.4 (Por qué importan las marcas).** Una figura dibujada un poco inclinada puede *parecer* un cuadrado sin serlo. Las marcas dicen la verdad: $4$ cuadraditos de [ángulo recto](#def-g3-shapes-rightangle) $+$ $4$ trazos $=$ un cuadrado de verdad. Cuando dibujes, pon las marcas; cuando leas una figura, fíate solo de las marcas y de las medidas dadas. ## 18.3 Dibujar en papel cuadriculado **Método 18.5 (Construcciones en la cuadrícula).** El papel cuadriculado regala [ángulos rectos](#def-g3-shapes-rightangle): sus líneas son perpendiculares. 1. para dibujar un rectángulo de $5$ por $3$ : elige un cruce, cuenta $5$ casillas a la derecha y $3$ hacia arriba, y cierra la figura siguiendo las líneas de la cuadrícula; 2. para comprobar longitudes iguales, cuenta casillas; 3. los pasos en diagonal dan líneas inclinadas: repetir « $1$ a la derecha, $1$ arriba» traza una recta de $45^\circ$ . ![Dos construcciones en la cuadrícula: las líneas de la cuadrícula garantizan los ángulos rectos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-shapes/fig-1d20a35b2d3d.svg) *Dos construcciones en la cuadrícula: las líneas de la cuadrícula garantizan los [ángulos rectos](#def-g3-shapes-rightangle).* **Ejemplo 18.6 (Un programa de construcción).** Una figura se puede describir con instrucciones: «1. Traza un cuadrado $ABCD$ de lado $4$ cm. 2. Traza la circunferencia de centro $A$ que pasa por $B$.» Siguiendo un programa línea a línea, cualquiera puede volver a dibujar la misma figura — y escribirlo obliga a nombrar todos los puntos. Pruébalo con un compañero: uno escribe y el otro dibuja. ## 18.4 Ejercicios **Ejercicio 18.1 ★.** En clase, busca (sin medir) tres [ángulos rectos](#def-g3-shapes-rightangle) y un ángulo que no lo sea. ¿Cómo puedes *comprobar* cada uno? **Solución de Ejercicio 18.1.** [Ángulos rectos](#def-g3-shapes-rightangle) típicos: las esquinas de la pizarra, de una hoja de papel o de la puerta. Un ángulo que no es recto: la abertura de unas tijeras o las agujas del reloj a la una en punto. Cada uno se comprueba con la escuadra ([Método 18.2](#met-g3-shapes-check)) — nunca solo a ojo. **Ejercicio 18.2 ★.** Dibuja un rectángulo de $6$ cm por $4$ cm con regla y escuadra. Marca sus [ángulos rectos](#def-g3-shapes-rightangle) y sus lados iguales. **Solución de Ejercicio 18.2.** Construcción: un lado de $6$ cm, [ángulos rectos](#def-g3-shapes-rightangle) en los dos extremos con la escuadra, lados de $4$ cm y cerrar la figura. Marcas: $4$ cuadraditos en las esquinas, un trazo en cada lado de $6$ cm y un doble trazo en cada lado de $4$ cm. **Ejercicio 18.3 ★.** Dibuja un cuadrado de lado $5$ cm. ¿Cuántos [ángulos rectos](#def-g3-shapes-rightangle) tiene? ¿Cuántos lados iguales? Márcalo todo. **Solución de Ejercicio 18.3.** Un cuadrado tiene $4$ [ángulos rectos](#def-g3-shapes-rightangle) y $4$ lados iguales — todo marcado. **Ejercicio 18.4 ★.** En papel cuadriculado, dibuja: un cuadrado de $4 \times 4$; un rectángulo de $7 \times 2$; un triángulo rectángulo con catetos de $3$ y $5$ casillas. **Solución de Ejercicio 18.4.** Construcciones en la cuadrícula; la cuadrícula garantiza los [ángulos rectos](#def-g3-shapes-rightangle) y contar casillas garantiza las longitudes. **Ejercicio 18.5 ★.** ¿Verdadero o falso? Explícalo. «Todo cuadrado es un rectángulo.» «Todo rectángulo es un cuadrado.» «Un triángulo puede tener dos [ángulos rectos](#def-g3-shapes-rightangle).» (¡Intenta dibujarlo!) **Solución de Ejercicio 18.5.** «Todo cuadrado es un rectángulo»: *verdadero* — tiene $4$ [ángulos rectos](#def-g3-shapes-rightangle), que es todo lo que exige un rectángulo. «Todo rectángulo es un cuadrado»: *falso* — un rectángulo de $6 \times 4$ tiene los lados desiguales. «Un triángulo puede tener dos [ángulos rectos](#def-g3-shapes-rightangle)»: *falso* — los dos lados trazados desde los dos [ángulos rectos](#def-g3-shapes-rightangle) serían perpendiculares a la misma recta base y, por tanto, no se cortarían nunca para cerrar el triángulo. **Ejercicio 18.6 ★.** Traza una circunferencia de [radio](#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm. Marca su centro $O$, un punto $A$ sobre la circunferencia y traza el [radio](#def-g3-shapes-shapes) $[OA]$. ¿Cuánto mide $OA$? Y si $B$ es otro punto de la circunferencia, ¿cuánto mide $OB$? **Solución de Ejercicio 18.6.** $OA = 4$ cm (el [radio](#def-g3-shapes-shapes)). $OB = 4$ cm también: *todos* los puntos de la circunferencia están a la misma distancia del centro. **Ejercicio 18.7 ★.** Sigue este programa: «1. Traza un rectángulo $ABCD$ con $AB = 6$ cm y $BC = 3$ cm. 2. Marca el punto $M$ en el medio de $[AB]$. 3. Une $M$ con $C$ y con $D$.» ¿En qué figuras ha quedado dividido el rectángulo? **Solución de Ejercicio 18.7.** El rectángulo queda dividido en tres triángulos: dos triángulos rectángulos ($AMD$ y $MBC$, rectos en $A$ y en $B$) y el triángulo central $MCD$. **Ejercicio 18.8 ★.** Clasifica las figuras: ¿cuáles de estas tienen al menos un [ángulo recto](#def-g3-shapes-rightangle)? Un cuadrado; un rectángulo (no cuadrado); un triángulo rectángulo; un círculo; la letra L dibujada con trazos gruesos. **Solución de Ejercicio 18.8.** Con al menos un [ángulo recto](#def-g3-shapes-rightangle): el cuadrado, el rectángulo, el triángulo rectángulo y la letra L (sus esquinas interiores y exteriores). El círculo no tiene ninguna esquina. **Ejercicio 18.9 ★★.** En papel cuadriculado, dibuja un cuadrado inclinado cuyos lados vayan «$2$ a la derecha, $1$ arriba» (y los giros correspondientes). Cuenta casillas para convencerte de que los cuatro lados miden lo mismo. **Solución de Ejercicio 18.9.** Cada lado recorre «$2$ a la derecha, $1$ arriba» (o sus versiones giradas, «$1$ a la derecha, $2$ abajo», etc.): todos los lados son la diagonal de un bloque de $2 \times 1$ casillas, así que los cuatro miden lo mismo. **Ejercicio 18.10 ★★.** Escribe un programa de construcción (instrucciones numeradas, puntos con nombre) para: un cuadrado de lado $3$ cm apoyado sobre un rectángulo de $3$ cm $\times$ $2$ cm, como una casa sobre su planta baja. Prueba tu programa con un compañero. **Solución de Ejercicio 18.10.** Un programa correcto: «1. Traza un rectángulo $ABCD$ con $AB = 3$ cm (abajo) y $BC = 2$ cm. 2. Sobre el lado $[DC]$, traza el cuadrado $DCEF$ de lado $3$ cm, por fuera del rectángulo.» Vale cualquier programa claro, numerado y completo — compruébalo siguiéndolo al pie de la letra. **Ejercicio 18.11 ★★.** ¿Cuántos cuadrados sabes encontrar en una cuadrícula de $3 \times 3$ casillas? (Cuenta los de $1 \times 1$, los de $2 \times 2$ y el de $3 \times 3$.) **Solución de Ejercicio 18.11.** Cuadrados de $1 \times 1$: $9$. Cuadrados de $2 \times 2$: $4$. De $3 \times 3$: $1$. Total: $9 + 4 + 1 = 14$ cuadrados.