--- title: "La división" book: "Matemáticas de primaria y secundaria" subject: math language: es chapter: 23 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/23-la-division --- # Capítulo 23 — La división El año pasado dividimos con las tablas y [restos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) pequeños ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#ch-g3-division)); este capítulo instala el método escrito completo — la división larga — que sirve para cualquier número, grupo de cifras a grupo de cifras. ## 23.1 El método de la división larga **Método 23.1 (Dividir por un número de una cifra).** Para dividir $749$ entre $6$: 1. toma la cifra de más a la izquierda, $7$ (centenas): el $6$ cabe $1$ vez en $7$ ; escribe $1$ en el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) , resta $6$ y queda [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $1$ ; 2. *baja* la cifra siguiente, el $4$ : ahora divide $14$ (decenas): $6 \times 2 = 12$ ; escribe $2$ , [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $2$ ; 3. baja el $9$ : divide $29$ : $6 \times 4 = 24$ ; escribe $4$ , [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $5$ ; 4. ya no quedan cifras: el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) es $124$ y el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) , $5$ . Comprobación: $6 \times 124 + 5 = 744 + 5 = 749$, y $5 < 6$. ![La división larga de 749 entre 6, escrita entera: aparece cada resta, cada cifra se queda en su columna y las flechas grises señalan las cifras que se bajan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-division/fig-8b1e902e87e5.svg) *La división larga de $749$ entre $6$, escrita entera: aparece cada resta, cada cifra se queda en su columna y las flechas grises señalan las cifras que se bajan.* **Ejemplo 23.2 (Un cero en el cociente).** Divide $618$ entre $3$: centenas, $6 \div 3 = 2$; decenas, baja el $1$: el $3$ cabe $0$ veces en $1$ — ¡*escribe el* $0$! — y queda [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $1$; unidades, baja el $8$: $18 \div 3 = 6$. [Cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $206$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $0$. Olvidar el [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) del medio (y escribir $26$) es el error clásico; la comprobación $3 \times 26 = 78 \neq 618$ lo detecta al instante. **Ejemplo 23.3 (Estimar el tamaño del cociente).** Antes de dividir $749$ entre $6$, acota la respuesta: $6 \times 100 = 600$ y $6 \times 200 = 1\,200$, así que el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) está entre $100$ y $200$ — tendrá tres cifras. Esta estimación de una línea evita casi todos los errores de cifra mal colocada. ## 23.2 Elegir lo que pide la pregunta **Método 23.4 (Cociente, resto o cociente más uno).** Como en el [Método 17.5](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#met-g3-division-interpret), la historia decide: 1. «cuántos … completos» o «cuántos para cada uno»: el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) ; 2. «cuántos sobran»: el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) ; 3. «cuántos recipientes hacen falta para todo»: el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) más uno si el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) no es [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) . **Ejemplo 23.5.** Hay que empaquetar $530$ libros en cajas de $8$. $$ 530 = 8 \times 66 + 2 . $$ ¿Cuántas cajas *completas*? $66$. ¿Cuántos libros quedan fuera de una caja completa? $2$. ¿Cuántas cajas para empaquetar *todos* los libros? $67$. Tres preguntas, una sola división. **Ejemplo 23.6 (Repartir un gasto).** Cuatro amigos comparten a partes iguales el coste de un regalo de $92$: $92 \div 4 = 23$ exactamente ([resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $0$). Cada uno paga $23$. Cuando el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) es [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero), la división «es exacta» y el reparto es perfectamente justo. ## 23.3 Ejercicios **Ejercicio 23.1 ★.** Acota cada [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) como en el [Ejemplo 23.3](#ex-g4-division-size) (¿entre qué dos números «redondos»?) y calcula después la división larga: $96 \div 4$; $87 \div 5$. **Solución de Ejercicio 23.1.** $96 \div 4$: entre $4 \times 20 = 80$ y $4 \times 30 = 120$, así que el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) tiene dos cifras; la división larga da $24$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $0$. $87 \div 5$: entre $5 \times 10 = 50$ y $5 \times 20 = 100$; [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $17$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $2$ ($87 = 5 \times 17 + 2$). **Ejercicio 23.2 ★.** Calcula las divisiones largas y comprueba cada una: $672 \div 4$; $925 \div 7$; $804 \div 6$. **Solución de Ejercicio 23.2.** $672 \div 4 = 168$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $0$ (comprobación: $4 \times 168 = 672$). $925 \div 7 = 132$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $1$ (comprobación: $7 \times 132 + 1 = 925$). $804 \div 6 = 134$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $0$ (comprobación: $6 \times 134 = 804$). **Ejercicio 23.3 ★.** Cuidado con el [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) (véase el [Ejemplo 23.2](#ex-g4-division-zero)): $816 \div 4$; $420 \div 7$; $2\,512 \div 5$. **Solución de Ejercicio 23.3.** $816 \div 4 = 204$ (el paso de las decenas es $1 \div 4$: [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) veces — hay que escribir el $0$). $420 \div 7 = 60$. $2\,512 \div 5 = 502$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $2$ (comprobación: $5 \times 502 + 2 = 2\,512$). **Ejercicio 23.4 ★.** Escribe la igualdad de comprobación ($a = b \times q + r$) para: $85 \div 9$; $1\,000 \div 3$. **Solución de Ejercicio 23.4.** $85 = 9 \times 9 + 4$ ([cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $9$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $4$). $1\,000 = 3 \times 333 + 1$. **Ejercicio 23.5 ★.** Se meten $156$ huevos en hueveras de $6$. ¿Cuántas hueveras se llenan? **Solución de Ejercicio 23.5.** $156 \div 6 = 26$: se llenan veintiséis hueveras y no sobra ninguno. **Ejercicio 23.6 ★.** Una cinta de $250$ cm se corta en trozos de $8$ cm. ¿Cuántos trozos salen y qué longitud sobra? **Solución de Ejercicio 23.6.** $250 = 8 \times 31 + 2$: treinta y un trozos y sobran $2$ cm de cinta. **Ejercicio 23.7 ★.** $375$ alumnos van a un espectáculo en autobuses de $52$ plazas. ¿Cuántos autobuses hacen falta? (¿Qué caso del [Método 23.4](#met-g4-division-interpret) es este? Divide entre $52$ usando múltiplos: $52 \times 7 = 364$.) **Solución de Ejercicio 23.7.** $375 = 52 \times 7 + 11$: siete autobuses llevan a $364$ alumnos y quedan $11$ — es el caso del «más uno»: hacen falta $8$ autobuses. **Ejercicio 23.8 ★.** Tres amigos se reparten $234$ canicas a partes iguales. ¿Cuántas canicas para cada uno? Compruébalo con una multiplicación. **Solución de Ejercicio 23.8.** $234 \div 3 = 78$: cada uno recibe $78$ canicas. Comprobación: $3 \times 78 = 234$. **Ejercicio 23.9 ★.** Halla el dividendo: la división entre $7$ da [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $58$ y [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $3$. **Solución de Ejercicio 23.9.** Dividendo $= 7 \times 58 + 3 = 406 + 3 = 409$. **Ejercicio 23.10 ★★.** Un bibliotecario coloca $438$ libros, $9$ por estante. Los estantes vienen en estanterías de $6$ estantes. ¿Cuántos estantes hacen falta? ¿Cuántas estanterías hay que comprar? (Dos divisiones, las dos con una pregunta de «más uno».) **Solución de Ejercicio 23.10.** Estantes: $438 = 9 \times 48 + 6$: $48$ estantes llenos y $6$ libros más — hacen falta $49$ estantes. Estanterías: $49 = 6 \times 8 + 1$: ocho estanterías completas y un estante suelto — hay que comprar $9$ estanterías. **Ejercicio 23.11 ★★.** En una división entre $8$, el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) es igual al [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder). ¿Cuáles son los dividendos posibles? Enuméralos todos. (El [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) debe quedarse por debajo de $8$.) **Solución de Ejercicio 23.11.** [Cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $=$ [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $= r$ con $r < 8$, así que $r$ vale $0, 1, \dots, 7$ y el dividendo es $8r + r = 9r$: los dividendos posibles son $0$, $9$, $18$, $27$, $36$, $45$, $54$, $63$.