--- title: "Rectas y polígonos" book: "Matemáticas de primaria y secundaria" subject: math language: es chapter: 26 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos --- # Capítulo 26 — Rectas y polígonos Con una regla, una escuadra y un compás, la geometría se convierte en un oficio. Este capítulo enseña las dos posiciones especiales de las rectas — [perpendiculares](#def-g4-geometry-def) y [paralelas](#def-g4-geometry-def) — desde las herramientas, y recorre la familia de los [polígonos](#def-g4-geometry-polygon). (La teoría de estas nociones llega en el [Capítulo 40](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#ch-g6-lines).) ## 26.1 Perpendiculares y paralelas **Definición 26.1 (Perpendiculares, paralelas).** Dos rectas son *perpendiculares* cuando se cortan formando un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) (se comprueba con la escuadra y se marca con un cuadradito). Dos rectas son *paralelas* cuando llevan la misma dirección y no se cortan nunca — como los dos raíles de una vía, siempre a la misma distancia una de otra. **Método 26.2 (Dibujar con la escuadra).** *Perpendicular a una recta $d$ que pase por un punto $P$*: apoya un borde del [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) sobre $d$, desliza hasta que el otro borde alcance $P$ y traza. *Paralela a $d$ que pase por $P$*: apoya un borde de la escuadra sobre $d$, aprieta la regla contra otro borde a modo de raíl, desliza la escuadra a lo largo de la regla hasta $P$ y traza. ![Las dos construcciones. Las rectas paralelas mantienen una separación constante: medirla en dos sitios es una buena comprobación.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-geometry/fig-146a0adddd57.svg) *Las dos construcciones. Las [rectas paralelas](#def-g4-geometry-def) mantienen una separación constante: medirla en dos sitios es una buena comprobación.* **Ejemplo 26.3 (Reconocerlas en las figuras).** En un rectángulo, cada lado es perpendicular a sus dos vecinos y paralelo al lado opuesto. El papel cuadriculado es una red ya hecha de [paralelas](#def-g4-geometry-def) y [perpendiculares](#def-g4-geometry-def) — por eso resulta tan cómodo dibujar en él. ## 26.2 Los polígonos **Definición 26.4 (Polígono).** Un *polígono* es una figura cerrada cuyo borde está hecho de segmentos rectos, sus *lados*; los puntos de las esquinas son los *vértices*. Los polígonos se nombran por su número de lados: *triángulo* ($3$), *cuadrilátero* ($4$), *pentágono* ($5$), *hexágono* ($6$), *octógono* ($8$). ![La familia de los polígonos (el pentágono y el hexágono dibujados aquí son regulares: lados iguales y ángulos iguales). Un círculo no es un polígono: su borde no está hecho de segmentos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-geometry/fig-3a5f49f2492c.svg) *La familia de los [polígonos](#def-g4-geometry-polygon) (el [pentágono](#def-g4-geometry-polygon) y el [hexágono](#def-g4-geometry-polygon) dibujados aquí son *regulares*: lados iguales y ángulos iguales). Un círculo no es un [polígono](#def-g4-geometry-polygon): su borde no está hecho de segmentos.* **Ejemplo 26.5 (Describir un polígono).** Un juego muy útil: describe una figura con tanta precisión que un compañero pueda volver a dibujarla sin verla. «Un [cuadrilátero](#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$ con $AB = 5$ cm, el ángulo en $A$ recto, $AD = 3$ cm …» — el vocabulario es lo que hace que el mensaje funcione. ## 26.3 La circunferencia y el compás **Definición 26.6 (Circunferencia).** La *circunferencia* de centro $O$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm es el conjunto de todos los puntos que están exactamente a $3$ cm de $O$. El compás la traza: punta en $O$, abertura $3$ cm y giro. Un *diámetro* es un segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia; mide el doble que el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes). **Ejemplo 26.7 (El compás como guardián de distancias).** El compás hace algo más que trazar circunferencias: *transporta distancias*. Para marcar todos los puntos que están a $4$ cm de un punto $A$, traza la circunferencia de centro $A$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm; para comparar dos segmentos sin regla, abre el compás sobre uno y pruébalo en el otro. **Método 26.8 (Reproducir una figura en la cuadrícula).** 1. elige un [vértice](#def-g4-geometry-polygon) de partida y su posición en la cuadrícula vacía; 2. recorre la figura de [vértice](#def-g4-geometry-polygon) en [vértice](#def-g4-geometry-polygon) contando los pasos de la cuadrícula (« $3$ a la derecha, $2$ arriba»); 3. une los [vértices](#def-g4-geometry-polygon) en orden y compara con el modelo: mismas longitudes, mismas direcciones. ## 26.4 Ejercicios **Ejercicio 26.1 ★.** Traza una recta $d$ y un punto $P$ que no esté en ella. Construye la perpendicular a $d$ por $P$ y después la paralela a $d$ por $P$ (con el método de la regla-raíl). Marca el [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle). **Solución de Ejercicio 26.1.** Construcciones con el [Método 26.2](#met-g4-geometry-draw); el cuadradito marca el [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) entre $d$ y la perpendicular. **Ejercicio 26.2 ★.** Fíjate en las letras mayúsculas E, H, N, T y Z. En cada una, busca un [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de trazos paralelos y un [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de trazos [perpendiculares](#def-g4-geometry-def) cuando los haya. **Solución de Ejercicio 26.2.** E: los tres trazos horizontales son paralelos y cada uno es perpendicular al vertical. H: los dos trazos verticales son paralelos y el travesaño es perpendicular a los dos. N: los dos trazos verticales son paralelos; la diagonal no es ninguna de las dos cosas. T: los dos trazos son [perpendiculares](#def-g4-geometry-def). Z: los trazos de arriba y de abajo son paralelos; la diagonal no es ninguna de las dos cosas. **Ejercicio 26.3 ★.** Nombra cada [polígono](#def-g4-geometry-polygon): $6$ lados; $4$ lados; $3$ lados; $8$ lados; $5$ lados. ¿Cuántos *[vértices](#def-g4-geometry-polygon)* tiene cada uno? **Solución de Ejercicio 26.3.** [Hexágono](#def-g4-geometry-polygon); [cuadrilátero](#def-g4-geometry-polygon); triángulo; [octógono](#def-g4-geometry-polygon); [pentágono](#def-g4-geometry-polygon). Un [polígono](#def-g4-geometry-polygon) tiene tantos [vértices](#def-g4-geometry-polygon) como lados: $6$, $4$, $3$, $8$, $5$. **Ejercicio 26.4 ★.** Dibuja un [pentágono](#def-g4-geometry-polygon) cualquiera (no necesariamente regular) y nombra sus [vértices](#def-g4-geometry-polygon) $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$. ¿Cuántos lados tiene? Traza sus diagonales desde $A$ (segmentos que unen $A$ con los [vértices](#def-g4-geometry-polygon) no vecinos): ¿cuántas hay? **Solución de Ejercicio 26.4.** Un [pentágono](#def-g4-geometry-polygon) tiene $5$ lados. Desde $A$, los [vértices](#def-g4-geometry-polygon) no vecinos son $C$ y $D$: dos diagonales, $[AC]$ y $[AD]$. **Ejercicio 26.5 ★.** Traza una circunferencia de centro $O$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm; un [diámetro](#def-g4-geometry-circle) $[AB]$; y un punto $M$ de la circunferencia que no esté en $[AB]$. Di las longitudes $OA$, $OM$ y $AB$ sin medir. **Solución de Ejercicio 26.5.** $OA = 4$ cm (el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes)); $OM = 4$ cm (como todo punto de la circunferencia); $AB = 8$ cm (un [diámetro](#def-g4-geometry-circle) mide el doble que el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes)). **Ejercicio 26.6 ★.** Con el compás como guardián de distancias ([Ejemplo 26.7](#ex-g4-geometry-compass)), compara los lados de un triángulo dibujado por un compañero y decide si tiene dos lados iguales. **Solución de Ejercicio 26.6.** Abre el compás sobre un lado y lleva esa abertura a los otros dos: si la abertura encaja exactamente en un segundo lado, esos dos lados son iguales. **Ejercicio 26.7 ★.** En papel cuadriculado, reproduce este recorrido y ciérralo en un [polígono](#def-g4-geometry-polygon): sal de un punto $A$; $4$ a la derecha; $2$ arriba; $3$ a la izquierda; $2$ arriba; y vuelve a $A$ en línea recta. ¿Cómo se llama el [polígono](#def-g4-geometry-polygon) que obtienes (cuenta sus lados)? **Solución de Ejercicio 26.7.** El recorrido se cierra en un [polígono](#def-g4-geometry-polygon) de $5$ lados — un [pentágono](#def-g4-geometry-polygon) (¡no regular!). **Ejercicio 26.8 ★.** ¿Verdadero o falso? Explícalo con un dibujo. «Dos [rectas perpendiculares](#def-g4-geometry-def) siempre se cortan.» «Dos [rectas paralelas](#def-g4-geometry-def) no se cortan nunca.» «Una recta puede ser paralela a una recta y perpendicular a otra.» **Solución de Ejercicio 26.8.** «Dos [rectas perpendiculares](#def-g4-geometry-def) siempre se cortan»: verdadero — se cortan justo en el [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle). «Dos [rectas paralelas](#def-g4-geometry-def) no se cortan nunca»: verdadero — esa es su definición. «Una recta puede ser paralela a una recta y perpendicular a otra»: verdadero — en papel cuadriculado, una recta horizontal es paralela a todas las horizontales y perpendicular a todas las verticales. **Ejercicio 26.9 ★★.** Traza una recta $d$, después una recta $e$ perpendicular a $d$ y después una recta $f$ perpendicular a $e$. Mira $d$ y $f$: ¿qué observas? (Esta observación se convierte en un teorema en el [Capítulo 40](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#ch-g6-lines).) **Solución de Ejercicio 26.9.** Las rectas $d$ y $f$ parecen [paralelas](#def-g4-geometry-def) — y siempre lo son: dos [rectas perpendiculares](#def-g4-geometry-def) a una misma recta son [paralelas](#def-g4-geometry-def) (la [Proposición 40.3](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#prop-g6-lines-facts) lo hace oficial). **Ejercicio 26.10 ★★.** Describe con palabras la figura siguiente a un compañero, sin enseñársela: un cuadrado de lado $4$ cm con una circunferencia de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm centrada en el centro del cuadrado (tangente a los cuatro lados). Escribe la descripción como instrucciones numeradas. **Solución de Ejercicio 26.10.** Un programa correcto: «1. Traza un cuadrado $ABCD$ de lado $4$ cm. 2. Marca el punto $O$ donde se cortan sus diagonales. 3. Traza la circunferencia de centro $O$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm.» La circunferencia toca cada lado en su punto medio. **Ejercicio 26.11 ★★.** ¿Cuántas diagonales tiene un [cuadrilátero](#def-g4-geometry-polygon)? ¿Y un [pentágono](#def-g4-geometry-polygon)? ¿Y un [hexágono](#def-g4-geometry-polygon)? Dibuja los tres casos, cuenta con cuidado y describe el patrón que observas. **Solución de Ejercicio 26.11.** [Cuadrilátero](#def-g4-geometry-polygon): $2$ diagonales. [Pentágono](#def-g4-geometry-polygon): $5$. [Hexágono](#def-g4-geometry-polygon): $9$. Cada [vértice](#def-g4-geometry-polygon) nuevo añade cada vez más diagonales — los recuentos crecen cada vez más deprisa ($+3$, luego $+4$, …).