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title: "La simetría"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 27
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/27-la-simetria
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# Capítulo 27 — La simetría

Mariposas, [caras](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/11-figuras-y-cuerpos#def-g2-shapes-solids), copos de nieve: a la naturaleza le gustan las figuras cuyas dos [mitades](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) encajan al doblarlas. Este capítulo explora la simetría con dobleces y papel cuadriculado — las construcciones con la escuadra esperan al [Capítulo 42](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/42-la-simetria-axial#ch-g6-symmetry).

## 27.1 Doblar y encajar

**Definición 27.1 (Eje de simetría).**

Una recta es un *eje de simetría* de una figura cuando, al doblar la figura por esa recta, las dos [mitades](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) encajan *exactamente*. Una figura puede no tener ningún eje, tener uno o tener varios.

![Dobla por la línea discontinua: las mitades encajan. El último triángulo no tiene ningún doblez que funcione — ningún eje de simetría.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-symmetry/fig-7b6824cc8235.svg)

*Dobla por la línea discontinua: las [mitades](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) encajan. El último triángulo no tiene ningún doblez que funcione — ningún [eje de simetría](#def-g4-symmetry-def).*

**Ejemplo 27.2 (Comprobar con papel de calco).**

Calca la figura, dale la vuelta al papel de calco por el eje candidato y vuelve a ponerlo: si el calco cubre la figura exactamente, el eje es auténtico. La vista sola engaña a menudo — la diagonal de un rectángulo *parece* un eje, pero la prueba del doblez dice que no (¡pruébalo!).

## 27.2 Completar figuras en la cuadrícula

**Método 27.3 (Simétrica de una figura respecto de una línea de la cuadrícula).**

El eje es una línea vertical (u horizontal) de la cuadrícula.

1. toma uno a uno cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) de la figura;
2. cuenta su distancia al eje en casillas;
3. coloca el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) imagen a la *misma* distancia al *otro* lado, en la misma fila (o columna);
4. une los [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) imagen en el mismo orden y comprueba: la imagen es la gemela reflejada de la figura.

![Completar respecto del eje rojo: cada vértice salta a la misma distancia al otro lado. Los vértices que tocan el eje se quedarían donde están.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-symmetry/fig-7196aa6feb76.svg)

*Completar respecto del eje rojo: cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) salta a la misma distancia al otro lado. Los [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) que tocan el eje se quedarían donde están.*

**Ejemplo 27.4 (La misma forma, el mismo tamaño, del revés).**

La imagen tiene exactamente las mismas longitudes y los mismos ángulos que el original: la simetría copia la figura — pero le da la vuelta, como una mano izquierda y una mano derecha. Si la letra original es una F, su imagen reflejada es una F al revés, no otra F.

## 27.3 Los ejes de las figuras habituales

**Ejemplo 27.5 (Contar ejes).**

Doblando:

- un cuadrado: $4$ ejes (dos por los puntos medios de lados opuestos y dos por las diagonales);
- un rectángulo: $2$ ejes (¡solo los de los puntos medios de lados opuestos!);
- un triángulo isósceles: $1$ ; un triángulo equilátero: $3$ ;
- un círculo: cualquier recta que pase por su centro — más ejes de los que se pueden contar.

**Ejemplo 27.6 (La simetría en el alfabeto).**

A, M, T, U y V tienen eje vertical; B, C, D y E tienen uno horizontal; H, I, O y X tienen los dos. Las palabras hechas con las letras adecuadas pueden ser simétricas también: OSO tiene eje vertical; OXO funciona en los dos sentidos.

## 27.4 Ejercicios

**Ejercicio 27.1 ★.**

Calca y dobla: ¿cuáles de estas figuras tienen un [eje de simetría](#def-g4-symmetry-def) — un cuadrado; un rectángulo (no cuadrado); un triángulo escaleno (con los tres lados distintos); un círculo?

**Solución de Ejercicio 27.1.**

Cuadrado: sí ($4$ ejes). Rectángulo: sí ($2$). Triángulo escaleno: no hay doblez que funcione. Círculo: sí — cualquier recta que pase por el centro.

**Ejercicio 27.2 ★.**

Traza los [ejes de simetría](#def-g4-symmetry-def) de: un cuadrado; un rectángulo; un triángulo equilátero. ¿Cuántos tiene cada uno?

**Solución de Ejercicio 27.2.**

Cuadrado: $4$ (dos rectas medias y dos diagonales). Rectángulo: $2$ (solo las rectas medias). Triángulo equilátero: $3$ (una por cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon)).

**Ejercicio 27.3 ★.**

Usa la prueba del papel de calco del [Ejemplo 27.2](#ex-g4-symmetry-trace) para demostrar que la diagonal de un rectángulo de $6 \times 4$ *no* es un [eje de simetría](#def-g4-symmetry-def).

**Solución de Ejercicio 27.3.**

Al doblar por la diagonal, las dos [mitades](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) triangulares tienen la misma forma, pero no se superponen — una está «girada del revés»: el calco cae al lado de la figura, no encima. Así que la diagonal no es un eje.

**Ejercicio 27.4 ★.**

En papel cuadriculado, traza un eje vertical y dibuja la letra L (de tres casillas de alto y dos de ancho) a $2$ casillas del eje. Construye su imagen reflejada.

**Solución de Ejercicio 27.4.**

La L imagen queda a $2$ casillas al *otro* lado del eje, escrita del revés (una L reflejada), con los mismos tamaños.

**Ejercicio 27.5 ★.**

En papel cuadriculado, traza un eje horizontal y dibuja encima una banderita (un triángulo de $1 \times 1$ sobre un mástil de $3$ casillas). Completa la figura por simetría por debajo del eje.

**Solución de Ejercicio 27.5.**

La figura completa muestra la bandera y su reflejo boca abajo por debajo del eje, mástil bajo mástil.

**Ejercicio 27.6 ★.**

Una figura toca su [eje de simetría](#def-g4-symmetry-def) en un punto $P$. ¿Dónde está la imagen de $P$? Explícalo con el dibujo del doblez.

**Solución de Ejercicio 27.6.**

$P$ no se mueve: al doblar por el eje, todo punto que está *sobre* el eje se queda exactamente donde está — $P$ es su propia imagen.

**Ejercicio 27.7 ★.**

Clasifica las letras mayúsculas A, B, E, F, H, N, O y T: ¿eje vertical? ¿eje horizontal? ¿los dos? ¿ninguno?

**Solución de Ejercicio 27.7.**

Eje vertical: A, H, O, T. Eje horizontal: B, E, H, O. Los dos: H, O. Ninguno: F, N.

**Ejercicio 27.8 ★.**

Un triángulo tiene lados de $5$ cm, $5$ cm y $3$ cm. ¿Tiene algún [eje de simetría](#def-g4-symmetry-def)? ¿Qué lados intercambia el doblez?

**Solución de Ejercicio 27.8.**

Sí: el triángulo es isósceles y su eje pasa por el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) que hay entre los dos lados de $5$ cm y por el punto medio de la base de $3$ cm. El doblez intercambia los dos lados iguales.

**Ejercicio 27.9 ★★.**

En papel cuadriculado, dibuja una figura tuya que tenga *exactamente dos* [ejes de simetría](#def-g4-symmetry-def) y traza los dos. (Pista: piensa en un rectángulo o en una cruz.)

**Solución de Ejercicio 27.9.**

Vale cualquier figura con exactamente dos ejes: un rectángulo (no cuadrado), una cruz con brazos de dos longitudes distintas (horizontal larga y vertical corta) o un óvalo. Los dos ejes se cortan siempre en el centro de la figura.

**Ejercicio 27.10 ★★.**

Se da la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de un dibujo simétrico: la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) izquierda de una casa (una pared cuadrada y medio tejado triangular), con un eje vertical a lo largo de su borde derecho. Describe o dibuja la casa completa. ¿Cómo son las longitudes de la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) derecha completada frente a las de la izquierda?

**Solución de Ejercicio 27.10.**

La casa completa es la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) izquierda más su gemela reflejada: una pared del doble de ancho que la media pared, bajo un tejado triangular entero. Cada longitud de la derecha es igual a su pareja de la izquierda — la simetría copia las longitudes exactamente.

**Ejercicio 27.11 ★★.**

Aya afirma: «todo triángulo con dos lados iguales tiene un [eje de simetría](#def-g4-symmetry-def), y todo triángulo con un [eje de simetría](#def-g4-symmetry-def) tiene dos lados iguales». Pon a prueba su doble afirmación con dibujos: un triángulo isósceles, uno equilátero y uno escaleno. ¿La respalda el doblez?

**Solución de Ejercicio 27.11.**

Los dibujos respaldan las dos direcciones: el triángulo isósceles se dobla por la recta que pasa por su [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) (dos lados iguales $\to$ eje); el equilátero se dobla de tres maneras; el escaleno no tiene ningún eje (sin lados iguales $\to$ sin eje). La doble afirmación de Aya es correcta — se demostrará en el [Capítulo 42](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/42-la-simetria-axial#ch-g6-symmetry).