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title: "División y múltiplos"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 32
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos
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# Capítulo 32 — División y múltiplos

La división larga aprendida en el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/23-la-division#ch-g4-division) recibe dos mejoras: [divisores](#def-g5-division-multiple) de dos cifras y [cocientes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) que continúan pasado el punto — $3 \div 4$ tiene por fin respuesta, $0.75$. El capítulo termina con los [múltiplos](#def-g5-division-multiple), los [divisores](#def-g5-division-multiple) y los primeros criterios de divisibilidad.

## 32.1 Dividir por un número de dos cifras

**Método 32.1 (Divisores de dos cifras).**

El mismo método de antes, con una habilidad más: adivinar cuántas veces cabe el [divisor](#def-g5-division-multiple). Escribe primero una tablita de [múltiplos](#def-g5-division-multiple) del [divisor](#def-g5-division-multiple). Para $986 \div 23$ ([múltiplos](#def-g5-division-multiple) de 23: 23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207):

1. $98$ decenas: $23 \times 4 = 92$ cabe y $23 \times 5 = 115$ no: cifra $4$ , [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $6$ ;
2. baja el $6$ : $66$ : $23 \times 2 = 46$ cabe: cifra $2$ , [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $20$ ;
3. [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $42$ , [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $20$ . Comprobación: $23 \times 42 + 20 = 966 + 20 = 986$ .

## 32.2 Cocientes decimales

**Ejemplo 32.2 (La división que se niega a parar en el resto).**

Reparte $3$ pizzas entre $4$ niños: $3 \div 4$ tiene [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $0$ y [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $3$ — ¡inútil! Sigue la división pasado el punto:

1. $3$ unidades $= 30$ décimas; $30 \div 4$ : $7$ décimas, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $2$ décimas;
2. $2$ décimas $= 20$ centésimas; $20 \div 4 = 5$ centésimas, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $0$ .

Así, $3 \div 4 = 0.75$: cada niño recibe $0.75$ de pizza — tres [cuartos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half), como ya sabía el lenguaje de las fracciones ([Proposición 31.3](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/31-las-fracciones-como-numeros#prop-g5-fractions-decimal)).

**Método 32.3 (Continuar una división pasado el punto).**

Cuando se acaban las unidades y queda [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder):

1. escribe el [punto decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/25-decimas-y-centesimas#def-g4-decimals-point) en el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) ;
2. añade un [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) al [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) (las unidades pasan a décimas, las décimas a centésimas …) y sigue dividiendo;
3. para cuando el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) sea $0$ — o cuando las cifras empiecen a repetirse indefinidamente, como en $1 \div 3 = 0.333\dots$ : entonces da un valor redondeado.

**Ejemplo 32.4.**

$27 \div 6$: [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $4$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $3$; punto; $30$ décimas $\div\ 6 = 5$: así, $27 \div 6 = 4.5$. $22 \div 8$: $2$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $6$; luego $60 \div 8 = 7$ y [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $4$; luego $40 \div 8 = 5$: así, $22 \div 8 = 2.75$.

## 32.3 Múltiplos y divisores

**Definición 32.5 (Múltiplo, divisor).**

Los *múltiplos* de $6$ son su tabla continuada indefinidamente: $0, 6, 12, 18, 24, \dots$ Cuando $24$ es múltiplo de $6$, también se dice que $6$ es un *divisor* de $24$, o que $24$ es *divisible* entre $6$: la división $24 \div 6$ no deja [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder).

**Proposición 32.6 (Criterios de divisibilidad).**

Sin dividir, un número es divisible:

- entre $2$ cuando su última cifra es $0$ , $2$ , $4$ , $6$ u $8$ (los [números pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) );
- entre $5$ cuando su última cifra es $0$ o $5$ ;
- entre $10$ cuando su última cifra es $0$ ;
- entre $3$ cuando la *[suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de sus cifras* es divisible entre $3$ (por ejemplo, $741$ : $7 + 4 + 1 = 12$ , divisible — y, en efecto, $741 = 3 \times 247$ ).

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![Los números del 1 al 30: los múltiplos de 2 y los de 3 dibujan patrones — y los números que llevan las dos marcas (6, 12, 18, 24, 30) son exactamente los múltiplos de 6.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-division/fig-21fa6c3ffc49.svg)

*Los números del $1$ al $30$: los [múltiplos](#def-g5-division-multiple) de $2$ y los de $3$ dibujan patrones — y los números que llevan las dos marcas ($6$, $12$, $18$, $24$, $30$) son exactamente los [múltiplos](#def-g5-division-multiple) de $6$.*

**Ejemplo 32.7.**

¿Es $534$ divisible entre $2$? Termina en $4$: sí. ¿Entre $5$? No. ¿Entre $3$? $5 + 3 + 4 = 12$: sí. Por tanto, $534$ también es divisible entre $6$ (entre $2$ *y* entre $3$) — comprobación: $534 = 6 \times 89$.

## 32.4 Ejercicios

**Ejercicio 32.1 ★.**

Calcula las divisiones largas (haz antes la tabla de [múltiplos](#def-g5-division-multiple)): $851 \div 23$; $704 \div 32$.

**Solución de Ejercicio 32.1.**

$851 \div 23$: [múltiplos](#def-g5-division-multiple) de $23$: $23, 46, 69, 92, 115, 138, 161,
184, 207$. Después $85 \div 23$: $3$ veces ($69$), [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $16$; baja el $1$: $161 \div 23 = 7$ exactamente. [Cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $37$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $0$ ($23 \times 37 = 851$).

$704 \div 32$: $70 \div 32$: $2$ veces ($64$), [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $6$; baja el $4$: $64 \div 32 = 2$. [Cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $22$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $0$.

**Ejercicio 32.2 ★.**

Calcula los [cocientes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) decimales exactos: $9 \div 2$; $27 \div 4$; $33 \div 5$; $21 \div 8$.

**Solución de Ejercicio 32.2.**

$9 \div 2 = 4.5$; $27 \div 4 = 6.75$; $33 \div 5 = 6.6$; $21 \div 8 = 2.625$.

**Ejercicio 32.3 ★.**

Cuatro amigos comparten a partes iguales una cuenta de restaurante de $54$. ¿Cuánto paga cada uno? (Continúa pasado el punto.)

**Solución de Ejercicio 32.3.**

$54 \div 4 = 13.5$: cada uno paga $13.50$.

**Ejercicio 32.4 ★.**

Calcula $10 \div 3$ continuando tres cifras pasado el punto. ¿Qué observas? Da el valor redondeado a la centésima.

**Solución de Ejercicio 32.4.**

$10 \div 3 = 3.333\dots$: la cifra $3$ se repite indefinidamente — la división no se acaba nunca. Redondeado a la centésima: $3.33$.

**Ejercicio 32.5 ★.**

Enumera: los [múltiplos](#def-g5-division-multiple) de $7$ hasta $70$; los [divisores](#def-g5-division-multiple) de $18$; los [divisores](#def-g5-division-multiple) de $24$.

**Solución de Ejercicio 32.5.**

[Múltiplos](#def-g5-division-multiple) de $7$ hasta $70$: $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63,
70$. [Divisores](#def-g5-division-multiple) de $18$: $1, 2, 3, 6, 9, 18$. [Divisores](#def-g5-division-multiple) de $24$: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$.

**Ejercicio 32.6 ★.**

¿Divisible entre $2$? ¿Entre $5$? ¿Entre $10$? ¿Entre $3$? Prueba cada criterio con: $470$; $735$; $8\,001$; $1\,314$.

**Solución de Ejercicio 32.6.**

$470$: entre $2$ (termina en $0$), entre $5$ y entre $10$; [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras $11$: no entre $3$.

$735$: termina en $5$: entre $5$, no entre $2$ ni entre $10$; [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras $15$: entre $3$.

$8\,001$: [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd); [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras $9$: solo entre $3$.

$1\,314$: [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd); [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras $9$: entre $2$ y entre $3$ (y, por tanto, entre $6$), no entre $5$.

**Ejercicio 32.7 ★.**

Halla todos los números entre $60$ y $80$ que son divisibles entre $3$ *y* entre $5$. (¿Qué única divisibilidad resume esa combinación?)

**Solución de Ejercicio 32.7.**

Divisible entre $3$ y entre $5$ significa divisible entre $15$: entre $60$ y $80$, los números $60$ y $75$.

**Ejercicio 32.8 ★.**

Una cinta de $7.2$ m se corta en $6$ trozos iguales. ¿Cuánto mide cada trozo? (Divide un decimal entre un entero: reparte los metros y después las décimas.)

**Solución de Ejercicio 32.8.**

$7.2 \div 6 = 1.2$: cada trozo mide $1.2$ m (comprobación: $1.2 \times 6 = 7.2$).

**Ejercicio 32.9 ★.**

Se empaquetan $1\,000$ canicas en bolsas de $24$. ¿Cuántas bolsas se llenan y cuántas canicas sobran? ([Divisor](#def-g5-division-multiple) de dos cifras.)

**Solución de Ejercicio 32.9.**

$1\,000 = 24 \times 41 + 16$: cuarenta y una bolsas llenas y sobran $16$ canicas.

**Ejercicio 32.10 ★★.**

¿Pueden $5$ amigos repartirse $7$ tabletas de chocolate a partes iguales sin que sobre nada? Da la parte de cada uno como decimal. La misma pregunta para $7$ amigos que se reparten $5$ tabletas — ¿qué ocurre de distinto?

**Solución de Ejercicio 32.10.**

$7 \div 5 = 1.4$: cada uno de los $5$ amigos recibe $1.4$ tabletas — es posible cortando las tabletas en décimos. Para $5 \div 7$, la división da $0.714285\dots$, que no se acaba nunca — no existe un reparto decimal exacto; solo la [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $\frac57$ lo nombra con exactitud.

**Ejercicio 32.11 ★★.**

Usando el criterio de la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras, halla la menor cifra $d$ que hace $52d$ (un número de tres cifras terminado en $d$) divisible entre $3$. Después halla todas esas cifras $d$.

**Solución de Ejercicio 32.11.**

[Suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de cifras: $5 + 2 + d = 7 + d$. Es divisible entre $3$ cuando $7 + d$ vale $9$, $12$ o $15$: $d = 2$, $5$ u $8$. La menor es $d = 2$ (que da $522 = 3 \times 174$).