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title: "Construcciones geométricas"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 33
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/33-construcciones-geometricas
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# Capítulo 33 — Construcciones geométricas

Regla, escuadra y compás: con estas tres herramientas y un poco de método, cualquier figura descrita con palabras se puede construir con exactitud. Este capítulo construye [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-def), [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-def), triángulos y los [cuadriláteros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) especiales — primero el oficio y después la teoría (Capítulos [40](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#ch-g6-lines) y [41](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#ch-g6-shapes)).

## 33.1 Perpendiculares y paralelas por un punto

**Método 33.1 (Las dos construcciones básicas).**

*Perpendicular a $d$ por $A$*: desliza la escuadra a lo largo de $d$ hasta que su otro borde del [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) alcance $A$; traza y marca el [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle).

*Paralela a $d$ por $A$*: aprieta una regla contra la escuadra a modo de raíl, apoyada sobre $d$; desliza la escuadra hasta $A$ y traza. (Comprobación: la separación entre las dos rectas es la misma en todas partes.)

**Ejemplo 33.2 (Encadenar construcciones).**

Muchas figuras son cadenas de estos dos movimientos. Un rectángulo $ABCD$ con $AB = 5$ cm y $BC = 3$ cm: traza $[AB]$; perpendicular en $A$; perpendicular en $B$; marca $D$ y $C$ a $3$ cm del mismo lado; une. Cada paso es una construcción básica.

## 33.2 Triángulos con el compás

**Método 33.3 (Triángulo a partir de tres lados).**

Para construir un triángulo de lados $6$ cm, $5$ cm y $4$ cm:

1. traza el lado más largo, $[AB]$ con $AB = 6$ cm;
2. arco de centro $A$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm;
3. arco de centro $B$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm;
4. su cruce es el tercer [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) $C$ ; une.

El compás garantiza las longitudes: todos los puntos del primer arco están exactamente a $5$ cm de $A$.

![Dos arcos, un cruce: el triángulo 6–5–4 construido con el compás. (Si los dos lados cortos juntos fueran más cortos que la base, los arcos no se encontrarían — más sobre esto en el .)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-geometry/fig-b167d3504da4.svg)

*Dos arcos, un cruce: el triángulo $6$–$5$–$4$ construido con el compás. (Si los dos lados cortos juntos fueran más cortos que la base, los arcos no se encontrarían — más sobre esto en el [Capítulo 51](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/51-triangulos-y-angulos#ch-g7-triangles).)*

**Ejemplo 33.4 (Isósceles y equilátero, de regalo).**

Con la misma abertura del compás para los dos arcos $\Rightarrow$ triángulo isósceles. Con la abertura igual a la base $\Rightarrow$ equilátero. El compás no mide: *copia* longitudes, que es todavía mejor.

## 33.3 Los cuadriláteros especiales, por construcción

**Método 33.5 (Construir la familia).**

1. *Rectángulo* : dos pares de [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-def) que se cortan en [ángulos rectos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) — o la cadena del [Ejemplo 33.2](#ex-g5-geometry-chain) ;
2. *cuadrado* : un rectángulo cuyos cuatro lados usan la misma longitud — llévala con el compás;
3. *rombo* : cuatro lados iguales — traza un lado y, con dos arcos de compás desde sus extremos con la misma abertura, quedan fijados los otros dos [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) (un rombo son dos triángulos isósceles pegados por una diagonal).

Después de construir, *comprueba* siempre con las herramientas: la escuadra en las esquinas y el compás en los lados.

**Ejemplo 33.6 (Reconocer a partir de una descripción).**

«Un [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) con cuatro lados de $4$ cm y un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle)» — constrúyelo: los cuatro lados iguales obligan a que sea un rombo, y forzar una esquina a [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) endereza todas las demás: el resultado es un cuadrado. Algunas descripciones describen en secreto una figura más especial de lo que anuncian. (Por qué el [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) se contagia a las cuatro esquinas se explica en el [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#ch-g7-central).)

## 33.4 Circunferencias en las construcciones

**Ejemplo 33.7 (La circunferencia como herramienta).**

«Halla todos los puntos que están a $3$ cm de $A$»: la circunferencia de centro $A$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. «Halla todos los puntos que están a $3$ cm de $A$ *y* a $4$ cm de $B$»: traza las dos circunferencias; sus cruces (dos, uno o [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) puntos) son las respuestas. Los mapas del tesoro y las construcciones de triángulos usan exactamente esta idea.

## 33.5 Ejercicios

**Ejercicio 33.1 ★.**

Traza una recta $d$ y un punto $A$ a unos $3$ cm de ella. Construye la perpendicular a $d$ por $A$ y después la paralela a $d$ por $A$. Marca los [ángulos rectos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle).

**Solución de Ejercicio 33.1.**

Las dos construcciones siguen el [Método 33.1](#met-g5-geometry-basic); la perpendicular y la paralela por $A$ son a su vez [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-def) entre sí.

**Ejercicio 33.2 ★.**

Construye un rectángulo $ABCD$ con $AB = 7$ cm y $BC = 4$ cm, siguiendo el [Ejemplo 33.2](#ex-g5-geometry-chain). Comprueba el [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) ángulo con la escuadra: si la construcción es exacta, sale recto automáticamente.

**Solución de Ejercicio 33.2.**

Cadena de [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-def) como en el [Ejemplo 33.2](#ex-g5-geometry-chain). Si los tres ángulos construidos son exactamente rectos y las longitudes exactas, el [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) ángulo no tiene más remedio que ser recto también — un rectángulo bien construido se comprueba solo.

**Ejercicio 33.3 ★.**

Construye un triángulo de lados $7$ cm, $6$ cm y $3$ cm ([Método 33.3](#met-g5-geometry-triangle)).

**Solución de Ejercicio 33.3.**

Base $[AB]$ de $7$ cm; arcos de [radios](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm (desde $A$) y $3$ cm (desde $B$); el cruce es $C$.

**Ejercicio 33.4 ★.**

Construye un triángulo isósceles de base $5$ cm y lados iguales de $7$ cm; después un triángulo equilátero de lado $6$ cm.

**Solución de Ejercicio 33.4.**

Isósceles: base $5$ cm y los dos arcos con la misma abertura de $7$ cm. Equilátero: base $6$ cm y los dos arcos con abertura de $6$ cm.

**Ejercicio 33.5 ★.**

Construye un cuadrado de lado $5$ cm. ¿Qué herramientas garantizan los [ángulos rectos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle)? ¿Cuáles garantizan los lados iguales?

**Solución de Ejercicio 33.5.**

La escuadra garantiza los [ángulos rectos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle); el compás (o la regla) lleva el lado de $5$ cm a los cuatro lados.

**Ejercicio 33.6 ★.**

Construye un rombo de lado $4$ cm que no sea un cuadrado (elige tú la abertura de la primera esquina). Comprueba los cuatro lados con el compás.

**Solución de Ejercicio 33.6.**

Traza un lado $[AB]$ de $4$ cm, elige una dirección para $[AD]$ (no perpendicular, para evitar el cuadrado), con $AD = 4$ cm; después, los arcos de $4$ cm desde $B$ y desde $D$ se cortan en $C$. El compás confirma los cuatro lados iguales.

**Ejercicio 33.7 ★.**

Traza dos puntos $A$ y $B$ con $AB = 5$ cm. Construye todos los puntos que están a $4$ cm de $A$ y a $3$ cm de $B$. ¿Cuántos hay?

**Solución de Ejercicio 33.7.**

La circunferencia de centro $A$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm y la de centro $B$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm se cortan en *dos* puntos (uno encima y otro debajo de la recta $(AB)$), porque $4 + 3 > 5$ y las circunferencias se solapan.

**Ejercicio 33.8 ★.**

Escribe un programa de construcción (pasos numerados, puntos con nombre) para un rectángulo de $6$ cm $\times$ $2$ cm rematado por un triángulo isósceles de lados iguales de $4$ cm (la forma de un lápiz). Haz que un compañero lo ejecute.

**Solución de Ejercicio 33.8.**

Un programa correcto: «1. Traza un rectángulo $ABCD$ con $AB = 6$ cm (abajo) y $BC = 2$ cm. 2. Traza dos arcos de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm centrados en $D$ y en $C$ (las esquinas superiores); llama $S$ a su cruce por encima del rectángulo. 3. Traza $[DS]$ y $[CS]$.» (La punta del lápiz es el triángulo isósceles $DSC$.)

**Ejercicio 33.9 ★★.**

Intenta construir un triángulo de lados $8$ cm, $3$ cm y $4$ cm. ¿Qué pasa con los arcos? Explica en una frase por qué ese triángulo no puede existir.

**Solución de Ejercicio 33.9.**

Los arcos de [radios](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm y $4$ cm, trazados desde los dos extremos de la base de $8$ cm, no se encuentran nunca: ni siquiera puestos en fila, $3 + 4 = 7$ cm llegan a cubrir $8$ cm. Dos lados juntos tienen que ser siempre más largos que el tercero — si no, el triángulo no cierra.

**Ejercicio 33.10 ★★.**

Construye un rombo cuyas diagonales midan $6$ cm y $4$ cm, sabiendo que las diagonales de un rombo se cortan en sus puntos medios formando un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle): traza *primero* las diagonales y une después sus cuatro extremos.

**Solución de Ejercicio 33.10.**

Traza un segmento de $6$ cm y su punto medio $O$; traza la perpendicular en $O$; marca sobre ella dos puntos a $2$ cm de $O$ (uno a cada lado); une los cuatro extremos en orden. El compás confirma los cuatro lados iguales.

**Ejercicio 33.11 ★★.**

Una cabra está atada a una estaca $A$ con una cuerda de $4$ m, en un prado llano con una valla recta que pasa a $3$ m de $A$. Dibuja un plano (1 cm por metro): ¿qué región puede alcanzar la cabra? ¿Dónde la limita la valla?

**Solución de Ejercicio 33.11.**

En el plano, la cabra alcanza el disco de centro $A$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm, cortado por la línea de la valla a $3$ cm de $A$: su región es el disco menos el casquete que queda al otro lado de la valla. A lo largo de la valla puede pastar en un segmento (donde la circunferencia corta a la línea de la valla); más allá, nada.