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title: "Perímetro y área"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 34
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/34-perimetro-y-area
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# Capítulo 34 — Perímetro y área

El año pasado contamos casillas de la cuadrícula ([Capítulo 28](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#ch-g4-measure)); este capítulo gana la primera *fórmula* de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) — largo por ancho para el rectángulo — y aprende las unidades cm$^2$ y m$^2$. Las fórmulas de los triángulos y de otras figuras maduran en los [Capítulo 43](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#ch-g6-measure) y [Capítulo 53](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#ch-g7-areas).

## 34.1 Dos medidas distintas

**Ejemplo 34.1 (Borde frente a superficie).**

Un jardinero necesita el *[perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter)* para comprar la valla y el *[área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area)* para comprar la semilla de césped. Los dos no van de la mano: estirar un rectángulo hasta hacerlo más largo y estrecho puede conservar su [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) mientras su [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter) crece — compara un rectángulo de $6 \times 2$ con uno de $4 \times 3$ (misma [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) $12$ y [perímetros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter) $16$ y $14$).

## 34.2 La fórmula del rectángulo

**Proposición 34.2 (Área de un rectángulo).**

Un rectángulo de largo $L$ y ancho $a$ (en la misma unidad) tiene [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area)

$$
A = L \times w ,
$$

en unidades cuadradas: cm$^2$ (cuadrados de lado $1$ cm), m$^2$ (cuadrados de lado $1$ m), …

**Por qué, contando.** Cubre el rectángulo con cuadrados unidad: $a$ filas de $L$ cuadrados cada una, o sea, $L \times a$ cuadrados en total — exactamente el rectángulo de la multiplicación del [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/16-la-multiplicacion#ch-g3-mult). ∎

![Tres filas de seis cuadrados de un centímetro: la fórmula L × a es ese recuento, escrito de una vez por todas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-areas/fig-7d3aa0dfedf3.svg)

*Tres filas de seis cuadrados de un centímetro: la fórmula $L \times a$ es ese recuento, escrito de una vez por todas.*

**Ejemplo 34.3.**

Una alfombra mide $2.5$ m por $2$ m: [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) $2.5 \times 2 = 5$ m$^2$. Un sello mide $3$ cm por $2.4$ cm: [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) $3 \times 2.4 = 7.2$ cm$^2$. La misma fórmula con cualquier unidad — siempre que los dos lados usen la *misma*.

**Ejemplo 34.4 (Las unidades cuadradas se convierten de cien en cien).**

$1$ m $= 100$ cm, pero $1$ m$^2 = 100 \times 100 = 10\,000$ cm$^2$: un metro cuadrado es una cuadrícula de $100$ por $100$ centímetros cuadrados. Las unidades de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) saltan de cien en cien, no de diez en diez.

## 34.3 Figuras compuestas

**Método 34.5 (Cortar, sumar, restar).**

Para una figura hecha de rectángulos (una L, una T, un marco):

1. córtala en rectángulos o complétala hasta un rectángulo grande;
2. calcula el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) de cada rectángulo con la fórmula;
3. [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) los trozos — o resta el hueco del rectángulo grande;
4. comprueba con un recuento aproximado de casillas.

**Ejemplo 34.6.**

Una habitación en forma de L: un rectángulo de $6$ m $\times$ $4$ m al que le falta una esquina de $2$ m $\times$ $2$ m.

$$
\text{Área} = 6 \times 4 - 2 \times 2 = 24 - 4 = 20 \text{ m}^2 .
$$

O corta la L en una franja de $6 \times 2$ y otra de $4 \times 2$: $12 + 8 = 20$ m$^2$ — dos caminos, una respuesta.

**Ejemplo 34.7 (La mitad de un rectángulo).**

Cortar un rectángulo por una diagonal da dos triángulos de la misma [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area): cada uno es la *[mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half)* del rectángulo. Un triángulo rectángulo de catetos $6$ cm y $4$ cm tiene, por tanto, [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm$^2$ — una imagen que conviene recordar para el [Capítulo 43](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#ch-g6-measure), donde se convierte en fórmula.

![La diagonal corta el rectángulo de 6 × 4 en dos triángulos iguales de 12 casillas cada uno.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-areas/fig-b24a7dbcb877.svg)

*La diagonal corta el rectángulo de $6 \times 4$ en dos triángulos iguales de $12$ casillas cada uno.*

## 34.4 Ejercicios

**Ejercicio 34.1 ★.**

Calcula el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) y el [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter) de un rectángulo de $8$ cm $\times$ $5$ cm. ¿Qué respuesta va en cm y cuál en cm$^2$?

**Solución de Ejercicio 34.1.**

[Área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area): $8 \times 5 = 40$ cm$^2$. [Perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter): $2 \times (8 + 5) = 26$ cm.

**Ejercicio 34.2 ★.**

Calcula las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area): un cuadrado de lado $9$ cm; un rectángulo de $12$ m $\times$ $7$ m; un rectángulo de $4.5$ cm $\times$ $6$ cm.

**Solución de Ejercicio 34.2.**

$9 \times 9 = 81$ cm$^2$; $12 \times 7 = 84$ m$^2$; $4.5 \times 6 = 27$ cm$^2$.

**Ejercicio 34.3 ★.**

Un rectángulo tiene [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) $63$ cm$^2$ y largo $9$ cm. Halla su ancho y después su [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter).

**Solución de Ejercicio 34.3.**

Ancho: $63 \div 9 = 7$ cm. [Perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter): $2 \times (9 + 7) = 32$ cm.

**Ejercicio 34.4 ★.**

Dibuja en papel cuadriculado dos rectángulos distintos de [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) $24$ casillas y calcula los dos [perímetros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter). Misma [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area), ¿mismo [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter)?

**Solución de Ejercicio 34.4.**

Por ejemplo, $6 \times 4$ ([perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter) $20$) y $8 \times 3$ ([perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter) $22$): la misma [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) $24$ y [perímetros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter) distintos.

**Ejercicio 34.5 ★.**

Convierte: $3$ m$^2$ en cm$^2$; $50\,000$ cm$^2$ en m$^2$. (Recuerda el [Ejemplo 34.4](#ex-g5-areas-units): ¡de cien en cien!)

**Solución de Ejercicio 34.5.**

$3$ m$^2 = 30\,000$ cm$^2$; $50\,000$ cm$^2 = 5$ m$^2$.

**Ejercicio 34.6 ★.**

Una figura en forma de T está hecha de una barra horizontal de $8 \times 2$ encima de una barra vertical de $2 \times 5$ (en cm). Calcula su [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) sumando dos rectángulos.

**Solución de Ejercicio 34.6.**

Barra: $8 \times 2 = 16$ cm$^2$; pie: $2 \times 5 = 10$ cm$^2$; total, $26$ cm$^2$.

**Ejercicio 34.7 ★.**

Un marco de fotos: un rectángulo de $30$ cm $\times$ $20$ cm con una ventana rectangular de $24$ cm $\times$ $14$ cm recortada. ¿Qué [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) de madera ocupa el marco?

**Solución de Ejercicio 34.7.**

$30 \times 20 - 24 \times 14 = 600 - 336 = 264$ cm$^2$ de madera.

**Ejercicio 34.8 ★.**

Calcula el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) de un triángulo rectángulo de catetos $8$ cm y $6$ cm (la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de un rectángulo, [Ejemplo 34.7](#ex-g5-areas-halfrect)).

**Solución de Ejercicio 34.8.**

La [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del rectángulo de $8 \times 6$: $48 \div 2 = 24$ cm$^2$.

**Ejercicio 34.9 ★.**

Un huerto rectangular mide $7$ m por $4$ m. La semilla cuesta $2$ por metro cuadrado y la valla, $3$ por metro. Calcula el coste de la semilla y después el de la valla.

**Solución de Ejercicio 34.9.**

Semilla: [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) $7 \times 4 = 28$ m$^2$, coste $28 \times 2 = 56$. Valla: [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter) $2 \times (7 + 4) = 22$ m, coste $22 \times 3 = 66$.

**Ejercicio 34.10 ★★.**

El suelo de un pasillo mide $12$ m de largo y $2$ m de ancho, y hay que cubrirlo con baldosas cuadradas de $50$ cm de lado. ¿Cuántas baldosas hacen falta? (Convierte primero o cuenta las baldosas en cada dirección.)

**Solución de Ejercicio 34.10.**

Dos baldosas de $50$ cm hacen un metro: a lo largo de los $12$ m, $24$ baldosas; a lo ancho de los $2$ m, $4$ baldosas. Total: $24 \times 4 = 96$ baldosas.

**Ejercicio 34.11 ★★.**

Duplica los lados de un rectángulo de $4$ cm $\times$ $3$ cm. ¿Qué le pasa a su [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter)? ¿Y a su [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area)? (Calcula las dos cosas antes y después — ¡las dos respuestas son distintas!)

**Solución de Ejercicio 34.11.**

Antes: [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter) $2 \times (4 + 3) = 14$ cm y [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) $12$ cm$^2$. Después (lados $8$ y $6$): [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter) $28$ cm y [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) $48$ cm$^2$. El [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter) se ha *duplicado*; el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) se ha multiplicado por *cuatro* ($2 \times 2$): las longitudes y las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area) no cambian de la misma manera.