--- title: "Cubos y ortoedros" book: "Matemáticas de primaria y secundaria" subject: math language: es chapter: 35 exercises: 10 source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros --- # Capítulo 35 — Cubos y ortoedros Salimos de la página plana: los [cuerpos geométricos](#def-g5-solids-def) son las formas del mundo real — dados, cajas de cereales, latas, balones. Este capítulo aprende a nombrarlos, a contar sus [caras](#def-g5-solids-def) y [aristas](#def-g5-solids-def), a desplegarlos en [desarrollos](#def-g5-solids-net) y a medir su [volumen](#def-g5-solids-volume) contando [cubos](#def-g5-solids-def) pequeños. (Las fórmulas del [volumen](#def-g5-solids-volume) llegan en el [Capítulo 43](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#ch-g6-measure).) ## 35.1 La familia de los cuerpos **Definición 35.1 (Los cuerpos y su vocabulario).** Un *cuerpo geométrico* ocupa espacio. Sus lados planos son las *caras*; las caras se encuentran a lo largo de las *aristas*; las aristas se encuentran en los *vértices*. El retrato de familia: - el *cubo* : $6$ caras cuadradas, $12$ aristas, $8$ vértices; - el *ortoedro* (o caja rectangular): $6$ caras rectangulares, $12$ aristas, $8$ vértices; - el *cilindro* : dos caras circulares y una cara enrollada (una lata); - la *pirámide* : una base poligonal y triángulos que se encuentran en un vértice; - la *bola* (esfera): una superficie perfectamente redonda, sin caras ni aristas. ![La galería de cuerpos. Las líneas discontinuas marcan las aristas ocultas — la parte de atrás del cuerpo, vista a través de él.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-b57acf6c2ef8.svg) *La galería de cuerpos. Las líneas discontinuas marcan las [aristas](#def-g5-solids-def) ocultas — la parte de atrás del cuerpo, vista a través de él.* **Ejemplo 35.2 (Contar en el cubo).** Compruébalo en un dado: $6$ [caras](#def-g5-solids-def) (los números del $1$ al $6$), $8$ [vértices](#def-g5-solids-def) (las esquinas) y $12$ [aristas](#def-g5-solids-def) (recórrelas con el dedo: $4$ arriba, $4$ abajo y $4$ verticales). Y $6 + 8 = 12 + 2$ — el mismo patrón curioso vale para el [ortoedro](#def-g5-solids-def) y la [pirámide](#def-g5-solids-def) (el [Ejemplo 62.2](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/62-piramides-y-conos#ex-g8-solids-count) vuelve sobre ello). ## 35.2 Desarrollos **Definición 35.3 (Desarrollo).** Un *desarrollo* de un cuerpo es un dibujo plano de todas sus [caras](#def-g5-solids-def), unidas por las [aristas](#def-g5-solids-def), que se pliega hasta formar el cuerpo — el cuerpo desenvuelto, como una caja de cartón aplastada para reciclar. ![Tres disposiciones de seis cuadrados. Las dos primeras se pliegan en un cubo; la tercera no — al plegar, dos cuadrados caen sobre la misma cara y el cubo se queda abierto. ¡Recórtalas y pruébalo!](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-b07b062a16e6.svg) *Tres disposiciones de seis cuadrados. Las dos primeras se pliegan en un [cubo](#def-g5-solids-def); la tercera no — al plegar, dos cuadrados caen sobre la misma cara y el [cubo](#def-g5-solids-def) se queda abierto. ¡Recórtalas y pruébalo!* **Ejemplo 35.4 (Leer un desarrollo).** En un dado, las [caras](#def-g5-solids-def) opuestas suman $7$. En un [desarrollo](#def-g5-solids-net), las [caras](#def-g5-solids-def) opuestas son las que están separadas por exactamente un cuadrado en una fila (o al doblar una esquina) — ¡no las vecinas! Marcar las parejas en el [desarrollo](#def-g5-solids-net) antes de plegar es un ejercicio estupendo para ver el espacio en plano. ## 35.3 Volumen: contar cubos **Definición 35.5 (Volumen contando cubos).** El *volumen* de un cuerpo construido con [cubos](#def-g5-solids-def) unidad es el número de [cubos](#def-g5-solids-def) que contiene. La unidad puede ser el centímetro cúbico (cm$^3$) o el metro cúbico (m$^3$). **Ejemplo 35.6 (Contar un ortoedro capa a capa).** Un [ortoedro](#def-g5-solids-def) de $4$ [cubos](#def-g5-solids-def) de largo, $3$ de ancho y $2$ de alto: la capa de abajo tiene $4 \times 3 = 12$ [cubos](#def-g5-solids-def) y hay $2$ capas: $$ 12 \times 2 = 24 \text{ cubos} . $$ Contar por capas funciona siempre — y demuestra en silencio la fórmula $V = L \times a \times h$ del [Capítulo 43](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#ch-g6-measure). ![Un ortoedro de 4 × 3 × 2 cubos unidad, contado capa a capa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-075814271bf6.svg) *Un [ortoedro](#def-g5-solids-def) de $4 \times 3 \times 2$ [cubos](#def-g5-solids-def) unidad, contado capa a capa.* **Ejemplo 35.7 (Los mismos cubos, formas distintas).** Con ocho [cubos](#def-g5-solids-def) unidad se puede construir un [cubo](#def-g5-solids-def) de $2 \times 2 \times 2$, una barra de $8 \times 1 \times 1$ o una losa de $4 \times 2 \times 1$: tres cuerpos distintos, un mismo [volumen](#def-g5-solids-volume) ($8$ [cubos](#def-g5-solids-def)). El [volumen](#def-g5-solids-volume) cuenta el material, no la forma. ## 35.4 Ejercicios **Ejercicio 35.1 ★.** Nombra un objeto real con forma de: [cubo](#def-g5-solids-def); [ortoedro](#def-g5-solids-def); [cilindro](#def-g5-solids-def); bola; [pirámide](#def-g5-solids-def). **Solución de Ejercicio 35.1.** Por ejemplo: un dado ([cubo](#def-g5-solids-def)); una caja de cereales ([ortoedro](#def-g5-solids-def)); una lata ([cilindro](#def-g5-solids-def)); un balón (bola); ciertos tejados o los monumentos de Egipto ([pirámide](#def-g5-solids-def)). **Ejercicio 35.2 ★.** ¿Cuántas [caras](#def-g5-solids-def), [aristas](#def-g5-solids-def) y [vértices](#def-g5-solids-def) tiene un [ortoedro](#def-g5-solids-def)? Comprueba el patrón [caras](#def-g5-solids-def) $+$ [vértices](#def-g5-solids-def) $=$ [aristas](#def-g5-solids-def) $+ 2$. **Solución de Ejercicio 35.2.** Un [ortoedro](#def-g5-solids-def) tiene $6$ [caras](#def-g5-solids-def), $12$ [aristas](#def-g5-solids-def) y $8$ [vértices](#def-g5-solids-def) — y $6 + 8 = 12 + 2$. ✓ **Ejercicio 35.3 ★.** ¿Qué [caras](#def-g5-solids-def) de un [ortoedro](#def-g5-solids-def) son iguales? (Agrupa las seis [caras](#def-g5-solids-def) en parejas.) ¿Qué tienen de especial las [caras](#def-g5-solids-def) del [cubo](#def-g5-solids-def)? **Solución de Ejercicio 35.3.** Las seis [caras](#def-g5-solids-def) van en tres parejas de [caras](#def-g5-solids-def) opuestas iguales (arriba–abajo, delante–detrás, izquierda–derecha). En un [cubo](#def-g5-solids-def), las seis [caras](#def-g5-solids-def) son cuadrados idénticos. **Ejercicio 35.4 ★.** Dibuja un [desarrollo](#def-g5-solids-net) de un [cubo](#def-g5-solids-def) de lado $2$ cm (usa el modelo en forma de cruz del capítulo), recórtalo y pliégalo. **Solución de Ejercicio 35.4.** [Desarrollo](#def-g5-solids-net) en cruz: cuatro cuadrados de $2$ cm en fila, uno encima y otro debajo del segundo. Al plegar el anillo de cuatro se forman los costados; los dos cuadrados sueltos cierran la tapa y el fondo. **Ejercicio 35.5 ★.** En el [desarrollo](#def-g5-solids-net) en cruz de un dado, coloca los números del $1$ al $6$ de modo que las [caras](#def-g5-solids-def) opuestas sumen $7$. (Usa el [Ejemplo 35.4](#ex-g5-solids-read) para hallar antes las parejas opuestas.) **Solución de Ejercicio 35.5.** En el [desarrollo](#def-g5-solids-net) en cruz (cuatro cuadrados en fila, uno encima y otro debajo del segundo), las parejas opuestas son: los cuadrados $1$ y $3$ de la fila; los cuadrados $2$ y $4$ de la fila; el cuadrado de arriba y el de abajo. Una numeración correcta: fila $= 1, 2, 6, 5$; arriba $= 3$; abajo $= 4$ — así, $1{+}6$, $2{+}5$ y $3{+}4$ suman $7$. **Ejercicio 35.6 ★.** Cuenta los [cubos](#def-g5-solids-def) unidad: un [ortoedro](#def-g5-solids-def) de $5$ de largo, $2$ de ancho y $3$ de alto; un [cubo](#def-g5-solids-def) de lado $3$; una pila en forma de L hecha de una losa de $3 \times 2 \times 1$ con otra de $1 \times 2 \times 1$ encima. **Solución de Ejercicio 35.6.** [Ortoedro](#def-g5-solids-def): $5 \times 2 = 10$ por capa y $3$ capas: $30$ [cubos](#def-g5-solids-def). [Cubo](#def-g5-solids-def): $3 \times 3 \times 3 = 27$. Pila en L: $3 \times 2 \times 1 = 6$ más $1 \times 2 \times 1 = 2$: $8$ [cubos](#def-g5-solids-def). **Ejercicio 35.7 ★.** Un [ortoedro](#def-g5-solids-def) contiene exactamente $12$ [cubos](#def-g5-solids-def) unidad en una capa. Da dos formas posibles de capa ($L \times a$) y, para cada una, el [volumen](#def-g5-solids-volume) del [ortoedro](#def-g5-solids-def) si tiene $3$ capas iguales. **Solución de Ejercicio 35.7.** Capas de $12$: por ejemplo, $4 \times 3$ o $6 \times 2$ (o $12 \times 1$). Con $3$ capas, el [volumen](#def-g5-solids-volume) es $12 \times 3 = 36$ [cubos](#def-g5-solids-def) en todos los casos. **Ejercicio 35.8 ★.** Con $27$ [cubos](#def-g5-solids-def) unidad, ¿qué [cubo](#def-g5-solids-def) puedes construir? ¿Y con $64$? (Piensa en el recuento por capas al revés.) **Solución de Ejercicio 35.8.** $27 = 3 \times 3 \times 3$: un [cubo](#def-g5-solids-def) de lado $3$. $64 = 4 \times 4 \times 4$: un [cubo](#def-g5-solids-def) de lado $4$. **Ejercicio 35.9 ★★.** Los terrones de azúcar de $1$ cm de lado vienen en una caja de $10$ cm de largo, $5$ cm de ancho y $4$ cm de alto (medidas interiores). ¿Cuántos terrones caben? Si una familia gasta $6$ terrones al día, ¿para cuántos días le dura una caja (redondea con sentido común)? **Solución de Ejercicio 35.9.** En la caja caben $10 \times 5 \times 4 = 200$ terrones de azúcar. A $6$ al día: $200 = 6 \times 33 + 2$, así que la caja dura $33$ días completos (y quedan $2$ terrones para la mañana del día $34$). **Ejercicio 35.10 ★★.** Un [cubo](#def-g5-solids-def) de $3 \times 3 \times 3$ se pinta de rojo por fuera y luego se corta en $27$ [cubos](#def-g5-solids-def) unidad. ¿Cuántos [cubos](#def-g5-solids-def) pequeños tienen pintura en exactamente $3$ [caras](#def-g5-solids-def)? ¿Y en $2$? ¿Y en $1$? ¿Y en ninguna? (Comprobación: los cuatro recuentos deben sumar $27$.) **Solución de Ejercicio 35.10.** Con pintura en $3$ [caras](#def-g5-solids-def): los $8$ [cubos](#def-g5-solids-def) de las esquinas. En $2$ [caras](#def-g5-solids-def): los del medio de las $12$ [aristas](#def-g5-solids-def), $12$ [cubos](#def-g5-solids-def). En $1$ [cara](#def-g5-solids-def): los centros de las $6$ [caras](#def-g5-solids-def), $6$ [cubos](#def-g5-solids-def). En ninguna: el único [cubo](#def-g5-solids-def) central escondido, $1$. Comprobación: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$. ✓