--- title: "Problemas y gráficos" book: "Matemáticas de primaria y secundaria" subject: math language: es chapter: 36 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/36-problemas-y-graficos --- # Capítulo 36 — Problemas y gráficos El último capítulo del año pone todo a trabajar: problemas de varios pasos con dinero, cantidades y duraciones, y los gráficos que presentan la información de un vistazo. La idea estrella es «por unidad» — hallar el precio de un solo artículo —, que crecerá hasta la proporcionalidad en el [Capítulo 44](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/44-proporcionalidad-y-datos#ch-g6-propdata). ## 36.1 Problemas de varios pasos **Método 36.1 (Domar un problema largo).** 1. lee hasta el final y di cuál es la pregunta final; 2. planifica hacia atrás: para responderla, ¿qué necesito antes? 3. resuelve los pasos en orden, escribiendo una operación y una frase corta por paso; 4. comprueba la respuesta final con el sentido común y con una estimación. **Ejemplo 36.2.** «Un colegio encarga $4$ cajas de $25$ libros a $6$ cada uno y paga además $180$ por el envío. ¿Cuál es el coste total?» 1. libros: $4 \times 25 = 100$ libros; 2. coste de los libros: $100 \times 6 = 600$ ; 3. total: $600 + 180 = 780$ . Comprobación estimada: unos cien libros a $6$ son unos $600$, más unos $200$: unos $800$ — la respuesta $780$ es verosímil. **Ejemplo 36.3 (Por unidad).** «$5$ tazas iguales cuestan $12.50$; ¿cuánto cuestan $8$ tazas?» Halla primero el precio de *una* taza: $$ 12.50 \div 5 = 2.50, \qquad\text{y después}\qquad 8 \times 2.50 = 20 . $$ Pasando por la unidad, todo queda al alcance — este esquema de dos pasos resuelve toda una familia de problemas (recetas, velocidades, precios) y es la semilla del [Capítulo 44](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/44-proporcionalidad-y-datos#ch-g6-propdata). **Ejemplo 36.4 (Cambio y presupuesto).** Zoe tiene $30$. Compra un libro de $12.40$ y dos bolígrafos de $2.30$ cada uno. ¿Le llega también para un juego de mesa de $13$? 1. bolígrafos: $2 \times 2.30 = 4.60$ ; 2. gastado hasta ahora: $12.40 + 4.60 = 17$ ; 3. le queda: $30 - 17 = 13$ — justo lo necesario para el juego, sin que sobre nada. ## 36.2 Leer gráficos **Método 36.5 (Leer cualquier gráfico).** 1. lee el título: ¿qué se está contando? 2. lee los ejes o la clave: ¿qué representa una división de la escala, una barra o un símbolo? 3. solo entonces responde a las preguntas — señalar el gráfico con una regla ayuda a leer las alturas con exactitud. **Ejemplo 36.6.** Precipitaciones de un pueblo, mes a mes: ![Un diagrama de barras de las precipitaciones. Una división = 20 mm.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-data/fig-12c23e8c3afe.svg) *Un diagrama de barras de las precipitaciones. Una división $= 20$ mm.* Lecturas: el mes más lluvioso es mayo ($80$ mm); ¿llovió en junio la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) que en abril ($30$ frente a $70$)? No — la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de $70$ es $35$, así que *no llega* a la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half): ¡leer con precisión importa! Total de los seis meses: $60 + 45 + 55 + 70 + 80 + 30 = 340$ mm. **Ejemplo 36.7 (Una magnitud que cambia).** La altura de una planta, medida cada semana: ![Al unir los puntos de medida se ve el crecimiento: cuanto más inclinado es el segmento, más deprisa creció la planta esa semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-data/fig-f7f3068b88a6.svg) *Al unir los puntos de medida se ve el *crecimiento*: cuanto más inclinado es el segmento, más deprisa creció la planta esa semana.* La planta creció más deprisa entre las semanas $3$ y $4$ ($+5$ cm) y se frenó al final ($+2$ cm en la semana $6$). ## 36.3 Ejercicios **Ejercicio 36.1 ★.** Resuelve por pasos: «Un club alquila un autobús por $240$ y compra $32$ entradas de museo a $7$ cada una. ¿Cuál es el coste total de la excursión?» **Solución de Ejercicio 36.1.** Entradas: $32 \times 7 = 224$. Total: $240 + 224 = 464$. **Ejercicio 36.2 ★.** Resuelve con «por unidad»: «$3$ kg de manzanas cuestan $7.50$. ¿Cuánto cuestan $5$ kg?» **Solución de Ejercicio 36.2.** Por kg: $7.50 \div 3 = 2.50$. Cinco kg: $5 \times 2.50 = 12.50$. **Ejercicio 36.3 ★.** Resuelve: «Seis amigos comparten a partes iguales los $87$ que cuesta un picnic. ¿Cuánto paga cada uno?» **Solución de Ejercicio 36.3.** $87 \div 6 = 14.5$: cada uno paga $14.50$. **Ejercicio 36.4 ★.** Samuel tiene $25$. Compra una camiseta de $13.90$ y una gorra de $8.50$. ¿Cuánto dinero le queda? **Solución de Ejercicio 36.4.** Gasta: $13.90 + 8.50 = 22.40$. Le quedan: $25 - 22.40 = 2.60$. **Ejercicio 36.5 ★.** Con el gráfico de precipitaciones del [Ejemplo 36.6](#ex-g5-data-chart): ¿qué meses superaron los $50$ mm? ¿Cuánta lluvia más cayó en mayo que en junio? **Solución de Ejercicio 36.5.** Más de $50$ mm: enero ($60$), marzo ($55$), abril ($70$) y mayo ($80$). Mayo menos junio: $80 - 30 = 50$ mm. **Ejercicio 36.6 ★.** Con el gráfico de la planta del [Ejemplo 36.7](#ex-g5-data-line): ¿cuánto medía la planta en la semana $2$? ¿Entre qué semanas creció exactamente $4$ cm? **Solución de Ejercicio 36.6.** Semana $2$: $6$ cm. Crecimiento de $4$ cm: entre las semanas $2$ y $3$ ($6 \to 10$) y entre las semanas $4$ y $5$ ($15 \to 19$). **Ejercicio 36.7 ★.** Dibuja un diagrama de barras con los goles marcados por un equipo: septiembre $4$, octubre $7$, noviembre $3$, diciembre $6$. Elige la escala y da el total. **Solución de Ejercicio 36.7.** Cuatro barras de alturas $4$, $7$, $3$ y $6$ (una división cada $1$ o $2$ goles). Total: $4 + 7 + 3 + 6 = 20$ goles. **Ejercicio 36.8 ★.** Un pack de $8$ yogures cuesta $3.20$; sueltos, un yogur cuesta $0.50$. Calcula el precio «por unidad» dentro del pack y cuánto se ahorra por yogur comprando el pack. **Solución de Ejercicio 36.8.** Por unidad en el pack: $3.20 \div 8 = 0.40$. Ahorro por yogur: $0.50 - 0.40 = 0.10$ (diez céntimos). **Ejercicio 36.9 ★★.** «Un cine vendió $148$ entradas a $9.50$ el sábado y $95$ entradas al mismo precio el domingo. ¿Cuánto dinero más recaudó el sábado que el domingo?» Resuélvelo de dos maneras: calculando la recaudación de cada día o calculando con la *[diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference)* de entradas — y comprueba que las respuestas coinciden. **Solución de Ejercicio 36.9.** Manera 1: sábado, $148 \times 9.50 = 1\,406$; domingo, $95 \times 9.50 = 902.50$; [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) $503.50$. Manera 2: $148 - 95 = 53$ entradas más, cada una de $9.50$: $53 \times 9.50 = 503.50$. La misma respuesta — la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de las recaudaciones es la recaudación de la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference). **Ejercicio 36.10 ★★.** Una receta para $4$ personas necesita $300$ g de arroz. Alina cocina para $10$ personas. ¿Cuánto arroz necesita? (Primero por persona — se permiten decimales.) **Solución de Ejercicio 36.10.** Por persona: $300 \div 4 = 75$ g. Para diez: $10 \times 75 = 750$ g de arroz. **Ejercicio 36.11 ★★.** Inventa un problema de tres pasos con dinero cuya respuesta final sea $5.50$, escribe su solución completa al estilo del [Método 36.1](#met-g5-data-steps) y pruébalo con un compañero. **Solución de Ejercicio 36.11.** Hay muchos problemas correctos — por ejemplo: «Milo compra $3$ zumos a $1.20$ cada uno y un bocadillo de $3.40$. Paga con un vale de $12.50$. ¿Cuánto le queda del vale?» Solución: zumos, $3 \times 1.20 = 3.60$; total gastado $3.60 + 3.40 = 7$; queda $12.50 - 7 = 5.50$.