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title: "Los números enteros"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 37
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros
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# Capítulo 37 — Los números enteros

Todo en matemáticas empieza por contar. Este capítulo repasa cómo se escriben, se comparan y se combinan los números enteros — y mira con atención la división, la operación que da a la vez un [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) *y* un [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder).

## 37.1 Escribir y comparar números enteros

**Definición 37.1 (Valor posicional).**

Nuestra manera de escribir los números usa diez cifras (del $0$ al $9$), y el *valor de una cifra depende de su lugar*: en $5\,208$, la cifra $5$ cuenta millares, el $2$ cuenta centenas, el $0$ cuenta decenas (no hay ninguna) y el $8$ cuenta unidades:

$$
5\,208 = 5 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 8 .
$$

![La tabla de valor posicional del 5\,208. El 0 importa: sin él, el 5 y el 2 se deslizarían a columnas equivocadas y el número se leería 528.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-wholes/fig-7bcbfdfbd069.svg)

*La tabla de [valor posicional](#def-g6-wholes-place) del $5\,208$. El $0$ importa: sin él, el $5$ y el $2$ se deslizarían a columnas equivocadas y el número se leería $528$.*

**Método 37.2 (Comparar dos números enteros).**

1. el número con más cifras es el mayor ( $1\,203 > 989$ ).
2. si tienen el mismo número de cifras, compara cifra a cifra desde la *izquierda* ; la primera [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) decide: $6\,742 > 6\,715$ porque, en las decenas, $4 > 1$ .

Los símbolos son $<$ («menor que») y $>$ («mayor que»); el extremo estrecho del símbolo apunta al número pequeño.

**Ejemplo 37.3.**

Ordena de menor a mayor: $908$; $89$; $1\,001$; $980$. Primero por el número de cifras: $89$ (dos cifras) va delante y $1\,001$ (cuatro cifras) al final. Entre $908$ y $980$: misma cifra de las centenas, $9$, y luego decenas $0 < 8$, así que $908 < 980$. Respuesta final:

$$
89 < 908 < 980 < 1\,001 .
$$

![Los números viven en una recta: menor significa más a la izquierda. Cada marca, aquí, vale 100.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-wholes/fig-9fc3a4fd334b.svg)

*Los números viven en una recta: menor significa más a la izquierda. Cada marca, aquí, vale $100$.*

## 37.2 Suma, resta y multiplicación

**Ejemplo 37.4 (Cálculos en columna).**

Para sumar o restar, alinea las unidades bajo las unidades y las decenas bajo las decenas, y trabaja de derecha a izquierda llevando cuando haga falta:

$$
\begin{array}{r}
4\,5\,7 \\
+\ 2\,8\,6 \\
\hline
7\,4\,3
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{r}
6\,0\,3 \\
-\ 1\,4\,7 \\
\hline
4\,5\,6
\end{array}
$$

En la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def): $7 + 6 = 13$, escribe $3$ y lleva $1$; luego $5 + 8 + 1 = 14$, escribe $4$ y lleva $1$; luego $4 + 2 + 1 = 7$. Comprueba la resta sumando de vuelta: $456 + 147 = 603$.

**Observación 37.5 (Vocabulario).**

El resultado de una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) es una *suma*; el de una resta, una *diferencia*; el de una multiplicación, un *producto*; el de una división, un *cociente*. Los números que se combinan son los *términos* (para $+$ y $-$) o los *factores* (para $\times$).

**Ejemplo 37.6 (Calcular con astucia).**

Reordenar los términos o los factores ahorra trabajo a menudo:

$$
17 + 58 + 3 = (17 + 3) + 58 = 20 + 58 = 78 ,
$$

$$
25 \times 17 \times 4 = (25 \times 4) \times 17 = 100 \times 17 = 1700 .
$$

## 37.3 La división

**Teorema 37.7 (División euclídea).**

Dados dos números enteros $a$ (el *dividendo*) y $b \neq 0$ (el *[divisor](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple)*), hay exactamente una manera de escribir

$$
a = b \times q + r
\qquad\text{con}\qquad
0 \leq r < b .
$$

El número $q$ es el *cociente* y $r$ el *resto* de la división de $a$ entre $b$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 37.8.**

Dividimos $137$ entre $4$, paso a paso.

1. ¿cuántas veces cabe $4$ en $13$ ? Tres veces ( $4 \times 3 = 12$ ), con [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $13 - 12 = 1$ ;
2. baja el $7$ : ¿cuántas veces cabe $4$ en $17$ ? Cuatro veces ( $4 \times 4 = 16$ ), con [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $1$ .

Así, $q = 34$ y $r = 1$:

$$
137 = 4 \times 34 + 1, \qquad\text{y, en efecto, } 0 \leq 1 < 4 .
$$

Comprobación: $4 \times 34 = 136$ y $136 + 1 = 137$.

![Dividir 137 entre 4: caben 34 grupos completos de 4 (hasta 136) y sobra 1 — el resto es siempre menor que el divisor.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-wholes/fig-cb760413b300.svg)

*Dividir $137$ entre $4$: caben $34$ grupos completos de $4$ (hasta $136$) y sobra $1$ — el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) es siempre menor que el [divisor](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple).*

**Definición 37.9 (Divisible).**

Cuando el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) es $0$, decimos que $a$ es *divisible* entre $b$: por ejemplo, $135$ es divisible entre $5$, ya que $135 = 5 \times 27 + 0$.

**Método 37.10 (Problemas con enunciado y división).**

Después de calcular $a = bq + r$, vuelve siempre a la pregunta:

1. «¿cuántas cajas / equipos / páginas completas?» — la respuesta es el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $q$ ;
2. «¿cuántos sobran?» — la respuesta es el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $r$ ;
3. «¿cuántas cajas hacen falta para todos?» — si $r > 0$ , una *más* que el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) : $q + 1$ .

**Ejemplo 37.11.**

$137$ alumnos van de excursión en autobuses de $40$ plazas. División: $137 = 40 \times 3 + 17$. Tres autobuses llevan a $120$ alumnos y quedan $17$ alumnos — ¡que también necesitan autobús! Así que hacen falta $4$ autobuses, aunque el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) sea $3$.

## 37.4 Ejercicios

**Ejercicio 37.1 ★.**

Escribe con cifras: «tres mil cuarenta y siete»; «veinte mil quinientos»; «ciento cuatro». Después escribe $60\,013$ con letras.

**Solución de Ejercicio 37.1.**

$3\,047$; $20\,500$; $104$. $60\,013$: «sesenta mil trece».

**Ejercicio 37.2 ★.**

En el número $47\,209$: ¿cuál es la cifra de las centenas? ¿Y la de las unidades? ¿Qué cuenta la cifra $4$? Escribe el número como [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de [múltiplos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) de $1$, $10$, $100$, … como en la [Definición 37.1](#def-g6-wholes-place).

**Solución de Ejercicio 37.2.**

Cifra de las centenas: $2$; cifra de las unidades: $9$; el $4$ cuenta las decenas de millar. Descomposición:

$$
47\,209 = 4 \times 10\,000 + 7 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10
+ 9 .
$$

**Ejercicio 37.3 ★.**

Copia y completa con $<$ o $>$:

$$
507 \;?\; 570, \qquad
1\,099 \;?\; 989, \qquad
23\,456 \;?\; 23\,465, \qquad
9\,999 \;?\; 10\,000 .
$$

**Solución de Ejercicio 37.3.**

$507 < 570$ (decenas: $0 < 7$); $1\,099 > 989$ (cuatro cifras ganan a tres); $23\,456 < 23\,465$ (decenas: $5 < 6$); $9\,999 < 10\,000$ (cuatro cifras frente a cinco).

**Ejercicio 37.4 ★.**

Ordena de menor a mayor: $2\,043$; $978$; $2\,304$; $2\,034$; $1\,001$.

**Solución de Ejercicio 37.4.**

Por el número de cifras, $978$ y $1\,001$ van antes que los tres números de cuatro cifras que empiezan por $2$; entre estos, compara las decenas y las unidades: $2\,034 < 2\,043 < 2\,304$. Orden final:

$$
978 < 1\,001 < 2\,034 < 2\,043 < 2\,304 .
$$

**Ejercicio 37.5 ★.**

Calcula en columna: $348 + 576$; $805 - 268$; $307 \times 26$. Comprueba la resta con una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def).

**Solución de Ejercicio 37.5.**

$348 + 576 = 924$; $805 - 268 = 537$ (comprobación: $537 + 268 = 805$); $307 \times 26 = 307 \times 20 + 307 \times 6
= 6\,140 + 1\,842 = 7\,982$.

**Ejercicio 37.6 ★.**

Calcula con astucia, agrupando términos o factores:

$$
38 + 45 + 12 + 5, \qquad
2 \times 83 \times 50, \qquad
4 \times 78 \times 25 .
$$

**Solución de Ejercicio 37.6.**

$38 + 45 + 12 + 5 = (38 + 12) + (45 + 5) = 50 + 50 = 100$.

$2 \times 83 \times 50 = (2 \times 50) \times 83 = 100 \times 83 =
8\,300$.

$4 \times 78 \times 25 = (4 \times 25) \times 78 = 100 \times 78 =
7\,800$.

**Ejercicio 37.7 ★.**

Para cada división, da el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) y el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder), y escribe la igualdad $a = b \times q + r$:

$$
95 \div 7, \qquad
230 \div 6, \qquad
504 \div 8 .
$$

**Solución de Ejercicio 37.7.**

$95 = 7 \times 13 + 4$ ([cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $13$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $4$).

$230 = 6 \times 38 + 2$ ([cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $38$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $2$).

$504 = 8 \times 63 + 0$ ([cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $63$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $0$: $504$ es [divisible](#def-g6-wholes-divisible) entre $8$).

**Ejercicio 37.8 ★.**

Sin dividir, explica por qué la igualdad $173 = 8 \times 20 + 13$ *no* es la división euclídea de $173$ entre $8$, y halla el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) y el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) correctos.

**Solución de Ejercicio 37.8.**

La igualdad es cierta, pero el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $13$ *no* es menor que el [divisor](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) $8$, así que no es la división euclídea. Saca un $8$ más del [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder): $173 = 8 \times 21 + 5$, con $0 \leq 5 < 8$: [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $21$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $5$.

**Ejercicio 37.9 ★★.**

Los huevos se envasan en cajas de $12$.

1. una granja tiene $2\,000$ huevos. ¿Cuántas cajas completas puede llenar y cuántos huevos le sobran?
2. una panadería necesita $150$ huevos. ¿Cuántas cajas tiene que comprar?

**Solución de Ejercicio 37.9.**

*1.* $2\,000 = 12 \times 166 + 8$: la granja llena $166$ cajas completas y sobran $8$ huevos.

*2.* $150 = 12 \times 12 + 6$: doce cajas contienen solo $144$ huevos, que no bastan. La panadería tiene que comprar $13$ cajas.

**Ejercicio 37.10 ★★.**

Hoy es martes. ¿Qué día de la semana será dentro de $100$ días? (La semana tiene $7$ días: divide y piensa en el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder).)

**Solución de Ejercicio 37.10.**

$100 = 7 \times 14 + 2$: cien días son $14$ semanas completas y $2$ días más. Catorce semanas después vuelve a ser martes; dos días después de un martes es *jueves*.

**Ejercicio 37.11 ★★.**

En una división entre $9$, el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) es $56$ y el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) es el mayor posible. ¿Cuál es el dividendo?

**Solución de Ejercicio 37.11.**

El mayor [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) posible en una división entre $9$ es $8$ (el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) tiene que ser menor que el [divisor](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple)). Así que el dividendo es

$$
9 \times 56 + 8 = 504 + 8 = 512 .
$$

**Ejercicio 37.12 ★★★.**

Soy un número de tres cifras. Mi cifra de las centenas es el doble de la de las unidades, mi cifra de las decenas es $0$ y la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de mis cifras es $9$. ¿Quién soy? (Razona paso a paso y comprueba después.)

**Solución de Ejercicio 37.12.**

Llamemos $c$ (centenas), $0$ (decenas) y $u$ (unidades) a las cifras. Sabemos que $c = 2 \times u$ y $c + 0 + u = 9$, así que $2u + u = 9$, de donde $3u = 9$, $u = 3$ y $c = 6$. El número es $603$. Comprobación: $6$ es el doble de $3$, la cifra de las decenas es $0$ y $6 + 0 + 3 = 9$.

## 37.5 Problema: El pequeño Gauss y la suma de los cien primeros números

**Problema 37.1.**

Problema de fin de semana — sumar $1 + 2 + 3 + \dots +
100$ en diez segundos y los números triangulares

Una historia famosa: para tener entretenida a su clase, un maestro pidió a sus alumnos que sumaran todos los números del $1$ al $100$. Un niño escribió $5\,050$ en su pizarra casi al instante — Carl Friedrich Gauss, de nueve años, que llegaría a ser uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos. Su secreto no era otro que *calcular con astucia* ([Ejemplo 37.6](#ex-g6-wholes-smart)): agrupar los términos de modo que cada grupo salga fácil. Este problema redescubre su truco, lo hace funcionar en cualquier situación y muestra lo a menudo que estas [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) aparecen en la vida diaria.

**Parte I — Las parejas de Gauss.**

1. calcula $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ agrupando los términos con astucia;
2. para $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ : empareja el primer término con el último ( $1 + 10$ ), el segundo con el penúltimo ( $2 + 9$ ), y así sucesivamente. ¿Cuánto vale cada pareja? ¿Cuántas parejas hay? Termina el cálculo;
3. el mismo método para $1 + 2 + \dots + 20$ : ¿cuánto vale cada pareja, cuántas parejas hay y cuál es el total?
4. ahora la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) del maestro, $1 + 2 + \dots + 100$ : explica por qué las parejas $1 + 100$ , $2 + 99$ , $3 + 98, \dots$ valen todas lo mismo y por qué hay exactamente $50$ , siendo la última $50 + 51$ ;
5. escribe la respuesta de Gauss como una sola multiplicación y calcúlala.

**Parte II — Un truco que nunca falla.**

6. prueba el emparejamiento con $1 + 2 + \dots + 9$ : esta vez un número se queda sin pareja. ¿Cuál? Empareja a su alrededor y calcula la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) ;
7. aquí tienes una versión del truco que funciona tanto si el número de términos es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) como si es [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd): escribe la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) dos veces, una hacia delante y otra hacia atrás, una línea debajo de la otra, $$\begin{array}{ccccccc}  1 & + & 2 & + & \dots & + & 9 \\  9 & + & 8 & + & \dots & + & 1  \end{array}$$ y [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) *columna a columna*. ¿Cuánto vale cada columna? ¿Cuántas columnas hay? Explica por qué la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de las dos líneas es $9 \times 10 = 90$ y deduce que $1 + 2 + \dots + 9 = 45$ — la misma respuesta que en la pregunta 6;
8. usa el truco de las dos líneas para calcular $1 + 2 + \dots + 50$ y después $1 + 2 + \dots + 200$ ;
9. calcula la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los cien primeros números *[pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* , $2 + 4 + 6 + \dots + 200$ . (Compara cada término con un término de la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de Gauss: no hace falta un emparejamiento nuevo.)
10. calcula $101 + 102 + \dots + 200$ usando dos [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) que ya conoces y una resta.

**Parte III — [Números triangulares](#pb-g6-wholes-1) por todas partes.** Los totales $1$, $3$, $6$, $10$, $15, \dots$ de las [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) $1 + 2 + \dots + n$ se llaman *números triangulares*, porque cuentan objetos apilados en triángulo.

11. ocho amigos se reúnen y cada uno da la mano exactamente una vez a cada uno de los demás. Explica por qué el número de apretones de manos es $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ y calcúlalo;
12. una tendera construye una [pirámide](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) triangular de latas: $12$ latas en la fila de abajo, $11$ en la siguiente y así hasta una sola lata arriba. ¿Cuántas latas necesita? (Usa el truco de la pregunta 7.)
13. dibuja la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) $1 + 2 + 3 + 4$ como una escalera de cuadrados: un cuadrado en la primera columna, dos en la segunda, tres en la tercera y cuatro en la cuarta. Muestra en tu dibujo que *dos* escaleras así, una de ellas puesta boca abajo, encajan exactamente en un rectángulo de $4$ filas de $5$ cuadrados — y explica por qué esto es el truco de las dos líneas de la pregunta 7, dibujado en vez de escrito;
14. un reloj da $1$ campanada a la una, $2$ campanadas a las dos, …, $12$ campanadas a las doce. ¿Cuántas campanadas son en esas doce horas? ¿Y en un día entero?
15. una última para Gauss: $5\,050$ segundos, ¿son más o menos que una hora y media? Conviértelos en horas, minutos y segundos usando dos veces la división euclídea ( [Teorema 37.7](#thm-g6-wholes-division) ).

**Solución de Problema 37.1.**

**1.** Por ejemplo, $(1 + 4) + (2 + 3) + 5 = 5 + 5 + 5 =
15$.

**2.** Cada pareja vale $11$: $1 + 10$, $2 + 9$, $3 + 8$, $4 + 7$, $5 + 6$. Son $5$ parejas (diez números, dos por pareja), así que la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) es $5 \times 11 = 55$.

**3.** Parejas que valen $21$ ($1 + 20$, $2 + 19, \dots$), y hay $10$: $10 \times 21 = 210$.

**4.** En cada pareja, cuando el primer número crece en $1$ el segundo mengua en $1$, así que el total no cambia nunca: $1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = \dots = 101$. Los cien números forman $50$ parejas (dos números cada una), y la más interior es $50 + 51 = 101$.

**5.** $50$ parejas de $101$:

$$
1 + 2 + \dots + 100 = 50 \times 101 = 5\,050 .
$$

**6.** Con nueve números, el del medio, $5$, se queda sin pareja. A su alrededor: $1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 10$, cuatro parejas. Total: $4 \times 10 + 5 = 45$.

**7.** Cada columna vale $1 + 9 = 2 + 8 = \dots =
9 + 1 = 10$, y hay $9$ columnas: las dos líneas juntas valen $9 \times 10 = 90$. Pero las dos líneas son la *misma* [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) escrita dos veces, así que una copia vale la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half): $1 + 2 + \dots + 9 = 90 \div 2 = 45$. Ningún número se queda nunca sin pareja — su pareja está justo debajo de él.

**8.** Para $1$ a $50$: $50$ columnas que valen $51$, [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) doble $50 \times 51 = 2\,550$, así que la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) es $2\,550 \div 2 = 1\,275$. Para $1$ a $200$: $200$ columnas que valen $201$, [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) doble $40\,200$, [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) $20\,100$.

**9.** Todo [número par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) es el doble de un número de la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de Gauss: $2 = 2 \times 1$, $4 = 2 \times 2$, …, $200 = 2 \times 100$. Así que la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) entera es el doble de la de Gauss:

$$
2 + 4 + \dots + 200 = 2 \times 5\,050 = 10\,100 .
$$

**10.** Los números del $101$ al $200$ son los números del $1$ al $200$ quitando los del $1$ al $100$:

$$
101 + 102 + \dots + 200 = 20\,100 - 5\,050 = 15\,050 .
$$

**11.** Pon a los amigos en fila. El primero da $7$ manos (una a cada uno de los demás). El segundo ya ha saludado al primero, así que da $6$ manos *nuevas*; el tercero, $5$; y así sucesivamente, el séptimo da $1$ y el octavo ninguna nueva. Cada apretón se cuenta exactamente una vez:

$$
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 \text{ apretones de manos}
$$

(empareja alrededor del centro: $(7+1) + (6+2) + (5+3) + 4 =
8 + 8 + 8 + 4 = 28$).

**12.** $1 + 2 + \dots + 12$: doce columnas que valen $13$, [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) doble $12 \times 13 = 156$, así que $156 \div 2 = 78$ latas.

**13.** La escalera de $1 + 2 + 3 + 4$ cuadrados, más la misma escalera boca abajo, llenan exactamente un rectángulo de $4$ filas y $5$ columnas: cada fila del rectángulo es una columna del truco de las dos líneas (un escalón de la escalera que sube completado por un escalón de la que baja, $1 + 4$, $2 + 3$, $3 + 2$, $4 + 1$ — siempre $5$). Así que el doble de la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) es $4 \times 5 = 20$ cuadrados, y $1 + 2 + 3 + 4 = 10$: el dibujo *es* la pregunta 7.

**14.** $1 + 2 + \dots + 12 = 78$ campanadas en doce horas (pregunta 12), luego $78 \times 2 = 156$ campanadas en un día entero.

**15.** Divide entre $60$: $5\,050 = 60 \times 84 + 10$, así que $5\,050$ segundos son $84$ minutos y $10$ segundos. Divide los minutos entre $60$: $84 = 60 \times 1 + 24$, así que $84$ minutos son $1$ hora y $24$ minutos. En total: $1$ h $24$ min $10$ s — un poco *menos* que una hora y media ($1$ h $30$ min).