--- title: "Los números decimales" book: "Matemáticas de primaria y secundaria" subject: math language: es chapter: 38 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/38-los-numeros-decimales --- # Capítulo 38 — Los números decimales Entre $2$ y $3$ hay muchísimos números: $2.5$, $2.71$, $2.999$ … Los [números decimales](#def-g6-decimals-places) extienden el sistema posicional a la derecha de las unidades y siguen las mismas reglas que los enteros — con unas cuantas trampas que este capítulo te enseñará a esquivar. ## 38.1 La escritura decimal **Definición 38.1 (Cifras decimales).** Un *número decimal* tiene una parte entera y una parte decimal, separadas por el [punto decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/25-decimas-y-centesimas#def-g4-decimals-point). Cada lugar a la derecha del punto vale diez veces menos que el anterior: décimas, centésimas, milésimas. Por ejemplo, $$ 13.407 = 13 + \frac{4}{10} + \frac{0}{100} + \frac{7}{1000} = 1 \times 10 + 3 + 4 \times \frac{1}{10} + 7 \times \frac{1}{1000}. $$ ![La tabla de valor posicional del 13.407: el punto decimal queda entre las unidades y las décimas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-decimals/fig-1d80c758bb1d.svg) *La tabla de [valor posicional](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#def-g6-wholes-place) del $13.407$: el [punto decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/25-decimas-y-centesimas#def-g4-decimals-point) queda entre las unidades y las décimas.* **Observación 38.2 (Ceros que importan y ceros que no).** Añadir [ceros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) al *final* de la parte decimal no cambia nada: $2.5 = 2.50 = 2.500$. Pero los [ceros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) *intercalados* son imprescindibles: $13.407 \neq 13.47$. ¡Y $0.5$ es muy distinto de $0.05$! **Método 38.3 (Comparar números decimales).** 1. compara primero las partes enteras: $7.2 > 5.99$ porque $7 > 5$ ; 2. si las partes enteras son iguales, compara las partes decimales cifra a cifra desde la izquierda — completar con [ceros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) finales ayuda: para comparar $3.4$ y $3.15$ , escribe $3.40$ y $3.15$ ; como $40 > 15$ centésimas, $3.4 > 3.15$ . Cuidado: *más largo no significa mayor*. $3.15$ tiene más cifras que $3.4$ pero es menor. ![Ampliación de la recta numérica entre 3 y 4: cada marca es una décima. El punto 3.15 queda a mitad de camino entre 3.1 y 3.2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-decimals/fig-d3c0370768d1.svg) *Ampliación de la recta numérica entre $3$ y $4$: cada marca es una décima. El punto $3.15$ queda a [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de camino entre $3.1$ y $3.2$.* ## 38.2 Sumar, restar y multiplicar **Método 38.4 (Cálculos en columna con decimales).** Para sumar o restar [números decimales](#def-g6-decimals-places), alinea los *[puntos decimales](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/25-decimas-y-centesimas#def-g4-decimals-point)* (así las unidades quedan bajo las unidades y las décimas bajo las décimas), completando con [ceros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) finales si hace falta; después calcula como con los enteros y coloca el punto del resultado bajo los demás. **Ejemplo 38.5.** Calcula $13.7 + 2.85$ alineando los puntos ($13.7 = 13.70$): $$ \begin{array}{r} 1\,3.7\,0 \\ +\ \ \,2.8\,5 \\ \hline 1\,6.5\,5 \end{array} $$ Calcula $6 - 2.35$ (escribe $6 = 6.00$): $6.00 - 2.35 = 3.65$. Comprobación: $3.65 + 2.35 = 6$. **Ejemplo 38.6 (Multiplicar decimales).** Para calcular $2.3 \times 1.4$: multiplica como si fueran enteros, $23 \times 14 = 322$; después cuenta las cifras decimales de los factores ($1 + 1 = 2$) y coloca el punto para que el resultado tenga esas mismas: $2.3 \times 1.4 = 3.22$. Control de tamaños: $2.3 \times 1.4$ debería ser algo más que $2.3 \times 1 = 2.3$ — y $3.22$ lo es. ## 38.3 Multiplicar y dividir por 10, 100 y 1000 **Proposición 38.7 (Desplazar el punto).** Multiplicar un [número decimal](#def-g6-decimals-places) por $10$, $100$ o $1000$ mueve su [punto decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/25-decimas-y-centesimas#def-g4-decimals-point) $1$, $2$ o $3$ lugares a la *derecha*; dividir lo mueve a la *izquierda* (completando con [ceros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) cuando haga falta): $$ 3.75 \times 100 = 375, \qquad 42.1 \div 1000 = 0.0421 . $$ **Demostración.** Multiplicar por $10$ hace que cada cifra valga diez veces más: las décimas pasan a unidades, las unidades a decenas, y así sucesivamente — cada cifra se mueve una columna a la izquierda en la tabla posicional, que es lo mismo que mover el punto un lugar a la derecha. Dividir lo invierte. ∎ **Ejemplo 38.8 (Unidades de medida).** Convertir unidades es exactamente este juego: como $1$ m $= 100$ cm, $$ 3.75 \text{ m} = 3.75 \times 100 \text{ cm} = 375 \text{ cm}, \qquad 42 \text{ mm} = 42 \div 10 \text{ cm} = 4.2 \text{ cm}. $$ ## 38.4 Redondeo **Definición 38.9 (Redondeo).** El *redondeo* de un número a la unidad (o a la décima, a la centésima, …) es el número más próximo con esa precisión. Mira la cifra siguiente: si es $0,1,2,3,4$, redondea hacia abajo (deja igual); si es $5,6,7,8,9$, redondea hacia arriba. **Ejemplo 38.10.** $7.38$ redondeado a la unidad es $7$ (cifra siguiente $3$: se deja); redondeado a la décima es $7.4$ (cifra siguiente $8$: sube). El precio $4.996$ redondeado a la centésima es $5.00$ — ¡el [redondeo](#def-g6-decimals-rounding) puede cambiar todas las cifras! ## 38.5 Ejercicios **Ejercicio 38.1 ★.** Escribe como [número decimal](#def-g6-decimals-places): $5 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{100}$; $\dfrac{9}{10}$; $12 + \dfrac{4}{1000}$; «ocho unidades y cinco centésimas». **Solución de Ejercicio 38.1.** $5.37$; $0.9$; $12.004$; $8.05$. **Ejercicio 38.2 ★.** En $86.354$: ¿cuál es la cifra de las décimas? ¿Y la de las centésimas? ¿Qué cuenta la cifra $8$? Escribe este número como en la [Definición 38.1](#def-g6-decimals-places). **Solución de Ejercicio 38.2.** Cifra de las décimas: $3$; cifra de las centésimas: $5$; el $8$ cuenta las decenas. $$ 86.354 = 8 \times 10 + 6 + 3 \times \frac{1}{10} + 5 \times \frac{1}{100} + 4 \times \frac{1}{1000}. $$ **Ejercicio 38.3 ★.** Copia y completa con $<$, $>$ o $=$: $$ 5.3 \;?\; 5.29, \qquad 0.7 \;?\; 0.70, \qquad 2.09 \;?\; 2.9, \qquad 14.5 \;?\; 14.49 . $$ **Solución de Ejercicio 38.3.** $5.3 > 5.29$ (compara $5.30$ con $5.29$); $0.7 = 0.70$ (los [ceros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) finales no cambian nada); $2.09 < 2.9$ (décimas: $0 < 9$); $14.5 > 14.49$. **Ejercicio 38.4 ★.** Ordena de menor a mayor: $4.2$; $4.05$; $4.51$; $4.15$; $4.5$. **Solución de Ejercicio 38.4.** Completa a dos decimales: $4.20$; $4.05$; $4.51$; $4.15$; $4.50$. Orden: $$ 4.05 < 4.15 < 4.2 < 4.5 < 4.51 . $$ **Ejercicio 38.5 ★.** ¿Qué [números decimales](#def-g6-decimals-places) corresponden a los puntos $A$, $B$ y $C$ de una recta numérica graduada en décimas, si $A$ está $3$ marcas después del $6$, $B$ está $7$ marcas después del $6$ y $C$ está $2$ marcas después del $7$? **Solución de Ejercicio 38.5.** Cada marca es una décima. $A$: $6.3$; $B$: $6.7$; $C$: $7.2$. **Ejercicio 38.6 ★.** Calcula en columna: $45.8 + 7.65$; $23.4 - 8.72$; $5.6 \times 2.4$ (¡cuenta las cifras decimales!). **Solución de Ejercicio 38.6.** $45.80 + 7.65 = 53.45$. $23.40 - 8.72 = 14.68$ (comprobación: $14.68 + 8.72 = 23.4$). $56 \times 24 = 1344$, y dos cifras decimales en los factores: $5.6 \times 2.4 = 13.44$. **Ejercicio 38.7 ★.** Calcula sin escribir nada: $$ 6.42 \times 10, \qquad 0.35 \times 1000, \qquad 78.1 \div 100, \qquad 5 \div 1000 . $$ **Solución de Ejercicio 38.7.** $6.42 \times 10 = 64.2$; $0.35 \times 1000 = 350$; $78.1 \div 100 = 0.781$; $5 \div 1000 = 0.005$. **Ejercicio 38.8 ★.** Convierte: $2.4$ m en cm; $370$ g en kg; $0.85$ km en m; $56$ mm en m. **Solución de Ejercicio 38.8.** $2.4$ m $= 240$ cm; $370$ g $= 0.37$ kg (divide entre $1000$); $0.85$ km $= 850$ m; $56$ mm $= 0.056$ m. **Ejercicio 38.9 ★.** Redondea $23.867$: a la unidad; a la décima; a la centésima. Redondea $9.97$ a la décima. **Solución de Ejercicio 38.9.** A la unidad: $24$ (cifra siguiente $8$: sube). A la décima: $23.9$. A la centésima: $23.87$. Y $9.97$ a la décima: la cifra siguiente es $7$, así que suben las $9$ décimas — $10.0$. **Ejercicio 38.10 ★★.** Una barra de pan cuesta $1.15$. Lena compra tres barras y paga con un billete de $5$. Escribe los dos cálculos necesarios y da su cambio. **Solución de Ejercicio 38.10.** Precio de las barras: $3 \times 1.15 = 3.45$. Cambio: $5 - 3.45 = 1.55$. **Ejercicio 38.11 ★★.** Halla un [número decimal](#def-g6-decimals-places) estrictamente comprendido entre $7.4$ y $7.5$; después entre $3.99$ y $4$. ¿Cuántos números así hay en cada caso? **Solución de Ejercicio 38.11.** Entre $7.4$ y $7.5$: por ejemplo, $7.45$ (o $7.41$, $7.499$, …). Entre $3.99$ y $4$: por ejemplo, $3.995$. En los dos casos hay *infinitos* números así: siempre se pueden añadir más cifras decimales. **Ejercicio 38.12 ★★★.** Usando cada una de las cifras $2$, $5$ y $8$ exactamente una vez y un [punto decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/25-decimas-y-centesimas#def-g4-decimals-point), escribe el número más grande posible y después el más pequeño posible. (No se admiten números como $.58$: la parte entera debe tener al menos una cifra.) **Solución de Ejercicio 38.12.** El mayor: pon las cifras más grandes delante y el punto lo más tarde posible: $85.2$. El menor: las cifras más pequeñas delante y el punto lo más pronto posible: $2.58$. ## 38.6 Problema: El número justo después del 3 no existe **Problema 38.1.** Problema de fin de semana — entre dos números decimales cualesquiera siempre hay otro: ampliando la recta numérica En la escalera de los números enteros, cada número tiene un vecino de al lado: justo después del $7$ viene el $8$ y no vive nada en medio. Los [números decimales](#def-g6-decimals-places) son un mundo completamente distinto. ¿Cuál es el número justo después del $3$? ¿Es $3.1$? ¿$3.01$? ¿$3.001$? Este problema desarrolla una técnica de *ampliación* de la recta numérica (que continúa el [Ejercicio 38.11](#exo-g6-decimals-11)) y llega a una conclusión famosa: el número justo después del $3$ *no existe* — entre dos [números decimales](#def-g6-decimals-places) cualesquiera, por próximos que estén, siempre hay sitio para más. **Parte I — Ampliar la escala.** 1. ¿cuál es mayor, $2.999$ o $3$ ? Calcula la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) entre ellos; 2. dibuja una recta numérica de $7.4$ a $7.5$ , graduada en centésimas, y sitúa en ella $7.42$ , $7.45$ y $7.48$ . Enumera *todos* los números de dos cifras decimales que están estrictamente entre $7.4$ y $7.5$ . ¿Cuántos son? 3. amplía otra vez: entre $7.44$ y $7.45$ , enumera todos los números de tres cifras decimales. ¿Cuántos son esta vez? 4. con la misma idea, explica cómo contar los números de exactamente tres cifras decimales que están estrictamente entre $7.4$ y $7.5$ , y da ese recuento; 5. describe la receta que se esconde detrás de las preguntas 2–4 (la *ampliación* ): dados dos números que parecen vecinos, como $5.67$ y $5.68$ , ¿por qué escribir una cifra decimal más revela siempre un número estrictamente entre ellos? Aplica tu receta a $5.67$ y $5.68$ , y después a $0.1999$ y $0.2$ . **Parte II — El vecino que falta.** 6. Tomás afirma: «el número justo después del $3$ es $3.1$ ». Demuestra que se equivoca nombrando un número estrictamente entre $3$ y $3.1$ . Tomás se repliega a $3.01$ y luego a $3.001$ . Vence a cada uno de sus candidatos; 7. explica por qué *nadie* puede ganarte a este juego: sea cual sea el número estrictamente mayor que $3$ que proponga Tomás, la receta de ampliación de la pregunta 5 produce un número estrictamente entre $3$ y su propuesta. ¿Qué demuestra esto sobre «el número justo después del $3$ »? 8. ahora el otro lado: Tomás busca el número justo *antes* del $3$ y prueba $2.9$ , luego $2.99$ y luego $2.999$ . Vence a sus tres candidatos. Después calcula $3 - 2.999$ y describe (sin calcular en columna) la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) entre $3$ y el número escrito con un $2$ , un punto y veinte cifras $9$ ; 9. ¿por qué nada de esto funciona con los números *enteros* ? Explica en una o dos frases por qué no hay ningún número entero estrictamente entre $7$ y $8$ , aunque haya muchísimos [números decimales](#def-g6-decimals-places) ahí; 10. una longitud se anuncia como « $3.7$ cm, redondeada a la décima» ( [Definición 38.9](#def-g6-decimals-rounding) ). Da la longitud más pequeña que redondea a $3.7$ cm y explica por qué una longitud de $3.75$ cm *no* redondea a $3.7$ — de modo que la longitud verdadera es al menos $3.65$ cm y estrictamente menor que $3.75$ cm. **Parte III — Juegos con cifras y puntos.** 11. ordena de menor a mayor: $0.6$ ; $0.58$ ; $0.123$ ; $0.0999$ . Después explica a un compañero, en una frase, por qué $0.0999 < 0.6$ aunque esté escrito con más cifras ( [Método 38.3](#met-g6-decimals-compare) ); 12. los precios de una tienda tienen siempre exactamente dos cifras decimales. ¿Hay algún *precio* estrictamente entre $4.99$ y $5$ ? Compara con la pregunta 9: ¿qué tienen en común los precios y los números enteros? 13. usando cada una de las cifras $2$ , $5$ y $8$ exactamente una vez y un [punto decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/25-decimas-y-centesimas#def-g4-decimals-point) (con la parte entera no vacía, como en el [Ejercicio 38.12](#exo-g6-decimals-12) ), halla el número más cercano a $6$ . Justifícalo calculando la distancia de tus mejores candidatos a $6$ ; 14. el número más famoso de las matemáticas, $\pi$ , cumple $3.141 < \pi < 3.142$ . Nombra un [número decimal](#def-g6-decimals-places) estrictamente comprendido entre $3.141$ y $3.142$ ; después uno estrictamente entre $3.1415$ y $3.1416$ . (Los matemáticos acorralan $\pi$ exactamente así — cada cifra decimal nueva es una ampliación más. Verás $\pi$ en acción en el [Capítulo 43](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#ch-g6-measure) .) 15. el final: explica por qué hay *más [números decimales](#def-g6-decimals-places) entre $0$ y $1$ que cualquier número que puedas nombrar* . (¿Cuántos produce una ampliación? ¿Puede la ampliación detenerse alguna vez?) **Solución de Problema 38.1.** **1.** $3$ es mayor: completando, $3.000 > 2.999$. La [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) es $3.000 - 2.999 = 0.001$, una milésima. **2.** Estrictamente entre $7.4 = 7.40$ y $7.5 = 7.50$ están $$ 7.41,\ 7.42,\ 7.43,\ 7.44,\ 7.45,\ 7.46,\ 7.47,\ 7.48,\ 7.49 : $$ nueve números, uno por cada marca nueva de la graduación. **3.** El mismo dibujo, diez veces más pequeño: entre $7.440$ y $7.450$ están $7.441, 7.442, \dots, 7.449$ — otra vez nueve números. **4.** Entre $7.400$ y $7.500$, los números de tres cifras decimales son $7.401, 7.402, \dots, 7.499$: todas las milésimas de $401$ a $499$, es decir, $99$ números. **5.** La receta de la ampliación: escribe los dos números con el mismo número de cifras decimales y después *añade una cifra decimal más* — el número menor seguido de una cifra del $1$ al $9$ cae estrictamente entre los dos. En efecto, $5.67 = 5.670$ y $5.68 = 5.680$, and $$ 5.670 < 5.675 < 5.680 ; $$ y, del mismo modo, $0.1999 = 0.19990 < 0.19995 < 0.20000 = 0.2$. Entre dos marcas vecinas de la graduación siempre hay todo un nivel nuevo de nueve marcas más finas. **6.** $3 < 3.05 < 3.1$; luego $3 < 3.005 < 3.01$; luego $3 < 3.0005 < 3.001$. Cada candidato queda vencido por una ampliación más. **7.** Sea cual sea el número que proponga Tomás — llamémoslo su candidato, estrictamente mayor que $3$ —, la pregunta 5 produce un número estrictamente entre $3$ y el candidato. Así que el candidato *no* era el número más cercano a $3$: existe otro aún más cerca. Como esto le pasa a todos los candidatos sin excepción, ningún número puede ser «el número justo después del $3$»: sencillamente no existe. **8.** $2.9 < 2.95 < 3$, $2.99 < 2.995 < 3$, $2.999 < 2.9995 < 3$. Y $3 - 2.999 = 0.001$. Con veinte nueves, la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) es un [punto decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/25-decimas-y-centesimas#def-g4-decimals-point) seguido de diecinueve [ceros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) y un $1$ — una unidad en el vigésimo lugar decimal: diminuta, pero no [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero). Por muchos nueves que escriba Tomás, nunca llega a $3$. **9.** Los números enteros suben de $1$ en $1$: mayor que $7$ y menor que $8$ significaría un número entero de unidades estrictamente entre $7$ y $8$ unidades, y no lo hay. La ampliación escapa de esto solo escribiendo cifras *después del punto* — justamente lo que los números enteros no tienen. **10.** La longitud más pequeña que redondea a $3.7$ es $3.65$ cm: su cifra siguiente es $5$, que redondea *hacia arriba* ([Definición 38.9](#def-g6-decimals-rounding)). Y $3.75$ redondea a $3.8$ por la misma razón. Así que «$3.7$ cm a la décima más cercana» significa: al menos $3.65$ cm y estrictamente menos de $3.75$ cm — todo un tramo ampliado de longitudes verdaderas posibles se esconde detrás de un solo valor redondeado. **11.** $0.0999 < 0.123 < 0.58 < 0.6$. En una frase: comparando cifra a cifra desde la izquierda, $0.0999$ tiene $0$ décimas mientras que $0.6$ tiene $6$, y ahí queda decidida la comparación — el número de cifras escritas no dice nada sobre el tamaño ([Método 38.3](#met-g6-decimals-compare)). **12.** No: en céntimos, $4.99$ euros son $499$ céntimos y $5$ euros son $500$ céntimos — números *enteros* consecutivos, sin nada en medio. Los precios, al tener exactamente dos cifras decimales, son en realidad números enteros de céntimos disfrazados: como los números enteros de la pregunta 9, sí tienen vecinos de al lado. La ampliación sin fin necesita el derecho a escribir cada vez más cifras decimales. **13.** Los candidatos cercanos a $6$ son $5.82$ y $8.25$ (un número que empiece por $2$, o por $58$, $25$, $82$ u $85$, queda lejos de $6$). Distancias: $6 - 5.82 = 0.18$ y $8.25 - 6 = 2.25$. El más cercano es $5.82$. **14.** Por ejemplo, $3.1415$, ya que $3.1410 < 3.1415 < 3.1420$; después $3.14159$, ya que $3.14150 < 3.14159 < 3.14160$. (Los dos son pasos reales de la caza auténtica de $\pi = 3.14159\dots$) **15.** Supón que alguien nombra un número, tan grande como quiera. Una ampliación convierte cada [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de marcas vecinas entre $0$ y $1$ en nueve números nuevos, y la ampliación se puede repetir indefinidamente — las preguntas 2, 3 y 4 eran solo los dos primeros niveles. Repitiéndola las veces suficientes se producen más [números decimales](#def-g6-decimals-places) entre $0$ y $1$ que el número nombrado. Así que ningún número basta para contarlos: hay infinitos.