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title: "Fracciones: primeros pasos"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 39
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos
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# Capítulo 39 — Fracciones: primeros pasos

Repartir tres pizzas a partes iguales entre cuatro personas da a cada una … un número no entero de pizzas. Las fracciones son los números inventados para repartir. Este capítulo construye la imagen: una [fracción](#def-g6-fractions-def) como parte de un todo, como punto de la recta numérica y como resultado exacto de una división.

## 39.1 Qué significa una fracción

**Definición 39.1 (Fracción).**

Corta una unidad en $b$ partes iguales y toma $a$ de ellas: la cantidad obtenida es la *fracción*

$$
\frac{a}{b}
\qquad
\begin{array}{l}
a \text{: el \emph{numerador} --- cuántas partes tomamos;}\\
b \text{: el \emph{denominador} --- en cuántas partes se corta la unidad.}
\end{array}
$$

![Dos fracciones de la misma barra. El denominador dice lo fino que es el corte y el numerador, cuánto tomamos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-fractions/fig-b678d6969678.svg)

*Dos fracciones de la misma barra. El [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) dice lo fino que es el corte y el [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def), cuánto tomamos.*

**Ejemplo 39.2.**

Una [fracción](#def-g6-fractions-def) puede ser mayor que $1$: $\frac74$ significa siete [cuartos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) — una unidad entera (cuatro [cuartos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half)) y tres [cuartos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) más:

$$
\frac74 = 1 + \frac34 .
$$

**Proposición 39.3 (Las fracciones en la recta numérica).**

Para situar $\frac ab$ en la recta numérica, corta cada intervalo unidad en $b$ partes iguales y cuenta $a$ partes desde $0$.

![La recta graduada en cuartos: 3/4 está antes del 1, 7/4 está entre 1 y 2, y 22/4 = 5 + 2/4 está a mitad de camino entre 5 y 6.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-fractions/fig-b24e42c46fdc.svg)

*La recta graduada en [cuartos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half): $\frac34$ está antes del $1$, $\frac74$ está entre $1$ y $2$, y $\frac{22}{4} = 5 + \frac24$ está a [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de camino entre $5$ y $6$.*

**Teorema 39.4 (Una fracción es una división).**

La [fracción](#def-g6-fractions-def) $\frac ab$ es el número que, multiplicado por $b$, da $a$:

$$
\frac ab \times b = a .
$$

Dicho de otro modo, $\frac ab$ es el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) exacto de $a$ entre $b$ — incluso cuando la división «no es exacta».

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 39.5.**

Tres pizzas para cuatro personas: cada una recibe $\frac34$ de pizza. Comprobación con el teorema: $4$ partes de $\frac34$ hacen $\frac34 \times 4 = 3$ pizzas. Algunas fracciones son [números decimales](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/38-los-numeros-decimales#def-g6-decimals-places) ($\frac34 = 0.75$) y otras no: $\frac13 = 0.333\dots$ no se acaba nunca. La [fracción](#def-g6-fractions-def) es el valor *exacto*; $0.33$ es solo una aproximación.

## 39.2 Fracciones iguales

**Proposición 39.6 (Fracciones equivalentes).**

Una [fracción](#def-g6-fractions-def) no cambia cuando su [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) y su [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) se multiplican (o se dividen) por un mismo número distinto de [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero):

$$
\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .
$$

**Idea de la demostración.** Cortar cada parte del reparto en $k$ trozos más pequeños multiplica por $k$ tanto el número de trozos tomados como el número total de trozos, pero la cantidad tomada es la misma. Un dibujo lo dice mejor: ∎

![2/3 = 4/6: cortar cada tercio en dos duplica los recuentos, arriba y abajo, sin cambiar la parte sombreada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-fractions/fig-1cfba25eec39.svg)

*$\frac23 = \frac46$: cortar cada tercio en dos duplica los recuentos, arriba y abajo, sin cambiar la parte sombreada.*

**Método 39.7 (Simplificar una fracción).**

Busca un número que divida al [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) *y* al [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def), y divide los dos. Repite hasta que no quede ningún [divisor](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) común:

$$
\frac{12}{18} = \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9}
= \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}.
$$

## 39.3 Tomar una fracción de una cantidad

**Método 39.8 (Fracción de una cantidad).**

Para calcular $\frac ab$ de una cantidad, divide la cantidad entre $b$ (una parte) y después multiplica por $a$ (el número de partes):

$$
\frac ab \text{ de } Q = (Q \div b) \times a .
$$

(Multiplicar primero por $a$ y dividir después entre $b$ da el mismo resultado — elige el orden que deje los números más cómodos.)

**Ejemplo 39.9.**

Calcula $\frac35$ de $40$ euros, paso a paso:

1. un quinto de $40$ : $40 \div 5 = 8$ ;
2. tres quintos: $8 \times 3 = 24$ .

Así, $\frac35$ de $40$ euros son $24$ euros. Comprobación: los $\frac25$ restantes son $16$ euros, y $24 + 16 = 40$.

## 39.4 Ejercicios

**Ejercicio 39.1 ★.**

Para cada descripción, escribe la [fracción](#def-g6-fractions-def): una tarta cortada en $8$ porciones, $3$ comidas; una tableta de chocolate de $12$ onzas, $7$ comidas; un pastel cortado en $6$, las $6$ porciones comidas.

**Solución de Ejercicio 39.1.**

Tarta: se han comido $\frac38$. Chocolate: $\frac{7}{12}$. Pastel: $\frac66 = 1$ (el pastel entero).

**Ejercicio 39.2 ★.**

Dibuja una barra cortada en $5$ partes iguales y colorea $\frac45$. ¿Es $\frac45$ menor o mayor que $1$? ¿Y $\frac65$?

**Solución de Ejercicio 39.2.**

Se colorean cuatro partes de cinco. $\frac45 < 1$ (cuatro partes de cinco es menos que la barra entera); $\frac65 > 1$ (seis quintos son una barra entera y un quinto más).

**Ejercicio 39.3 ★.**

Sitúa en una recta numérica graduada en tercios: $\frac13$; $\frac53$; $2$; $\frac73$. ¿Cuáles dos de estos números están a la misma distancia de $2$?

**Solución de Ejercicio 39.3.**

En la recta graduada en tercios: $\frac13$ está una marca después del $0$; $\frac53$ está una marca antes del $2$ (ya que $2 = \frac63$); $\frac73$ está una marca después del $2$. Así que $\frac53$ y $\frac73$ están los dos a distancia $\frac13$ del $2$.

**Ejercicio 39.4 ★.**

Escribe cada [fracción](#def-g6-fractions-def) como un número entero más una [fracción](#def-g6-fractions-def) menor que $1$ (como en $\frac74 = 1 + \frac34$):

$$
\frac{9}{4}, \qquad \frac{13}{5}, \qquad \frac{12}{6}, \qquad
\frac{25}{8} .
$$

**Solución de Ejercicio 39.4.**

$\frac94 = 2 + \frac14$; $\frac{13}{5} = 2 + \frac35$; $\frac{12}{6} = 2$ (exactamente); $\frac{25}{8} = 3 + \frac18$.

**Ejercicio 39.5 ★.**

Completa para que las fracciones sean iguales:

$$
\frac{2}{3} = \frac{?}{12}, \qquad
\frac{15}{20} = \frac{3}{?}, \qquad
\frac{7}{10} = \frac{21}{?}, \qquad
\frac{?}{6} = \frac{10}{12}.
$$

**Solución de Ejercicio 39.5.**

$\frac23 = \frac{8}{12}$ (multiplica por $4$); $\frac{15}{20} = \frac34$ (divide entre $5$); $\frac{7}{10} = \frac{21}{30}$ (multiplica por $3$); $\frac56 = \frac{10}{12}$ (divide entre $2$).

**Ejercicio 39.6 ★.**

Simplifica todo lo posible: $\dfrac{6}{8}$; $\dfrac{15}{25}$; $\dfrac{18}{24}$; $\dfrac{35}{7}$.

**Solución de Ejercicio 39.6.**

$\frac68 = \frac34$; $\frac{15}{25} = \frac35$; $\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac34$; $\frac{35}{7} = 5$ (un número entero).

**Ejercicio 39.7 ★.**

Calcula: $\frac12$ de $86$; $\frac34$ de $60$; $\frac25$ de $35$; $\frac{7}{10}$ de $250$.

**Solución de Ejercicio 39.7.**

$\frac12$ de $86$: $86 \div 2 = 43$.

$\frac34$ de $60$: $60 \div 4 = 15$, después $15 \times 3 = 45$.

$\frac25$ de $35$: $35 \div 5 = 7$, después $7 \times 2 = 14$.

$\frac{7}{10}$ de $250$: $250 \div 10 = 25$, después $25 \times 7 = 175$.

**Ejercicio 39.8 ★.**

¿Cuál es mayor: $\frac12$ o $\frac13$ (de la misma tarta)? ¿$\frac25$ o $\frac35$? ¿$\frac34$ o $\frac78$ (escribe las dos con [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $8$)?

**Solución de Ejercicio 39.8.**

$\frac12 > \frac13$: los medios son partes mayores que los tercios. $\frac35 > \frac25$: las mismas partes, pero más. $\frac34 = \frac68 < \frac78$: siete octavos ganan a seis octavos.

**Ejercicio 39.9 ★★.**

Da el valor decimal de las fracciones que lo tengan y di cuál [fracción](#def-g6-fractions-def) no lo tiene: $\frac12$; $\frac34$; $\frac13$; $\frac{7}{10}$; $\frac{9}{4}$.

**Solución de Ejercicio 39.9.**

$\frac12 = 0.5$; $\frac34 = 0.75$; $\frac{7}{10} = 0.7$; $\frac94 = 2.25$. La que no encaja es $\frac13 = 0.333\dots$, cuya escritura decimal no termina nunca: no es un [número decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/38-los-numeros-decimales#def-g6-decimals-places).

**Ejercicio 39.10 ★★.**

Una clase tiene $28$ alumnos. Tres [cuartos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de ellos vienen al colegio en autobús y el resto vienen andando. ¿Cuántos alumnos vienen andando? Resuelve paso a paso y comprueba que los dos grupos suman $28$.

**Solución de Ejercicio 39.10.**

En autobús: $\frac34$ de $28$: $28 \div 4 = 7$, después $7 \times 3 = 21$ alumnos. Andando: $28 - 21 = 7$ alumnos (que son el [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) restante: $28 \div 4 = 7$). Comprobación: $21 + 7 = 28$.

**Ejercicio 39.11 ★★.**

Leo se gastó $\frac23$ de sus ahorros en un juego que costaba $18$ euros. ¿Cuánto dinero tenía Leo antes? (Un tercio de sus ahorros es la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de $18$ … piensa por qué, o halla primero el tamaño de una parte.)

**Solución de Ejercicio 39.11.**

Dos tercios de los ahorros son $18$ euros, así que *un* tercio son $18 \div 2 = 9$ euros, y los ahorros enteros (tres tercios) eran $9 \times 3 = 27$ euros. Comprobación: $\frac23$ de $27$ es $18$.

**Ejercicio 39.12 ★★★.**

Un depósito está lleno hasta $\frac58$ de su [capacidad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/12-dinero-y-medidas#def-g2-measure-units). Después de usar $10$ litros, está lleno hasta la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half). ¿Cuál es la [capacidad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/12-dinero-y-medidas#def-g2-measure-units) del depósito? (¿Qué [fracción](#def-g6-fractions-def) del depósito representan los $10$ litros?)

**Solución de Ejercicio 39.12.**

El agua usada pasó de $\frac58$ a $\frac48$ (la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) son cuatro octavos) del depósito: los $10$ litros representan $\frac58 - \frac48 = \frac18$ de la [capacidad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/12-dinero-y-medidas#def-g2-measure-units). Así que el depósito lleno contiene $10 \times 8 = 80$ litros. Comprobación: $\frac58$ de $80$ es $50$, menos $10$ quedan $40$, que es en efecto la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de $80$.

## 39.5 Problema: La tableta de chocolate que nunca se acaba

**Problema 39.1.**

Problema de fin de semana — mitades de mitades: la suma $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots$ se acerca a $1$ sin llegar nunca a tocarlo

Coge una tableta de chocolate. Cómete la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half). Después cómete la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de *lo que queda*. Después otra vez la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de lo que queda, y así sucesivamente. Dos cosas parecen ciertas a la vez: nunca terminas la tableta (siempre queda algo) y, sin embargo, te la comes casi entera. Este problema convierte las dos sensaciones en afirmaciones exactas sobre fracciones — y se cruza, por el camino, con un corredor de la antigua Grecia y con un reparto resuelto enteramente con un cuchillo que solo corta por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half).

**Parte I — [Mitades](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de [mitades](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half).** La tableta es un rectángulo de $16$ onzas iguales.

1. primer bocado: te comes la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la tableta. ¿Cuántas onzas son? Escribe el bocado como [fracción](#def-g6-fractions-def) de la tableta de dos maneras, con [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $2$ y con [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $16$ ( [Proposición 39.6](#prop-g6-fractions-equal) ).
2. segundo bocado: la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de lo que queda. ¿Cuántas onzas? Muestra, con el dibujo o con fracciones equivalentes, que este bocado es $\frac14$ de la tableta entera: *la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de una [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) es un [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half)* ;
3. tercer y [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) bocados, con la misma regla: da cada uno en onzas y como [fracción](#def-g6-fractions-def) de la tableta. ¿Qué le pasa al [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) de un bocado al siguiente?
4. después de los cuatro bocados, ¿cuántas onzas te has comido en total? ¿Qué [fracción](#def-g6-fractions-def) de la tableta es y qué [fracción](#def-g6-fractions-def) queda?
5. la pregunta 4 dice, escrito en dieciseisavos: $$\frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16}  = \frac{15}{16},  \qquad\text{es decir}\qquad  \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}  = \frac{15}{16} .$$ Comprueba cada una de las cuatro reescrituras ($\frac12 = \frac{8}{16}$, y así con las demás).

**Parte II — La escalera hacia $1$.** Para seguir mordiendo, imagina una tableta más fina de $64$ onzas.

6. enumera los tamaños de los seis primeros bocados, en onzas ( $32$ , después …), y comprueba que después del sexto bocado queda exactamente una onza. ¿Qué [fracción](#def-g6-fractions-def) de la tableta queda?
7. después de cada bocado, ¿qué [fracción](#def-g6-fractions-def) de la tableta queda? Escribe la lista ( $\frac12$ , $\frac14$ , …) hasta el sexto bocado y describe el patrón. Si un cuchillo imaginario pudiera partir por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) incluso la última onza, ¿qué quedaría después de un séptimo bocado?
8. explica por qué el total comido *nunca* puede llegar a $1$ , por muchos bocados que se den. (Compara con los veinte nueves del [Problema 38.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/38-los-numeros-decimales#pb-g6-decimals-1) : ¿es la misma historia?)
9. y, sin embargo, el total supera cualquier objetivo por debajo de $1$ . Un amigo te reta a comerte más de $\frac{99}{100}$ de la tableta. ¿Cuál es menor, $\frac{1}{128}$ o $\frac{1}{100}$ , y después de qué bocado queda ganado el reto?
10. en una recta numérica de $0$ a $1$ graduada en dieciseisavos, sitúa los totales comidos después de cada uno de los cuatro primeros bocados: $\frac12$ , $\frac34$ , $\frac78$ , $\frac{15}{16}$ . ¿Dónde cae cada total nuevo respecto del anterior y respecto de $1$ ?

**Parte III — El corredor de Zenón y un cuchillo que solo parte por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half).**

11. hace veinticuatro siglos, el filósofo griego Zenón contó esta historia: para llegar a un muro, un corredor tiene que recorrer primero la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la distancia, luego la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de lo que queda, luego otra vez la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de lo que queda … «¡así que el corredor no llega nunca al muro!». Usando las preguntas 8 y 9, di qué hay de *cierto* en la historia de Zenón y dónde está la trampa. (¿De verdad necesita el corredor una eternidad para dar todos esos pasos?)
12. el problema del reparto: reparte $15$ tabletas de chocolate iguales entre $16$ niños a partes iguales, usando solo cortes por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) (de una tableta, de media tableta, de un [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de tableta …). Describe cómo cortar: cuántas tabletas se cortan por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) , cuántas en [cuartos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) , en octavos y en dieciseisavos, de modo que cada niño reciba un trozo de cada tamaño;
13. comprueba tu reparto: escribe la parte de cada niño como [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de fracciones, calcúlala en dieciseisavos y verifica que las $16$ partes juntas gastan exactamente las $15$ tabletas;
14. en la clase de al lado, $7$ tabletas se reparten a partes iguales entre $8$ niños. ¿Qué niño recibe más chocolate: uno de los $16$ o uno de los $8$ ? (Escribe las dos partes con [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $16$ , [Ejercicio 39.8](#exo-g6-fractions-8) .)
15. el final: un amigo afirma que con *infinitos* bocados uno se comería *exactamente* la tableta entera. Dibuja un cuadrado y sombrea dentro los bocados: la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del cuadrado, después un [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) , después un octavo … ¿Qué observas en la esquina sin sombrear? Enuncia con cuidado los dos hechos ciertos de todo este problema: qué queda después de cualquier número finito de bocados y cuán pequeño se vuelve ese [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) . (Qué significa exactamente una « [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) infinita» es una historia para el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-volume) de secundaria superior.)

**Solución de Problema 39.1.**

**1.** La [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de $16$ onzas son $8$ onzas. Como [fracción](#def-g6-fractions-def): $\frac12$ de la tableta y, como cada [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) son $8$ onzas de $16$, también $\frac{8}{16}$ — la misma [fracción](#def-g6-fractions-def) escrita de dos maneras ([Proposición 39.6](#prop-g6-fractions-equal)).

**2.** La [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de las $8$ onzas restantes son $4$ onzas, que son $\frac{4}{16}$ de la tableta. Simplificando entre $4$: $\frac{4}{16} = \frac14$. En el dibujo: cortar en dos la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) restante produce dos [cuartos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la tableta original — la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de una [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) es un [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half).

**3.** Tercer bocado: la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de $4$ onzas son $2$ onzas, es decir, $\frac{2}{16} = \frac18$ de la tableta. [Cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) bocado: $1$ onza, es decir, $\frac{1}{16}$. De un bocado al siguiente, el [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) se *duplica*: $2$, $4$, $8$, $16$.

**4.** Comido: $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ onzas de $16$, es decir, $\frac{15}{16}$ de la tableta. Queda: $1$ onza, $\frac{1}{16}$.

**5.** $\frac12 = \frac{8}{16}$ (multiplica arriba y abajo por $8$), $\frac14 = \frac{4}{16}$ (por $4$), $\frac18 = \frac{2}{16}$ (por $2$) y $\frac{1}{16}$ se queda igual. Contando dieciseisavos: $8 + 4 + 2 + 1 = 15$, así que el total es $\frac{15}{16}$.

**6.** Bocados: $32$, $16$, $8$, $4$, $2$, $1$ onzas. Total comido: $32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63$ onzas, así que queda $1$ onza: $\frac{1}{64}$ de la tableta.

**7.** Después de cada bocado queda

$$
\frac12,\quad \frac14,\quad \frac18,\quad \frac{1}{16},\quad
\frac{1}{32},\quad \frac{1}{64} :
$$

el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) se parte por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) cada vez — su [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) se duplica. Un séptimo bocado imaginario dejaría $\frac{1}{128}$.

**8.** Cada bocado se come solo la *[mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half)* de lo que queda, así que la otra [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) sigue ahí: después de cualquier número de bocados, siempre queda algo. Por eso el total comido está siempre por debajo de $1$ — exactamente igual que los veinte nueves del [Problema 38.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/38-los-numeros-decimales#pb-g6-decimals-1), que se acercan cada vez más a $3$ sin llegar a él.

**9.** Las dos fracciones tienen [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $1$, y cortar en $128$ partes da partes más pequeñas que cortar en $100$: así que $\frac{1}{128} < \frac{1}{100}$. Después del séptimo bocado el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) es $\frac{1}{128}$, así que la parte comida supera $1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$: el reto queda ganado en el bocado siete.

**10.** En dieciseisavos, los totales son $\frac{8}{16}$, $\frac{12}{16}$, $\frac{14}{16}$, $\frac{15}{16}$. Cada total nuevo cae exactamente *a [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de camino* entre el total anterior y $1$: la escalera va partiendo por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) la distancia que le queda hasta $1$ sin llegar a pisarlo nunca.

**11.** Lo cierto: en cada etapa de la descripción de Zenón, queda en efecto algo de distancia (pregunta 8) — la lista de etapas no termina nunca. La trampa: las etapas se vuelven extremadamente cortas, en distancia *y* en tiempo de carrera; el corredor no dedica el mismo tiempo a cada etapa. Describir la carrera en infinitos trozos menguantes no hace interminable la carrera en sí: el corredor llega al muro, y la pregunta 9 muestra que la descripción rebasa cualquier punto anterior a él.

**12.** Corta $8$ tabletas por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half): $16$ medias tabletas. Corta $4$ tabletas en [cuartos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half): $16$ [cuartos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half). Corta $2$ tabletas en octavos: $16$ octavos. Corta la última tableta en dieciseisavos: $16$ trozos pequeños. Eso gasta $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ tabletas, y cada niño recibe un trozo de cada tamaño.

**13.** La parte de cada niño es

$$
\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
$$

de tableta (pregunta 5). Dieciséis partes así hacen $16 \times \frac{15}{16} = 15$ tabletas ([Teorema 39.4](#thm-g6-fractions-quotient)): exactamente lo que se cortó, sin que sobre nada — un reparto justo de $15$ tabletas entre $16$ niños, solo partiendo por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half).

**14.** Los vecinos reciben $\frac78$ de tableta cada uno. Con [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $16$: $\frac78 = \frac{14}{16}$, mientras que nuestros niños reciben $\frac{15}{16}$. Así que recibe más un niño de los $16$: $\frac{15}{16} > \frac{14}{16}$, un dieciseisavo de tableta más.

**15.** En el dibujo del cuadrado, cada bocado sombreado llena la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la esquina que sigue sin sombrear, y esa esquina va encogiendo: después de cada bocado mide la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) que antes, y no desaparece nunca. Los dos hechos ciertos: (i) después de cualquier número finito de bocados queda un [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) — el total comido está siempre estrictamente por debajo de $1$; (ii) ese [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) se vuelve más pequeño que cualquier [fracción](#def-g6-fractions-def) que se quiera nombrar ($\frac{1}{100}$, $\frac{1}{1000}$, …), si se muerde el tiempo suficiente. Dar a las palabras «la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) infinita vale $1$» su sentido exacto es tarea de los *límites*, en el [volumen](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-volume) de secundaria superior.