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title: "Triángulos y cuadriláteros"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 41
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros
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# Capítulo 41 — Triángulos y cuadriláteros

Los triángulos y los [cuadriláteros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) son las figuras básicas de la geometría. El objetivo de este capítulo es conocer sus familias especiales — [isósceles](#def-g6-shapes-triangles), [equiláteros](#def-g6-shapes-triangles), [triángulos rectángulos](#def-g6-shapes-triangles); rectángulos, [rombos](#def-g6-shapes-quadrilaterals), cuadrados — por sus *propiedades características* y saber construirlos con precisión con regla y compás.

## 41.1 Los triángulos

**Definición 41.1 (Triángulos especiales).**

Un triángulo $ABC$ tiene tres [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) y tres lados. Es:

- *isósceles* en $A$ cuando $AB = AC$ (dos lados iguales);
- *equilátero* cuando $AB = BC = CA$ (tres lados iguales);
- *rectángulo* en $A$ cuando el ángulo $\widehat{BAC}$ es un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) . El lado $[BC]$ , opuesto al [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) , se llama *hipotenusa* .

![Los tres triángulos especiales. Los trazos pequeños indican lados iguales; el cuadradito marca el ángulo recto.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-shapes/fig-d859da4e17f1.svg)

*Los tres triángulos especiales. Los trazos pequeños indican lados iguales; el cuadradito marca el [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle).*

**Método 41.2 (Construir un triángulo a partir de sus tres lados).**

Para construir $ABC$ con $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm y $BC = 3$ cm:

1. traza el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ de $5$ cm con la regla;
2. traza un arco de la circunferencia de centro $A$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm (todos los puntos a $4$ cm de $A$ );
3. traza un arco de la circunferencia de centro $B$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm;
4. el punto $C$ es donde se cortan los dos arcos; únelo con $A$ y $B$ .

![Construcción de un triángulo con el compás: el vértice C es el punto de corte de los dos arcos. (En el verás cuándo es posible una construcción así.)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-shapes/fig-df026e474b4b.svg)

*Construcción de un triángulo con el compás: el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $C$ es el punto de corte de los dos arcos. (En el [Capítulo 51](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/51-triangulos-y-angulos#ch-g7-triangles) verás cuándo es posible una construcción así.)*

## 41.2 Los cuadriláteros

**Definición 41.3 (Cuadriláteros especiales).**

Un [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) tiene cuatro [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) y cuatro lados. Es un:

- *rectángulo* cuando sus cuatro ángulos son rectos;
- *rombo* cuando sus cuatro lados tienen la misma longitud;
- *cuadrado* cuando es las dos cosas: cuatro [ángulos rectos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) *y* cuatro lados iguales.

**Proposición 41.4 (Propiedades de las diagonales).**

En estos [cuadriláteros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon), las dos diagonales se cortan en su punto medio común y, además:

- en un rectángulo, las diagonales tienen la *misma longitud* ;
- en un [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals) , las diagonales son *[perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp)* ;
- en un cuadrado, las dos cosas a la vez.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![Los tres cuadriláteros especiales con sus diagonales (en rojo). El cuadrado hereda las propiedades del rectángulo y las del rombo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-shapes/fig-bc31b00790bb.svg)

*Los tres [cuadriláteros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) especiales con sus diagonales (en rojo). El cuadrado hereda las propiedades del rectángulo y las del [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals).*

**Observación 41.5.**

Un cuadrado es automáticamente un rectángulo (tiene cuatro [ángulos rectos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle)) y automáticamente un [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals) (cuatro lados iguales). ¡Así que «rectángulo» no significa «que no es cuadrado»! En matemáticas, la figura más especial pertenece a la familia más general.

**Ejemplo 41.6 (Reconocer una figura por sus propiedades).**

Un [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) tiene cuatro lados de $4$ cm y un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle). ¿Qué es? Los cuatro lados iguales lo convierten en un [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals). En un [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals), los ángulos opuestos son iguales y los cuatro ángulos suman $360^\circ$; un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) obliga entonces a que los cuatro lo sean (se demostrará con los paralelogramos en el [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#ch-g7-central)). Así que la figura es un cuadrado.

**Método 41.7 (Programas de construcción).**

Un *programa de construcción* es una lista de instrucciones que cualquiera puede seguir para reproducir una figura exactamente. Escribe una instrucción por línea, nombra cada punto en cuanto se cree y usa solo: «traza el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) / la recta / la circunferencia…», «coloca el punto donde se cortan …». Prueba tu programa siguiéndolo al pie de la letra.

**Ejemplo 41.8.**

Programa para un cuadrado $ABCD$ de lado $4$ cm:

1. traza un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ con $AB = 4$ cm;
2. traza la perpendicular a $(AB)$ en $A$ ; sobre ella, coloca $D$ a $4$ cm de $A$ (elige un lado de la recta y quédate en él);
3. traza la perpendicular a $(AB)$ en $B$ ; sobre ella, coloca $C$ a $4$ cm de $B$ , del mismo lado que $D$ ;
4. une $C$ y $D$ .

Comprueba con la regla: $DC$ debería medir también $4$ cm.

## 41.3 Ejercicios

**Ejercicio 41.1 ★.**

Construye un triángulo $ABC$ con $AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm y $BC = 4$ cm, siguiendo el [Método 41.2](#met-g6-shapes-construct).

**Solución de Ejercicio 41.1.**

Sigue el método: [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ de $6$ cm, arco de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm con centro en $A$, arco de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm con centro en $B$; el punto de corte es $C$.

**Ejercicio 41.2 ★.**

Construye un [triángulo isósceles](#def-g6-shapes-triangles) $DEF$ con $DE = DF = 5$ cm y $EF = 3$ cm. ¿Qué dos ángulos de este triángulo parecen iguales? Mídelos para comprobarlo.

**Solución de Ejercicio 41.2.**

Base $[EF]$ de $3$ cm y después dos arcos de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm con centro en $E$ y en $F$; su cruce es $D$. Los dos ángulos de la base, $\widehat{DEF}$ y $\widehat{DFE}$, son iguales (unos $72.5^\circ$ cada uno) — por la simetría del [triángulo isósceles](#def-g6-shapes-triangles) ([Ejemplo 42.8](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/42-la-simetria-axial#ex-g6-symmetry-proves)).

**Ejercicio 41.3 ★.**

Construye un [triángulo equilátero](#def-g6-shapes-triangles) de lado $4$ cm usando solo regla y compás. Mide uno de sus ángulos.

**Solución de Ejercicio 41.3.**

[Segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) de $4$ cm y después dos arcos de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm con centro en sus extremos. Todos los ángulos miden $60^\circ$.

**Ejercicio 41.4 ★.**

Clasifica cada triángulo a partir de sus datos ([isósceles](#def-g6-shapes-triangles), [equilátero](#def-g6-shapes-triangles) o rectángulo — puede valer más de una respuesta): (a) lados $7$, $7$, $7$; (b) lados $5$, $5$, $8$; (c) ángulos $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$; (d) ángulos $60^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$.

**Solución de Ejercicio 41.4.**

(a) [equilátero](#def-g6-shapes-triangles) (y, por tanto, también [isósceles](#def-g6-shapes-triangles)). (b) [isósceles](#def-g6-shapes-triangles) ($5 = 5$). (c) rectángulo e [isósceles](#def-g6-shapes-triangles) (a dos ángulos iguales de $45^\circ$ se oponen dos lados iguales). (d) [equilátero](#def-g6-shapes-triangles) (tres ángulos iguales).

**Ejercicio 41.5 ★.**

En un [triángulo rectángulo](#def-g6-shapes-triangles), ¿qué lado es la hipotenusa? Dibuja un triángulo $MNP$ rectángulo en $N$ y nombra su hipotenusa. ¿Qué [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) no toca nunca la hipotenusa?

**Solución de Ejercicio 41.5.**

La hipotenusa es el lado opuesto al [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle), siempre el lado más largo. En $MNP$, rectángulo en $N$, la hipotenusa es $[MP]$: nunca toca el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) del [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle), $N$.

**Ejercicio 41.6 ★.**

¿Verdadero o falso? Justifica cada respuesta en una frase.

1. todo cuadrado es un rectángulo;
2. todo rectángulo es un cuadrado;
3. todo cuadrado es un [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals) ;
4. un [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals) con un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) es un cuadrado.

**Solución de Ejercicio 41.6.**

*1. Verdadero*: un cuadrado tiene cuatro [ángulos rectos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle), que es la definición de rectángulo.

*2. Falso*: un rectángulo de $5 \times 3$ tiene los lados desiguales.

*3. Verdadero*: un cuadrado tiene cuatro lados iguales, la definición de [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals).

*4. Verdadero*: véase el [Ejemplo 41.6](#ex-g6-shapes-recognize).

**Ejercicio 41.7 ★.**

Construye un rectángulo $ABCD$ con $AB = 5$ cm y $BC = 3$ cm. Mide sus dos diagonales: ¿qué observas?

**Solución de Ejercicio 41.7.**

Construcción con [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp), como en el [Ejemplo 41.8](#ex-g6-shapes-program). Las dos diagonales miden unos $5.8$ cm: las diagonales de un rectángulo tienen la misma longitud ([Proposición 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals)).

**Ejercicio 41.8 ★.**

Construye un [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals) con diagonales de $6$ cm y $4$ cm. (Usa la [Proposición 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals): traza primero las dos diagonales — [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) y cortándose en sus puntos medios — y une después los cuatro extremos.)

**Solución de Ejercicio 41.8.**

Traza un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) de $6$ cm; su punto medio $O$; la perpendicular en $O$; sobre ella, dos puntos a $2$ cm de $O$, uno a cada lado. Al unir los cuatro extremos sale el [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals) (los cuatro [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) están a distancias $3$ cm y $2$ cm de $O$ sobre [rectas perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp), así que los cuatro lados son iguales por simetría).

**Ejercicio 41.9 ★★.**

Escribe un programa de construcción para un [triángulo isósceles](#def-g6-shapes-triangles) de base $4$ cm y lados iguales de $6$ cm, al estilo del [Ejemplo 41.8](#ex-g6-shapes-program). Intercámbialo con un compañero: ¿puede seguirlo sin ver tu figura?

**Solución de Ejercicio 41.9.**

Un programa correcto: 1. traza un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[BC]$ con $BC = 4$ cm; 2. traza el arco de centro $B$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm por encima de $[BC]$; 3. traza el arco de centro $C$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm por encima de $[BC]$; 4. llama $A$ al punto de corte de los dos arcos; 5. traza los [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ y $[AC]$.

**Ejercicio 41.10 ★★.**

Traza una circunferencia de centro $O$ y uno de sus [diámetros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle) $[AB]$. Sitúa un punto cualquiera $M$ sobre la circunferencia y dibuja el triángulo $AMB$. Mide el ángulo $\widehat{AMB}$. Mueve $M$ y vuelve a medir. ¿Qué conjeturas? (Este hecho sorprendente se demuestra en el [Capítulo 60](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/60-el-triangulo-rectangulo-y-el-coseno#ch-g8-cosine).)

**Solución de Ejercicio 41.10.**

Sea cual sea la posición de $M$ sobre la circunferencia, el ángulo $\widehat{AMB}$ mide $90^\circ$: el triángulo $AMB$ es rectángulo en $M$ siempre que $[AB]$ sea un [diámetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-circle). La demostración espera al [Capítulo 60](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/60-el-triangulo-rectangulo-y-el-coseno#ch-g8-cosine).

**Ejercicio 41.11 ★★.**

Un [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) tiene las diagonales de la misma longitud y se cortan en su punto medio común. Averigua qué figura tiene que ser, usando la [Proposición 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals): ¿rectángulo, [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals) o cuadrado? (Cuidado: solo se da una propiedad.)

**Solución de Ejercicio 41.11.**

Diagonales que se cortan en su punto medio y tienen la misma longitud: esa es la lista de propiedades del *rectángulo* ([Proposición 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals)). Nada obliga a que las diagonales sean [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp), así que no tiene por qué ser un [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals) ni un cuadrado — un rectángulo es la respuesta correcta (un cuadrado también lo cumpliría, pero no está forzado).

**Ejercicio 41.12 ★★★.**

En una trama de $4 \times 4$ puntos, ¿cuántos cuadrados distintos puedes dibujar con los [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) en los puntos de la trama — contando también los cuadrados «inclinados»? Dibuja al menos un cuadrado inclinado y explica por qué sus lados son iguales.

**Solución de Ejercicio 41.12.**

Con $4 \times 4$ puntos hay $3 \times 3$ casillas. Cuadrados alineados con la trama: lados $1$, $2$ o $3$ dan $9 + 4 + 1 = 14$ cuadrados. También hay cuadrados inclinados: los pequeños, cuyos lados son diagonales de casillas de $1 \times 1$ (como $(1,0)$, $(2,1)$, $(1,2)$, $(0,1)$) — cuatro; y los mayores, cuyos lados son diagonales de rectángulos de $2 \times 1$, como $(1,0)$, $(3,1)$, $(2,3)$, $(0,2)$ — dos. Los cuatro lados de un cuadrado así son iguales porque son diagonales de rectángulos idénticos. Total: $14 + 4 + 2 = 20$ cuadrados. (Cualquier recuento con un ejemplo inclinado correcto y los $14$ alineados es un éxito a este nivel.)

## 41.4 Problema: Lo que saben las diagonales

**Problema 41.1.**

Problema de fin de semana — reconstruir cada cuadrilátero especial a partir únicamente de sus diagonales y contar las diagonales de un polígono cualquiera

La [Proposición 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals) lee una figura y te habla de sus diagonales. Este problema juega *al revés*: dados solo dos [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) que se cortan — las futuras diagonales —, ¿qué figura aparece al unir sus cuatro extremos? Construirás un «diccionario de diagonales» completo, entenderás *por qué* funciona la construcción del [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals) del [Ejercicio 41.8](#exo-g6-shapes-8), conocerás una figura que todavía no tiene nombre y terminarás contando las diagonales de [polígonos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) con muchos más de cuatro lados.

**Parte I — El diccionario de las diagonales.** Para cada pregunta, traza los dos [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) como se describe, une sus cuatro extremos en orden e identifica el [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) que obtienes.

1. dos [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) de $6$ cm cada uno, [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) , que se cortan en su punto medio común. Mide los cuatro lados y los cuatro ángulos de la figura resultante: ¿qué es?
2. dos [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) de $8$ cm y $5$ cm, [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) , que se cortan en su punto medio común. ¿Qué figura aparece ( [Ejercicio 41.8](#exo-g6-shapes-8) )?
3. dos [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) de $7$ cm cada uno — iguales pero *no* [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) — que se cortan en su punto medio común. Mide los lados y los ángulos: ¿qué conjeturas que es la figura?
4. dos [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) de $8$ cm y $5$ cm, no [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) , que se cortan en su punto medio común. La figura que sale no es ninguna de las tres de la [Definición 41.3](#def-g6-shapes-quadrilaterals) — describe lo que ves (¿qué lados parecen iguales? ¿paralelos?). Este [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) recibe su nombre en el [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#ch-g7-central) ;
5. resume las preguntas 1–4 en un diccionario de cuatro entradas: diagonales *iguales / [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) / las dos cosas / ninguna* (cortándose siempre en sus puntos medios) $\rightarrow$ nombre (o descripción) de la figura.

**Parte II — Por qué funcionan las construcciones.**

6. en la pregunta 2, las dos diagonales cortan la figura en cuatro [triángulos rectángulos](#def-g6-shapes-triangles) alrededor del punto de corte. ¿Cuáles son las longitudes de los dos catetos de cada uno de esos triángulos? Explica por qué los cuatro triángulos son copias exactas unos de otros y deduce por qué los cuatro lados de la figura son iguales — el secreto del [Ejercicio 41.8](#exo-g6-shapes-8) ;
7. deduce una comprobación solo con compás: después de construir una figura cualquiera a partir de sus diagonales, ¿cómo puedes comprobar solo con el compás (sin medir con la regla) que los cuatro lados son iguales?
8. escribe un programa de construcción ( [Método 41.7](#met-g6-shapes-program) ) para un cuadrado cuyas *diagonales* midan $6$ cm — no sus lados;
9. en el cuadrado de la pregunta 8, ¿es el lado más largo o más corto que $3$ cm, la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la diagonal? Mide para averiguarlo. Ya se puede *demostrar* la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la respuesta: ir de una esquina a la siguiente pasando por el centro es un rodeo de $3 + 3$ cm, y un camino recto es siempre más corto que un rodeo — así que el lado es menor que $6$ cm. (Demostrar que además supera los $3$ cm, y calcularlo exactamente, es tarea del [Capítulo 58](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#ch-g8-pythagoras) .)
10. una entrada nueva para el diccionario: traza un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[AC]$ de $8$ cm; sobre él, marca el punto $H$ a $3$ cm de $A$ ; traza por $H$ el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) perpendicular $[BD]$ de $5$ cm con $H$ como punto medio *suyo* . Une $ABCD$ . Esta figura es una *cometa* (una diagonal corta a la otra por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) y en [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) ). Usando los triángulos de las esquinas como en la pregunta 6, halla qué lados de una [cometa](#pb-g6-shapes-1) son iguales a cuáles.

**Parte III — Contar diagonales.** Una *diagonal* de un [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) une dos [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) que no son vecinos.

11. dibuja un [cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) , un [pentágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) (cinco [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) ) y un [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) (seis [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) ), y traza todas sus diagonales. Cuéntalas: ¿cuántas hay en cada caso?
12. contando sin dibujar, para el [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) : desde un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) , ¿cuántas diagonales salen? (¿Con cuántos de los seis [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) *no* se puede unir mediante una diagonal?) Multiplicar por los seis [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) cuenta cada diagonal exactamente dos veces — ¿por qué? Recupera tu recuento de la pregunta 11. (El mismo recuento doble apareció en los apretones de manos del [Problema 37.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#pb-g6-wholes-1) .)
13. usa el método de la pregunta 12 para contar las diagonales de un [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) de $10$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) y después de uno de $20$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) ;
14. un [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) tiene exactamente $44$ diagonales. ¿Cuántos [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) tiene? (Prueba el método de la pregunta 13 con unos cuantos candidatos.)
15. comprueba tu método con el [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) más pequeño de todos: ¿cuántas diagonales tiene un triángulo y qué responde el método de recuento de la pregunta 12? Termina con una frase sobre lo que tienen en común los apretones de manos y las diagonales.

**Solución de Problema 41.1.**

**1.** Los cuatro lados miden lo mismo (unos $4.2$ cm) y los cuatro ángulos son rectos: la figura es un *cuadrado*. (Las diagonales iguales dan los [ángulos rectos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle), como en el rectángulo; las [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) dan los lados iguales, como en el [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals); las dos cosas a la vez dan el cuadrado, la [Proposición 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals) leída al revés.)

**2.** Un *[rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals)*: cuatro lados iguales (unos $4.7$ cm), pero ningún [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) — exactamente la construcción del [Ejercicio 41.8](#exo-g6-shapes-8).

**3.** Los cuatro ángulos salen rectos, pero los lados salen de dos longitudes distintas: un *rectángulo* — es la situación del [Ejercicio 41.11](#exo-g6-shapes-11).

**4.** Ninguna igualdad de longitudes sobrevive a la medición y no aparece ningún [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle); pero los lados opuestos son iguales dos a dos y parecen paralelos. Es el «rectángulo inclinado» general, cuyas diagonales simplemente se cortan por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) — el *paralelogramo*, bautizado y estudiado en el [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#ch-g7-central).

**5.** Diagonales que se cortan en su punto medio común:

| diagonales… | figura |
| --- | --- |
| iguales y [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) | cuadrado |
| solo [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) | [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals) |
| solo iguales | rectángulo |
| ninguna de las dos cosas | el que aún no tiene nombre (véase el [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#ch-g7-central)) |

**6.** Cada triángulo de esquina tiene un cateto sobre cada diagonal: la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de $8$ cm y la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de $5$ cm, o sea, catetos de $4$ cm y $2.5$ cm, con un [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) entre ellos — los mismos datos para los cuatro. Los triángulos construidos con los mismos dos catetos y el [ángulo recto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-rightangle) entre ellos son copias exactas unos de otros (constrúyelos: las aberturas del compás son idénticas). Sus cuatro hipotenusas — los lados de la figura — son, por tanto, iguales: la figura es un [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals).

**7.** Abre el compás con la longitud de un lado y después recórrelo por la figura: si la punta y la mina caen exactamente en cada pareja de esquinas vecinas, los cuatro lados miden esa abertura. No hace falta regla.

**8.** Programa:

1. traza un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[AC]$ con $AC = 6$ cm y sitúa su punto medio $O$ (mide $3$ cm desde $A$ );
2. traza la perpendicular a $(AC)$ en $O$ ;
3. sobre ella, sitúa $B$ y $D$ a $3$ cm de $O$ , uno a cada lado;
4. une $A$ , $B$ , $C$ y $D$ .

Diagonales iguales ($6$ cm), [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) y que se cortan por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half): por el diccionario, $ABCD$ es un cuadrado.

**9.** Al medir salen unos $4.2$ cm: *más* que $3$ cm — la respuesta intuitiva «la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la diagonal» es falsa. La [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) demostrable: para ir de la esquina $A$ a la esquina siguiente $B$ se puede recorrer el lado $[AB]$ en línea recta o dar el rodeo $A \to O \to B$ por el centro, que cuesta $3 + 3 = 6$ cm; el lado recto es más corto, así que el lado mide menos de $6$ cm. Que además sea *más* de $3$ cm es lo que muestra la regla; el [Capítulo 58](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/58-el-teorema-de-pitagoras#ch-g8-pythagoras) lo demostrará y dará el valor exacto ($3$ cm multiplicado por la raíz cuadrada de $2$, unos $4.24$ cm).

**10.** Los cuatro triángulos de esquina en $H$ van ahora en *dos* parejas iguales: dos con catetos $3$ cm y $2.5$ cm (hipotenusas $[AB]$ y $[AD]$) y dos con catetos $5$ cm y $2.5$ cm (hipotenusas $[CB]$ y $[CD]$). Así que $AB = AD$ y $CB = CD$: una [cometa](#pb-g6-shapes-1) tiene dos parejas de lados *contiguos* iguales (el [rombo](#def-g6-shapes-quadrilaterals) es la [cometa](#pb-g6-shapes-1) especial en la que los cuatro coinciden).

**11.** [Cuadrilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon): $2$ diagonales. [Pentágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon): $5$. [Hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon): $9$.

**12.** Desde un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) del [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) salen diagonales hacia todos los [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) salvo él mismo y sus dos vecinos: $6 - 3 = 3$ diagonales. Los seis [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) lanzan $6 \times 3 = 18$ extremos de diagonal — pero cada diagonal se ha contado en *los dos* extremos, una vez desde cada uno, igual que un apretón de manos contado por los dos que se saludan ([Problema 37.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/37-los-numeros-enteros#pb-g6-wholes-1)). Recuento verdadero: $18 \div 2 = 9$. Coincide con el dibujo.

**13.** Diez [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def): $10 - 3 = 7$ desde cada uno, así que $10 \times 7 \div 2 = 35$ diagonales. Veinte [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def): $20 \times 17 \div 2 = 170$ diagonales.

**14.** Prueba con candidatos: $10$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) dan $35$ (pregunta 13); $11$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) dan $11 \times 8 \div 2 = 44$. Encontrado: el [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) tiene $11$ [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def).

**15.** Un triángulo no tiene ninguna diagonal: los «no vecinos» de cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) son … nadie, ya que los otros dos [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) son sus dos vecinos. El método coincide: $3 - 3 = 0$ desde cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def), total $0$. Los apretones de manos y las diagonales son el mismo recuento con ropa distinta: parejas elegidas en un grupo, cada pareja contada una vez — las matemáticas reciclan sus buenas ideas.