---
title: "La simetría axial"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 42
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/42-la-simetria-axial
---

# Capítulo 42 — La simetría axial

Dobla una hoja de papel por una recta: cada punto cae sobre otro punto, su imagen reflejada. Ese doblez es la *[simetría axial](#def-g6-symmetry-def)* (o reflexión), la primera transformación geométrica del libro — la segunda, la simetría central, llega en el [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#ch-g7-central).

## 42.1 Reflexiones

**Definición 42.1 (Punto simétrico).**

Sea $d$ una recta. El *simétrico* de un punto $M$ respecto de $d$ es el punto $M'$ tal que $d$ es la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[MM']$: el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[MM']$ es perpendicular a $d$ y $d$ lo corta en su punto medio. Un punto que está *sobre* $d$ es su propio simétrico.

![Reflejar respecto de la recta d: el eje es perpendicular a (MM') y pasa por su punto medio (trazos iguales). Un punto P situado sobre el eje no se mueve.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-symmetry/fig-c8d65390f364.svg)

*Reflejar respecto de la recta $d$: el eje es perpendicular a $[MM']$ y pasa por su punto medio (trazos iguales). Un punto $P$ situado sobre el eje no se mueve.*

**Método 42.2 (Construir el punto simétrico).**

Para construir el [simétrico](#def-g6-symmetry-def) $M'$ de $M$ respecto de la recta $d$:

1. traza la perpendicular a $d$ por $M$ (con la escuadra); llama $H$ al punto donde corta a $d$ ;
2. mide $MH$ con el compás o con la regla;
3. coloca $M'$ sobre esa misma perpendicular, al otro lado de $d$ , con $HM' = MH$ .

En papel cuadriculado es más rápido: cuenta las casillas de $M$ al eje y cuenta las mismas al otro lado.

**Ejemplo 42.3 (En la cuadrícula).**

Si el eje es una línea vertical de la cuadrícula y $M$ está $3$ casillas a su izquierda, entonces $M'$ está $3$ casillas a su derecha, en la misma fila. Con un eje diagonal, el recuento se hace por diagonales — siempre [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) al eje.

![Una figura y su reflexión respecto del eje vertical: cada vértice se refleja casilla a casilla y se intercambian izquierda y derecha.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-symmetry/fig-21cfcf212587.svg)

*Una figura y su reflexión respecto del eje vertical: cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) se refleja casilla a casilla y se intercambian izquierda y derecha.*

**Proposición 42.4 (Qué conserva una reflexión).**

El [simétrico](#def-g6-symmetry-def) de una figura respecto de una recta es una figura de la *misma forma y del mismo tamaño*: se conservan longitudes, ángulos, [perímetros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter) y [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-area). El [simétrico](#def-g6-symmetry-def) de un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) es un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects); el de una circunferencia, una circunferencia del mismo [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes); el de una recta, una recta.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 42.5.**

Una cosa *no* se conserva: la orientación. Una «b» reflejada se convierte en una «d» — escritura en espejo. Si al calcar tu figura y darle la vuelta al papel de calco se reproduce la imagen, la reflexión es correcta.

## 42.2 Ejes de simetría de una figura

**Definición 42.6 (Eje de simetría).**

Una recta $d$ es un *eje de simetría* de una figura cuando la reflexión respecto de $d$ envía la figura exactamente sobre sí misma — doblar por $d$ hace que las dos [mitades](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) encajen.

![Ejes de simetría de figuras conocidas. Cuidado con el rectángulo: sus diagonales no son ejes de simetría (dobla por una diagonal — las mitades no encajan salvo que sea un cuadrado).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-symmetry/fig-ae4b0b4a110b.svg)

*[Ejes de simetría](#def-g6-symmetry-axis) de figuras conocidas. Cuidado con el rectángulo: sus diagonales *no* son [ejes de simetría](#def-g6-symmetry-axis) (dobla por una diagonal — las [mitades](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) no encajan salvo que sea un cuadrado).*

**Ejemplo 42.7.**

Recuento de [ejes de simetría](#def-g6-symmetry-axis):

- [triángulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) : $1$ (por el [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) superior y el punto medio de la base); [triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) : $3$ ;
- rectángulo: $2$ (las dos «rectas medias», *no* las diagonales); [rombo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-quadrilaterals) : $2$ (¡sus diagonales!); cuadrado: $4$ ;
- circunferencia: toda recta que pase por el centro — infinitos.

**Ejemplo 42.8 (La simetría demuestra igualdades).**

¿Por qué son iguales los dos ángulos de la base de un [triángulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles)? Dobla el triángulo por su [eje de simetría](#def-g6-symmetry-axis): la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) izquierda cae exactamente sobre la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) derecha, así que el ángulo izquierdo de la base cae sobre el derecho — tienen que medir lo mismo ([Proposición 42.4](#prop-g6-symmetry-preserved): las reflexiones conservan los ángulos).

## 42.3 La mediatriz

**Definición 42.9 (Mediatriz).**

La *mediatriz* de un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ es la recta perpendicular a $[AB]$ que pasa por su punto medio — es el [eje de simetría](#def-g6-symmetry-axis) que intercambia $A$ y $B$.

**Proposición 42.10 (Equidistancia).**

Un punto $M$ está en la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ exactamente cuando está a la misma distancia de $A$ y de $B$: $MA = MB$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Método 42.11 (Construcción con compás).**

Para trazar la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ sin medir:

1. abre el compás más de la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de $AB$ ;
2. traza dos arcos con centro en $A$ , por encima y por debajo del [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) ;
3. con la *misma* abertura, traza dos arcos con centro en $B$ ;
4. une los dos puntos de corte: esa recta es la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) (cada punto de corte equidista de $A$ y de $B$ ).

## 42.4 Ejercicios

**Ejercicio 42.1 ★.**

Copia en papel cuadriculado: un eje vertical $d$, un punto $A$ dos casillas a su izquierda y un punto $B$ cinco casillas a su izquierda y una casilla más arriba. Construye sus puntos [simétricos](#def-g6-symmetry-def) $A'$ y $B'$ respecto de $d$.

**Solución de Ejercicio 42.1.**

$A'$ está dos casillas a la *derecha* de $d$, en la misma fila que $A$; $B'$ está cinco casillas a la derecha y una casilla más arriba — posiciones especulares.

**Ejercicio 42.2 ★.**

Traza una recta $d$ y un punto $M$ a $3$ cm de $d$ (no en papel cuadriculado). Construye el [simétrico](#def-g6-symmetry-def) $M'$ de $M$ respecto de $d$ con escuadra y regla, siguiendo el [Método 42.2](#met-g6-symmetry-construct). ¿A qué distancia están $M$ y $M'$?

**Solución de Ejercicio 42.2.**

Perpendicular a $d$ por $M$, con pie $H$; después $M'$ al otro lado con $HM' = MH = 3$ cm. La distancia $MM'$ es $3 + 3 = 6$ cm.

**Ejercicio 42.3 ★.**

¿Qué letras mayúsculas del alfabeto, escritas en su forma más sencilla, tienen un [eje de simetría](#def-g6-symmetry-axis) vertical (como la A)? ¿Y uno horizontal (como la B)? ¿Y los dos?

**Solución de Ejercicio 42.3.**

Eje vertical (como la A): A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Eje horizontal (como la B): B, C, D, E, H, I, K, O, X. Los dos: H, I, O, X. (Las respuestas exactas dependen un poco de cómo se dibujen las letras.)

**Ejercicio 42.4 ★.**

¿Cuántos [ejes de simetría](#def-g6-symmetry-axis) tiene: un [triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles)? ¿Un rectángulo que no sea cuadrado? ¿Un [rombo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-quadrilaterals) que no sea cuadrado? ¿Un cuadrado? ¿Una circunferencia? Dibuja cada figura con sus ejes.

**Solución de Ejercicio 42.4.**

[Triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles): $3$ ejes. Rectángulo: $2$ (las mediatrices de sus lados). [Rombo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-quadrilaterals): $2$ (sus diagonales). Cuadrado: $4$. Circunferencia: infinitos (toda recta que pase por el centro).

**Ejercicio 42.5 ★.**

¿Verdadero o falso? «Las diagonales de un rectángulo son [ejes de simetría](#def-g6-symmetry-axis) del rectángulo.» Explícalo con un argumento de doblez o con un dibujo.

**Solución de Ejercicio 42.5.**

*Falso.* Doblar un rectángulo (no cuadrado) por una diagonal no hace que las dos [mitades](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) coincidan: los dos triángulos tienen la misma forma pero quedan colocados de otro modo — pruébalo con una hoja de papel. Solo en un cuadrado funcionan las diagonales como ejes.

**Ejercicio 42.6 ★.**

Un triángulo $ABC$ se refleja respecto de una recta $d$ y da $A'B'C'$. Sabiendo que $AB = 4$ cm, $\widehat{BAC} = 70^\circ$ y que el [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter) de $ABC$ es $12$ cm: di, sin hacer ninguna construcción, $A'B'$, $\widehat{B'A'C'}$ y el [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter) de $A'B'C'$.

**Solución de Ejercicio 42.6.**

Las reflexiones conservan longitudes, ángulos y [perímetros](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter) ([Proposición 42.4](#prop-g6-symmetry-preserved)): $A'B' = 4$ cm, $\widehat{B'A'C'} = 70^\circ$, [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/28-medidas-y-perimetro#def-g4-measure-perimeter) de $A'B'C' = 12$ cm.

**Ejercicio 42.7 ★.**

Traza un [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB]$ de $7$ cm y construye su [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) con el compás ([Método 42.11](#met-g6-symmetry-bisector)). Elige un punto cualquiera $M$ sobre ella y comprueba con la regla que $MA = MB$.

**Solución de Ejercicio 42.7.**

Construcción con compás como en el [Método 42.11](#met-g6-symmetry-bisector). Para cualquier $M$ de la recta, la regla confirma que $MA = MB$ ([Proposición 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)).

**Ejercicio 42.8 ★★.**

Dos árboles están en los puntos $A$ y $B$ de un jardín (llano). ¿Dónde se puede plantar una fuente para que esté a la misma distancia de los dos árboles? Describe *todos* los sitios posibles.

**Solución de Ejercicio 42.8.**

Todos los puntos que equidistan de $A$ y de $B$ forman la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ ([Proposición 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)). La fuente puede ir en cualquier punto de esa recta (dentro del jardín).

**Ejercicio 42.9 ★★.**

En papel cuadriculado, traza el eje $d$ (una diagonal de la cuadrícula a $45^\circ$) y una figurita en forma de L a un lado. Construye su figura simétrica respecto de $d$. (Refleja cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def): con un eje a $45^\circ$, un punto que está $2$ casillas a la derecha del eje cae $2$ casillas por encima de él.)

**Solución de Ejercicio 42.9.**

Cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) se refleja perpendicularmente al eje: con el eje a $45^\circ$, un punto que está $k$ casillas a la derecha del eje cae $k$ casillas por encima de él (y al revés) — los desplazamientos horizontales y verticales se intercambian. Refleja los [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) uno a uno y después únelos en orden.

**Ejercicio 42.10 ★★.**

Traza una circunferencia de centro $O$, una recta $d$ que pase por $O$ y un punto $M$ sobre la circunferencia. ¿Dónde está el [simétrico](#def-g6-symmetry-def) de $M$ respecto de $d$? Explica por qué la reflexión envía la circunferencia sobre sí misma.

**Solución de Ejercicio 42.10.**

El [simétrico](#def-g6-symmetry-def) de $M$ es el segundo corte de la circunferencia con la perpendicular a $d$ por $M$ — está sobre la circunferencia. Razón: la reflexión conserva las distancias y deja fijo $O$ (que está en $d$), así que la imagen de cualquier punto que esté a distancia $r$ de $O$ vuelve a estar a distancia $r$ de $O$: la circunferencia se transforma en sí misma.

**Ejercicio 42.11 ★★.**

Usando la propiedad de equidistancia ([Proposición 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)), explica por qué los dos puntos de corte de los arcos del [Método 42.11](#met-g6-symmetry-bisector) están realmente en la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$.

**Solución de Ejercicio 42.11.**

Cada punto de corte $P$ se trazó con la misma abertura de compás $\rho$ desde $A$ y desde $B$: así que $PA = \rho = PB$. Por la [Proposición 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector), un punto que equidista de $A$ y de $B$ está en la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$; dos puntos así determinan la recta.

**Ejercicio 42.12 ★★★.**

Una bola de billar en el punto $A$ tiene que rebotar en una banda recta $d$ y llegar al punto $B$ (los dos del mismo lado de la banda). Refleja $B$ respecto de $d$ y obtén $B'$, y traza el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB']$. Explica por qué el mejor punto de rebote es donde $[AB']$ corta a la banda. (Idea: el camino $A \to P \to B$ tiene la misma longitud que $A \to P \to B'$.)

**Solución de Ejercicio 42.12.**

Para cualquier punto de rebote $P$ de la banda, $PB = PB'$ (la reflexión respecto de $d$ conserva distancias), así que la longitud del camino es $AP + PB = AP + PB'$. La línea quebrada $A \to P \to B'$ es más corta cuando es recta, es decir, cuando $P$ está en el [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[AB']$. Así que el mejor punto de rebote es el corte de $[AB']$ con la banda.

## 42.5 Problema: La fuente, el plato roto y el espejo que camina

**Problema 42.1.**

Problema de fin de semana — las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto: la circunferencia que pasa por tres puntos y lo que hacen dos espejos juntos

En el [Ejercicio 42.8](#exo-g6-symmetry-8), una fuente tenía que estar a la misma distancia de *dos* árboles, y la respuesta era toda una recta de sitios. Este problema planta un *tercer* árbol — y toda la recta se reduce a un único punto perfectamente determinado. Ese punto esconde un tesoro de la geometría: permite trazar la única circunferencia que pasa por tres puntos dados, reconstruir un plato entero a partir de un fragmento, y pertenece a todo triángulo. La última parte hace un experimento con dos espejos cuyo resultado anuncia la geometría del año que viene.

**Parte I — Dos árboles y después un mapa de territorios.**

1. traza dos puntos $A$ y $B$ con $AB = 6$ cm y construye la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ con el compás ( [Método 42.11](#met-g6-symmetry-bisector) ). Elige un punto $M$ sobre ella y comprueba con la regla que $MA = MB$ ;
2. la [Proposición 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector) dice dos cosas a la vez: todo punto *de* la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) equidista de $A$ y de $B$ , y todo punto equidistante *está en* la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) . ¿Cuál de las dos responde a la pregunta de la fuente del [Ejercicio 42.8](#exo-g6-symmetry-8) ? ¿Qué dice la proposición sobre un punto que *no* está en la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) ?
3. toma un punto $M$ del mismo lado de la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) que $A$ . El [segmento](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) $[MB]$ corta a la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) en un punto $P$ . Compara el camino $M \to P \to B$ con el camino $M \to P \to A$ y explica por qué $M$ está más cerca de $A$ que de $B$ : la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) parte la hoja en un «lado de $A$ » y un «lado de $B$ »;
4. dos colegios $A$ y $B$ sirven a un pueblo. Cada niño va andando al colegio más cercano. Dibuja un mapa pequeño con $A$ y $B$ y sombrea la región exacta del pueblo atendida por el colegio $A$ . ¿Qué recta forma la frontera?
5. abre un tercer colegio $C$ (colócalo de modo que los tres colegios formen un triángulo). Construye la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ y la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[BC]$ , y llama $O$ a su punto de corte. ¿Qué dos igualdades de distancias cumple $O$ y por qué?

**Parte II — Tres árboles, un punto, una circunferencia.**

6. deduce de la pregunta 5 que $OA = OC$ — y, por tanto, que $O$ está también en la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AC]$ , que nunca trazaste. Concluye: *las tres mediatrices de los lados de un triángulo pasan todas por un mismo punto* ;
7. explica por qué la circunferencia de centro $O$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $OA$ pasa también por $B$ y por $C$ : es *la* circunferencia que pasa por los tres puntos — la *circunferencia circunscrita* del triángulo $ABC$ ;
8. construye un triángulo de lados $6$ cm, $5$ cm y $4$ cm ( [Método 41.2](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#met-g6-shapes-construct) ) y después su [circunferencia circunscrita](#pb-g6-symmetry-1) . ¿Por qué basta con trazar solo *dos* mediatrices para hallar el centro?
9. el plato roto: un arqueólogo desentierra un fragmento cuya única parte intacta es un trozo del borde circular del plato. Describe una receta que recupere el centro y el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) del plato original — y pruébala: traza un arco de circunferencia con tu compás, «olvida» el centro, marca tres puntos del arco y reconstrúyelo;
10. ¿podrían tres puntos no tener *ninguna* circunferencia que pase por ellos? Supón que $A$ , $B$ y $C$ están alineados. ¿Qué se puede decir de las mediatrices de $[AB]$ y de $[BC]$ ( [Proposición 40.3](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#prop-g6-lines-facts) )? Concluye.

**Parte III — Ejes por todas partes y el espejo que camina.**

11. el [Ejemplo 42.7](#ex-g6-symmetry-shapes) contó $3$ ejes para el [triángulo equilátero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) y $4$ para el cuadrado. Conjetura el recuento para un [pentágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular y un [hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular, y describe por dónde pasan los ejes en cada caso ( [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de lados frente a [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) : las dos situaciones son distintas);
12. dobla una hoja de papel una vez y recorta una figura atravesando las dos capas; desdobla. ¿Por qué tiene el agujero *siempre* un [eje de simetría](#def-g6-symmetry-axis) , recortes lo que recortes, y qué recta es el eje?
13. dobla la hoja dos veces — el segundo doblez perpendicular al primero —, recorta y desdobla. ¿Cuántos [ejes de simetría](#def-g6-symmetry-axis) tiene el agujero como mínimo y cuántas copias de tu recorte ves? (Los copos de nieve de papel son esta idea doblada más veces.)
14. el espejo que camina: en papel cuadriculado, traza un eje vertical $d_1$ , una banderita $F$ a su izquierda y un segundo eje vertical $d_2$ , $4$ casillas a la derecha de $d_1$ . Refleja $F$ respecto de $d_1$ (imagen $F'$ ) y después refleja $F'$ respecto de $d_2$ (imagen $F''$ ). Compara $F$ y $F''$ : ¿misma orientación o reflejada? ¿Cuántas casillas se ha desplazado la figura? Compara con la distancia entre los ejes;
15. el mismo experimento con $d_2$ *perpendicular* a $d_1$ : refleja la banderita respecto del eje vertical y después la imagen respecto del horizontal. Describe cómo queda $F''$ respecto de $F$ y del punto de corte de los dos ejes. (Acabas de descubrir la transformación del año que viene: [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#ch-g7-central) .)

**Solución de Problema 42.1.**

**1.** Construcción como en el [Método 42.11](#met-g6-symmetry-bisector); para cualquier $M$ de la recta, la regla confirma que $MA = MB$ ([Proposición 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)).

**2.** La pregunta de la fuente necesita el segundo sentido: *todos* los puntos equidistantes están en la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector), así que los sitios posibles son exactamente esa recta y nada más. Y un punto que no esté en la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) *no* equidista, por tanto: está estrictamente más cerca de uno de los dos árboles.

**3.** Los dos caminos comparten el tramo $[MP]$ y $PB = PA$, porque $P$ está en la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector). Así que el camino $M \to P \to B$ tiene la misma longitud que el camino $M \to P \to A$, o sea, $MP + PA$. Ahora bien, $MB$ es la ruta recta hacia $B$ — aquí *es* el camino que pasa por $P$, así que $MB = MP + PA$; y la ruta recta hacia $A$ es más corta que el rodeo por $P$: $MA < MP + PA = MB$. Todo punto del lado de $A$ de la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) está más cerca de $A$.

**4.** La frontera es la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$: el colegio $A$ atiende exactamente la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del pueblo que queda de su lado de esa recta (pregunta 3), el colegio $B$ la otra [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half), y los niños que viven sobre la propia recta pueden elegir cualquiera de los dos.

**5.** $O$ está en la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$, así que $OA = OB$; y en la de $[BC]$, así que $OB = OC$ ([Proposición 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)).

**6.** De $OA = OB$ y $OB = OC$ se sigue $OA = OC$. Por el segundo sentido de la [Proposición 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector), un punto que equidista de $A$ y de $C$ está en la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AC]$: la tercera [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) pasa por $O$ sin que se lo hayamos pedido. Las tres mediatrices de cualquier triángulo son *concurrentes*.

**7.** La circunferencia de centro $O$ y [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $OA$ está formada por todos los puntos que están a distancia $OA$ de $O$ ([Definición 40.5](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-circle)); como $OB = OA$ y $OC = OA$, los puntos $B$ y $C$ están en ella. Un centro, un [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) y tres puntos servidos: es la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$.

**8.** Bastan dos mediatrices porque la tercera es automática (pregunta 6): su punto de corte ya cumple las tres igualdades de distancias. La circunferencia se traza con centro $O$ y el compás abierto desde $O$ hasta cualquiera de los tres [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def).

**9.** Receta: marca tres puntos $A$, $B$ y $C$ en el arco superviviente; traza las mediatrices de las cuerdas $[AB]$ y $[BC]$; su punto de corte es el centro del plato y su distancia a $A$ es el [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes). Funciona porque el borde del plato es una circunferencia que pasa por los tres puntos marcados — y la pregunta 8 halla *la* circunferencia que pasa por ellos. El arco de prueba se reconstruye exactamente.

**10.** Si $A$, $B$ y $C$ están alineados, la [mediatriz](#def-g6-symmetry-bisector) de $[AB]$ y la de $[BC]$ son las dos [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) a la misma recta $(AB) = (BC)$ — así que son [paralelas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) entre sí ([Proposición 40.3](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#prop-g6-lines-facts)) y, al ser distintas, no se cortan nunca. Ningún punto equidista de los tres, y ninguna circunferencia pasa por tres puntos alineados.

**11.** [Pentágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular: $5$ ejes, cada uno por un [vértice](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) y el punto medio del lado opuesto ([número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd): todos los ejes son de esa única clase). [Hexágono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular: $6$ ejes — tres por [vértices](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) opuestos y tres por puntos medios de lados opuestos ([número par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd): dos clases, [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) y [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half)). El patrón: un [polígono](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/26-rectas-y-poligonos#def-g4-geometry-polygon) regular de $n$ lados tiene $n$ ejes.

**12.** El corte atraviesa las dos capas a la vez, así que las dos capas pierden trozos exactamente iguales; desdoblar es la reflexión respecto de la línea del doblez, que envía el borde de cada capa sobre el de la otra. El agujero es su propia imagen especular: la línea del doblez es su [eje de simetría](#def-g6-symmetry-axis) — se recorte lo que se recorte.

**13.** El agujero desdoblado tiene al menos $2$ [ejes de simetría](#def-g6-symmetry-axis), las dos líneas de doblez, y el corte aparece en $4$ copias (cada desdoblado duplica el dibujo: $1 \to 2 \to 4$). Doblar más veces al estilo de los copos de nieve multiplica todavía más las copias y los ejes.

**14.** $F''$ tiene la *misma* orientación que $F$ (dos reflexiones se cancelan), el mismo tamaño y la misma altura — es sencillamente $F$ desplazada hacia la derecha. El desplazamiento mide $8$ casillas: exactamente *el doble* de la distancia entre los dos ejes. Dos espejos paralelos juntos no reflejan en absoluto: *trasladan*.

**15.** $F''$ tiene otra vez el mismo tamaño, pero ahora aparece *boca abajo*, girada media vuelta alrededor del punto de corte de los dos ejes: cada punto de $F''$ es diametralmente opuesto al punto correspondiente de $F$ respecto de ese centro. Dos espejos [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) se componen en el *medio giro* — la simetría central del [Capítulo 52](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/52-simetria-central-y-paralelogramos#ch-g7-central).