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title: "Perímetro, área y volumen"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 43
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen
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# Capítulo 43 — Perímetro, área y volumen

¿Cuánto mide la valla, cuán grande es el campo, cuánta agua cabe en el depósito? Tres preguntas distintas, tres magnitudes distintas — [perímetro](#def-g6-measure-perimeter), [área](#def-g6-measure-area) y [volumen](#def-g6-measure-volume) —, cada una con sus unidades. Confundirlas es el error más frecuente en geometría; este capítulo las separa de una vez por todas.

## 43.1 Longitudes y perímetro

**Definición 43.1 (Perímetro).**

El *perímetro* de una figura es la longitud total de su borde. Se mide en unidades de longitud: milímetros (mm), centímetros (cm), metros (m) y kilómetros (km), con

$$
1 \text{ km} = 1000 \text{ m}, \qquad
1 \text{ m} = 100 \text{ cm}, \qquad
1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}.
$$

**Ejemplo 43.2.**

Un rectángulo de largo $L$ y ancho $a$ tiene [perímetro](#def-g6-measure-perimeter)

$$
P = L + w + L + w = 2 \times (L + w).
$$

Para un rectángulo de $7$ cm por $4$ cm: $P = 2 \times (7 + 4) = 2 \times 11 =
22$ cm. Un cuadrado de lado $c$ tiene [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $4c$.

**Proposición 43.3 (Longitud de una circunferencia).**

El [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) (o *longitud*) de una circunferencia de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $r$ es

$$
P = 2 \pi r ,
$$

donde $\pi \approx 3.14$ es el mismo número para todas las circunferencias.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 43.4.**

Un estanque circular tiene [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $5$ m. Su borde mide $2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31.4$ m. Conserva el valor exacto $10\pi$ todo lo que puedas; redondea solo al final.

## 43.2 Áreas

**Definición 43.5 (Área).**

El *área* de una figura mide la superficie que cubre: cuántos cuadrados unidad caben dentro. Unidades: cm$^2$ (un cuadrado de lado $1$ cm), m$^2$, km$^2$, … Cuidado:

$$
1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2
$$

— un metro cuadrado es un cuadrado de $100$ cm por $100$ cm, así que cada escalón de la escalera de unidades vale $100$, no $10$.

![El área de un rectángulo: 7 columnas de 4 cuadrados unidad cada una, o sea, 7 × 4 = 28 cuadrados en total. Por eso área = largo × ancho.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-measure/fig-44fc0243342c.svg)

*El [área](#def-g6-measure-area) de un rectángulo: $7$ columnas de $4$ cuadrados unidad cada una, o sea, $7 \times 4 = 28$ cuadrados en total. Por eso [área](#def-g6-measure-area) $=$ largo $\times$ ancho.*

**Proposición 43.6 (Fórmulas básicas de área).**

| figura | [área](#def-g6-measure-area) |
| --- | --- |
| rectángulo ($L \times a$) | $A = L \times a$ |
| cuadrado (lado $c$) | $A = c^2$ |
| [4pt] [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) (catetos $a$, $b$) | $A = \dfrac{a \times b}{2}$ |
| [4pt] disco ([radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $r$) | $A = \pi r^2$ |

**Demostración para el triángulo rectángulo.** Dos copias de un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos $a$ y $b$, pegadas por la hipotenusa, forman un rectángulo de $a \times b$. Así que el [área](#def-g6-measure-area) del triángulo es la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de la del rectángulo: $\frac{ab}{2}$. (La fórmula del rectángulo es el recuento de cuadrados unidad de arriba; la del disco se admite, véase el [Capítulo 53](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/53-areas-y-volumenes#ch-g7-areas).) ∎

![Un triángulo rectángulo es la mitad de un rectángulo: de ahí la fórmula a× b/2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-measure/fig-9268c33ae158.svg)

*Un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) es la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de un rectángulo: de ahí la fórmula $\frac{a\times b}{2}$.*

**Ejemplo 43.7 (Figuras compuestas).**

Una habitación en forma de L es un rectángulo de $6$ m $\times$ $4$ m al que se le ha quitado una esquina cuadrada de $2$ m $\times$ $2$ m. Su [área](#def-g6-measure-area), paso a paso:

1. rectángulo completo: $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
2. cuadrado quitado: $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
3. [área](#def-g6-measure-area) restante: $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

Su *[perímetro](#def-g6-measure-perimeter)* no es $20$ de nada: recorriendo la L, el borde sigue midiendo $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — los dos cortes de la esquina sustituyen a dos trozos de pared iguales. ¡El mismo número por casualidad, pero metros cuadrados en un caso y metros en el otro!

**Observación 43.8 (Mismo perímetro, áreas distintas).**

Dos figuras pueden tener el mismo [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) y [áreas](#def-g6-measure-area) muy distintas: un cuadrado de $5 \times 5$ y un rectángulo de $9 \times 1$ tienen los dos [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $20$, pero [áreas](#def-g6-measure-area) $25$ y $9$. El [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) y el [área](#def-g6-measure-area) son magnitudes realmente independientes.

## 43.3 Volúmenes

**Definición 43.9 (Volumen).**

El *volumen* de un cuerpo mide el espacio que ocupa: cuántos [cubos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) unidad caben dentro. Unidades: cm$^3$, m$^3$, … con $1$ m$^3 = 1\,000\,000$ cm$^3$ (cada escalón de la escalera vale $1000$). Para los líquidos se usa además el *litro*:

$$
1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3,
\qquad
1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}.
$$

**Proposición 43.10 (Volumen de un ortoedro).**

Un [ortoedro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) (un *prisma rectangular*) de largo $L$, ancho $a$ y altura $h$ tiene [volumen](#def-g6-measure-volume)

$$
V = L \times w \times h .
$$

**Demostración.** La capa de abajo contiene $L \times a$ [cubos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) unidad (el dibujo de la [Definición 43.5](#def-g6-measure-area), pero con [cubos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def)), y hay $h$ capas así. ∎

![Un ortoedro lleno de cubos unidad: 4 × 2 cubos por capa, dos capas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-measure/fig-0511ccb3f7dd.svg)

*Un [ortoedro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) lleno de [cubos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) unidad: $4 \times 2$ [cubos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) por capa, dos capas.*

**Ejemplo 43.11.**

Un acuario mide $60$ cm por $30$ cm por $40$ cm (de alto). [Volumen](#def-g6-measure-volume):

$$
V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000 \text{ cm}^3 = 72 \text{ dm}^3
= 72 \text{ L}.
$$

Paso a paso para la conversión: $1000$ cm$^3$ hacen un litro, y $72\,000 \div 1000 = 72$.

## 43.4 Ejercicios

**Ejercicio 43.1 ★.**

Convierte: $3.5$ m en cm; $420$ mm en cm; $0.8$ km en m; $25\,000$ m en km.

**Solución de Ejercicio 43.1.**

$3.5$ m $= 350$ cm; $420$ mm $= 42$ cm; $0.8$ km $= 800$ m; $25\,000$ m $= 25$ km.

**Ejercicio 43.2 ★.**

Calcula el [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) de: un rectángulo de $8$ cm $\times$ $3.5$ cm; un cuadrado de lado $6.2$ cm; un triángulo de lados $5$ cm, $7$ cm y $9$ cm.

**Solución de Ejercicio 43.2.**

Rectángulo: $2 \times (8 + 3.5) = 2 \times 11.5 = 23$ cm. Cuadrado: $4 \times 6.2 = 24.8$ cm. Triángulo: $5 + 7 + 9 = 21$ cm.

**Ejercicio 43.3 ★.**

Una pista de atletismo circular tiene [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $50$ m. ¿Cuánto mide una vuelta (valor exacto con $\pi$ y después redondeado al metro)? ¿Cuántas vueltas hacen al menos $2$ km?

**Solución de Ejercicio 43.3.**

Una vuelta: $2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314$ m. Para $2$ km $= 2000$ m: $2000 \div 314 \approx 6.4$, así que hacen falta $7$ vueltas completas ($6$ vueltas solo hacen unos $1\,885$ m).

**Ejercicio 43.4 ★.**

Calcula el [área](#def-g6-measure-area) de: un rectángulo de $9$ cm $\times$ $4$ cm; un cuadrado de lado $7$ m; un [triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de catetos $6$ cm y $10$ cm; un disco de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm (valor exacto y después redondeado al cm$^2$).

**Solución de Ejercicio 43.4.**

Rectángulo: $9 \times 4 = 36$ cm$^2$. Cuadrado: $7^2 = 49$ m$^2$. [Triángulo rectángulo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles): $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ cm$^2$. Disco: $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28$ cm$^2$.

**Ejercicio 43.5 ★.**

Convierte: $3$ m$^2$ en cm$^2$; $45\,000$ cm$^2$ en m$^2$; $2.5$ L en cm$^3$; $4\,500$ L en m$^3$.

**Solución de Ejercicio 43.5.**

$3$ m$^2 = 30\,000$ cm$^2$; $45\,000$ cm$^2 = 4.5$ m$^2$; $2.5$ L $= 2\,500$ cm$^3$; $4\,500$ L $= 4.5$ m$^3$.

**Ejercicio 43.6 ★.**

Un campo rectangular mide $120$ m de largo y $85$ m de ancho. ¿Cuántos metros de valla hacen falta para cercarlo? ¿Cuál es su [área](#def-g6-measure-area)?

**Solución de Ejercicio 43.6.**

Valla ([perímetro](#def-g6-measure-perimeter)): $2 \times (120 + 85) = 2 \times 205 = 410$ m. [Área](#def-g6-measure-area): $120 \times 85 = 10\,200$ m$^2$.

**Ejercicio 43.7 ★.**

Calcula el [volumen](#def-g6-measure-volume) de un [ortoedro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de $5$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $10$ cm y el de un [cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de [arista](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) $3$ cm.

**Solución de Ejercicio 43.7.**

[Ortoedro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def): $5 \times 4 \times 10 = 200$ cm$^3$. [Cubo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def): $3 \times 3 \times 3 = 27$ cm$^3$.

**Ejercicio 43.8 ★.**

Dibuja dos rectángulos distintos de [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $16$ cm y calcula sus [áreas](#def-g6-measure-area). ¿Cuál de tus rectángulos tiene mayor [área](#def-g6-measure-area)?

**Solución de Ejercicio 43.8.**

[Perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $16$ cm significa largo $+$ ancho $= 8$ cm. Por ejemplo, $6 \times 2$ ([área](#def-g6-measure-area) $12$ cm$^2$) y $5 \times 3$ ([área](#def-g6-measure-area) $15$ cm$^2$) — o el cuadrado $4 \times 4$ ([área](#def-g6-measure-area) $16$ cm$^2$). Cuanto más se parece a un cuadrado, mayor es el [área](#def-g6-measure-area).

**Ejercicio 43.9 ★★.**

Una figura en forma de T está hecha de un rectángulo horizontal de $10 \times 2$ encima de otro vertical de $2 \times 6$ (medidas en cm). Calcula su [área](#def-g6-measure-area) y después su [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) (recorre el borde con cuidado, sumando todos los tramos).

**Solución de Ejercicio 43.9.**

[Área](#def-g6-measure-area): $10 \times 2 + 2 \times 6 = 20 + 12 = 32$ cm$^2$.

[Perímetro](#def-g6-measure-perimeter) (con el pie centrado bajo la barra): recorriendo el borde,

$$
10 + 2 + 4 + 6 + 2 + 6 + 4 + 2 = 36 \text{ cm}
$$

(arriba; extremo derecho de la barra; parte inferior derecha; lado derecho del pie; base del pie; lado izquierdo del pie; parte inferior izquierda; extremo izquierdo de la barra).

**Ejercicio 43.10 ★★.**

Una piscina es un [ortoedro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/35-cubos-y-ortoedros#def-g5-solids-def) de $25$ m de largo, $10$ m de ancho y $2$ m de profundidad.

1. ¿cuántos metros cúbicos de agua contiene llena?
2. ¿cuántos litros son?
3. la piscina se llena a $50\,000$ L por hora. ¿Cuánto tarda el llenado?

**Solución de Ejercicio 43.10.**

*1.* $V = 25 \times 10 \times 2 = 500$ m$^3$.

*2.* $500$ m$^3 = 500 \times 1000 = 500\,000$ L.

*3.* $500\,000 \div 50\,000 = 10$ horas.

**Ejercicio 43.11 ★★.**

Un jardín es un cuadrado de lado $20$ m que contiene un estanque circular de [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) $3$ m. ¿Qué [área](#def-g6-measure-area) de césped hay (valor exacto y después redondeado al m$^2$)?

**Solución de Ejercicio 43.11.**

Jardín: $20^2 = 400$ m$^2$. Estanque: $\pi \times 3^2 = 9\pi$ m$^2$. Césped: $400 - 9\pi \approx 400 - 28.3 \approx 372$ m$^2$.

**Ejercicio 43.12 ★★★.**

Una tableta de chocolate mide $15$ cm $\times$ $6$ cm $\times$ $1$ cm. El fabricante duplica *las tres* dimensiones.

1. ¿por cuánto queda multiplicado el [volumen](#def-g6-measure-volume) ? Compruébalo calculando los dos volúmenes;
2. el precio se multiplica por $4$ . ¿Sale más a cuenta la tableta grande que la pequeña?

**Solución de Ejercicio 43.12.**

*1.* Tableta pequeña: $15 \times 6 \times 1 = 90$ cm$^3$. Tableta grande: $30 \times 12 \times 2 = 720$ cm$^3$. El [volumen](#def-g6-measure-volume) queda multiplicado por $720 \div 90 = 8$ — duplicar cada una de las tres dimensiones multiplica el [volumen](#def-g6-measure-volume) por $2 \times 2 \times 2 = 8$.

*2.* Ocho veces el chocolate por cuatro veces el precio: sí, la tableta grande sale el doble de bien por gramo.

## 43.5 Problema: La valla de la reina Dido

**Problema 43.1.**

Problema de fin de semana — con una longitud fija de valla, ¿qué forma encierra más terreno? El cuadrado gana a todos los rectángulos, el círculo gana al cuadrado y la pared de un granero lo cambia todo

Cuenta la leyenda que a la reina Dido, al desembarcar en la costa de África, le concedieron «tanta tierra como pueda encerrar una piel de buey» — así que cortó la piel en una tira larguísima y estrechísima y encerró terreno suficiente para fundar la ciudad de Cartago. Su problema es ahora el tuyo: un granjero tiene exactamente $20$ m de valla. El [Ejercicio 43.8](#exo-g6-measure-8) mostró que dos cercados con el mismo [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) pueden tener [áreas](#def-g6-measure-area) distintas; este problema busca el *mejor* cercado — y descubre que la respuesta cambia por completo cuando la pared de un granero regala un lado.

**Parte I — Veinte metros de valla.**

1. el cercado tiene que ser un rectángulo que use los $20$ m de valla. Comprueba que un cercado de $1 \times 9$ y otro de $2 \times 8$ valen, y calcula sus [áreas](#def-g6-measure-area) ;
2. explica por qué el largo y el ancho de todo cercado válido suman $10$ m. Después haz la tabla completa de los cercados de lados enteros (de $1 \times 9$ a $5 \times 5$ ) con sus [áreas](#def-g6-measure-area) . ¿Cuál es el mejor?
3. ¿merece la pena probar con lados decimales? Calcula las [áreas](#def-g6-measure-area) del cercado de $4.5 \times 5.5$ y del de $4.9 \times 5.1$ , y compáralas con el cuadrado de $5 \times 5$ . ¿Qué conjeturas?
4. la pregunta 2 convirtió el problema de la valla en una pregunta puramente numérica: *entre todas las parejas de números que suman $10$, ¿cuál tiene el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) mayor?* Respóndela a partir de tu tabla y enuncia la regla general que observas;
5. he aquí por qué alejarse del cuadrado siempre pierde, con tijeras en vez de con álgebra: parte del cercado de $5 \times 5$ y conviértelo en el de $6 \times 4$ quitando una tira y pegando otra. ¿Qué tira se quita, cuál se añade y por qué el cambio pierde exactamente un metro cuadrado? Explica por qué un paso más (hasta $7 \times 3$ ) pierde aún más.

**Parte II — El granero y el círculo.**

6. ahora el cercado se construye contra la pared larga de un granero: la pared sustituye a uno de los largos del cercado y los $20$ m de valla cubren solo los otros tres lados. Haz una tabla de los cercados de lados enteros (ancho $a$ , largo $L$ pegado a la pared, $a + L + a = 20$ ) y sus [áreas](#def-g6-measure-area) . ¿Qué cercado gana ahora y es un cuadrado?
7. explica el ganador con un espejo ( [Capítulo 42](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/42-la-simetria-axial#ch-g6-symmetry) ): refleja el cercado respecto de la pared del granero y considera el cercado doble. ¿Cuánta valla usa el cercado doble, cuál es el mejor cercado doble según la Parte I y en qué convierte eso al cercado original?
8. Dido no construyó un rectángulo. Dobla los $20$ m de valla formando un círculo: con $\pi \approx 3.14$ , calcula su [radio](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/18-figuras-y-angulos-rectos#def-g3-shapes-shapes) (al cm) y después su [área](#def-g6-measure-area) (al m $^2$ ) ( [Proposición 43.3](#prop-g6-measure-circle) , [Proposición 43.6](#prop-g6-measure-formulas) ). Compárala con el cuadrado de $5 \times 5$ ;
9. el problema inverso: se quiere un cercado de [área](#def-g6-measure-area) exactamente $36$ m $^2$ con la menor valla posible. Compara los rectángulos $1 \times 36$ , $2 \times 18$ , $3 \times 12$ , $4 \times 9$ y $6 \times 6$ : ¿ [perímetros](#def-g6-measure-perimeter) ? ¿Qué forma sale más barata y por qué es esta pregunta la imagen especular de la Parte I?
10. en una frase: ¿por qué son tan a menudo *redondos* las latas, las tuberías y los depósitos de agua?

**Parte III — El [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) y el [área](#def-g6-measure-area) son desconocidos.**

11. halla un rectángulo cuyo [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) supere los $100$ m pero cuya [área](#def-g6-measure-area) sea menor que $1$ m $^2$ . (Muy largo y muy estrecho. Se permiten decimales.)
12. ¿verdadero o falso?: «de dos figuras, la que tiene mayor [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) tiene mayor [área](#def-g6-measure-area) ». Da un contraejemplo sacado de este problema;
13. toma el rectángulo de $6 \times 4$ y recorta una muesca cuadrada de $1 \times 1$ en el medio de uno de los lados largos (la muesca se abre hacia fuera, como un diente que falta). Calcula el [área](#def-g6-measure-area) y el [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) de la figura con muesca y compáralos con los del original. ¿Qué le ha pasado a cada uno?
14. los cartógrafos conocen un hecho extraño: cuanto más detallado es el mapa, *más larga* sale la costa — cada ampliación revela muescas nuevas, y la pregunta 13 muestra lo que hace cada muesca. Explica en una o dos frases por qué «la longitud de la costa de Bretaña» es un número escurridizo, mientras que «el [área](#def-g6-measure-area) de Bretaña» no lo es;
15. el examen del granjero. Con $36$ m de valla y la pared del granero disponible, halla el mejor cercado rectangular (usa el espejo de la pregunta 7), da su [área](#def-g6-measure-area) y compárala con el mejor cercado construido con $36$ m en campo abierto. ¿Cuánto le gana al granjero la pared del granero?

**Solución de Problema 43.1.**

**1.** $1 \times 9$: [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $2 \times (1 + 9) = 20$ m, [área](#def-g6-measure-area) $9$ m$^2$. $2 \times 8$: [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $2 \times 10 = 20$ m, [área](#def-g6-measure-area) $16$ m$^2$.

**2.** El [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) es el doble de (largo $+$ ancho) ([Ejemplo 43.2](#ex-g6-measure-perimeter)), así que largo $+$ ancho $= 20 \div 2 = 10$ m. La tabla:

| cercado | $1 \times 9$ | $2 \times 8$ | $3 \times 7$ | $4 \times 6$ | $5 \times 5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [área](#def-g6-measure-area) (m$^2$) | $9$ | $16$ | $21$ | $24$ | $25$ |

El cuadrado $5 \times 5$ es el mejor.

**3.** $4.5 \times 5.5 = 24.75$ y $4.9 \times 5.1 =
24.99$: cada vez más cerca de $25$, pero siempre por debajo. Conjetura: el cuadrado gana a *todos* los rectángulos de [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $20$, lados decimales incluidos.

**4.** De la tabla: el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de dos números que suman $10$ es máximo cuando los dos números son *iguales* ($5$ y $5$). Regla general: para una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) fija, el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) es máximo con partes iguales — cuanto más desigual es la pareja, menor es el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def).

**5.** Del cuadrado $5 \times 5$, quita la fila de arriba — una tira de $5$ cuadrados unidad — y queda un cercado de $5 \times 4$; después pega una columna de $4$ cuadrados unidad en un extremo, y el cercado pasa a ser $6 \times 4$. Se quitaron cinco cuadrados y solo cuatro volvieron: la tira añadida va a lo largo del lado de $4$, que es más corto que el lado de $5$ que cubría la tira quitada. Pérdida neta: un metro cuadrado ($25 \to 24$). El paso siguiente, de $6 \times 4$ a $7 \times 3$, cambia una fila de $6$ por una columna de $3$ y pierde tres más ($24 \to 21$): cuanto más lejos está el cercado del cuadrado, más larga es la tira que entrega y más corta la que recibe.

**6.** Con $a + L + a = 20$, es decir, $L = 20 - 2a$:

| $w$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $L$ | $18$ | $16$ | $14$ | $12$ | $10$ | $8$ | $6$ |
| [área](#def-g6-measure-area) | $18$ | $32$ | $42$ | $48$ | $50$ | $48$ | $42$ |

El ganador es $5 \times 10$, de [área](#def-g6-measure-area) $50$ m$^2$ — el doble de largo (a lo largo de la pared) que de ancho: *no* es un cuadrado.

**7.** Refleja el cercado respecto de la pared: el cercado más su imagen especular forman un cercado doble que usa la valla dos veces, $40$ m de valla alrededor (el lado de la pared queda ahora en el interior). Por la Parte I, el mejor rectángulo de [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $40$ es el cuadrado $10 \times
10$, de [área](#def-g6-measure-area) $100$ m$^2$. El mejor cercado real es la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de ese mejor cercado doble: $10$ m a lo largo de la pared y $5$ m de fondo, [área](#def-g6-measure-area) $50$ m$^2$ — exactamente el ganador de la tabla, ahora explicado.

**8.** Longitud $20 = 2 \times \pi \times r$, así que $r = 20 \div 6.28 \approx 3.18$ m. [Área](#def-g6-measure-area): $\pi r^2 \approx 3.14 \times 3.18 \times 3.18 \approx
31.8$ m$^2$ — holgadamente más que los $25$ m$^2$ del cuadrado. Dido sabía lo que hacía: para una longitud de borde dada, el círculo encierra lo máximo.

**9.** [Perímetros](#def-g6-measure-perimeter): $1 \times 36$: $74$ m; $2 \times 18$: $40$ m; $3 \times 12$: $30$ m; $4 \times 9$: $26$ m; $6 \times 6$: $24$ m. Otra vez el cuadrado — la menor valla para el [área](#def-g6-measure-area) dada. Es la Parte I al revés: [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) fijo y [área](#def-g6-measure-area) máxima, o [área](#def-g6-measure-area) fija y [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) mínimo: las dos coronan al cuadrado (y, más allá de todos los rectángulos, al círculo).

**10.** Una pared redonda es el borde más corto para el espacio que encierra (pregunta 8), así que una lata, una tubería o un depósito redondos contienen lo máximo con el mínimo de metal — el material es dinero.

**11.** Por ejemplo, $50$ m $\times$ $0.01$ m: [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $2 \times (50 + 0.01) = 100.02$ m y [área](#def-g6-measure-area) $50 \times 0.01 = 0.5$ m$^2$. Largo y estrecho: kilómetros de borde y casi nada de terreno.

**12.** Falso. El cercado de la pregunta 11 tiene [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $100.02$ m y [área](#def-g6-measure-area) $0.5$ m$^2$, mientras que el cercado $5 \times 5$ tiene [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $20$ m y [área](#def-g6-measure-area) $25$ m$^2$: mayor [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) y [área](#def-g6-measure-area) mucho menor.

**13.** [Área](#def-g6-measure-area): falta un cuadrado unidad, $24 - 1 = 23$ cm$^2$. [Perímetro](#def-g6-measure-perimeter): al recorrer el borde, la muesca sustituye $1$ cm de pared recta por tres lados del cuadradito, $1 + 1 + 1 = 3$ cm: el [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) crece de $20$ cm a $20 - 1 + 3 = 22$ cm. Quitar material *alargó* el borde.

**14.** Cada ampliación de una costa real revela bahías, rocas y calas nuevas — muescas sobre muescas —, y la pregunta 13 muestra que cada muesca añade longitud de borde sin apenas cambiar el [área](#def-g6-measure-area). Así que la longitud medida sigue creciendo con el nivel de detalle («la paradoja de la costa»), mientras que el [área](#def-g6-measure-area) medida se estabiliza: el [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) y el [área](#def-g6-measure-area) son magnitudes realmente independientes.

**15.** Argumento del espejo: el cercado doble usaría $2 \times 36 = 72$ m de valla, y el mejor rectángulo de [perímetro](#def-g6-measure-perimeter) $72$ es el cuadrado $18 \times 18$. Así que el mejor cercado es de $18$ m a lo largo de la pared y $9$ m de fondo: comprobación de la valla, $9 + 18 + 9 = 36$ m, y [área](#def-g6-measure-area) $18 \times 9 = 162$ m$^2$. En campo abierto, el mejor es el cuadrado $9 \times 9$, de [área](#def-g6-measure-area) $81$ m$^2$. La pared del granero *duplica* exactamente el terreno del granjero.