--- title: "Proporcionalidad y datos" book: "Matemáticas de primaria y secundaria" subject: math language: es chapter: 44 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/44-proporcionalidad-y-datos --- # Capítulo 44 — Proporcionalidad y datos Si tres cuadernos cuestan $6$ euros, seis cuadernos cuestan $12$: el doble de cuadernos, el doble de precio. Las magnitudes que se comportan así son *[proporcionales](#def-g6-propdata-def)* — una de las ideas más útiles de todas las matemáticas, que se desarrolla más en el [Capítulo 49](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/49-la-proporcionalidad#ch-g7-prop). El capítulo termina con la lectura y el trazado de gráficos de datos sencillos. ## 44.1 Magnitudes proporcionales **Definición 44.1 (Proporcionalidad).** Dos magnitudes son *proporcionales* cuando los valores de una se obtienen de los valores de la otra multiplicando siempre por el *mismo* número, llamado *coeficiente de proporcionalidad*. **Ejemplo 44.2.** Cuadernos a $2$ euros cada uno: | cuadernos | $3$ | $5$ | $8$ | $12$ | | --- | --- | --- | --- | --- | | precio (euros) | $6$ | $10$ | $16$ | $24$ | Cada precio es el número de cuadernos $\times 2$: el coeficiente es $2$ (el precio unitario). Una comprobación rápida de que una tabla es proporcional: todos los «[cocientes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) por columnas» $\frac{6}{3}, \frac{10}{5}, \frac{16}{8}, \frac{24}{12}$ tienen que ser iguales — aquí todos valen $2$. **Ejemplo 44.3 (Un contraejemplo).** La edad y la estatura no son [proporcionales](#def-g6-propdata-def): un niño de $12$ años no mide el doble que uno de $6$. Compruébalo con números: $1.50$ m a los $12$ años y $1.15$ m a los $6$ dan [cocientes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $\frac{1.50}{12} = 0.125$ y $\frac{1.15}{6} \approx 0.19$ — no son iguales. **Método 44.4 (Completar una tabla de proporcionalidad).** Tres caminos, a elegir libremente: 1. *coeficiente* : halla el multiplicador a partir de una columna completa y aplícalo a las demás; 2. *columnas* : una columna se puede multiplicar por un número, o se pueden sumar dos columnas, para producir una columna nueva; 3. *reducción a la unidad* : halla primero el valor de *un* artículo y multiplica después. **Ejemplo 44.5.** Cinco tazas iguales cuestan $15$ euros; ¿cuánto cuestan ocho tazas? *Reducción a la unidad*: una taza cuesta $15 \div 5 = 3$ euros, así que ocho tazas cuestan $8 \times 3 = 24$ euros. *Columnas*: $8 = 5 + 3$; tres tazas cuestan $\frac{3}{5}$ de $15$, o sea, $9$; así que ocho tazas cuestan $15 + 9 = 24$ euros. La misma respuesta, como tenía que ser. ## 44.2 Porcentajes **Definición 44.6 (Porcentaje).** «El $t\,\%$ de una cantidad» significa la [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) $\frac{t}{100}$ de ella: el $25\,\%$ de $60$ es $\frac{25}{100} \times 60 = 15$. Un porcentaje es una [proporcionalidad](#def-g6-propdata-def) de coeficiente $\frac{t}{100}$. **Ejemplo 44.7.** Una clase de $30$ alumnos tiene un $40\,\%$ de chicas. Número de chicas, paso a paso: $40\,\%$ significa $\frac{40}{100} = 0.4$, y $0.4 \times 30 = 12$ chicas. Referencias útiles: $50\,\%$ es la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half), $25\,\%$ un [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) y $10\,\%$ una décima parte — así que el $10\,\%$ de $30$ es $3$ y el $40\,\% = 4 \times 10\,\%$ es $4 \times 3 = 12$: la misma respuesta, calculada de cabeza. ## 44.3 Leer y dibujar gráficos **Método 44.8 (Leer una tabla o un gráfico).** Sea cual sea la imagen — tabla, diagrama de barras o gráfico de líneas: 1. lee primero el título y las unidades de los dos ejes; 2. para responder a una pregunta, localiza la barra o la columna correcta y lee el valor con cuidado sobre la graduación; 3. para comparar, compara las barras por su altura — pero comprueba que el eje empieza en $0$ , o la imagen puede engañar. **Ejemplo 44.9.** El diagrama de barras siguiente muestra el número de libros prestados en la biblioteca del colegio durante una semana. ![Un diagrama de barras: una barra por día, con la altura igual al recuento.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-propdata/fig-aef0db624323.svg) *Un diagrama de barras: una barra por día, con la altura igual al recuento.* Lecturas: el día de más movimiento es el miércoles ($17$ libros). El martes y el jueves juntos suman $8 + 6 = 14$ libros — menos que el viernes solo ($15$). Total de la semana: $12 + 8 + 17 + 6 + 15 = 58$ libros. ![Las magnitudes proporcionales tienen un gráfico muy reconocible: los puntos se alinean en una recta que pasa por el origen (aquí, cuadernos a 3 euros cada uno; las líneas discontinuas leen el precio de 6 cuadernos: 18 euros).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-propdata/fig-43ee35bdfdec.svg) *Las magnitudes [proporcionales](#def-g6-propdata-def) tienen un gráfico muy reconocible: los puntos se alinean en una recta que pasa por el origen (aquí, cuadernos a $3$ euros cada uno; las líneas discontinuas leen el precio de $6$ cuadernos: $18$ euros).* ## 44.4 Ejercicios **Ejercicio 44.1 ★.** ¿Es proporcional la tabla? Justifícalo calculando [cocientes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder). | kg de manzanas | $2$ | $3$ | $5$ | | --- | --- | --- | --- | | precio (euros) | $5$ | $7.5$ | $12.5$ | | edad (años) | $2$ | $4$ | $8$ | | --- | --- | --- | --- | | estatura (cm) | $85$ | $103$ | $130$ | **Solución de Ejercicio 44.1.** Manzanas: [cocientes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $\frac52 = 2.5$, $\frac{7.5}{3} = 2.5$, $\frac{12.5}{5} = 2.5$ — todos iguales: proporcional (precio $2.50$ por kg). Edad/estatura: $\frac{85}{2} = 42.5$ pero $\frac{103}{4} = 25.75$ — no son iguales: no es proporcional. **Ejercicio 44.2 ★.** Cuatro cruasanes cuestan $4.80$ euros. Halla el precio de un cruasán y después el de siete cruasanes. **Solución de Ejercicio 44.2.** Un cruasán: $4.80 \div 4 = 1.20$ euros. Siete: $7 \times 1.20 = 8.40$ euros. **Ejercicio 44.3 ★.** Completa la tabla de [proporcionalidad](#def-g6-propdata-def) (¡el coeficiente primero!): | litros de combustible | $10$ | $25$ | $?$ | $60$ | | --- | --- | --- | --- | --- | | precio (euros) | $18$ | $?$ | $72$ | $?$ | **Solución de Ejercicio 44.3.** Coeficiente: $18 \div 10 = 1.8$ euros por litro. Entonces $25$ L cuestan $25 \times 1.8 = 45$ euros; con $72$ euros se compran $72 \div 1.8 = 40$ L; $60$ L cuestan $60 \times 1.8 = 108$ euros. **Ejercicio 44.4 ★.** Un coche gasta $6$ L de combustible cada $100$ km. ¿Cuánto combustible para $250$ km? ¿Y para $350$ km? ¿Hasta dónde puede llegar con $27$ L? **Solución de Ejercicio 44.4.** Para $250$ km: $2.5$ veces el combustible de $100$ km, o sea, $2.5 \times 6 = 15$ L. Para $350$ km: $3.5 \times 6 = 21$ L. Con $27$ L: $27 \div 6 = 4.5$ centenares de km, es decir, $450$ km. **Ejercicio 44.5 ★.** Calcula de cabeza usando las referencias del [Ejemplo 44.7](#ex-g6-propdata-percent): el $50\,\%$ de $84$; el $25\,\%$ de $200$; el $10\,\%$ de $63$; el $30\,\%$ de $70$. **Solución de Ejercicio 44.5.** El $50\,\%$ de $84$: la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half), $42$. El $25\,\%$ de $200$: un [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half), $50$. El $10\,\%$ de $63$: una décima parte, $6.3$. El $30\,\%$ de $70$: $3 \times 7 = 21$. **Ejercicio 44.6 ★.** En un colegio de $450$ alumnos, el $60\,\%$ come en el comedor. ¿Cuántos alumnos son? ¿Cuántos no comen allí? **Solución de Ejercicio 44.6.** El $60\,\%$ de $450$: $\frac{60}{100} \times 450 = 270$ alumnos comen en el comedor; $450 - 270 = 180$ no comen allí. **Ejercicio 44.7 ★.** Con el diagrama de barras del [Ejemplo 44.9](#ex-g6-propdata-chart): ¿qué días se prestaron menos de $10$ libros? ¿Cuántos libros más se prestaron el miércoles que el jueves? **Solución de Ejercicio 44.7.** Menos de $10$ libros: el martes ($8$) y el jueves ($6$). Miércoles menos jueves: $17 - 6 = 11$ libros más. **Ejercicio 44.8 ★.** Las temperaturas a mediodía de lunes a viernes fueron $14$, $16$, $13$, $17$ y $20$ grados. Dibuja un diagrama de barras con estos datos (elige una graduación razonable) y di cuál fue el día más caluroso. **Solución de Ejercicio 44.8.** Diagrama de barras con cinco barras de alturas $14$, $16$, $13$, $17$ y $20$ (va bien una graduación cada $2$ o cada $5$ grados). Día más caluroso: el viernes ($20$ grados). **Ejercicio 44.9 ★★.** Una receta para $6$ personas necesita $450$ g de harina y $3$ huevos. Adáptala para $10$ personas. (Para los huevos, ¡piensa antes de escribir un [número decimal](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/38-los-numeros-decimales#def-g6-decimals-places) de huevos!) **Solución de Ejercicio 44.9.** Para $10$ personas hay que multiplicar por $\frac{10}{6} = \frac53$: harina, $450 \times \frac{10}{6} = 750$ g. Huevos: $3 \times \frac{10}{6} = 5$ — por suerte, un número entero. (Si no lo fuera, habría que redondear *hacia arriba* para tener suficiente.) **Ejercicio 44.10 ★★.** A velocidad constante, una ciclista recorre $24$ km en $1$ hora. 1. ¿cuánto recorre en $2$ h? ¿Y en media hora? ¿Y en $1$ h $30$ min? 2. ¿cuánto tarda en hacer $60$ km? **Solución de Ejercicio 44.10.** *1.* En $2$ h: $48$ km. En media hora: $12$ km. En $1$ h $30$: $24 + 12 = 36$ km. *2.* $60 \div 24 = 2.5$ horas, es decir, $2$ h $30$ min. **Ejercicio 44.11 ★★.** Una tienda anuncia «$20\,\%$ de descuento en todo». Calcula el descuento y el precio nuevo de: un balón de $15$ euros; una raqueta de $40$ euros. ¿Es el precio nuevo proporcional al precio antiguo? ¿Cuál es el coeficiente? **Solución de Ejercicio 44.11.** Balón: descuento del $20\,\%$ de $15 = 3$ euros, precio nuevo $12$ euros. Raqueta: descuento de $8$ euros, precio nuevo $32$ euros. El precio nuevo es el $80\,\%$ del antiguo en todos los casos: proporcional, de coeficiente $0.8$. **Ejercicio 44.12 ★★★.** Dos velas de la misma altura se encienden a la vez. La gruesa se consume entera en $6$ horas y la fina en $4$ horas, cada una a ritmo constante. ¿Al cabo de cuánto tiempo mide la vela fina exactamente la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) que la gruesa? (Expresa las alturas restantes al cabo de $t$ horas como fracciones de la altura inicial.) **Solución de Ejercicio 44.12.** Al cabo de $t$ horas, la vela gruesa ha consumido $\frac t6$ de su altura: se queda en $1 - \frac t6$ de la altura inicial; la fina, en $1 - \frac t4$. Queremos $$ 1 - \frac t4 = \frac12 \left(1 - \frac t6\right) \quad\text{i.e.}\quad 1 - \frac t4 = \frac12 - \frac t{12}. $$ Entonces $\frac12 = \frac t4 - \frac t{12} = \frac{3t - t}{12} = \frac{t}{6}$, así que $t = 3$ horas. Comprobación: al cabo de $3$ h la vela gruesa mide $1 - \frac36 = \frac12$ y la fina $1 - \frac34 = \frac14$ — en efecto, la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) que ella. ## 44.5 Problema: Mapas, planos y cómo mentir con un gráfico **Problema 44.1.** Problema de fin de semana — la escala de un mapa es una proporcionalidad: las longitudes siguen al coeficiente, las áreas siguen a su cuadrado y los gráficos mal dibujados engañan a la vista Todo mapa, plano y maqueta obedece a una regla: las longitudes reales y las longitudes dibujadas son *[proporcionales](#def-g6-propdata-def)* ([Definición 44.1](#def-g6-propdata-def)). El coeficiente tiene un nombre famoso — la *escala* — y esconde dos trampas que este problema hace saltar a propósito: las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) *no* siguen a la escala, y los porcentajes, como los gráficos, dependen por completo de aquello con lo que se miden. **Parte I — Leer un mapa.** Un mapa de senderismo está a escala $1:100\,000$: cada centímetro del mapa representa $100\,000$ centímetros sobre el terreno. 1. convierte $100\,000$ cm en kilómetros. ¿Qué representa $1$ cm de este mapa, en km? 2. dos pueblos distan $7.5$ cm en el mapa; la orilla de un lago es una curva de $12$ cm. Da las distancias reales; 3. una calzada romana perfectamente recta mide $20$ km. ¿Cuánto mide en el mapa? 4. otro mapa anuncia « $1$ cm por $5$ km». Escribe su escala en la forma $1: \,?$ . ¿Cuál de los dos mapas muestra más detalle de una misma región? 5. haz una tabla pequeña (distancia en el mapa $1$ , $2$ , $7.5$ cm frente a distancia real) para el mapa de senderismo y explica por qué una escala es exactamente una [proporcionalidad](#def-g6-propdata-def) en el sentido de la [Definición 44.1](#def-g6-propdata-def) . ¿Cuál es el coeficiente que convierte los centímetros del mapa en kilómetros? **Parte II — El plano de la habitación de Zoe.** Zoe dibuja el plano de su habitación — un rectángulo de $4$ m por $3$ m — a escala $1:50$. 6. ¿qué dimensiones tiene la habitación en el plano? 7. su cama mide $2$ m por $0.9$ m y el hueco de la puerta tiene $80$ cm de ancho. Da las tres medidas en el plano; 8. ahora, la trampa. Calcula el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) real de la habitación en m $^2$ y después el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de su plano en cm $^2$ . Convierte el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) real a cm $^2$ ( [Definición 43.5](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) ) y divide entre el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) del plano: ¿es el [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) $50$ ? 9. explica el número que has obtenido: en un plano $1:50$ , cada centímetro cuadrado de papel representa un cuadrado real de $50$ cm por $50$ cm. ¿Cuántos cm $^2$ reales son? Enuncia la regla: cuando las longitudes se dividen entre $50$ , las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) se dividen entre … 10. una alfombra redonda cubre $6$ cm $^2$ en el plano. ¿Qué [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) real cubre, en cm $^2$ y después en m $^2$ ? **Parte III — Cómo mentir con un gráfico (y con un porcentaje).** 11. una tienda vendió por valor de $105$ euros el sábado y $110$ el domingo. El gerente dibuja un diagrama de barras cuyo eje vertical empieza en $100$ : la barra del sábado sube $5$ unidades pequeñas y la del domingo, $10$ . ¿Qué sugiere la imagen sobre el domingo y cuál es la verdad? (Calcula el aumento del domingo como porcentaje del sábado, al entero más cercano.) ¿Qué advertencia del [Método 44.8](#met-g6-propdata-read) ignoró el gerente? 12. vuelve a dibujar (o describe) el gráfico honesto, con el eje empezando en $0$ : ¿cómo se comparan ahora las dos barras? 13. una colección pasa de $40$ a $60$ sellos: calcula el aumento como porcentaje del valor de partida. Después vuelve a encoger de $60$ a $40$ : calcula la disminución como porcentaje de *su* valor de partida. ¿Por qué son distintas las dos respuestas para los mismos $20$ sellos? 14. época de rebajas: un abrigo de $100$ euros lleva un « $20\,\%$ de descuento» y, en caja, un « $10\,\%$ más sobre el precio rebajado». Calcula el precio final paso a paso. ¿Es el descuento total del $30\,\%$ ? Explícale al comprador cuál es de verdad; 15. el final, de vuelta al mapa de la pregunta 4 ( $1$ cm por $5$ km): un bosque ocupa $3$ cm $^2$ de ese mapa. ¿Cuál es su [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) real, en km $^2$ ? Termina con la regla de todo este problema: las longitudes siguen a la escala y las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) siguen a su … **Solución de Problema 44.1.** **1.** $100\,000$ cm $= 1\,000$ m $= 1$ km: un centímetro del mapa es un kilómetro sobre el terreno. **2.** $7.5$ cm $\rightarrow 7.5$ km entre los pueblos; $12$ cm $\rightarrow 12$ km de orilla del lago. **3.** $20$ km $\rightarrow 20$ cm en el mapa. **4.** $5$ km $= 500\,000$ cm, así que la escala es $1:500\,000$. El mapa de senderismo ($1:100\,000$) es el más detallado: usa $5$ cm de papel donde el otro gasta solo $1$ cm. **5.** | mapa (cm) | $1$ | $2$ | $7.5$ | | --- | --- | --- | --- | | real (km) | $1$ | $2$ | $7.5$ | Distancia real $=$ distancia en el mapa $\times 1$ (en estas unidades): siempre el *mismo* multiplicador, que es exactamente la definición de [proporcionalidad](#def-g6-propdata-def) ([Definición 44.1](#def-g6-propdata-def)). El coeficiente es aquí $1$ kilómetro por centímetro. **6.** $4$ m $= 400$ cm y $400 \div 50 = 8$; $3$ m $= 300$ cm y $300 \div 50 = 6$: el plano muestra un rectángulo de $8$ cm $\times$ $6$ cm. **7.** Cama: $200 \div 50 = 4$ cm por $90 \div 50 = 1.8$ cm. Hueco de la puerta: $80 \div 50 = 1.6$ cm. **8.** [Área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) real: $4 \times 3 = 12$ m$^2$. [Área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) del plano: $8 \times 6 = 48$ cm$^2$. Convirtiendo: $12$ m$^2 = 12 \times 10\,000 = 120\,000$ cm$^2$, y $$ 120\,000 \div 48 = 2\,500 . $$ El [cociente](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) no es $50$, sino $2\,500 = 50 \times 50$. **9.** Un cm$^2$ de papel representa un cuadrado real de $50$ cm por $50$ cm, que contiene $50 \times 50 = 2\,500$ cm$^2$. Así que, cuando las longitudes se dividen entre $50$, las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) se dividen entre $50 \times 50 = 2\,500$: las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) siguen el *cuadrado* de la escala. **10.** $6 \times 2\,500 = 15\,000$ cm$^2$, y $15\,000 \div 10\,000 = 1.5$ m$^2$. **11.** La imagen sugiere que el domingo se vendió el *doble* (una barra el doble de alta). La verdad: el aumento es de $5$ euros sobre $105$, y $5 \div 105 \approx 0.048$: un $5\,\%$ más, no un $100\,\%$ más. El gerente ignoró la advertencia de comprobar que el eje empieza en $0$ ([Método 44.8](#met-g6-propdata-read)). **12.** Con el eje desde $0$, las barras llegan a $105$ y $110$ unidades pequeñas: dos barras de altura casi igual, la imagen honesta de una [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) del $5\,\%$. **13.** Subida: el aumento es de $20$ sellos desde un punto de partida de $40$: $\frac{20}{40} = 50\,\%$. Bajada: la disminución es de $20$ sellos desde un punto de partida de $60$: $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$. Los mismos $20$ sellos con puntos de partida distintos — un porcentaje es siempre una [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) *de algo*, y ese «algo» ha cambiado. **14.** Después del $20\,\%$ de descuento: $100 - 20 = 80$ euros. El $10\,\%$ adicional se aplica a $80$: descuento de $8$ euros, precio final $72$ euros. Descuento total: $28$ euros sobre $100$, o sea, $28\,\%$ — no $30\,\%$. El segundo descuento actuó sobre el precio ya rebajado, así que sus euros son menos: los porcentajes de cantidades distintas no se suman. **15.** En ese mapa, $1$ cm representa $5$ km, así que $1$ cm$^2$ representa $5 \times 5 = 25$ km$^2$ (la regla de la pregunta 9). El bosque: $3 \times 25 = 75$ km$^2$. Las longitudes siguen a la escala; las [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) siguen a su *cuadrado*.