---
title: "Jerarquía de las operaciones"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 45
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/45-jerarquia-de-las-operaciones
---

# Capítulo 45 — Jerarquía de las operaciones

¿Cuánto vale $3 + 4 \times 5$? Si calculas de izquierda a derecha obtienes $35$; si multiplicas primero obtienes $23$. Las matemáticas necesitan una única respuesta, así que hay reglas de tráfico para los cálculos — las prioridades. Este capítulo las enuncia y presenta una primera identidad algebraica, la distributividad.

## 45.1 Las reglas de prioridad

**Teorema 45.1 (Reglas de prioridad).**

En un cálculo sin paréntesis:

1. las multiplicaciones y las divisiones se hacen *antes* que las [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) y las restas;
2. las operaciones del mismo nivel se hacen de izquierda a derecha.

Los paréntesis mandan sobre todo lo demás: lo que hay dentro de un paréntesis se calcula primero, empezando por los más interiores.

**Ejemplo 45.2.**

Un paso por línea, subrayando (mentalmente) lo que se calcula:

$$
\begin{align*}
3 + 4 \times 5 &= 3 + 20 = 23
&&\text{(primero la multiplicación)}\\
20 - 8 + 2 &= 12 + 2 = 14
&&\text{(mismo nivel: de izquierda a derecha)}\\
18 \div 3 \times 2 &= 6 \times 2 = 12
&&\text{(mismo nivel: de izquierda a derecha)}\\
(3 + 4) \times 5 &= 7 \times 5 = 35
&&\text{(primero los paréntesis).}
\end{align*}
$$

Fíjate en las trampas: $20 - 8 + 2$ *no* es $20 - 10$, y $18 \div 3 \times 2$ *no* es $18 \div 6$.

**Ejemplo 45.3 (Paréntesis anidados).**

$$
\begin{align*}
50 - 2 \times \bigl(3 + (10 - 4)\bigr)
&= 50 - 2 \times (3 + 6) && \text{(el paréntesis interior)}\\
&= 50 - 2 \times 9 && \text{(el paréntesis restante)}\\
&= 50 - 18 && \text{(la multiplicación)}\\
&= 32 .
\end{align*}
$$

**Observación 45.4 (La barra de fracción esconde paréntesis).**

La barra de una [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) agrupa su [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) y su [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def), como si cada uno llevara paréntesis invisibles:

$$
\frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5,
\qquad\text{y no}\quad 12 + \frac{8}{4} = 14 .
$$

**Método 45.5 (Calcular sin errores).**

1. localiza la operación que hay que hacer primero (los paréntesis más interiores, luego $\times$ y $\div$ , y luego $+$ y $-$ );
2. calcula *solo esa* y reescribe la expresión entera con el resultado en su sitio;
3. repite hasta que quede un solo número — una operación por línea, sin atajos.

## 45.2 La distributividad

**Teorema 45.6 (Distributividad).**

Para todos los números $k$, $a$ y $b$:

$$
k \times (a + b) = k \times a + k \times b,
\qquad
k \times (a - b) = k \times a - k \times b .
$$

**Demostración con un dibujo.** Cuenta el [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) de un rectángulo de ancho $k$ partido en dos rectángulos menores de largos $a$ y $b$: entero vale $k \times (a+b)$; en dos partes vale $k \times a + k \times b$. El mismo rectángulo, la misma [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area). ∎

![La distributividad como áreas: el rectángulo grande k × (a + b) es la suma de los dos pequeños.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-priorities/fig-20d5069e21cc.svg)

*La distributividad como [áreas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area): el rectángulo grande $k \times (a + b)$ es la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los dos pequeños.*

**Ejemplo 45.7 (Los dos sentidos).**

*Desarrollar* (de izquierda a derecha) facilita el cálculo mental:

$$
7 \times 103 = 7 \times (100 + 3) = 700 + 21 = 721,
\qquad
6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 600 - 12 = 588 .
$$

*Factorizar* (de derecha a izquierda) saca un factor común:

$$
23 \times 12 + 23 \times 8 = 23 \times (12 + 8) = 23 \times 20 = 460 .
$$

**Ejemplo 45.8 (Traducir palabras a un cálculo).**

«La [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de $8$ y el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de $5$ por $3$» es $8 + 5 \times 3 =
23$. «El [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de $5$ por la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de $8$ y $3$» es $5 \times (8 + 3) = 55$: las palabras «el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de … por la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de…» ponen paréntesis alrededor de la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def).

## 45.3 Ejercicios

**Ejercicio 45.1 ★.**

Calcula, una operación por línea:

$$
5 + 3 \times 6, \qquad
(5 + 3) \times 6, \qquad
30 - 12 \div 4, \qquad
(30 - 12) \div 4 .
$$

**Solución de Ejercicio 45.1.**

$5 + 3 \times 6 = 5 + 18 = 23$.

$(5 + 3) \times 6 = 8 \times 6 = 48$.

$30 - 12 \div 4 = 30 - 3 = 27$.

$(30 - 12) \div 4 = 18 \div 4 = 4.5$.

**Ejercicio 45.2 ★.**

Calcula:

$$
24 - 6 + 2, \qquad
24 \div 6 \times 2, \qquad
24 - 6 \times 2, \qquad
24 \div (6 \times 2).
$$

**Solución de Ejercicio 45.2.**

$24 - 6 + 2 = 18 + 2 = 20$ (de izquierda a derecha).

$24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (de izquierda a derecha).

$24 - 6 \times 2 = 24 - 12 = 12$ (primero la multiplicación).

$24 \div (6 \times 2) = 24 \div 12 = 2$.

**Ejercicio 45.3 ★.**

Calcula paso a paso:

$$
7 + 3 \times (10 - 6), \qquad
40 - (2 + 3) \times 4, \qquad
60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr).
$$

**Solución de Ejercicio 45.3.**

$7 + 3 \times (10 - 6) = 7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19$.

$40 - (2 + 3) \times 4 = 40 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20$.

$60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr) = 60 \div (2 \times 3)
= 60 \div 6 = 10$.

**Ejercicio 45.4 ★.**

Calcula las fracciones (¡paréntesis invisibles!):

$$
\frac{18 + 6}{8}, \qquad
\frac{30}{7 - 2}, \qquad
\frac{5 \times 8}{4 + 6} .
$$

**Solución de Ejercicio 45.4.**

$\dfrac{18 + 6}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$; $\dfrac{30}{7 - 2} = \dfrac{30}{5} = 6$; $\dfrac{5 \times 8}{4 + 6} = \dfrac{40}{10} = 4$.

**Ejercicio 45.5 ★.**

Usa la distributividad para calcular de cabeza:

$$
8 \times 102, \qquad
25 \times 99, \qquad
14 \times 12 + 14 \times 8, \qquad
37 \times 45 - 37 \times 35 .
$$

**Solución de Ejercicio 45.5.**

$8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816$.

$25 \times 99 = 25 \times (100 - 1) = 2500 - 25 = 2475$.

$14 \times 12 + 14 \times 8 = 14 \times (12 + 8) = 14 \times 20 = 280$.

$37 \times 45 - 37 \times 35 = 37 \times (45 - 35) = 37 \times 10 =
370$.

**Ejercicio 45.6 ★.**

Escribe el cálculo en una sola línea, con paréntesis donde haga falta, y calcúlalo: «la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de $50$ y el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de $6$ por $7$»; «el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de $4$ y $5$ por la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de $10$ y $8$”.

**Solución de Ejercicio 45.6.**

«La [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de $50$ y el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de $6$ por $7$»: $50 - 6 \times 7 = 50 - 42 = 8$ (no hacen falta paréntesis, la jerarquía hace el trabajo).

«El [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) de la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de $4$ y $5$ por la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de $10$ y $8$”: $(4 + 5) \times (10 - 8) = 9 \times 2 = 18$.

**Ejercicio 45.7 ★.**

Amir compró $3$ cuadernos a $2.50$ cada uno y $2$ bolígrafos a $1.20$ cada uno. Escribe su total en una sola expresión y calcúlalo después.

**Solución de Ejercicio 45.7.**

$3 \times 2.50 + 2 \times 1.20 = 7.50 + 2.40 = 9.90$ euros.

**Ejercicio 45.8 ★★.**

Coloca paréntesis en $4 + 2 \times 5 - 1$ para que el resultado sea: (a) $13$; (b) $29$; (c) $24$. (Uno de los tres no necesita ningún paréntesis — ¿cuál?)

**Solución de Ejercicio 45.8.**

(a) sin paréntesis: $4 + 2 \times 5 - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$.

(b) $(4 + 2) \times 5 - 1 = 30 - 1 = 29$.

(c) $(4 + 2) \times (5 - 1) = 6 \times 4 = 24$.

**Ejercicio 45.9 ★★.**

¿Son $12 + 4 \times k$ y $16 \times k$ lo mismo para todo número $k$? Pruébalo con $k = 1$ y $k = 2$ y saca una conclusión. ¿Qué error de prioridad llevaría de uno al otro?

**Solución de Ejercicio 45.9.**

$k = 1$: $12 + 4 \times 1 = 16$ y $16 \times 1 = 16$ — coinciden (¡por eso $k = 1$ es una mala prueba!). $k = 2$: $12 + 4 \times 2 = 20$ pero $16 \times 2 = 32$: distintos. Así que las dos expresiones *no* son iguales en general. El error $12 + 4 \times k = 16 \times k$ viene de sumar primero $12 + 4$, ignorando la prioridad de $\times$.

**Ejercicio 45.10 ★★.**

Una entrada de cine cuesta $9$ euros, pero un grupo de $n$ personas paga una tarifa fija de $12$ euros más $6$ euros por persona.

1. escribe una expresión para el precio del grupo y calcúlalo para $n = 5$ .
2. ¿a partir de cuántas personas sale más barata la tarifa de grupo que $n$ entradas individuales? (Prueba con algunos valores de $n$ .)

**Solución de Ejercicio 45.10.**

*1.* Precio de grupo: $12 + 6 \times n$. Para $n = 5$: $12 + 30 = 42$ euros.

*2.* Precio individual: $9n$. Comparación: $n = 3$: $30$ frente a $27$ (sale mejor individual); $n = 4$: $36$ frente a $36$ (igual); $n = 5$: $42$ frente a $45$ (gana el grupo). A partir de $5$ personas gana la tarifa de grupo (cada persona de más cuesta $6$ en vez de $9$, así que la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) solo crece).

**Ejercicio 45.11 ★★★.**

Usando cada una de las cifras $1$, $2$, $3$ y $4$ exactamente una vez, las cuatro operaciones y todos los paréntesis que quieras, escribe expresiones iguales a $24$, a $10$ y a $1$.

**Solución de Ejercicio 45.11.**

Respuestas posibles (hay muchas):

$$
24 = 1 \times 2 \times 3 \times 4, \qquad
10 = 1 + 2 + 3 + 4, \qquad
1 = (4 - 3) \times (2 - 1).
$$

## 45.4 Problema: Multiplicar como un escriba egipcio

**Problema 45.1.**

Problema de fin de semana — trucos de cálculo mental que salen de la distributividad, y la multiplicación por duplicación y mitades usada durante cuatro mil años

Mucho antes de las calculadoras — y antes de que las tablas de multiplicar se machacaran en la escuela —, los escribas egipcios y los campesinos rusos multiplicaban dos números cualesquiera usando solo *duplicar, partir por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) y sumar*. Su método parece magia; en realidad es la distributividad ([Teorema 45.6](#thm-g7-priorities-distributivity)) trabajando a pleno rendimiento. Este problema afila tu cálculo mental, después te enseña el método antiguo y luego levanta el capó para ver exactamente por qué funciona.

**Parte I — El arte de no calcular.**

1. calcula de cabeza, desarrollando como en el [Ejemplo 45.7](#ex-g7-priorities-distributivity) : $7 \times 102$ y $9 \times 98$ ;
2. calcula de cabeza, factorizando: $17 \times 13 + 17 \times 7$ y $45 \times 101 - 45$ .
3. el truco del «por $5$ »: para multiplicar por $5$ , multiplica por $10$ y parte por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) . Calcula $5 \times 87$ así y explica por qué el truco es legítimo;
4. dos trucos más para justificar y usar: multiplicar por $25$ multiplicando por $100$ y dividiendo entre $4$ (calcula $25 \times 32$ ); multiplicar por $99$ multiplicando por $100$ y restando una vez (calcula $99 \times 47$ );
5. un aviso: la distributividad reparte un factor sobre una *[suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def)* , nunca sobre un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) . Compara $8 \times (5 + 3)$ con $8 \times 5 + 8 \times 3$ , y después $8 \times (5 \times 3)$ con $(8 \times 5) \times (8 \times 3)$ : ¿qué pareja coincide y cuál no?

**Parte II — El método de duplicar y partir por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half).** Esta es la receta para $13 \times 24$. Escribe dos columnas. Columna izquierda: empieza en $13$ y *parte por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half)*, tirando cualquier [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder), hasta llegar a $1$: $13,\ 6,\ 3,\ 1$. Columna derecha: empieza en $24$ y *duplica* otras tantas veces: $24,\ 48,\ 96,\ 192$. Tacha todas las filas cuyo número de la *izquierda* sea [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) y [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) los números de la derecha que sobrevivan.

6. aplica la receta a $13 \times 24$ : ¿qué fila se tacha, qué [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) queda y coincide con $13 \times 24$ ?
7. multiplica $21 \times 17$ con el método (parte $21$ por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) y duplica $17$ ) y comprueba la respuesta con la multiplicación ordinaria;
8. multiplica $16 \times 25$ con el método. ¿Cuántas filas sobreviven y qué tiene de especial una columna izquierda que empieza en $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16, \dots$ ?
9. ahora, *por qué* funciona, paso a paso. Justifica cada igualdad con la distributividad: $$13 \times 24 = (12 + 1) \times 24  = 12 \times 24 + 24 = 6 \times 48 + 24 .$$ Moraleja: partir por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) la izquierda y duplicar la derecha conserva el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) — pero, cuando el número de la izquierda es *[impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*, se desgaja una copia del número de la derecha que hay que guardar. ¿Qué número guarda la primera fila de la tabla?
10. sigue la contabilidad tabla abajo: $6 \times 48 = 3 \times 96$ , después $3 \times 96 = 1 \times 192 + 96$ , después $1 \times 192 = 192$ . Reúne todo lo que se ha ido guardando por el camino y explica por qué los números guardados son exactamente los de la columna derecha de las filas con izquierda [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — las filas que la receta conserva.

**Parte III — Bajo el capó: [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de duplicaciones.**

11. en la pregunta 6, las filas supervivientes valían $1$ , $4$ y $8$ duplicaciones de $24$ : el método escribió en silencio $13 \times 24 = (1 + 4 + 8) \times 24$ . Comprueba que $1 + 4 + 8 = 13$ y halla qué duplicaciones ( $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ ) conservó el método para $21$ en la pregunta 7;
12. escribe $25$ y $42$ como [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de números de la lista de duplicaciones $1, 2, 4, 8, 16, 32$ , usando cada uno como mucho una vez;
13. explica por qué *todo* número entero se puede escribir así: toma el mayor número de duplicación que quepa, resta y repite — ¿por qué tiene que pararse esto? Escribe $100$ como una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) así;
14. los escribas de Egipto hacían exactamente esto hace cuatro mil años: para multiplicar $19 \times 35$ , hacían una tabla de duplicaciones de $35$ ( $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ ), elegían las filas que sumaban $19$ y las sumaban. Haz el cálculo a su manera;
15. final: los ordenadores modernos, que cuentan con $0$ y $1$ , multiplican esencialmente como los escribas — a base de duplicaciones y [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) . ¿Qué tres [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) haría un ordenador para $13 \times 24$ ? (Por qué todo número se descompone en duplicaciones, y qué tienen que ver los $0$ y los $1$ con ello, es el problema de fin de semana del capítulo de las potencias: [Problema 56.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#pb-g8-powers-1) .)

**Solución de Problema 45.1.**

**1.** $7 \times 102 = 7 \times (100 + 2) = 700 + 14 =
714$; $9 \times 98 = 9 \times (100 - 2) = 900 - 18 = 882$.

**2.** $17 \times 13 + 17 \times 7 = 17 \times (13 + 7) =
17 \times 20 = 340$; $45 \times 101 - 45 = 45 \times (101
- 1) = 45 \times 100 = 4\,500$.

**3.** $5 \times 87 = 870 \div 2 = 435$. Legitimidad: $5 = 10 \div 2$, así que multiplicar por $5$ es multiplicar por $10$ y después dividir entre $2$ (el orden de $\times$ y $\div$, del mismo nivel y de izquierda a derecha, hace el resto).

**4.** $25 \times 32 = 3\,200 \div 4 = 800$, porque $25 = 100 \div 4$. Y $99 \times 47 = (100 - 1) \times 47 = 4\,700 - 47 = 4\,653$: la distributividad sobre la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) ([Teorema 45.6](#thm-g7-priorities-distributivity)).

**5.** $8 \times (5 + 3) = 64$ y $8 \times 5 + 8 \times 3
= 40 + 24 = 64$: coinciden — eso es la distributividad. Pero $8 \times (5 \times 3) = 8 \times 15 = 120$, mientras que $(8 \times 5) \times (8 \times 3) = 40 \times 24 = 960$: no coinciden. El factor se reparte sobre los *términos de una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def)*, no sobre los factores de un [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def).

**6.**

| $13$ | $24$ | se conserva ($13$ [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)) |
| --- | --- | --- |
| $6$ | $48$ | se tacha ($6$ [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)) |
| $3$ | $96$ | se conserva |
| $1$ | $192$ | se conserva |

[Suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los números de la derecha supervivientes: $24 + 96 + 192 = 312$, y, en efecto, $13 \times 24 = 312$.

**7.** [Mitades](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de $21$: $21, 10, 5, 2, 1$; dobles de $17$: $17, 34, 68, 136, 272$. Las izquierdas [pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $10$ y $2$ se tachan; supervivientes $17 + 68 + 272 = 357$. Comprobación: $21 \times 17 = 357$.

**8.** [Mitades](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de $16$: $16, 8, 4, 2, 1$; dobles de $25$: $25, 50, 100, 200, 400$. Todos los números de la izquierda salvo el $1$ final son [pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd): sobrevive una sola fila y la respuesta es $400$. Una columna izquierda hecha de duplicaciones puras conserva solo su última fila — el método se reduce a duplicar.

**9.** $13 = 12 + 1$, así que, por la distributividad, $13 \times 24 = 12 \times 24 + 1 \times 24$; y $12 \times 24 = 6 \times 48$, porque partir un factor por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) y duplicar el otro deja igual el [producto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/10-la-multiplicacion-primeros-pasos#def-g2-mult-def) ($12 \times 24 = 6 \times 2 \times 24 = 6 \times 48$). El número de la izquierda [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $13$ desgajó una copia del número de la derecha: la primera fila guarda $24$.

**10.** $6 \times 48 = 3 \times 96$ ([mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) y doble, sin guardar nada: $6$ es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)). $3 \times 96 = 2 \times 96 + 96 =
1 \times 192 + 96$: el $3$ [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) guarda $96$. Por último, $1 \times 192 = 192$: el $1$ [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) guarda $192$ y la tabla se acaba. Total guardado: $24 + 96 + 192 = 312$. Una fila guarda su número de la derecha exactamente cuando su número de la izquierda es [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — así que la receta «conserva las filas de izquierda [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) y [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def)» es precisamente la contabilidad de la distributividad.

**11.** $1 + 4 + 8 = 13$. Para $21$, las filas supervivientes fueron las de $17$, $68 = 4 \times 17$ y $272 = 16 \times 17$: las duplicaciones $1 + 4 + 16 = 21$.

**12.** $25 = 16 + 8 + 1$ y $42 = 32 + 8 + 2$.

**13.** Toma el mayor número de duplicación que no supere el objetivo y réstalo; lo que queda es menor y menor que la duplicación que acabas de usar (si no, habría cabido una mayor). Repitiendo, el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) mengua estrictamente y tiene que llegar a $0$: el proceso se para y las duplicaciones usadas son todas distintas. Para $100$: cabe $64$ (quedan $36$), cabe $32$ (quedan $4$), cabe $4$ (queda $0$): $100 = 64 + 32 + 4$.

**14.** Tabla de duplicaciones de $35$: $1 \to 35$, $2 \to 70$, $4 \to 140$, $8 \to 280$, $16 \to 560$. Como $19 = 16 + 2 + 1$, se eligen esas filas: $560 + 70 + 35 = 665$. Comprobación: $19 \times 35 = 665$.

**15.** Las mismas tres que el escriba y el campesino: $24 + 96 + 192$ — las duplicaciones de $24$ seleccionadas por $13 = 1 + 4 + 8$. Escribir números como [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de duplicaciones es exactamente escribirlos con $0$ y $1$; la historia completa se cuenta en el [Problema 56.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/56-las-potencias#pb-g8-powers-1).