--- title: "Los números relativos" book: "Matemáticas de primaria y secundaria" subject: math language: es chapter: 46 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/46-los-numeros-relativos --- # Capítulo 46 — Los números relativos Temperaturas bajo [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero), plantas por debajo del suelo, dinero que se debe: muchas magnitudes bajan de $0$. Los números negativos prolongan la recta numérica hacia la izquierda del [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero). Este capítulo enseña a compararlos y a sumarlos y restarlos — su multiplicación espera al [Capítulo 54](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/54-multiplicar-numeros-relativos#ch-g8-negprod). ## 46.1 Los números relativos **Definición 46.1 (Números relativos).** Un *número relativo* está formado por un signo ($+$ o $-$) y una *distancia al [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero)*: $+3$ y $-3$ están los dos a distancia $3$ de $0$, en lados opuestos. Los números positivos se escriben normalmente sin su signo: $+3 = 3$. Los números $+3$ y $-3$ son *opuestos* el uno del otro. ![La recta numérica prolongada hacia la izquierda: -3 y +3 son números opuestos, a la misma distancia de 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-d11f9c05fe48.svg) *La recta numérica prolongada hacia la izquierda: $-3$ y $+3$ son números opuestos, a la misma distancia de $0$.* **Método 46.2 (Comparar números relativos).** En la recta numérica, menor significa más a la izquierda. En la práctica: 1. un número negativo es siempre menor que uno positivo: $-7 < 2$ ; 2. entre dos positivos, el orden de siempre; 3. entre dos negativos, el de *mayor* distancia al [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) es el *menor* : $-7 < -2$ . **Ejemplo 46.3.** Ordena de menor a mayor: $3$; $-5$; $0$; $-1.5$; $2.8$. Primero los negativos, encabezados por el más negativo: $$ -5 < -1.5 < 0 < 2.8 < 3 . $$ ## 46.2 Sumar números relativos Piensa en un [número relativo](#def-g7-negatives-def) como un movimiento a lo largo de la recta: $+5$ significa «camina $5$ pasos a la derecha» y $-3$, «camina $3$ pasos a la izquierda». Sumar números es encadenar los paseos. **Método 46.4 (Sumar dos números relativos).** 1. *Mismo signo* : [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) las distancias y conserva el signo común: $(-3) + (-4) = -7$ . 2. *signos opuestos* : resta la distancia menor de la mayor y toma el signo de la mayor: $(-7) + (+2) = -5$ y $(+7) + (-2) = +5$ ; 3. los opuestos se anulan: $(+4) + (-4) = 0$ . ![Sumar como caminar: saliendo de 0, el paseo -3.5 y después el paseo +2 llevan a (-3.5) + 2 = -1.5.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-c6e3d0f5b921.svg) *Sumar como caminar: saliendo de $0$, el paseo $-3.5$ y después el paseo $+2$ llevan a $(-3.5) + 2 = -1.5$.* **Ejemplo 46.5.** Paso a paso, agrupando como convenga: $$ \begin{align*} (-8) + (+3) &= -5 && \text{(signos opuestos: } 8 - 3 = 5, \text{ signo del } 8)\\ (-2.5) + (-1.5) &= -4 && \text{(mismo signo: se suman las distancias)}\\ (+6) + (-9) + (+3) &= (-3) + (+3) = 0 . \end{align*} $$ ## 46.3 Restar números relativos **Teorema 46.6 (Regla de la resta).** Restar un [número relativo](#def-g7-negatives-def) es lo mismo que *sumar su opuesto*: $$ a - b = a + (-b) . $$ **Por qué funciona.** $a - b$ es el número que, sumado a $b$, da $a$. Comprobemos que $a + (-b)$ cumple ese papel: $\bigl(a + (-b)\bigr) + b = a + \bigl((-b) + b\bigr) = a + 0 = a$. ∎ **Ejemplo 46.7.** Toda resta se convierte en una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) y entonces se aplica el [Método 46.4](#met-g7-negatives-add): $$ \begin{align*} 5 - 9 &= 5 + (-9) = -4, \\ (-3) - (+4) &= (-3) + (-4) = -7, \\ (-2) - (-6) &= (-2) + (+6) = +4 . \end{align*} $$ La última línea es la famosa: *restar un negativo es sumar*. ¡Quitar una deuda te hace más rico! **Ejemplo 46.8 (Diferencias de temperatura).** En un día la temperatura pasó de $-6$ grados a $+9$ grados. La subida es la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) $$ 9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \text{ grados}. $$ En la recta numérica: de $-6$ hasta $0$ hay $6$ grados y de $0$ a $9$ hay $9$ más. ## 46.4 Coordenadas en todo el plano **Definición 46.9 (Coordenadas con signo).** Con dos ejes graduados [perpendiculares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-perp) que se cortan en el origen $O$, cada punto del plano recibe dos coordenadas relativas $(x, y)$: una $x$ negativa significa a la izquierda del eje vertical y una $y$ negativa, por debajo del eje horizontal. ![Un punto en cada cuarto del plano. Lee siempre primero la coordenada horizontal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-e9a527c0178e.svg) *Un punto en cada [cuarto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) del plano. Lee siempre primero la coordenada horizontal.* ## 46.5 Ejercicios **Ejercicio 46.1 ★.** Di el opuesto de: $7$; $-3.5$; $0$; $+12$. Después completa: «dos números son opuestos cuando su [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) es ?». **Solución de Ejercicio 46.1.** Opuestos: $-7$; $+3.5$; $0$ (opuesto de sí mismo); $-12$. Dos números son opuestos cuando su [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) es $0$. **Ejercicio 46.2 ★.** Copia y completa con $<$ o $>$: $$ -4 \;?\; 1, \qquad -4 \;?\; -7, \qquad -2.5 \;?\; -2.4, \qquad 0 \;?\; -0.1 . $$ **Solución de Ejercicio 46.2.** $-4 < 1$; $-4 > -7$; $-2.5 < -2.4$; $0 > -0.1$. **Ejercicio 46.3 ★.** Ordena de menor a mayor: $-3$; $2.5$; $-0.5$; $-3.1$; $0$; $1$. **Solución de Ejercicio 46.3.** $-3.1 < -3 < -0.5 < 0 < 1 < 2.5$. **Ejercicio 46.4 ★.** Calcula: $$ (-5) + (-9), \qquad (-12) + (+7), \qquad (+3.5) + (-1.5), \qquad (-6) + (+6). $$ **Solución de Ejercicio 46.4.** $(-5) + (-9) = -14$; $(-12) + (+7) = -5$; $(+3.5) + (-1.5) = +2$; $(-6) + (+6) = 0$. **Ejercicio 46.5 ★.** Transforma en [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) y calcula después: $$ 4 - 11, \qquad (-5) - (+3), \qquad (-7) - (-10), \qquad 0 - (-8). $$ **Solución de Ejercicio 46.5.** $4 - 11 = 4 + (-11) = -7$. $(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8$. $(-7) - (-10) = (-7) + (+10) = +3$. $0 - (-8) = 0 + (+8) = +8$. **Ejercicio 46.6 ★.** Calcula agrupando con astucia (¡primero los opuestos!): $$ (+7) + (-12) + (+3) + (-8), \qquad (-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1). $$ **Solución de Ejercicio 46.6.** $(+7) + (-12) + (+3) + (-8) = (+10) + (-20) = -10$ (los positivos juntos y los negativos juntos). $(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1) = (-10) + (+10) = 0$. **Ejercicio 46.7 ★.** Esta mañana la temperatura era de $-3$ grados; subió $8$ grados durante el día y bajó $12$ grados por la noche. Escribe un solo cálculo que dé la temperatura final y calcúlalo. **Solución de Ejercicio 46.7.** $(-3) + 8 - 12 = 5 - 12 = -7$: por la noche hace $-7$ grados. **Ejercicio 46.8 ★.** Sitúa en unos ejes de coordenadas: $A(2, 3)$; $B(-3, 1)$; $C(-2, -2)$; $D(3, -1)$; $E(0, -3)$. ¿Qué punto está sobre un eje? **Solución de Ejercicio 46.8.** Representación libre; $E(0, -3)$ está sobre el eje vertical (su primera coordenada es $0$). **Ejercicio 46.9 ★★.** Calcula la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) entre la temperatura máxima y la mínima: Moscú en enero, máxima $-4$ grados, mínima $-13$ grados; Helsinki, máxima $2$, mínima $-9$. **Solución de Ejercicio 46.9.** Moscú: $(-4) - (-13) = -4 + 13 = 9$ grados de [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference). Helsinki: $2 - (-9) = 11$ grados. **Ejercicio 46.10 ★★.** Una buceadora está a una altitud de $-12$ m (doce metros por debajo de la superficie). Sube $7$ m y después baja $4$ m. ¿A qué altitud está? ¿Cuánto le falta por subir para llegar a la superficie? **Solución de Ejercicio 46.10.** $(-12) + 7 - 4 = -5 - 4 = -9$: está a $-9$ m. Para llegar a la superficie (altitud $0$) tiene que subir $0 - (-9) = 9$ m. **Ejercicio 46.11 ★★.** Sitúa $A(-2, 1)$, $B(2, 1)$ y $C(2, -2)$. Halla las coordenadas del punto $D$ para que $ABCD$ sea un rectángulo y calcula su [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) (cuenta las casillas de la cuadrícula para las longitudes de los lados). **Solución de Ejercicio 46.11.** $D(-2, -2)$: la misma primera coordenada que $A$ y la misma segunda coordenada que $C$. Lados: $AB = 4$ (de $-2$ a $2$) y $BC = 3$ (de $1$ a $-2$), así que el [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) es $2 \times (4 + 3) = 14$. **Ejercicio 46.12 ★★★.** En el cuadrado mágico de abajo, cada fila, cada columna y cada diagonal deben tener la misma [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def). Cópialo y complétalo: | $?$ | $-7$ | $0$ | | --- | --- | --- | | $-3$ | $-2$ | $?$ | | $-4$ | $?$ | $?$ | (Empieza hallando la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) mágica con la diagonal que está casi completa.) **Solución de Ejercicio 46.12.** La diagonal completa $0, -2, -4$ da la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) mágica $0 + (-2) + (-4) = -6$. Entonces, casilla a casilla: arriba a la izquierda $= -6 - (-7) - 0 = 1$; centro derecha $= -6 - (-3) - (-2) = -1$; abajo a la derecha $= -6 - 0 - (-1) = -5$; abajo en el centro $= -6 - (-7) - (-2) = 3$. | $1$ | $-7$ | $0$ | | --- | --- | --- | | $-3$ | $-2$ | $-1$ | | $-4$ | $3$ | $-5$ | Cada fila, cada columna y cada diagonal suman $-6$. ## 46.6 Problema: El año cero que nunca existió **Problema 46.1.** Problema de fin de semana — los números relativos en la línea del tiempo de la historia: duraciones que cruzan el cambio de era, el truco de los astrónomos y el principio de la variación neta La recta numérica de este capítulo tiene un gemelo famoso en el mundo real: la línea del tiempo de la historia, con los años a. C. extendiéndose hacia la izquierda y los años d. C. hacia la derecha. Pero la recta de los historiadores esconde una trampa que ha estropeado muchos cálculos: *no hay año [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero)* — al año 1 a. C. le sigue inmediatamente el 1 d. C. Este problema calcula con temperaturas, ascensores y cuentas bancarias, y después repara el [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) roto de la historia como hacen los astrónomos: con [números relativos](#def-g7-negatives-def). **Parte I — Calentamiento y una primera trampa.** 1. la cima del Mont Blanc está a una altitud de $+4\,808$ m; la orilla del mar Muerto, a $-430$ m. Calcula la [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) de altitud entre las dos; 2. una cuenta bancaria tiene $-45$ euros (un descubierto). Su titular ingresa $120$ euros, paga una factura de $60$ euros y después ingresa $15$ euros. Escribe el saldo como una sola cadena de [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) y calcúlalo. ¿Qué ingreso único habría llevado los $-45$ iniciales exactamente a $0$ ? 3. Julio César nació en el $100$ a. C. y murió en el $44$ a. C. Contando los años a. C. como números negativos (el $100$ a. C. como $-100$ y el $44$ a. C. como $-44$ ), calcula $(-44) - (-100)$ : ¿cuántos años vivió César? 4. el emperador Augusto nació en el $63$ a. C. y murió en el $14$ d. C. La misma receta da $14 - (-63) = 77$ años — pero los historiadores insisten en que murió con $76$ . Su objeción: el recuento $77$ atraviesa un año que nunca existió. ¿Cuál? 5. los astrónomos reparan la línea del tiempo cambiando las etiquetas: los años d. C. conservan su número (el $+14$ sigue siendo $+14$ ), pero el $1$ a. C. pasa a ser $0$ , el $2$ a. C. pasa a ser $-1$ y, en general, el año $n$ a. C. pasa a ser $-(n - 1)$ . Convierte el $63$ a. C. y rehaz el cálculo de la pregunta 4 con los números de los astrónomos. ¿Satisface ahora la respuesta a los historiadores? **Parte II — Calcular a través de las eras.** A partir de ahora, usa el cambio de etiquetas de los astrónomos en todos los cálculos y vuelve a a. C./d. C. al final (un año etiquetado $0$ o negativo $-m$ es el año $m + 1$ a. C. de los historiadores). 6. convierte a números de astrónomo: $1$ a. C.; $10$ a. C.; $476$ d. C.; y $753$ a. C., la fundación legendaria de Roma; 7. ¿cuántos años pasaron desde la fundación de Roma ( $753$ a. C.) hasta la caída del Imperio de Occidente ( $476$ d. C.)? 8. un [cometa](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#pb-g6-shapes-1) vuelve cada $76$ años y apareció en el $12$ a. C. Di los años de los historiadores de sus tres siguientes apariciones y el de la aparición justo anterior al $12$ a. C.; 9. ¿cuántos años pasaron del $5$ a. C. al $5$ d. C.? (La respuesta tentadora es $10$ ; la línea del tiempo dice otra cosa.) 10. un niño nacido en el $3$ a. C. cumplió diez años ¿en qué año (a. C. o d. C.)? **Parte III — El principio de la variación neta.** 11. la *distancia* entre dos números de la recta es el mayor menos el menor — siempre positiva. Calcula la distancia entre $-7$ y $-2$ , y después entre $-3.5$ y $4.5$ ; 12. un ascensor sale de la planta $0$ y hace los movimientos $+3$ , $-5$ , $+2$ , $-1$ , $+4$ . Calcula la planta final agrupando con astucia ( [Método 46.4](#met-g7-negatives-add) , primero los opuestos cuando se pueda). ¿Cambiaría el destino hacer los movimientos en otro orden? ¿Por qué? 13. día a día, la temperatura varía en $+2$ , $-4$ , $+1$ , $0$ , $-3$ , $+5$ y $-2$ grados a lo largo de una semana. Calcula la *variación neta* . Si la semana empezó a $-2$ grados, ¿en cuánto terminó? Enuncia el principio: valor final $=$ valor inicial $+$ ( [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de todas las variaciones); 14. el paseo de una senderista la devuelve exactamente a su altitud de partida. ¿Cuánto tiene que valer la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de todas sus variaciones de altitud y por qué? De sus seis variaciones registradas, cinco son $+4$ , $-7$ , $+2$ , $+3$ y $-5$ (en centenares de metros): halla la sexta; 15. el final, de vuelta en Roma. Un historiador calcula: «la República fue del $509$ a. C. al $27$ a. C., y después el Imperio hasta el $476$ d. C.; en total, del $509$ a. C. al $476$ d. C., es decir, $509 + 476 = 985$ años de Estado romano». Rehaz el cálculo con los números de los astrónomos. ¿Cuál es el total correcto y qué año, una vez más, ha causado el error? **Solución de Problema 46.1.** **1.** $4\,808 - (-430) = 4\,808 + 430 = 5\,238$ m ([Teorema 46.6](#thm-g7-negatives-sub): restar un negativo es sumar). **2.** Saldo: $$ (-45) + 120 + (-60) + 15 = 75 + (-60) + 15 = 15 + 15 = 30 \text{ euros}. $$ Para devolver los $-45$ iniciales a $0$, hay que ingresar su opuesto: $45$ euros. **3.** $(-44) - (-100) = (-44) + 100 = 56$: César vivió $56$ años. (Aquí no hay trampa: los dos años están del mismo lado del cambio de era.) **4.** El año $0$: contar desde $-63$ hasta $+14$ pasa por $0$, pero el calendario de los historiadores salta directamente del $1$ a. C. al $1$ d. C. — el año $0$ nunca existió, así que el recuento ingenuo sobra un año. **5.** El $63$ a. C. pasa a ser $-(63 - 1) = -62$. Entonces, $14 - (-62) = 14 + 62 = 76$ años: exactamente la cifra de los historiadores. En la recta reetiquetada de los astrónomos no hay huecos, así que la resta ordinaria da duraciones verdaderas. **6.** $1$ a. C. $\to 0$; $10$ a. C. $\to -9$; $476$ d. C. $\to +476$; $753$ a. C. $\to -752$. **7.** $476 - (-752) = 476 + 752 = 1\,228$ años. **8.** El $12$ a. C. es $-11$. Apariciones siguientes: $-11 + 76 = 65$, después $141$ y después $217$: los años $65$, $141$ y $217$ d. C. La anterior: $-11 - 76 = -87$, que es el año $87 + 1 = 88$ a. C. de los historiadores. **9.** El $5$ a. C. es $-4$, así que $5 - (-4) = 9$ años — no $10$. El año [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) que falta ataca siempre que una duración cruza el cambio de era. **10.** El $3$ a. C. es $-2$; diez años después es $-2 + 10 = +8$: el niño cumplió diez años en el año $8$ d. C. **11.** Entre $-7$ y $-2$: $(-2) - (-7) = 5$. Entre $-3.5$ y $4.5$: $4.5 - (-3.5) = 8$. **12.** Agrupando opuestos y números amigos: $$ 3 + (-5) + 2 + (-1) + 4 = \bigl(3 + 2\bigr) + (-5) + (-1) + 4 = 0 + (-1) + 4 = +3 : $$ el ascensor termina en la planta $3$. El orden no importa: una [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de [números relativos](#def-g7-negatives-def) se puede reorganizar libremente (cada movimiento se recorre sobre la misma recta y el paseo total es el mismo). **13.** Variación neta: $2 + (-4) + 1 + 0 + (-3) + 5 + (-2) = -1$ grado. Empezando en $-2$: temperatura final $-2 + (-1) = -3$ grados. En general, el valor final es el valor inicial más la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de todas las variaciones — no hace falta seguir las subidas y bajadas una a una. **14.** Volver al punto de partida significa variación neta $0$: las subidas y las bajadas tienen que cancelarse exactamente. Las cinco variaciones conocidas suman $4 + (-7) + 2 + 3 + (-5) = -3$, así que la sexta es la opuesta: $+3$ (trescientos metros de subida). **15.** Con los astrónomos: $509$ a. C. $\to -508$, y $476 - (-508) = 984$ años. Los $509 + 476 = 985$ del historiador cuentan un año de más — una vez más el año [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero) fantasma, incluido en silencio en la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) pero ausente de la historia. (Como comprobación, las dos eras: República de $-508$ a $-26$, $482$ años; Imperio de $-26$ a $+476$, $502$ años; $482 + 502 = 984$.)