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title: "Fracciones: comparar y sumar"
book: "Matemáticas de primaria y secundaria"
subject: math
language: es
chapter: 47
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/47-fracciones-comparar-y-sumar
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# Capítulo 47 — Fracciones: comparar y sumar

El año pasado presentamos las fracciones como repartos y como [cocientes](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) exactos ([Capítulo 39](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#ch-g6-fractions)). Este capítulo aprende a *calcular* con ellas: reconocer fracciones iguales, comparar, sumar y restar — por ahora con [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) amables; el caso general llega en el [Capítulo 63](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#ch-g9-fractions).

## 47.1 Fracciones iguales

**Teorema 47.1 (Fracciones iguales).**

Una [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) no cambia cuando su [numerador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) y su [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) se multiplican, o se dividen, por un mismo número distinto de [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero):

$$
\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .
$$

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 47.2.**

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20}$ y, en el otro sentido, $\dfrac{42}{30} = \dfrac{42 \div 6}{30 \div 6}
= \dfrac{7}{5}$ (simplified by $6$).

Para comprobar si $\dfrac{8}{12}$ y $\dfrac{10}{15}$ son iguales, simplifica las dos: $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ y $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ — sí, son iguales.

## 47.2 Comparar fracciones

**Método 47.3 (Comparar dos fracciones).**

1. *Mismo [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def)* : compara los [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) : $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ .
2. *un [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) es [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) del otro* : reescribe la [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) más basta y compara después: $\frac{5}{6}$ frente a $\frac{7}{12}$ : $\frac56 = \frac{10}{12} >  \frac{7}{12}$ .
3. *compara con $1$ o con $\frac12$* cuando se pueda: $\frac{9}{8} > 1 > \frac{7}{9}$ resuelve $\frac98$ frente a $\frac79$ al instante.

![Comparación de 5/6 y 7/12 en dos barras gemelas: al cortar los sextos por la mitad se ve que 5/6 = 10/12, más que 7/12.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-fractions/fig-342a23a205ce.svg)

*Comparación de $\frac56$ y $\frac{7}{12}$ en dos barras gemelas: al cortar los sextos por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) se ve que $\frac56 = \frac{10}{12}$, más que $\frac{7}{12}$.*

## 47.3 Sumar y restar

**Teorema 47.4 (Mismo denominador).**

Las fracciones con el mismo [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) se suman (o se restan) sumando (o restando) los [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def):

$$
\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d},
\qquad
\frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d} .
$$

**Por qué.** $a$ partes de tamaño $\frac1d$ más $b$ partes del mismo tamaño hacen $a + b$ partes de ese tamaño. ∎

**Método 47.5 (Denominadores distintos).**

Cuando un [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) es [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) del otro:

1. reescribe la [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) de [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) menor para que las dos tengan el mayor ( [Teorema 47.1](#thm-g7-fractions-equal) );
2. [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) o resta los [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) ;
3. simplifica el resultado si se puede.

**Ejemplo 47.6.**

Calcula $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}$, paso a paso:

1. $8$ es [múltiplo](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/32-division-y-multiplos#def-g5-division-multiple) de $4$ : reescribe $\dfrac34 = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$ ;
2. [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) : $\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{11}{8}$ ;
3. no hay nada que simplificar: el resultado es $\dfrac{11}{8}$ , es decir, $1 + \dfrac38$ .

Otro: $2 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{4}{5} =
\dfrac{6}{5}$ (escribe el número entero con [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) $5$ primero).

**Ejemplo 47.7 (Una trampa clásica).**

¡$\dfrac12 + \dfrac13$ *no* es $\dfrac{2}{5}$! Sumar [numeradores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) y [denominadores](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) por separado está mal — la respuesta $\frac25$ sería menor que $\frac12$, algo absurdo al *sumar* algo positivo a $\frac12$. (La [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) correcta, $\frac56$, necesita el [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común $6$; el método general está en el [Capítulo 63](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/63-fracciones-y-potencias#ch-g9-fractions).)

## 47.4 Multiplicar una fracción por un número

**Proposición 47.8 (Fracción por un número).**

Para un número $k$:

$$
k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b} .
$$

Tomar $\frac ab$ *de* una cantidad significa multiplicar por $\frac ab$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 47.9.**

$6 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$: seis veces dos tercios son cuatro unidades. Y «$\frac34$ de $60$ euros» es $\frac34 \times 60 = \frac{180}{4} = 45$ euros — la misma respuesta que dividir entre $4$ y multiplicar después por $3$ ([Método 39.8](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#met-g6-fractions-ofquantity)).

## 47.5 Ejercicios

**Ejercicio 47.1 ★.**

Completa: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{?}{20}$; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{?}$; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{?}$; $\dfrac{?}{9} = \dfrac{20}{36}$.

**Solución de Ejercicio 47.1.**

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{12}$; $\dfrac{5}{9} = \dfrac{20}{36}$.

**Ejercicio 47.2 ★.**

Simplifica todo lo posible: $\dfrac{12}{16}$; $\dfrac{30}{45}$; $\dfrac{27}{36}$; $\dfrac{48}{12}$.

**Solución de Ejercicio 47.2.**

$\dfrac{12}{16} = \dfrac34$; $\dfrac{30}{45} = \dfrac23$; $\dfrac{27}{36} = \dfrac34$; $\dfrac{48}{12} = 4$.

**Ejercicio 47.3 ★.**

¿Son iguales $\dfrac{15}{35}$ y $\dfrac{21}{49}$? ¿Y $\dfrac{16}{28}$ y $\dfrac{20}{36}$? Justifícalo simplificando.

**Solución de Ejercicio 47.3.**

$\dfrac{15}{35} = \dfrac37$ y $\dfrac{21}{49} = \dfrac37$: iguales.

$\dfrac{16}{28} = \dfrac47$ y $\dfrac{20}{36} = \dfrac59$: para compararlas, $\frac47 = \frac{36}{63}$ y $\frac59 = \frac{35}{63}$ — no son iguales.

**Ejercicio 47.4 ★.**

Compara (escribe el razonamiento, no solo la respuesta):

$$
\frac{7}{11} \text{ y } \frac{9}{11}; \qquad
\frac{5}{6} \text{ y } \frac{11}{18}; \qquad
\frac{13}{12} \text{ y } \frac{19}{20}.
$$

**Solución de Ejercicio 47.4.**

$\dfrac{7}{11} < \dfrac{9}{11}$ (mismo [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def)).

$\dfrac56 = \dfrac{15}{18} > \dfrac{11}{18}$.

$\dfrac{13}{12} > 1$ mientras que $\dfrac{19}{20} < 1$, así que $\dfrac{13}{12} > \dfrac{19}{20}$.

**Ejercicio 47.5 ★.**

Calcula y simplifica si se puede:

$$
\frac{5}{9} + \frac{2}{9}, \qquad
\frac{11}{7} - \frac{4}{7}, \qquad
\frac{5}{8} + \frac{7}{8} .
$$

**Solución de Ejercicio 47.5.**

$\dfrac59 + \dfrac29 = \dfrac79$; $\dfrac{11}{7} - \dfrac47 = \dfrac77 = 1$; $\dfrac58 + \dfrac78 = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$.

**Ejercicio 47.6 ★.**

Calcula usando el [Método 47.5](#met-g7-fractions-add):

$$
\frac{2}{3} + \frac{5}{6}, \qquad
\frac{7}{10} - \frac{2}{5}, \qquad
\frac{3}{4} + \frac{5}{12} .
$$

**Solución de Ejercicio 47.6.**

$\dfrac23 + \dfrac56 = \dfrac46 + \dfrac56 = \dfrac96 = \dfrac32$.

$\dfrac{7}{10} - \dfrac25 = \dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{10} =
\dfrac{3}{10}$.

$\dfrac34 + \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{5}{12} =
\dfrac{14}{12} = \dfrac76$.

**Ejercicio 47.7 ★.**

Calcula:

$$
3 - \frac{5}{4}, \qquad
1 + \frac{3}{8}, \qquad
2 - \frac{7}{6} .
$$

**Solución de Ejercicio 47.7.**

$3 - \dfrac54 = \dfrac{12}{4} - \dfrac54 = \dfrac74$; $1 + \dfrac38 = \dfrac{11}{8}$; $2 - \dfrac76 = \dfrac{12}{6} - \dfrac76 = \dfrac56$.

**Ejercicio 47.8 ★.**

Calcula:

$$
5 \times \frac{3}{10}, \qquad
\frac{7}{8} \times 4, \qquad
\frac{2}{3} \text{ de } 45 .
$$

**Solución de Ejercicio 47.8.**

$5 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{10} = \dfrac32$; $\dfrac78 \times 4 = \dfrac{28}{8} = \dfrac72$; $\dfrac23$ de $45$ es $\dfrac{2 \times 45}{3} = \dfrac{90}{3} = 30$.

**Ejercicio 47.9 ★★.**

Marcos se comió $\frac14$ de una pizza y Julia, $\frac38$ de la misma pizza. ¿Qué [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) de la pizza se comieron entre los dos? ¿Qué [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) queda?

**Solución de Ejercicio 47.9.**

Entre los dos: $\dfrac14 + \dfrac38 = \dfrac28 + \dfrac38 = \dfrac58$ de la pizza. Queda: $1 - \dfrac58 = \dfrac38$.

**Ejercicio 47.10 ★★.**

Una botella contiene $\frac34$ L de zumo. Lea sirve $\frac16$ L dos veces. ¿Cuánto zumo queda? ([Denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común: $12$.)

**Solución de Ejercicio 47.10.**

Servido: $2 \times \dfrac16 = \dfrac26 = \dfrac13$ L. Queda:

$$
\frac34 - \frac13 = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}
\text{ L}.
$$

**Ejercicio 47.11 ★★.**

Explica, con el argumento del [Ejemplo 47.7](#ex-g7-fractions-trap), por qué $\frac35 + \frac12$ no puede ser $\frac{4}{7}$, sin calcular la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) correcta.

**Solución de Ejercicio 47.11.**

Sumar la cantidad positiva $\frac12$ a $\frac35$ tiene que dar un resultado *mayor* que $\frac35$. Pero $\frac47 < \frac35$ (en efecto, $\frac47 = \frac{20}{35}$ y $\frac35 = \frac{21}{35}$): la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) que se afirma es menor que uno de sus términos — imposible.

**Ejercicio 47.12 ★★★.**

Calcula la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def)

$$
\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}
$$

paso a paso (de izquierda a derecha). Observa el patrón de las [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) parciales: ¿a qué número se acercan a medida que se van añadiendo términos $\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots$?

**Solución de Ejercicio 47.12.**

Paso a paso:

$$
\frac12 + \frac14 = \frac34, \qquad
\frac34 + \frac18 = \frac68 + \frac18 = \frac78, \qquad
\frac78 + \frac1{16} = \frac{14}{16} + \frac1{16} = \frac{15}{16}.
$$

Las [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) parciales $\frac12, \frac34, \frac78, \frac{15}{16}, \dots$ se acercan cada vez a la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de lo que faltaba: en cada paso, la parte que falta se corta por la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half). Las [sumas](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) se aproximan a $1$ sin llegar nunca.

## 47.6 Problema: Las fracciones escondidas en un compás de música

**Problema 47.1.**

Problema de fin de semana — las figuras musicales son fracciones que tienen que sumar exactamente, contar el ritmo esconde una sucesión famosa y la paridad manda en el compás balcánico

La música se escribe con fracciones. Una *redonda* dura $1$ compás (en el corriente compás de «cuatro por cuatro»); una *blanca* dura $\frac12$; después vienen la *negra*, $\frac14$, la *corchea*, $\frac18$, y la *semicorchea*, $\frac{1}{16}$. Una ley inviolable: *las duraciones de un compás tienen que sumar exactamente el total del compás* — $1$ en el compás de cuatro por cuatro. Todas las preguntas de abajo son la aritmética de este capítulo ([Teorema 47.4](#thm-g7-fractions-add), [Método 47.5](#met-g7-fractions-add)) puesta en música; por el camino conocerás una sucesión de recuento descubierta por eruditos indios hace mil años.

**Parte I — Figuras que tienen que sumar.**

1. comprueba que cada uno de estos compases es legal en el compás de cuatro por cuatro: (a) blanca $+$ negra $+$ negra; (b) negra $+$ corchea $+$ corchea $+$ blanca;
2. un copista escribió: blanca $+$ negra $+$ corchea. ¿Qué [fracción](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/39-fracciones-primeros-pasos#def-g6-fractions-def) del compás está escrita y qué figura única lo completa?
3. ¿cuántas semicorcheas llenan un compás entero? ¿Cuántas semicorcheas hacen una corchea?
4. un *puntillo* detrás de una figura le añade la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de su valor: una blanca con puntillo es $\frac12 + \frac14$ y una negra con puntillo es $\frac14 + \frac18$ . Calcula los dos valores;
5. un vals se escribe en compás de tres por cuatro: cada compás debe sumar $\frac34$ . Comprueba que una sola blanca con puntillo llena un compás de vals y escribe otros dos compases de vals legales usando solo negras y corcheas.

**Parte II — El taller del copista.**

6. un compás de cuatro por cuatro contiene: negra con puntillo $+$ corchea $+$ negra. ¿Qué falta?
7. ¿qué dura más, una corchea con puntillo o una negra? Compáralas en semicorcheas;
8. una *ligadura* pega duraciones en un solo sonido largo: una blanca ligada a una corchea, ¿cuánto dura? ¿Cuántas semicorcheas son?
9. las figuras de un compás suman $\frac{11}{16}$ ; el [resto](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-remainder) es un *silencio* . ¿Cuánto dura ese silencio?
10. un batería rellena una negra ( $\frac{4}{16}$ del compás) usando solo corcheas ( $\frac{2}{16}$ ) y semicorcheas ( $\frac{1}{16}$ ), y el orden importa: por ejemplo, corchea–semicorchea–semicorchea o semicorchea–corchea–semicorchea. Comprueba que los dos ejemplos son legales y enumera después *todos* los ritmos posibles. ¿Cuántos hay?

**Parte III — Una sucesión de mil años y un compás [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd).**

11. contemos los ritmos del batería para figuras más largas. Todo ritmo termina o bien en semicorchea o bien en corchea; explica por qué eso da la regla: (ritmos que llenan $n$ semicorcheas) $=$ (ritmos que llenan $n - 1$ ) $+$ (ritmos que llenan $n - 2$ ). Partiendo de $1$ ritmo para una semicorchea y $2$ para dos, construye la tabla hasta $n = 8$ : ¿cuántos ritmos llenan una blanca?
12. los números que has hallado — $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$ — los publicó el erudito indio Hemachandra hacia el año 1150, contando exactamente estos ritmos, dos generaciones antes de que Fibonacci los escribiera en Italia. Enuncia en una frase el patrón que los define y compruébalo en las tres últimas entradas de tu tabla;
13. el estilo «swing» sustituye dos corcheas iguales por una pareja larga–corta: $\frac16$ y después $\frac{1}{12}$ . Verifica que el cambio es legal (la misma duración total), usando el [denominador](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/24-las-primeras-fracciones#def-g4-fractions-def) común $12$ ;
14. un *tresillo* mete tres figuras iguales dentro de una negra. ¿Cuánto dura cada una (comprueba tu respuesta multiplicándola por $3$ , [Proposición 47.8](#prop-g7-fractions-mult) )? La misma pregunta para tres figuras iguales que llenan una blanca;
15. la música de danza balcánica usa el compás de siete por ocho: cada compás [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) $\frac78$ . Verifica que negra con puntillo $+$ negra $+$ negra lo llena. Después explica por qué *ninguna* combinación de blancas y negras solamente, por muchas que sean, puede llenar un compás de siete por ocho. (Cuenta en corcheas y piensa en [pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) e [impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) .)

**Solución de Problema 47.1.**

**1.** (a) $\frac12 + \frac14 + \frac14 = \frac24 + \frac14
+ \frac14 = \frac44 = 1$: legal. (b) $\frac14 + \frac18 +
\frac18 + \frac12 = \frac28 + \frac18 + \frac18 + \frac48 =
\frac88 = 1$: legal.

**2.** $\frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac48 + \frac28 +
\frac18 = \frac78$: falta una corchea.

**3.** Un compás es $1 = \frac{16}{16}$: dieciséis semicorcheas. Una corchea es $\frac18 = \frac{2}{16}$: dos semicorcheas.

**4.** Blanca con puntillo: $\frac12 + \frac14 = \frac34$. Negra con puntillo: $\frac14 + \frac18 = \frac28 + \frac18 = \frac38$.

**5.** La blanca con puntillo vale $\frac34$ (pregunta 4): exactamente un compás de vals. Otros rellenos, por ejemplo: negra $+$ negra $+$ negra ($\frac14 + \frac14 + \frac14 =
\frac34$), o negra $+$ corchea $+$ corchea $+$ negra ($\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac14 = \frac{2 + 1 + 1 +
2}{8} = \frac68 = \frac34$).

**6.** $\frac38 + \frac18 + \frac14 = \frac38 + \frac18 +
\frac28 = \frac68 = \frac34$: falta una negra ($\frac14$).

**7.** Corchea con puntillo: $\frac18 + \frac{1}{16} =
\frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$. Negra: $\frac{4}{16}$. Dura más la negra.

**8.** $\frac12 + \frac18 = \frac48 + \frac18 = \frac58$, es decir, $\frac{10}{16}$: diez semicorcheas.

**9.** $1 - \frac{11}{16} = \frac{16}{16} - \frac{11}{16}
= \frac{5}{16}$ del compás es silencio.

**10.** Los dos ejemplos suman $\frac{2 + 1 + 1}{16} =
\frac{4}{16}$: legales. Todos los ritmos que llenan cuatro semicorcheas con piezas de $2$ y de $1$:

$$
2{+}2, \quad 2{+}1{+}1, \quad 1{+}2{+}1, \quad 1{+}1{+}2, \quad
1{+}1{+}1{+}1 :
$$

cinco ritmos.

**11.** Un ritmo que llena $n$ semicorcheas termina o bien en semicorchea — y lo anterior llena $n - 1$ — o bien en corchea — y lo anterior llena $n - 2$. Cada ritmo se cuenta exactamente una vez así, de modo que $\text{maneras}(n) = \text{maneras}(n-1) + \text{maneras}(n-2)$. Tabla:

| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| maneras | $1$ | $2$ | $3$ | $5$ | $8$ | $13$ | $21$ | $34$ |

Una blanca ($8$ semicorcheas) se puede tocar de $34$ maneras. ($n = 4$ recupera los cinco ritmos de la pregunta 10.)

**12.** Cada número es la [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de los dos anteriores: $3 + 5 = 8$, $5 + 8 = 13$, $8 + 13 = 21$, $13 + 21 = 34$ — la regla que demostró la pregunta 11, con mil años de antigüedad y hoy conocida como la regla de Fibonacci.

**13.** $\frac16 + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} +
\frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$: la misma duración que dos corcheas normales ($\frac18 + \frac18 = \frac14$). El cambio del swing es legal.

**14.** Cada nota del tresillo dura $\frac{1}{12}$: comprobación, $3 \times \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ ([Proposición 47.8](#prop-g7-fractions-mult)). Para una blanca: cada una dura $\frac16$, ya que $3 \times \frac16 = \frac36 = \frac12$.

**15.** Negra con puntillo $+$ negra $+$ negra: en corcheas, $3 + 2 + 2 = 7$ corcheas $= \frac78$: legal. Las blancas y las negras valen $4$ y $2$ corcheas — los dos números *[pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. Toda [suma](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/2-la-suma-primeros-pasos#def-g1-addition-def) de [números pares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd) es [par](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), pero un compás de siete por ocho necesita $7$ corcheas, un [número impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd): imposible. Para llenar un compás [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd), tiene que aparecer algo [impar](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd): una corchea o una figura con puntillo.