--- title: "Expresiones literales" book: "Matemáticas de primaria y secundaria" subject: math language: es chapter: 48 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/48-expresiones-literales --- # Capítulo 48 — Expresiones literales Una letra en un cálculo representa un número que todavía no conocemos, o *todos* los números a la vez: escribir $P = 4c$ da el [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) de cualquier cuadrado en una sola fórmula. Este capítulo enseña las convenciones de escritura, cómo sustituir valores y cómo simplificar expresiones sencillas — el comienzo del álgebra, que continúa en el [Capítulo 57](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#ch-g8-equations). ## 48.1 Escribir con letras **Definición 48.1 (Expresión literal).** Una *expresión literal* es un cálculo que contiene una o más letras, cada una en lugar de un número. Convenciones de escritura: - el signo $\times$ se omite delante de una letra o de un paréntesis: $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ , $2 \times (x + 5) = 2(x + 5)$ ; - pero se mantiene entre dos números: ¡ $3 \times 5$ no se puede escribir $35$ ! - $a \times a$ se escribe $a^2$ (« $a$ al cuadrado»), $a \times a \times a = a^3$ ; - $1a$ se escribe $a$ , y $0a$ es $0$ . **Ejemplo 48.2.** Simplifica la escritura: $$ 5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y, \qquad a \times 7 = 7a \ \text{(primero el número)}, \qquad x \times x \times 4 = 4x^2 . $$ **Ejemplo 48.3 (Las fórmulas son expresiones literales).** Para un rectángulo de largo $L$ y ancho $a$: [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) $P = 2(L + a)$, [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) $A = La$. Una sola fórmula resume infinitos rectángulos a la vez — ese es todo el sentido de las letras. ![Dos fórmulas, válidas para cualquier rectángulo: sustituye los valores de L y a para obtener números.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-literal/fig-6b29894197b6.svg) *Dos fórmulas, válidas para cualquier rectángulo: sustituye los valores de $L$ y $a$ para obtener números.* ## 48.2 Sustituir **Método 48.4 (Evaluar una expresión).** Para evaluar una expresión con valores dados de sus letras: 1. reescribe la expresión devolviendo los signos $\times$ escondidos: $3a + a^2$ es $3 \times a + a \times a$ ; 2. sustituye cada letra por su valor, poniéndole paréntesis si hace falta; 3. calcula respetando la jerarquía del [Capítulo 45](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/45-jerarquia-de-las-operaciones#ch-g7-priorities) . **Ejemplo 48.5.** Evalúa $E = 3x + x^2$ para $x = 5$: $$ E = 3 \times 5 + 5 \times 5 = 15 + 25 = 40 . $$ Evalúa $F = 2(a + 3b)$ para $a = 4$ y $b = 0.5$: $$ F = 2 \times (4 + 3 \times 0.5) = 2 \times (4 + 1.5) = 2 \times 5.5 = 11 . $$ ## 48.3 Reducir expresiones **Proposición 48.6 (Agrupar términos semejantes).** Los términos que tienen la misma parte literal se pueden agrupar sumando sus partes numéricas (esto es la distributividad, [Teorema 45.6](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/45-jerarquia-de-las-operaciones#thm-g7-priorities-distributivity), leída al revés): $$ 5x + 3x = (5 + 3)x = 8x, \qquad 7a - 2a = 5a . $$ Los términos con parte literal distinta (como $3x$ y $5y$, o $x$ y $x^2$) no se pueden agrupar. **Ejemplo 48.7.** Reduce $E = 4x + 7 + 3x + 2$ ordenando los términos: $$ E = (4x + 3x) + (7 + 2) = 7x + 9 . $$ Cuidado: ¡$7x + 9$ *no* es $16x$! Pruébalo con $x = 1$: $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ y $7 \times 1 + 9 = 16$ coinciden, pero $16x$ también daría $16$ — prueba con $x = 2$: la expresión original da $8 + 7 + 6 + 2 = 23$ y $7 \times 2 + 9 = 23$, mientras que $16 \times 2 = 32$. La reducción $7x + 9$ es correcta y $16x$ es falsa. **Método 48.8 (Poner a prueba una igualdad).** Para comprobar si dos expresiones podrían ser iguales para todo valor: 1. sustituye el mismo valor en las dos, al menos dos veces (por ejemplo, $x = 2$ y $x = 10$ ; evita $0$ y $1$ , que esconden demasiadas [diferencias](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) ); 2. si los resultados difieren aunque sea una vez, las expresiones *no* son iguales — un solo contraejemplo mata una afirmación general; 3. si los resultados coinciden, la igualdad es solo *verosímil* : la demostración necesita álgebra (desarrollar, reducir). **Ejemplo 48.9.** ¿Es $2(x + 3)$ igual a $2x + 6$ para todo $x$? Desarrollar lo demuestra: $2(x+3) = 2x + 2 \times 3 = 2x + 6$. ¿Es $(x + 1)^2$ igual a $x^2 + 1$? Prueba con $x = 2$: $(2+1)^2 = 9$ pero $2^2 + 1 = 5$. No — y un solo contraejemplo es una demostración completa del «no». ## 48.4 Producir expresiones **Ejemplo 48.10 (De la situación a la expresión).** Un taxi cobra $4$ euros más $2$ euros por kilómetro. Para un trayecto de $k$ kilómetros, el precio es $$ p = 4 + 2k \quad\text{euros}. $$ Para $k = 7$: $p = 4 + 14 = 18$ euros. La expresión *es* la respuesta general; sustituir produce todas las respuestas particulares. **Ejemplo 48.11 (Trucos con números).** «Piensa un número, dóblalo, súmale $10$, divide entre $2$ y resta tu número.» Llama $n$ al número y sigue los pasos: $$ n \ \to\ 2n \ \to\ 2n + 10 \ \to\ \frac{2n + 10}{2} = n + 5 \ \to\ n + 5 - n = 5 . $$ Todo el mundo obtiene $5$, fuera cual fuera $n$ — las letras explican la magia. ## 48.5 Ejercicios **Ejercicio 48.1 ★.** Simplifica la escritura: $$ 7 \times x, \qquad y \times 3, \qquad a \times b \times 5, \qquad x \times x, \qquad 2 \times (a + 4). $$ **Solución de Ejercicio 48.1.** $7x$; $3y$; $5ab$; $x^2$; $2(a + 4)$. **Ejercicio 48.2 ★.** Devuelve los signos $\times$: $$ 5ab, \qquad 3(x + 2), \qquad x^2 + 4x, \qquad 2a^3 . $$ **Solución de Ejercicio 48.2.** $5ab = 5 \times a \times b$; $3(x+2) = 3 \times (x + 2)$; $x^2 + 4x = x \times x + 4 \times x$; $2a^3 = 2 \times a \times a \times a$. **Ejercicio 48.3 ★.** Evalúa para $x = 3$: $5x + 1$; $x^2$; $2x^2 - x$; $10 - 2x$. **Solución de Ejercicio 48.3.** Para $x = 3$: $5 \times 3 + 1 = 16$; $3 \times 3 = 9$; $2 \times 9 - 3 = 15$; $10 - 6 = 4$. **Ejercicio 48.4 ★.** Evalúa $3a + 2b$ y $a b + 5$ para $a = 4$ y $b = 1.5$. **Solución de Ejercicio 48.4.** $3a + 2b = 12 + 3 = 15$; $ab + 5 = 4 \times 1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$. **Ejercicio 48.5 ★.** Reduce: $$ 8x + 5x, \qquad 9a - 4a + a, \qquad 6y + 2 + 3y + 7, \qquad 5t + 3 - 2t - 3 . $$ **Solución de Ejercicio 48.5.** $8x + 5x = 13x$; $9a - 4a + a = 6a$; $6y + 2 + 3y + 7 = 9y + 9$; $5t + 3 - 2t - 3 = 3t$. **Ejercicio 48.6 ★.** Da una fórmula para: el [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) de un cuadrado de lado $c$; el [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) de un [triángulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles) de base $b$ y lados iguales $s$; el precio de $n$ panes a $1.20$ euros cada uno. **Solución de Ejercicio 48.6.** Cuadrado: $P = 4c$. [Triángulo isósceles](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/41-triangulos-y-cuadrilateros#def-g6-shapes-triangles): $P = b + 2s$. Panes: $p = 1.20\,n$ euros. **Ejercicio 48.7 ★.** Empareja cada expresión con una descripción: $2n$; $n + 2$; $n^2$; $\frac n2$. Descripciones: «la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half) de $n$»; «el doble de $n$»; «el cuadrado de $n$»; «dos más que $n$». **Solución de Ejercicio 48.7.** $2n$: el doble; $n + 2$: dos más que $n$; $n^2$: el cuadrado; $\frac n2$: la [mitad](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/17-repartir-y-dividir#def-g3-division-half). **Ejercicio 48.8 ★★.** Usando el [Método 48.8](#met-g7-literal-test), decide (con demostración o contraejemplo) si estas igualdades valen para todo $x$: $$ 3(x + 4) = 3x + 12; \qquad 2x + 5 = 7x; \qquad x + x = x^2 . $$ **Solución de Ejercicio 48.8.** $3(x+4) = 3x + 12$: *verdadera* para todo $x$ (distributividad — esto es una demostración, no hace falta probar valores). $2x + 5 = 7x$: prueba con $x = 2$: izquierda $9$, derecha $14$ — *falsa* en general (solo se cumple para $x = 1$). $x + x = x^2$: prueba con $x = 3$: izquierda $6$, derecha $9$ — *falsa* en general ($x + x = 2x$). **Ejercicio 48.9 ★★.** Un rectángulo tiene ancho $a$ y su largo es $3$ cm mayor que su ancho. 1. expresa el largo y después el [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) en función de $a$ , y redúcelo; 2. calcula el [perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter) para $a = 5$ cm, directamente y con tu fórmula reducida. ¿Sale lo mismo? **Solución de Ejercicio 48.9.** *1.* Largo: $a + 3$. [Perímetro](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-perimeter): $$ P = 2\bigl(w + (w + 3)\bigr) = 2(2w + 3) = 4w + 6 . $$ *2.* Para $a = 5$: directamente, los lados son $5$ y $8$, así que $P = 2 \times 13 = 26$ cm; con la fórmula, $4 \times 5 + 6 = 26$ cm. Coinciden. **Ejercicio 48.10 ★★.** Repite el truco del [Ejemplo 48.11](#ex-g7-literal-trick) con letras: «piensa un número, súmale $6$, multiplica por $3$, resta $18$ y divide entre tu número de partida» (supón que no es [cero](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/1-contar-hasta-20#def-g1-counting-zero)). ¿Qué obtiene todo el mundo? **Solución de Ejercicio 48.10.** Siguiendo los pasos con la letra $n$: $$ n \ \to\ n + 6 \ \to\ 3(n + 6) = 3n + 18 \ \to\ 3n + 18 - 18 = 3n \ \to\ \frac{3n}{n} = 3 . $$ Todo el mundo obtiene $3$. **Ejercicio 48.11 ★★★.** La figura de abajo es un cuadrado de lado $a$ al que se le ha quitado una esquina cuadrada de lado $b$ ($b$ menor que $a$). Escribe dos expresiones distintas para su [área](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/43-perimetro-area-y-volumen#def-g6-measure-area) (una como [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference) y otra cortando la figura en L en dos rectángulos) y comprueba que coinciden para $a = 5$ y $b = 2$. **Solución de Ejercicio 48.11.** Como [diferencia](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/3-la-resta-primeros-pasos#ex-g1-subtraction-difference): $A = a^2 - b^2$. Cortando la L en dos rectángulos: una franja de ancho completo y altura $a - b$ y, encima, un rectángulo más estrecho: $$ A = a(a - b) + b(a - b) $$ (el rectángulo de abajo, de ancho $a$ y alto $a - b$, y el de arriba, de ancho $a - b$ y alto $b$, dan la variante $a(a-b) + (a-b)b$ — lo mismo). Para $a = 5$ y $b = 2$: $a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$, y $5 \times 3 + 2 \times 3 = 15 + 6 = 21$. Las dos expresiones coinciden — y siempre lo hacen: es la identidad $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ del [Capítulo 66](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/66-algebra-y-ecuaciones#ch-g9-algebra) disfrazada. ## 48.6 Problema: El oráculo de las cerillas **Problema 48.1.** Problema de fin de semana — patrones que crecen y su término $n$-ésimo: tres fórmulas para un mismo patrón y el famoso patrón que se rompe en el sexto paso Coloca cerillas formando una fila de cuadrados: un cuadrado, luego dos, luego tres … ¿Cuántas cerillas necesitará la centésima figura? Contarlas una a una llevaría todo el fin de semana; una *fórmula en $n$* responde al instante para todas las figuras a la vez — que es exactamente para lo que sirven las letras ([Ejemplo 48.3](#ex-g7-literal-formulas)). Pero cuidado: este problema termina con un patrón célebre que juega limpio durante cinco pasos y luego traiciona a todo el que se fio de él. **Parte I — Una fila de cuadrados.** La figura $1$ es un cuadrado de cerillas ($4$ cerillas); cada figura siguiente añade un cuadrado más que comparte un lado con el anterior. 1. dibuja las figuras $1$ a $4$ y cuenta sus cerillas; 2. explica por qué cada cuadrado nuevo cuesta exactamente $3$ cerillas más y úsalo para predecir el recuento de la figura $10$ sin ninguna fórmula; 3. justifica la fórmula: la figura $n$ necesita $3n + 1$ cerillas. (¿De dónde sale ese « $+1$ » solitario?) Compruébala con la pregunta 1; 4. Amir razona de otra manera: « $4$ cerillas para el primer cuadrado y luego $3$ por cada uno de los otros $n - 1$ », lo que da $4 + 3(n - 1)$ . Desarrolla y reduce su expresión ( [Proposición 48.6](#prop-g7-literal-reduce) ): ¿coincide con la pregunta 3? 5. Lena cuenta de una tercera manera: « $2n$ cerillas horizontales y $n + 1$ verticales». Escribe su fórmula, redúcela y concluye. Después responde a la pregunta inicial: ¿cuántas cerillas para la figura $100$ ? **Parte II — Triángulos, mesas y marcha atrás.** 6. una fila de triángulos de cerillas (cada triángulo nuevo se apoya en el anterior): cuenta las cerillas de $1$ , $2$ y $3$ triángulos y justifica después la fórmula $2n + 1$ para $n$ triángulos; 7. marcha atrás: con exactamente $49$ cerillas, ¿cuántos triángulos puede tener la fila? (Deshaz la fórmula paso a paso.) 8. las mesas cuadradas de banquete sientan a un invitado por lado libre. Cuando se juntan $n$ mesas en una fila larga, explica por qué la fórmula de plazas es $2n + 2$ y compruébala para $1$ , $2$ y $3$ mesas; 9. a una fiesta se esperan $30$ invitados. ¿Cuántas mesas hacen falta en una sola fila? El cáterin reparte en cambio las mismas mesas en *dos* filas de siete: ¿cuántos invitados caben ahora? Explica la ganancia con la fórmula; 10. patrón de puntos: la figura $n$ es una L de puntos, de $n$ puntos de alto y $n$ puntos de ancho (la esquina se cuenta una vez). Cuenta los puntos de las figuras $1$ , $2$ y $3$ , halla la fórmula y di el nombre de los números que produce. (Apiladas, estas L recubren un cuadrado — una historia que continúa en el [Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#pb-g8-equations-1) .) **Parte III — Fiarse, probar, demostrar.** 11. un compañero afirma que la figura $n$ de la Parte I necesita $3(n + 2) - 5$ cerillas. Resuelve la afirmación desarrollando y reduciendo — sin necesidad de probar valores; 12. «elevar al cuadrado hace los números más grandes, así que $n^2 \geq n$ para todo número $n$ .» Prueba la afirmación con $n = 2$ , $3$ y $10$ ; después halla un número para el que falle. ¿Qué demostraron las tres pruebas con éxito y qué demuestra el único fallo ( [Método 48.8](#met-g7-literal-test) )? 13. marca puntos sobre una circunferencia y traza *todos* los [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) entre ellos; después cuenta las regiones del interior del círculo. Hazlo con $2$ , $3$ , $4$ y $5$ puntos (coloca los puntos de forma irregular, para que no se corten tres [segmentos](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/40-rectas-circunferencias-y-angulos#def-g6-lines-objects) en un mismo punto interior). Anota los recuentos. ¿Qué fórmula te susurra el patrón? 14. ahora $6$ puntos, dibujados grandes e irregulares, contando con muchísimo cuidado (hay muchas regiones pequeñas). ¿Cuántas regiones encuentras y qué le ha pasado a la conjetura? 15. la moraleja, en dos frases: qué habría hecho falta para *demostrar* la conjetura del doble y por qué las fórmulas de las cerillas de las Partes I y II nunca corrieron ese peligro. Celébralo con una predicción demostrada: ¿cuántas cerillas para la fila de $2\,026$ cuadrados? **Solución de Problema 48.1.** **1.** Las figuras $1$ a $4$ necesitan $4$, $7$, $10$ y $13$ cerillas. **2.** Un cuadrado nuevo comparte un lado con la figura anterior, así que solo $3$ de sus $4$ lados son cerillas nuevas. Desde la figura $4$ ($13$ cerillas), seis cuadrados más cuestan $6 \times 3 = 18$: la figura $10$ necesita $13 + 18 = 31$ cerillas. **3.** Leyendo la fila desde la izquierda: empieza con una cerilla vertical y después cada uno de los $n$ cuadrados aporta un lado de arriba, uno de abajo y uno de la derecha — $3$ cerillas cada uno. Total: $3n + 1$; el «$+1$» es la primerísima cerilla vertical. Comprobación: $n = 1, 2, 3, 4$ dan $4, 7, 10, 13$. **4.** $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$: la fórmula de Amir se desarrolla exactamente en la misma expresión reducida. Coincidencia total. **5.** Lena: $2n + (n + 1) = 3n + 1$ — otra vez lo mismo. Tres maneras de verlo y una sola forma reducida. Figura $100$: $3 \times 100 + 1 = 301$ cerillas. **6.** Recuentos: $3$, $5$ y $7$ cerillas. Cada triángulo nuevo se apoya en un lado ya existente y solo añade $2$ cerillas, partiendo de $3$: la figura $n$ necesita $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$ cerillas. **7.** Deshaciendo $2n + 1 = 49$: quitando la primera cerilla quedan $48$, y cada triángulo se lleva $2$: $48 \div 2 = 24$ triángulos. **8.** En una fila de $n$ mesas, cada mesa ofrece su lado de arriba y el de abajo ($2n$ plazas), y las dos mesas de los extremos ofrecen un lado más cada una ($+2$): $2n + 2$ plazas. Comprobación: $4$, $6$ y $8$ para $n = 1, 2, 3$. **9.** Una sola fila: $2n + 2 \geq 30$ exige $2n \geq 28$, así que $14$ mesas. Repartiendo esas mismas $14$ mesas en dos filas de $7$: cada fila sienta a $2 \times 7 + 2 = 16$ y, juntas, a $32$ — dos más que la fila única, porque cada fila nueva aporta dos *extremos* nuevos. (Cada división gana $2$ plazas; los cáterin lo saben.) **10.** La L de tamaño $n$ tiene $n$ puntos hacia arriba y $n$ hacia el lado, compartiendo el punto de la esquina: $n + n - 1 = 2n - 1$ puntos. Figuras $1$, $2$ y $3$: $1$, $3$ y $5$ puntos — los *[números impares](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/14-los-numeros-hasta-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. Encajadas una alrededor de la siguiente, las L llenan un cuadrado de $n \times n$ puntos: la historia del [Problema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/es/chapter/57-calculo-literal-y-ecuaciones#pb-g8-equations-1). **11.** $3(n + 2) - 5 = 3n + 6 - 5 = 3n + 1$: la afirmación se reduce a la fórmula demostrada, así que es correcta para todo $n$ — establecida con álgebra, no con ejemplos. **12.** Pruebas: $4 \geq 2$, $9 \geq 3$, $100 \geq 10$: todas pasan. Pero $n = 0.5$ da $n^2 = 0.25 < 0.5$: la afirmación falla. Las tres pruebas no demostraron nada sobre *todos* los números (solo no lograron encontrar problemas); el único contraejemplo *demuestra* que la afirmación general es falsa ([Método 48.8](#met-g7-literal-test)). Una letra representa a todos los números — decimales incluidos. **13.** Regiones: $2$ puntos $\to 2$; $3$ puntos $\to 4$; $4$ puntos $\to 8$; $5$ puntos $\to 16$. El patrón susurra «cada punto duplica el recuento»: se esperarían $32$ regiones para $6$ puntos. **14.** Un recuento cuidadoso da $31$ regiones — no $32$. La conjetura del doble ha muerto: sobrevivió a cuatro comprobaciones y falló en la quinta. (Este contraejemplo es tan famoso que tiene nombre, «la trampa de las regiones del círculo»; nada de atajos con puntos regulares — tres cuerdas que se cortasen en un mismo punto fundirían regiones y estropearían el recuento.) **15.** Una demostración habría necesitado una razón *estructural* de por qué añadir un punto duplica las regiones — y no la hay: la duplicación era una casualidad de los casos pequeños. Las fórmulas de las cerillas eran seguras porque cada una se leía en la propia construcción (cada cuadrado cuesta visiblemente $3$ cerillas y cada mesa ofrece visiblemente $2$ plazas): estructura, no pruebas. Predicción demostrada: $3 \times 2\,026 + 1 = 6\,079$ cerillas.